4.3.1 第1课时 等比数列的概念及通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦等比数列的概念及通项公式核心知识点，从《孙子算经》“出门望九堤”、《庄子》“一尺之棰”等实例引入，类比等差数列通过问题链引导学生发现规律，构建等比数列定义、等比中项、通项公式及判定方法的学习支架。 资料特色在于融入历史文化实例培养数学抽象，通过典例讲评与分层作业提升数学运算能力，问题引导与“教用·微提醒”助力逻辑推理。课中辅助教师引导探究，课后方便学生回顾强化，有效查漏补缺。

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念及通项公式 [学习目标]　1．借助教材实例理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．会求等比数列的通项公式，并能利用等比数列的通项公式解决相关的问题．(数学运算) 3．体会等比数列与指数函数的关系．(数学抽象) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等比数列的定义是什么？ 问题2．等比中项的定义是什么？ 问题3．等比数列的通项公式是什么？ 问题4．如何推导等比数列的通项公式？ 问题5．如何判定等比数列？ 探究1　等比数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题． (1)我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？” 构成数列：9，92，93，94，95，96，97，98； (2)《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话中隐藏着一列数：，…； (3)－的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……，依次排成一列数：－，－，…． 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律？ [提示]　我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律．对于(1)我们发现＝9，＝9，＝9，…，也就是说从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9；对于(2)＝，…；对于(3)＝－，…也有相同的取值规律(从第2项开始，后一项与它的前一项的比都等于同一个常数)． [新知生成] 等比数列的概念 文字语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 符号语言 ＝q(q为常数，q≠0，n∈N*) 【教用·微提醒】　等比数列中的任何一项都不能为零，公比可以为正数或负数，但绝对不能为零． [典例讲评]　1．(源自北师大版教材)以下数列中，哪些是等比数列？ (1)1，－，－； (2)1，1，1，…，1； (3)1，2，4，8，12，16，20； (4)a，a2，a3，…，an． [解]　(1)是等比数列，公比q＝－． (2)是公比q＝1的等比数列． (3)因为≠，所以该数列不是等比数列． (4)当a≠0时，它是公比q＝a的等比数列；当a＝0时，它不是等比数列． 　如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论． [学以致用]　1．(多选)下面四个数列中是等比数列的有(　　) A．1，1，2，4，8，16，32，64 B．在数列{an}中，已知＝2，＝2 C．3，3，3，3，3，… D．在数列{an}中，＝q，其中n∈N* CD　[A中，＝1≠＝2，不符合定义中“同一个常数”，故不是等比数列． B中，不一定是等比数列，当数列{an}的项数超过3时，后面的项的比值情况不知，不一定符合定义中“每一项”． C中，因为当n≥2时，＝1＝q(常数)，所以数列为等比数列，且公比q＝1． D中，在数列{an}中，对任意n∈N*，有＝q恒成立，那么{an}是等比数列．] 探究2　等比中项 问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项吗？ [提示]　不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有＝，即x2＝－1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项． [新知生成] 等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．此时，G2＝ab． 【教用·微提醒】　(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列，如G＝a＝b＝0；(2)只有同号的两个实数才有等比中项；(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数，即G＝±． [典例讲评]　2．(1)在等比数列{an}中，a4，a6是方程x2－4x＋1＝0的两根，则a5等于(　　) A．2 B．1 C．－1 D．±1 (2)(多选)若－2，x，y，z，－8是等比数列，则(　　) A．y＝±4 B．y＝－4 C．xz＝16 D．xz＝－16 (1)D　(2)BC　[(1)由题意知a4a6＝1， 所以＝a4a6＝1，所以a5＝±1． (2)因为y是－2，－8的等比中项，所以y2＝16． 又等比数列的奇数项的符号相同，所以y＝－4． 因为y是x，z的等比中项，所以xz＝16．] 　(1)由等比中项的定义可知＝⇒G2＝ab⇒G＝±，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个；异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项． [学以致用]　2．(1)－2和＋2的等差中项与等比中项分别为(　　) A．，±2 B．2，± C．，±1 D．1，± (2)已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实数a的值为________． (1)C　(2)－4　[(1)－2和＋2的等差中项为＝， －2和＋2的等比中项为±＝±1． (2)由题意知(2a＋2)2＝a(3a＋3)， 解得a＝－1或a＝－4． 当a＝－1时，第2，3项均为零， 故a＝－1应舍去．综上，a＝－4．] 探究3　等比数列的通项公式 问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等比数列的定义写出其符号表达式． [提示]　设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 法一：an＝×…××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn-1， 当n＝1时，上式也成立．所以an＝a1qn-1． 法二：a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …， 由此可得an＝a1qn-1(n≥2)， 当n＝1时，上式也成立．所以an＝a1qn-1． 问题4　观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ [提示]　由an＝a1qn-1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． [新知生成] 1．若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn-1(n∈N*)． 2．等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q＞0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． (2)由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下： ①当或时，等比数列{an}为递增数列； ②当或时，等比数列{an}为递减数列． ③当q＝1时，等比数列{an}为常数列． ④当q＜0时，等比数列{an}为摆动数列． 【教用·微提醒】　(1)q＜0或q＝1时，等比数列通项公式不具备指数型函数特点． (2)等比数列的单调性由a1和q共同决定，只有q＞0且q≠1时存在单调性． [典例讲评]　【链接教材P29例1、P30例2】 3．在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； (2)a4＝625，q＝5，求a1； (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n． [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q，因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1qn-1＝2n-1． (2)a1＝＝＝5，故a1＝5． (3)设等比数列{an}的公比为q， 因为 由，得q＝，从而a1＝32． 又an＝1， 所以32×＝1， 即26-n＝20，故n＝6． 【教材原题·P29例1、P30例2】 例1　若等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项． 分析：等比数列{an}由a1，q唯一确定，可利用条件列出关于a1，q的方程(组)，进行求解． 解法1：由a4＝48，a6＝12，得 ②的两边分别除以①的两边，得 q2＝． 解得q＝或－． 把q＝代入①，得 a1＝384． 此时a5＝a1q4＝384×＝24． 把q＝－代入①，得 a1＝－384． 此时a5＝a1q4＝－384×＝－24． 因此，{an}的第5项是24或－24． 解法2：因为a5是a4与a6的等比中项，所以 ＝a4a6＝48×12＝576． 所以a5＝±＝±24． 因此，{an}的第5项是24或－24． 例2　已知等比数列{an}的公比为q，试用{an}的第m项am表示an． [解]　由题意，得 am＝a1qm-1，① an＝a1qn-1．② ②的两边分别除以①的两边，得 ＝qn－m， 所以an＝amqn－m． 　求a1和q的两种方法 (1)通性通法：根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法． (2)整体代换法：充分利用各项之间的关系，直接求出q或qn整体后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算． [学以致用]　3．(源自湘教版教材)已知数列{an}是公比为q的等比数列． (1)若a2＝2，a5＝54，求{an}的通项公式； (2)若a1＝125，q＝0.2，an＝3.2×10-4，求n． [解]　(1)由等比数列的通项公式可知， ②÷①得 q3＝27，即q＝3． 因此，a1＝． 因此，这个数列的通项公式是an＝×3n-1＝2×3n-2． (2)由等比数列的通项公式，得 an＝a1qn-1＝125×＝54-n． 又an＝3.2×10-4＝5-5， 因此，54-n＝5-5，即n＝9． 探究4　等比数列的判定与证明 问题5　若数列{an}中an≠0，则由＝a1a3能判定{an}是等比数列吗？若是＝anan＋2呢？ [提示]　＝a1a3可变为＝，可判断a1，a2，a3成等比数列，但无法确定整个数列是等比数列，而＝anan＋2可变为＝，考虑n的任意性，可以判定数列为等比数列． [新知生成] 判定与证明等比数列的方法 (1)定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q是不为0的常数)； (2)等比中项法：＝an－1·an＋1(n∈N*且n≥2)； (3)通项公式法：an＝a1qn-1＝·qn＝A·qn(A≠0)． 【教用·微提醒】　(1)证明{an}为等比数列常用定义法． (2)定义法也可用＝q(n∈N*)，与＝q(n≥2，n∈N*)作用一致． (3)通项公式法一般只用于选择、填空题． [典例讲评]　【链接教材P32例5】 4．已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是不是等比数列． [思路引导]　利用an与Sn的关系确定通项an，再用定义加以证明． [解]　an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n-1－a＝2n-1(n≥2)． 当n≥2时，＝＝2； 当n＝1时，＝＝． 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列，其首项为1，公比为2；当a≠－1时，数列{an}不是等比数列． [母题探究]　 1．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1(n∈N*)”． (1)证明：数列{an－n}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*． 因为a1－1＝1≠0，所以an－n≠0，所以＝4，所以数列{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列． (2)由(1)，可知an－n＝4n-1， 于是数列{an}的通项公式为an＝4n-1＋n． 2．将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明]　∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1， ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1，∴an＋1＝an． 又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0． 又由an＋1＝an知an≠0，∴＝， ∴{an}是首项为1，公比为的等比数列． 【教材原题·P32例5】 例5　已知数列{an}的首项a1＝3． (1)若{an}为等差数列，公差d＝2，证明数列}为等比数列； (2)若{an}为等比数列，公比q＝，证明数列{log3an}为等差数列． 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明． 证明：(1)由a1＝3，d＝2，得{an}的通项公式为an＝2n＋1． 设bn＝，则＝＝9． 又b1＝33＝27，所以}是以27为首项，9为公比的等比数列． (2)由a1＝3，q＝，得an＝3×＝33-2n． 两边取以3为底的对数，得 log3an＝log333-2n＝3－2n． 所以log3an＋1－log3an＝[3－2(n＋1)]－(3－2n)＝－2． 又log3a1＝log33＝1， 所以，{log3an}是首项为1，公差为－2的等差数列． 【教用·备选题】已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1＝3(n＋1)an，bn＝． (1)求b1，b2，b3； (2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由． [解]　(1)由题意得an＋1＝an， 将n＝1代入，得a2＝6a1，又a1＝2，∴a2＝12， 将n＝2代入，得a3＝a2，∴a3＝54， ∴b1＝＝2，b2＝＝6，b3＝＝18． (2){bn}是首项为2，公比为3的等比数列． 由题意得＝3×，即bn＋1＝3bn，又∵b1＝2，∴{bn}是首项为2，公比为3的等比数列． 　判定一个数列{an}是等比数列的方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(q为常数且不为0)或＝q(n≥2，q为常数且不为0)，则数列{an}是等比数列． (2)等比中项法：对于数列{an}，若＝an·an＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列． (3)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn-1(a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列． [学以致用]　4．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式． [解]　依题意知an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝． 而＝＝＝2，b1＝， ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式为bn＝·2n-1＝2n-3． 1．在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　) A．3　　　 B．4　　　 C．5　　　 D．6 C　[因为an＝a1qn-1，所以＝，即＝，解得n＝5．] 2．(多选)(教材P55复习参考题4T4(1)改编)已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A．6 B．－6 C．－12 D．12 AB　[∵a＝＝，b2＝(－1)×(－16)＝16， ∴b＝±4，∴ab＝±6．] 3．(教材P31练习T1改编)给出下列数列： ①2，2，4，8，16，32，…； ②在数列{an}中，＝2，＝2； ③常数列c，c，c，…，c． 其中一定是等比数列的个数为________． 0　[①不是等比数列，因为≠． ②不一定是等比数列，因为不知道的值． ③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列．] 4．写出一个公比为3，且第3项小于1的等比数列的通项公式an＝________． ×3n-1(答案不唯一)　[设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝×3n-1．] 1．知识链： 2．方法链：方程(组)法、构造法、定义法、整体代换法． 3．警示牌：x，G，y成等比数列⇒G2＝xy，但G2＝xyD/⇒x，G，y成等比数列． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等比数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　①从第2项起，②后项与前项的比，③同一个常数． 2．任何两个实数都有等比中项吗？ [提示]　不是，只有同号的两个实数才有等比中项且它们互为相反数． 3．如何判断一个数列为等比数列？ [提示]　 定义法 ＝q(q为常数且不为零，n∈N*)⇔{an}为等比数列 等比中项法 ＝anan＋2(n∈N*且an≠0)⇔{an}为等比数列 通项公式法 an＝a1qn-1(a1≠0且q≠0)⇔{an}为等比数列 课时分层作业(七)　等比数列的概念及通项公式 一、选择题 1．(多选)下列说法正确的有(　　) A．等比数列中的项不能为0 B．等比数列的公比的取值范围是R C．若一个常数列是等比数列，则公比为1 D．22，42，62，82，…成等比数列 AC　[A显然正确；等比数列的公比不能为0，故B错误；C显然正确； 由于≠，故不是等比数列，D错误．] 2．在等比数列{an}中，已知a1>0，8a2－a5＝0，则数列{an}为(　　) A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定单调性 A　[由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2．又a1>0，所以数列{an}为递增数列．] 3．已知a，b，c∈R，如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么(　　) A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9 C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9 B　[∵b2＝(－1)×(－9)＝9且b与首项－1同号，∴b＝－3，且a，c必同号，∴ac＝b2＝9．] 4．十二平均律是我国明代音乐理论家和数学家朱载堉发明的．明万历十二年(公元1584年)，他写成《律学新说》，提出了十二平均律的理论，这一成果被意大利传教士利玛窦通过丝绸之路带到了西方，对西方音乐产生了深远的影响．十二平均律的数学意义是：在1和2之间插入11个正数，使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，依此规则，新插入的第2个数应为(　　) A． B． C． D． A　[设该等比数列为{an}，公比为q，则q12＝＝2，所以a3＝a1q2＝．故选A．] 5．等比数列{an}的公比为2，则＝(　　) A．1 B． C． D． C　[∵(2a1＋a2)·q2＝2a3＋a4，∴＝＝．] 二、填空题 6．已知数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1，则an＝________． 2n-1　[数列{an}满足an＝2an－1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1， 可得数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 则an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*．] 7．等比数列{an}中，若an＋2＝an，则公比q＝________；若an＝an＋3，则公比q＝________． ±1　1　[∵an＋2＝an，∴anq2＝an，∴q＝±1．∵an＝an＋3，∴an＝anq3，∴q＝1．] 8．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思．今共有粮98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为________． 　[设衰分比例为q， 则甲、乙、丙各分得，28，28q石， ∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或． 又0＜q＜1，∴q＝．] 三、解答题 9．(1)已知{an}为等比数列，且a5＝8，a7＝2，该数列的各项都为正数，求an； (2)若等比数列{an}的首项a1＝，末项an＝，公比q＝，求项数n； (3)若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q． [解]　(1)设等比数列{an}的公比为q， 由题意知q＞0． 由已知得解得 ∵q＞0，∴q＝， ∴an＝128×＝． (2)由an＝a1·qn-1，得＝， 即＝，解得n＝4． (3)∵an＋4＝a1qn+3，a4＝a1q3， 又an＋4＝a4， ∴qn＝1， ∴当n为偶数时，q＝±1； 当n为奇数时，q＝1． 10．设a＞0，b＞0，若是5a与5b的等比中项，则的最小值为(　　) A．8 B．4 C．1 D． B　[因为是5a与5b的等比中项， 则＝5a·5b，所以a＋b＝1， 所以＝(a＋b)＝2＋≥2＋2＝4．当且仅当＝，即a＝b＝时，取等号．] 11．在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于(　　) A．(－2)n-1 B．－(－2)n-1 C．(－2)n D．－(－2)n A　[设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3＝－8，q＝－2， 又a5>a2， 所以a2<0，a5>0， 从而a1>0，即a1＝1， 故an＝(－2)n-1．] 12．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a2，a3，a7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________． 　－1　[∵a2，a3，a7成等比数列＝a2a7， ∴(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋6d)， 即2d＋3a1＝0．① 又∵2a1＋a2＝1，∴3a1＋d＝1．② 由①②解得a1＝，d＝－1．] 13．已知各项都为正数的数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an． (1)证明：数列{an＋an＋1}为等比数列； (2)若a1＝，a2＝，求{an}的通项公式． [解]　(1)证明：因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因为数列{an}中各项均为正数，所以an＋1＋an＞0， 所以＝3， 所以数列{an＋an＋1}是公比为3的等比数列． (2)由(1)知数列{an＋an＋1}是以a1＋a2为首项，3为公比的等比数列，又a1＝，a2＝， 则an＋an＋1＝(a1＋a2)3n-1＝2×3n-1， 因为an＋2＝2an＋1＋3an， 所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)＝(－1)2(an－3an－1)＝…＝(－1)n(a2－3a1)， 又因为a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以an＝×3n-1． 14．已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： (1)这个数列是等比数列； (2)这个数列中的任一项是其后第5项的； (3)数列中任两项之积仍为数列中的项． [证明]　(1)任取数列中的相邻两项 an＝1，an+1＝1， 则＝1，且a1＝1＝1≠0． 由等比数列的定义可知这个数列为等比数列． (2)任取数列中的一项am＝1， 则其后第5项应为am+5＝1． 则＝1＝10-1＝，得证． (3)任取数列中的两项＝1，＝1， 则＝1·1＝1． ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2， ∴n1＋n2－2>0，且n1＋n2－2∈N*， ∴符合已知数列中的项的特点， 即为数列中的项． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $