4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学等差数列前n项和的性质及应用，系统梳理分段和性质（Sm，S2m-Sm等成等差数列）、奇偶项和关系、Sn的函数特征（Sn=An²+Bn）及最值求法，承接前n项和公式，为数列综合应用提供学习支架。 资料以问题链驱动探究，通过推导性质培养逻辑推理，典例讲评用多解法提升数学运算，母题探究深化理解。课中助力教师引导学生主动建构，课后分层作业帮助学生巩固提升，有效查漏补缺。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 [学习目标]　1．理解等差数列前n项和的性质，并学会应用．(数学运算、逻辑推理) 2．能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值．(数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题2．等差数列{an}中，其前n项和Sn，前2n项和S2n与前3n项和S3n有什么样的关系？ 探究1　等差数列前n项和的性质 问题1　等差数列{an}的前n项和为Sn，试探索Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…的关系． [提示]　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…是一个公差为n2d的等差数列． 问题2　在等差数列{an}中，如果项数为2n，那么S偶与S奇之间存在什么样的关系？ [提示]　因为S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n， 所以S偶－S奇＝(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＋…＋(a2n－a2n－1)＝nd． 又由等差数列的性质知a1＋a2n－1＝2an， a2＋a2n＝2an＋1，且S奇＝， S偶＝，所以＝． [新知生成] 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝． [典例讲评]　1．(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)，则等于(　　) A．　 B． C．　 D． (2)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10＝100，S100＝10，求S110． (1)B　[因为数列{bn}是等差数列，所以b3＋b18＝b6＋b15，所以＝， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且＝(n＝1，2，…)， 所以＝＝＝＝＝．] (2)[解]　法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， ∵S10＝100，S100＝10， ∴ 解得 ∴S110＝110a1＋d＝110×＝－110． 法二：∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差数列，设公差为d，∴该数列的前10项和为10×100＋d＝S100＝10， 解得d＝－22， ∴前11项和为 S110＝11×100＋×(－22)＝－110． 法三：由也是等差数列，构造新的等差数列b1＝＝10， b10＝＝， 则d＝(b10－b1)＝＝－， 所以b11＝＝b10＋d＝＝－1，所以S110＝－110． 法四：直接利用性质Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110． 　利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大． (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以做到化繁为简、化难为易、事半功倍． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法． [学以致用]　1．(1)等差数列{an}中，S3＝3，S6＝9，则S12等于(　　) A．12 B．18 C．24 D．30 (2)在项数为2n＋1的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n＝(　　) A．9 B．10 C．11 D．12 (3)已知数列{an}和{bn}都是等差数列，且其前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝________． (1)D　(2)B　(3)　[(1)根据题意得，在等差数列{an}中，S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，…也成等差数列， 又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，则S9－S6＝9，S12－S9＝12， 则S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30． (2)根据等差数列前n项和的性质可得＝＝，解得n＝10． (3)由等差数列{an}的前n项和满足S2n－1＝(2n－1)an，得＝， 故＝＝＝．] 探究2　等差数列前n项和的最值问题 问题3　根据上节课所学，等差数列的前n项和公式有什么样的函数特点？ [提示]　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数．该函数的定义域是N*，公差的符号决定了该二次函数图象的开口方向，通常简记为Sn＝An2＋Bn(A，B∈R且A≠0)． 问题4　已知一个数列{an}的前n项和为Sn＝n2－5n，你能说明数列{an}的单调性吗？该数列前n项和有最值吗？ [提示]　思路一：由Sn＝n2－5n求得an＝2n－6，d＝2＞0，故数列{an}递增，考虑a1＜a2＜0，a3＝0，0＜a4＜a5＜…， 则前n项和Sn在n＝2或3时取最小值． 思路二：Sn＝n2－5n＝－，它的图象是分布在函数y＝x2－5x的图象上的离散的点，图象开始下降后又上升说明了{an}的前几项为负数．由Sn的图象可知，Sn有最小值且当n＝2或3时，Sn取最小值，最小值为－6，即数列{an}的前2项或前3项的和最小． [新知生成] 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过 程　　　　 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【教用·微提醒】　由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． [典例讲评]　【链接教材P23例9】 2．数列{an}的前n项和Sn＝33n－n2． (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前多少项和最大． [思路引导]　(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通项公式．(2)利用等差数列前n项和Sn为关于n的二次函数，可利用二次函数求解最值的方法解决． [解]　(1)法一(公式法)：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝34－2n， 又当n＝1时，a1＝S1＝32，满足an＝34－2n． 故{an}的通项公式为an＝34－2n． 法二(结构特征法)：由Sn＝－n2＋33n知Sn是关于n的常数项为0的二次函数，所以{an}是等差数列，由Sn的结构特征知 解得a1＝32，d＝－2，所以an＝34－2n． (2)法一(公式法)：令即所以16≤n≤17． 又a17＝0，故数列{an}的前16项或前17项的和最大． 法二(函数性质法)：由y＝－x2＋33x的图象的对称轴为x＝， 距离最近的整数为16，17．由Sn＝－n2＋33n的图象(图略)可知，数列{an}的前16项或前17项的和最大． [母题探究]　将例题中的条件“Sn＝33n－n2”变为“在等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求{an}的前多少项和最大？ [解]　法一：∵S9＝S17，a1＝25， ∴9×25＋d＝17×25＋d， 解得d＝－2． ∴Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n ＝－(n－13)2＋169． ∴当n＝13时，Sn有最大值169． ∴数列{an}的前13项和最大． 法二：同法一，求出公差d＝－2． ∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27． ∵a1＝25>0， 由得 又∵n∈N*，∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0． 由等差数列的性质得a13＋a14＝0． ∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0． ∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 法四：设Sn＝An2＋Bn．∵S9＝S17， ∴二次函数图象的对称轴为x＝＝13，且开口方向向下，∴当n＝13时，Sn取得最大值． ∴数列{an}的前13项和最大． 【教材原题·P23例9】 例9　已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由． 分析：由a1＞0和d＜0，可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k，使得当n≥k时，an＜0，Sn递减．这样，就把求Sn的最大值转化为求{an}的所有正数项的和． 另一方面，等差数列的前n项和公式可写成Sn＝n2＋n，所以当d≠0时，Sn可以看成二次函数y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值．如图4.2-4，当d＜0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点．因此，可以利用二次函数求相应的n，Sn的值． 解法1：由an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an，所以{an}是递减数列． 又由an＝10＋(n－1)×(－2)＝－2n＋12，可知： 当n＜6时，an＞0； 当n＝6时，an＝0； 当n＞6时，an＜0． 所以S1＜S2＜…＜S5＝S6＞S7＞…． 也就是说，当n＝5或6时，Sn最大． 因为S5＝×[2×10＋(5－1)×(－2)]＝30，所以Sn的最大值为30． 解法2：因为Sn＝n2＋n ＝－n2＋11n ＝－＋， 所以，当n取与最接近的整数即5或6时，Sn最大，最大值为30． 　等差数列前n项和最值的求法 (1)二次函数法：等差数列前n项和Sn＝An2＋Bn(A≠0)的形式，通过配方法，结合二次函数的图象求最值，但要注意n为正整数． (2)邻项变号法：对于等差数列中a1＞0，d＜0或a1＜0，d＞0的情况，通过研究变号项来求Sn的最大值或最小值． [学以致用]　2．(多选)设数列{an}是以d为公差的等差数列，Sn是其前n项和，a1>0，且S6＝S9，则下列结论正确的是(　　) A．d<0 B．a8＝0 C．S5>S6 D．S7和S8为Sn的最大值 ABD　[根据题意可得6a1＋d＝9a1＋d，即a1＋7d＝a8＝0．因为a1>0，a8＝0，所以d<0，所以数列{an}是递减数列，故A，B正确； 对于C，因为a8＝0，d<0，所以a6>0，所以S5<S6，故C不正确； 对于D，因为a8＝0，所以S7＝S8，又{an}为递减数列，所以S7和S8为Sn的最大值，故D正确．] 探究3　数列{|an|}的前n项和 [典例讲评]　3．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 则 解得a1＝13，d＝－2． 所以{an}的通项公式为an＝13＋(n－1)·(－2)＝15－2n． (2)由(1)得|an|＝ 当n≤7时，Tn＝13n＋×(－2)＝14n－n2， 当n≥8时，Tn＝T7＋1＋3＋5＋…＋(2n－15)＝T7＋1＋3＋5＋…＋[2(n－7)－1]＝14×7－72＋＝98－14n＋n2． 综上，Tn＝ 　1．一般地，数列{an}与数列{|an|}是两个不同的数列，只有当数列{an}的每一项都是非负数时，它们才表示同一个数列． 2．(1)求{|an|}的前n项和，关键在于分清哪些项为正数，哪些项为负数，最终化为去掉绝对值符号后的数列求和； (2)数列{|an|}的前n项和求解的易错点在于没有分类讨论，最后结果未分段表示． [学以致用]　3．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－10，求数列{|an|}的前n项和Tn． [解]　由an＝2n－10≥0，得n≥5， 所以当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an≥0， 所以当n≤4时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝－n2＋9n； 当n≥5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋a4)＋(a5＋…＋an)＝－S4＋(Sn－S4)＝Sn－2S4＝n2－9n＋40， 所以Tn＝ 1．等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则＝(　　) A． B． C． D． D　[∵等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，＝，∴＝＝＝＝．] 2．等差数列{an}的前n项和为Sn，S5＝12，S10＝48，则S15为(　　) A．84 B．108 C．144 D．156 B　[由等差数列的性质知S5，S10－S5，S15－S10也构成等差数列，所以2(S10－S5)＝S5＋S15－S10， 所以2×(48－12)＝12＋S15－48，解得S15＝108．] 3．(教材P24练习T5改编)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，数列{an}的前n项和最大． 8　[∵a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0． ∵a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0． 故前8项的和最大．] 4．已知数列{an}的通项公式为an＝－3n＋16，则数列{|an|}的前40项和为________． 1 890　[由an＝－3n＋16可知{an}前5项为正，第6项开始为负，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a40|＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5－(a6＋a7＋…＋a40)＝＝35＋1 855＝1 890．] 1．知识链： 2．方法链：公式法、构造法、函数法、整体代换法． 3．警示牌：(1)忽视最值问题中n的个数． (2)等差数列前n项和性质应用的前提是等差数列． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列{an}的前n项和Sn有哪几种求最大(小)值的方法？ [提示]　(1)通项法： 若a1＞0，d＜0，则Sn必有最大值， 其中n可用不等式组来确定； 若a1＜0，d＞0，则Sn必有最小值，其中n可用不等式组来确定． (2)二次函数法：在等差数列{an}中，由于Sn＝na1＋d＝n2＋n，则可用求二次函数最值的方法来求前n项和Sn的最值，其中，n值可由n∈N*及二次函数图象的对称性来确定． 2．等差数列奇数项的和与偶数项的和的性质的推理基础是什么？ [提示]　推理基础是等差数列的性质，如在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap． 课时分层作业(六)　等差数列前n项和的性质及应用 一、选择题 1．等差数列{an}中，S15＝90，则a8＝(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 C　[∵S15＝15a8＝90，∴a8＝6．] 2．已知等差数列{an}共有21项，若奇数项的和为110，则偶数项的和为(　　) A．100 B．105 C．90 D．95 A　[由题意得， 故a11＝10，所以偶数项的和为100．故选A．] 3．若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为(　　) A．30 B．70 C．50 D．60 C　[∵等差数列{an}中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列， ∴2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m， ∴2(S2m－20)＝20＋90－S2m，∴S2m＝50．] 4．已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若＝，则等于(　　) A．2 B． C．1 D． D　[由题意，可得＝＝＝＝＝＝＝．故选D．] 5．已知数列{an}满足an＝26－2n，则使其前n项和Sn取最大值的n的值为(　　) A．11或12 B．12 C．13 D．12或13 D　[∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列． 又a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋． ∵n∈N*，∴当n＝12或13时，Sn最大．] 二、填空题 6．若数列{an}的前n项和Sn＝lo(n＋1)，则a10＋a11＋a12＋…＋a99＝________． －1　[a10＋a11＋a12＋…＋a99＝S99－S9 ＝lo100－lo10＝(－2)－(－1)＝－1．] 7．在等差数列{an}中，已知公差d＞0，a3＋a5＝－4，a2a6＝－12，则数列{|an|}的前4项和S4＝________． 20　[由 得或(舍去)． 故an＝2n－10，当n≤4时，an＜0， ∴S4＝－＝20．] 8．在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时，Sn取得最大值，则d的取值范围为________． 　[由当且仅当n＝8时，Sn最大， 知a8＞0且a9＜0， 于是解得－1＜d＜－， 故d的取值范围为．] 三、解答题 9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a6＝－5，S4＝－62． (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn． [解]　(1)因为a6＝－5，S4＝－62，设公差为d， 所以a1＋5d＝－5，4a1＋6d＝－62， 解得a1＝－20，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－23(n∈N*)． (2)令an＝3n－23≥0，解得n≥， 当n≤7时，an＜0，当n≥8时，an＞0， 所以当n≤7时，Tn＝－a1－a2－…－an＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－， 当n≥8时，Tn＝－a1－a2－…－a7＋a8＋a9＋…＋an ＝－2(a1＋a2＋…＋a7)＋(a1＋a2＋…＋an)＝＋154， 所以Tn＝(n∈N*)． 10．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目，请给出答案：把100个面包分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为(　　) A． B． C． D． A　[设分的面包，从小到大依次为a1，a2，a3，a4，a5，依题意得(a3＋a4＋a5)＝a1＋a2， 故3a1＋9d＝7(2a1＋d)，2d＝11a1，由S5＝5a3＝5(a1＋2d)＝100， 得a1＋2d＝12a1＝20，解得a1＝．故选A．] 11．已知等差数列16，14，12，…的前n项和为Sn． (1)当Sn取得最大值时，n＝________； (2)当Sn取得最小正值时，n＝________． (1)8或9　(2)1或16　[记等差数列16，14，12，…为{an}，则{an}的首项a1＝16，公差d＝－2，所以其通项公式为an＝18－2n． (1)Sn＝n×16＋×(－2)＝－n2＋17n＝＋． 由于n∈N*，所以当n＝8或n＝9时，Sn最大，即当Sn取得最大值时，n＝8或n＝9． (2)由(1)知Sn＝－n2＋17n＝n(17－n)， 由n∈N*知，当n＝1或n＝16时，Sn取得最小正值． 故当Sn取得最小正值时，n＝1或n＝16．] 12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a4＝－2，S10＝25． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求Sn的最小值及取得最小值时n的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由a4＝－2，S10＝25，得a1＋3d＝－2，10a1＋d＝25，解得a1＝－11，d＝3， 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－14． (2)法一：由d＝3知{an}是递增数列， 当n≤4时，an＜0；当n≥5时，an＞0． 所以当n＝4时，Sn最小，最小值为S4＝4a1＋×d＝－26． 法二：Sn＝na1＋d＝n2－n＝－， 又n∈N*，所以当n＝4时，Sn最小，最小值为－26． 13．已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和，a8＝4，________． (1)判断2 025是不是数列{an}中的项，并说明理由； (2)求Sn的最小值． 从①S11＝－22，②S5＝S6中任选一个，补充在上面的问题中并作答． [解]　若选①， (1)设数列{an}的公差为d， 则解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝3n－20． 令3n－20＝2 025，得n＝681∉N*， 所以2 025不是数列{an}中的项． (2)令an＝3n－20＞0，解得n＞， 所以当n≤6时，an＜0． 故当n＝6时，Sn取到最小值，为S6＝6a1＋15d＝－57． 若选②， (1)设数列{an}的公差为d， 则 解得 所以an＝2n－12． 令2n－12＝2 025，解得n＝1 018∉N*， 所以2 025不是数列{an}中的项． (2)令2n－12＞0，得n＞6，所以当n≤6时，an≤0． 故当n＝6或n＝5时，Sn取到最小值，为S5＝S6＝－30． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $