4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦等比数列的性质及应用核心知识点，通过类比等差数列性质推导等比数列推广通项公式、项的运算性质，结合典例讲解性质应用，延伸至生成新等比数列、灵活设元及实际问题解决，构建从推导到应用的完整学习支架。 资料以类比迁移培养逻辑推理，整体代换提升数学运算，实际问题渗透数学建模。母题探究深化理解，分层作业适配不同需求，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第2课时　等比数列的性质及应用 [学习目标]　1．能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质，理解等比数列与项有关的性质．(数学运算) 2．能灵活运用等比数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(数学运算、逻辑推理) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等比数列有哪些性质？ 问题2．解决等比数列实际应用问题的关键是什么？ 探究1　等比数列的性质 问题1　你能由等差数列的性质an＝am＋(n－m)d类比出等比数列中相似的性质吗？ [提示]　类比可得an＝amqn－m；由等比数列的定义可知an＝a1qn-1，am＝a1qm-1，两式相除可得＝＝q(n-1)－(m-1)＝qn－m，即an＝amqn－m． 问题2　类比等差数列中am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)能否发现等比数列中相似的性质？ [提示]　类比可得aman＝akal，其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*． 推导过程：am＝a1qm-1，an＝a1qn-1，ak＝a1qk-1，al＝a1ql-1． 所以am·an＝qm＋n-2，akal＝qk＋l-2， 因为m＋n＝k＋l，所以aman＝akal． [新知生成] 1．推广的等比数列的通项公式 {an}是等比数列，首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1，an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝． (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…． 【教用·微提醒】　(1)下标和相等且左右两侧项数相同时，等比数列项的运算性质可以推广，如：m＋n＋p＝x＋y＋z，则amanap＝axayaz． (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． [典例讲评]　1．已知{an}为正项等比数列． (1)若a5＝8，a7＝2，求an； (2)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (3)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [思路导引]　利用等比数列的性质，整体代换求解． [解]　(1)由a7＝a5·q2，得q2＝． ∵an＞0，∴q＝， ∴an＝a5·qn-5＝8×＝． (2)a2a4＋2a3a5＋a4a6＝ ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5． (3)根据等比数列的性质， 得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10． [母题探究]　把本例(3)的条件改为“公比为3，a1a2a3…a30＝3300”，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． [解]　a1a2a3…a30＝(a1a2a3…a10)·(a1a2a3…a10)q100·(a1a2a3…a10)q200 ＝q300(a1a2a3…a10)3＝3300， 即a1a2a3…a10＝1， 则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10)＝log31＝0． 【教用·备选题】(1)在等比数列{an}中，a6·a12＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　) A．或　　　　 B． C．或 D．或 (2)公差不为零的等差数列{an}中＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________． (3)已知在各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝________． (1)A　(2)16　(3)5　[(1)由a6·a12＝a4·a14＝6，且a4＋a14＝5，解得a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2， 若a4＝2，a14＝3，则q10＝，即＝； 若a4＝3，a14＝2，则q10＝，即＝． (2)由a3＋a11＝2a7，且＋2a11＝0，得＝0，所以a7＝4(a7＝0不合题意，舍去)， 所以b6b8＝＝＝16． (3)法一：因为{an}是等比数列， 所以a1a7＝，a2a8＝，a3a9＝． 所以＝(a1a7)·(a2a8)·(a3a9) ＝(a1a2a3)·(a7a8a9)＝5×10＝50． 因为an>0， 所以a4a5a6＝5． 法二：因为a1a2a3＝(a1a3)a2＝·a2＝＝5， 所以a2＝． 因为a7a8a9＝(a7a9)a8＝＝10， 所以a8＝． 同理a4a5a6＝＝＝＝＝＝5．] 　运用等比数列的性质应注意的问题 运用等比数列的性质am·an＝ak·al＝(m，n，k，l，t∈N*)的关键是各项的序号之间满足关系m＋n＝k＋l＝2t，它们往往涉及其中的四项或三项，注意不要和等差数列相应的性质混淆． [学以致用]　1．(1)在等比数列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值为(　　) A． B．3 C．± D．±3 (2)正项等比数列{an}中，满足－9a3＝0，则公比q＝________． (1)B　(2)3　[(1)因为a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根， 所以a1a13＝9，a1＋a13＝13，所以a1>0，a13>0，又{an}为等比数列， 则a7＝a1q6>0，又a1a13＝a2a12＝＝9，所以a7＝3或a7＝－3(舍去)，所以＝a7＝3． (2)－9a3＝－9a3＝a5－9a3＝0，即a3q2－9a3＝0， ∴q2＝9，q＝3(q＝－3舍去)．] 探究2　由等比数列生成新等比数列 问题3　若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋2}呢？ [提示]　{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列． 证明：设{an}的公比为q，则＝＝q， 即{2an}仍然是公比为q的等比数列； ＝，若an不是常数，则该式子不是定值， 故{an＋2}一般不是等比数列． 问题4　若数列{an}是等比数列，那么数列a3，a6，a9，a12，…是等比数列吗？ [提示]　是等比数列，因为＝＝＝…＝q3为常数． [新知生成] 1．若{an}是等比数列，公比为q，则数列}，{anan＋1}都是等比数列，公比分别为q，，|q|，q2，q2． 2．若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和． 3．在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N*)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列． 【教用·微提醒】　(1)对于无穷等比数列{an}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为ak＋1，公比为q； (2)若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，公比为qk． [典例讲评]　2．(1)(多选)如果数列{an}是等比数列，那么下列数列中一定是等比数列的是(　　) A． B．{} C．{an·an＋1} D．{an＋an＋1} (2)若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9＝________． (1)ABC　(2)12　[(1)取等比数列an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比数列，故D错误； 对于其他选项，均满足等比数列通项公式的性质． (2)易知{anbn}为等比数列， 则有(a5b5)2＝(a1b1)·(a9b9)， 即62＝3a9b9，∴a9b9＝12．] 　 1．可以借助定义法证明新数列是否为等比数列． 2．由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是不是0，主要是针对q<0的情况． [学以致用]　2．设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　) A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同 D　[因为Ai是边长为ai，ai＋1的矩形面积(i＝1，2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1，2，…)， 则数列{An}的通项公式为An＝anan＋1．根据等比数列的定义， 数列{An}为等比数列的充要条件是＝＝＝q(常数)．] 探究3　灵活设元解决等比数列问题 [典例讲评]　【链接教材P30例3】 3．有四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，第一个数与第四个数之和为16，第二个数与第三个数之和为12，求这四个数． [解]　法一：设前三个数依次为a－d，a，a＋d，则第四个数为， 由题意，得 解得或 所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1． 法二：设后三个数依次为，a，aq， 则第一个数为－a． 由题意，得 解得或 所以这四个数依次为0，4，8，16或15，9，3，1． 【教材原题·P30例3】 例3　数列{an}共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列． 分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解． [解]　设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，80，80＋d，80＋2d．于是得 解方程组，得 或 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，－48． 　巧设等比数列的方法 (1)三个数成等比数列设为，a，aq． 推广到一般：奇数个数成等比数列设为…，，a，aq，aq2，…． (2)四个符号相同的数成等比数列设为，aq，aq3． 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为…，，aq，aq3，aq5，…． (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，aq，aq2，aq3． [学以致用]　3．有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13成等差数列，则这四个数的和是________． 45　[设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3， 则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列． 即 整理得 解得a＝3，q＝2． 因此这四个数分别是3，6，12，24，其和为45．] 探究4　等比数列的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P31例4、P33例6】 4．2023年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%． (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2027年能否翻一番？ [解]　(1)由题意可得 16a(1＋25%)n-1＝25a(1－20%)n-1， 解得n＝2， 故到2024年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则a5＝16a＋25a<2(16a＋25a)， 故到2027年不能翻一番． 【教材原题·P31例4、P33例6】 例4　用10 000元购买某个理财产品一年． (1)若以月利率0.400%的复利计息，12个月能获得多少利息(精确到0.01元)? (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于(1)中按月结算的利息(精确到10-5)? 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为a元，每期的利率为r，则从第一期开始，各期的本利和a(1＋r)，a(1＋r)2，…构成等比数列． [解]　(1)设这笔钱存n个月以后的本利和组成一个数列{an}，则{an}是等比数列，首项a1＝104(1＋0.400%)，公比q＝1＋0.400%，所以 a12＝104(1＋0.400%)12≈10 490.702． 所以，12个月后的利息为10 490.702－104≈490.70(元)． (2)设季度利率为r，这笔钱存n个季度以后的本利和组成一个数列{bn}，则{bn}也是一个等比数列，首项b1＝104(1＋r)，公比为1＋r，于是 b4＝104(1＋r)4． 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 [104(1＋r)4－104]元． 解不等式104(1＋r)4－104≥490.70，得 r≥1.205%． 所以，当季度利率不小于1.205%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息． 例6　某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%．从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品．1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}，则各月不合格品的数量构成数列{anbn}．由题意可知，数列{an}是等比数列，{bn}是等差数列．由于数列{anbn}既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法． [解]　设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列{an}，{bn}． 由题意，知 an＝1050×1.05n-1， bn＝1－[90%＋0.4%(n－1)]＝0.104－0.004n, 其中n＝1，2，…，24，则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 anbn＝1050×1.05n-1×(0.104－0.004n) ＝1.05n×(104－4n)． 由计算工具计算(精确到0.1)，并列表(表4.3-1)． 表4.3-1 n 1 2 3 4 5 6 7 anbn 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 n 8 9 10 11 12 13 14 anbn 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列{anbn}先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当n≥6时，{anbn}递减，且a13b13＜100即可． 由＝＜1， 得n＞5． 所以，当n≥6时，{anbn}递减． 又a13b13≈98＜100， 所以，当13≤n≤24时，anbn≤a13b13＜100． 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内． 　等比数列实际应用问题的关键是建立数学模型，即将实际问题转化成等比数列的问题，解数学模型即解等比数列问题，最后注意数学问题再转化为实际问题作答． [学以致用]　4．某传媒公司决定逐年加大直播带货的资金投入，若该公司今年投入的资金为2 000万元，并在此基础上，以后每年的资金投入均比上一年增长12%，则该公司需经过________年其投入资金开始超过7 000万元． (参考数据：lg 1.12≈0.049，lg 2≈0.301，lg 7≈0.845) 12　[设该公司经过n年投入的资金为an万元，则a1＝2 000×1.12， 由题意可知，数列{an}是以2 000×1.12为首项，以1.12为公比的等比数列，所以an＝2 000×1.12n， 由an＝2 000×1.12n＞7 000， 可得n＞log1.12＝≈11.1， 因此，该公司需经过12年其投入资金开始超过7 000万元．] 1．在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝(　　) A．6 B．3 C．12 D．8 A　[在等比数列{an}中，a6＝，公比q＝，则a10＝a6q4＝×()4＝6．故选A．] 2．(教材P34练习T2改编)已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，公比分别为q1，q2(q1，q2≠1)，则数列①{3an}，②，③{3＋an}，④{2an－3bn}，⑤{2an·3bn}中，等比数列的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　[易证得①②⑤为等比数列．] 3．若等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________． 5　[由题意知a1a5＝＝4， 又数列{an}的各项均为正数， 所以a3＝2，则a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a3＝＝25， 所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝log2(a1a2a3a4a5)＝log225＝5．] 4．(教材P34练习T3改编)某工厂去年产值为a，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第________年这个工厂的产值将超过2a． 8　[由题意知每年的产值构成以1.1a为首项，1.1为公比的等比数列，则an＝a·1.1n． 所以a·1.1n＞2a．因为1.17＜2，1.18＞2，所以n＝8．] 1．知识链： 2．方法链：整体代换的思想、构造法、转化法、公式法． 3．警示牌：(1)在应用题中，容易忽视数列的项数． (2)构造新的等比数列易忽视有等于0的项． (3)四个数成等比数列时设成，aq，aq3未考虑四个数符号不同的情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．在等比数列{an}中，如何巧设数列中的项？ [提示]　三个数成等比数列时，可设三数为，a，aq；四个符号相同的数成等比数列时可设为，aq，aq3． 2．在等比数列中，常用到的性质有哪些？ [提示]　①若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq； ②若m＋n＝2p，则aman＝． 3．解决等比数列的实际应用问题有哪些注意事项？ [提示]　要注意：①认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；②合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出未知元素；③针对所求结果作出合理解释． 课时分层作业(八)　等比数列的性质及应用 一、选择题 1．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比数列 B．{an＋bn}一定是等比数列，但{anbn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{anbn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比数列 C　[当{an}，{bn}都是等比数列时，这两个数列的和不一定是等比数列，比如取两个数列是互为相反数的数列，两者的和就不是等比数列．两个等比数列的积一定是等比数列．] 2．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝(　　) A．3 B．2 C．1 D．－2 B　[由题意得b＝1，c＝2，则ad＝bc＝2．] 3．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．32 D　[设等比数列{an}的公比为q， 则q＝＝＝2， 所以a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3)·q5＝1×25＝32．] 4．画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于(　　) A．2 024 B．1 012 C．2 048 D．4 096 C　[依题意，得这10个正方形的边长构成以2为首项，为公比的等比数列{an}，所以an＝2×()n-1，所以第10个正方形的面积S＝＝[2×()9]2＝4×29＝2 048．] 5．在等比数列{an}中，a7a11＝6，a4＋a14＝5，则＝(　　) A． B． C．或 D．－或－ C　[∵a4a14＝a7a11＝6，a4＋a14＝5， ∴a4，a14是方程x2－5x＋6＝0的两根， ∴或 ∵＝，∴＝或．] 二、填空题 6．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝________． 1　[法一：a3a11＝16， 即a1·22·a1·210＝16， 所以a1＝，a5＝a1·24＝1． 法二：由等比数列的性质，知＝a3a11＝16． 又数列{an}的各项都是正数， 所以a7＝4，a5＝＝＝1．] 7．等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＝3，a4＋a5＋a6＝9，则a13＋a14＋a15＝________． 243　[a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15成等比数列，记为{bn}，则b1＝3，b2＝9． ∴q＝3，∴b5＝b1·q4＝3×34＝35＝243． 即a13＋a14＋a15＝243．] 8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________． 28　[依题意，设原来的三个数依次为，a，aq． 因为·a·aq＝512，所以a＝8． 又因为第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，所以＋(aq－2)＝2a， 所以2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 所以原来的三个数为4，8，16或16，8，4． 因为4＋8＋16＝16＋8＋4＝28， 所以原来的三个数的和等于28．] 三、解答题 9．已知{an}为等比数列． (1)若{an}满足a2a4＝，求a5； (2)若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8． [解]　(1)在等比数列{an}中， ∵a2a4＝＝a1a5＝a2a4＝， a5＝． (2)由等比中项及题意，化简得 ＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0， ∴a6＋a8＝7． 10．已知数列{an}满足a2＝1，a3＝6，且数列{an＋n}为等比数列，则a4的值为(　　) A．23 B．32 C．36 D．40 A　[设bn＝an＋n， 则{bn}为等比数列， 设公比为q，则b2＝a2＋2＝3，b3＝a3＋3＝9， ∴q＝3， ∴b4＝b3·3＝9×3＝27， 即a4＋4＝27，∴a4＝23．] 11．已知等比数列{an}共有10项，其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比是(　　) A． B． C．2 D．2 C　[由奇数项之积为2，偶数项之积为64， 得a1a3a5a7a9＝2，a2a4a6a8a10＝64， 则＝q5＝32，则q＝2．] 12．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示n(n∈N*)年后这辆车的价值． (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少万元(精确到0.1)? [解]　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝13.5，a2＝13.5(1－10%)，a3＝13.5(1－10%)2，…． 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列， 首项a1＝13.5，公比q＝1－10%＝0.9， ∴an＝a1·qn-1＝13.5×(0.9)n-1． ∴n年后车的价值为an＋1＝13.5×0.9n万元． (2)由(1)得a5＝a1·q4＝13.5×0.94≈8.9(万元)， ∴用满4年时卖掉这辆车，大概能得到8.9万元． 13．已知函数f(x)＝，数列{an}是正项等比数列，且a10＝1，则f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝________． 　[函数f(x)＝， 当x＞0时，f(x)＋f＝＝＝1， 因为数列{an}是正项等比数列，且a10＝1， 则a1a19＝a2a18＝a3a17＝…＝＝1，f(a1)＋f(a19)＝f(a1)＋f＝1， 同理f(a2)＋f(a18)＝f(a3)＋f(a17)＝…＝f(a10)＋f(a10)＝1， 令S＝f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a18)＋f(a19)， 又S＝f(a19)＋f(a18)＋f(a17)＋…＋f(a2)＋f(a1)， 则有2S＝19，S＝，所以f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋…＋f(a18)＋f(a19)＝．] 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $