4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦等差数列前n项和公式这一核心知识点，通过古诗《花》的对称字数引入，结合高斯求和故事构建推导支架，系统梳理倒序相加法推导过程，明确五个量（a1,d,n,an,Sn）知三求二的关系，形成从具体情境到抽象公式的学习脉络。 资料特色在于以数学眼光挖掘现实与文化中的数量关系，用倒序相加法培养逻辑推理的数学思维，通过抗洪筑堤坝、天坛石板等实例渗透数学建模。课中问题链引导探究提升教学效率，课后分层作业与知识链总结助力学生查漏补缺，强化数学运算与应用意识。

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1．借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程．(数学运算) 2．掌握等差数列的前n项和公式．(数学运算) 3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个量求另外两个．(数学运算) 4．构建等差数列求和模型，解决实际问题．(数学建模、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等差数列的前n项和公式是什么？ 问题2．如何推导等差数列的前n项和公式？ 问题3．求等差数列的前n项和时，如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式？ 探究1　等差数列的前n项和公式 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》，并回答下面的问题： 花，　　　花． 深浅，　　　芬葩． 凝为雪，　　　错为霞． 莺和蝶到，　　　苑占宫遮． 已迷金谷路，　　　频驻玉人车． 芳草欲陵芳树，　　　东家半落西家． 愿得春风相伴去，　　　一攀一折向天涯． 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ [提示]　诗中文字有对称性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝56，根据对称性，可先取其一半来研究．其数的个数较少，大家很容易求出答案． 问题2　高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50，迅速求出了等差数列前100项的和．如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？ [提示]　不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对．但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设Sn＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n， 又Sn＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1， ∴2Sn＝(1＋n)＋[2＋(n－1)]＋…＋[(n－1)＋2]＋(n＋1)，∴2Sn＝n(n＋1)，∴Sn＝． 问题3　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，如何求其前n项和Sn? [提示]　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． [新知生成] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d [典例讲评]　【链接教材P21例6】 1．已知数列{an}是等差数列． (1)若a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)若a1＝4，S8＝172，求a8和d； (3)若a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d． [解]　(1)由已知得 解得 ∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16， S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85． (2)由已知得S8＝＝＝172， 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5． ∴a8＝39，d＝5． (3)由题意得，Sn＝＝＝－5， 解得n＝15．又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－，∴n＝15，d＝－． 【教材原题·P21例6】 例6　已知数列{an}是等差数列． (1)若a1＝7，a50＝101，求S50； (2)若a1＝2，a2＝，求S10； (3)若a1＝，d＝－，Sn＝－5，求n． 分析：对于(1)，可以直接利用公式Sn＝求和；在(2)中，可以先利用a1和a2的值求出d，再利用公式Sn＝na1＋d求和；(3)已知公式Sn＝na1＋d中的a1，d和Sn，解方程即可求得n． [解]　(1)因为a1＝7，a50＝101，根据公式Sn＝，可得S50＝＝2700． (2)因为a1＝2，a2＝，所以d＝． 根据公式Sn＝na1＋d，可得 S10＝10×2＋＝． (3)把a1＝，d＝－，Sn＝－5代入Sn＝na1＋d，得－5＝n＋． 整理，得n2－7n－60＝0． 解得n＝12，或n＝－5(舍去)． 所以n＝12． 　求等差数列的基本量的方法 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． [学以致用]　【链接教材P21例7】 1．(源自湘教版教材)已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是1 220，求该数列的前n项和． [解]　记该数列为{an}，公差为d． 由等差数列前n项和公式Sn＝na1＋d，得 解这个关于a1与d的方程组，得 因此，该数列的前n项和为 Sn＝4n＋×6＝3n2＋n． 【教材原题·例7】 例7　已知一个等差数列{an}前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前n项和的公式(2)后，可得到两个关于a1与d的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得a1和d． [解]　由题意，知S10＝310，S20＝1220． 把它们代入公式 Sn＝na1＋d， 得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 探究2　利用等差数列前n项和公式判断等差数列 [典例讲评]　2．若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　当n＝1时，S1＝a1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5．经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，故an＝4n－5．数列{an}是等差数列，证明如下：因为an＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，所以数列{an}是等差数列． [母题探究]　(变条件)若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n－1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是不是等差数列．若是，请证明；若不是，请说明理由． [解]　∵Sn＝2n2－3n－1，① ∴当n＝1时，S1＝a1＝2－3－1＝－2； 当n≥2时，Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)－1，② ①－②得an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－1－[2(n－1)2－3(n－1)－1]＝4n－5． 经检验，当n＝1时，a1＝－2不满足上式， 故an＝ ∵a2－a1＝5，a3－a2＝4，即a2－a1≠a3－a2，∴数列{an}不是等差数列． 　由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． [学以致用]　2．(1)数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝________． (2)数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是________． (1)－2　(2)－1　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋n)－[－(n－1)2＋(n－1)]＝－2n＋2， 经检验，n＝1时，a1＝0也适合上式． 故an＝－2n＋2(n∈N*)， ∴d＝－2． (2)∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ， ∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．] 探究3　等差数列前n项和的实际应用 [典例讲评]　【链接教材P23例8】 3．某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ [解]　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25．由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－． 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500，而需要完成的工作量为24×20＝480．∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． 【教材原题·P23例8】 例8　某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起每排都比前一排多2个座位．问第1排应安排多少个座位． 分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，设数列{an}的前n项和为Sn．由题意可知，{an}是等差数列，且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项． [解]　设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列{an}，其前n项和为Sn．根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20＝800． 由S20＝20a1＋×2＝800，可得 a1＝21． 因此，第1排应安排21个座位． 　应用等差数列解决实际问题的一般思路 [学以致用]　【链接教材P25习题4.2 T9】 3．在我国古代，9是数字之极，代表尊贵之意，所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计．例如，北京天坛圜丘的地面由扇环形的石板铺成(如图)，最高一层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板；从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块，共有9圈．请问： (1)第9圈共有多少块石板？ (2)前9圈一共有多少块石板？ [解]　(1)设从第1圈到第9圈的石板数构成数列{an}，由题意可知数列{an}是等差数列，其中首项a1＝9，公差d＝9，项数n＝9． 由等差数列的通项公式，得 a9＝a1＋(9－1)d＝9＋(9－1)×9＝81(块)． 因此，第9圈共有81块石板． (2)由等差数列的前n项和公式，得 S9＝9a1＋d＝9×9＋×9＝405(块)． 因此，前9圈一共有405块石板． 【教材原题·P24习题4.2 T9】 一支车队有15辆车，某天下午依次出发执行运输任务．第一辆车于14时出发，以后每间隔10 min发出一辆车．假设所有的司机都连续开车，并都在18时停下来休息． (1)截止到18时，最后一辆车行驶了多长时间？ (2)如果每辆车行驶的速度都是60 km/h，这个车队当天一共行驶了多少千米？ [解]　(1)设从第1辆车到第15辆车，每辆车行驶的时间构成一个数列{an}，则{an}是一个等差数列，且a1＝4，公差d＝－．于是a15＝．所以最后一辆车行驶了 h． (2)设从第1辆车到第15辆车，每辆车行驶的路程构成一个数列{bn}，则{bn}是一个等差数列，且b1＝240，公差d＝－10．于是{bn}的前15项和为S15＝2 550．所以车队当天一共行驶了2 550 km．　　　　　　　　　　　　　　　 1．(教材P23练习T4改编)在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝(　　) A．12 B．24 C．36 D．48 B　[∵S10＝＝120，∴a1＋a10＝24．] 2．(教材P22练习T1改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 C　[设{an}的公差为d，由 得解得d＝4．] 3．若等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，则该数列的公差为________． 2A　[当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A， 当n＝1时，a1＝A＋B满足上式，所以an＝2An＋B－A， 公差d＝an＋1－an＝2A(n＋1)＋B－A－(2An＋B－A)＝2A．所以d＝2A．] 4．中国古代有这样一道数学题：今有一男子擅长走路，每日增加相同里数，九日走了1 260里，第一日、第四日、第七日所走之和为390里，则该男子第三日走的里数为________． 120　[由题意可知该男子每天走的里数构成一个等差数列，设这个等差数列为{an}，其公差为d，前n项和为Sn．根据题意可知，S9＝1 260，a1＋a4＋a7＝390． 法一：S9＝＝9a5＝1 260，∴a5＝140． ∵a1＋a4＋a7＝3a4＝390，∴a4＝130，∴d＝a5－a4＝10，∴a3＝a4－d＝120． 法二：由题意知 即解得 ∴a3＝a1＋2d＝120．] 1．知识链： 2．方法链：倒序相加法、公式法． 3．警示牌：由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列的前n项和公式有哪几种形式？ [提示]　Sn＝＝na1＋d．另有Sn＝An2＋Bn的形式． 2．常用的数列求和公式有哪些？ [提示]　1＋2＋3＋…＋n＝； 2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)； 1＋3＋5＋7＋…＋2n－1＝n2． 高斯的故事 高斯是德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名． 高斯1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根．幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育．1795－1798年在格丁根大学学习，1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位．从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世． 高斯7岁那年，父亲送他进了耶卡捷林宁国民小学，读书不久，高斯在数学上就显露出了常人难以企及的天赋，最能证明这一点的是高斯10岁那年，教师彪特耐尔布置了一道很繁杂的计算题，要求学生把1到100的所有整数加起来，教师刚叙述完题目，高斯即刻把写着答案的小石板交了上去．彪特耐尔起初并不在意这一举动，心想这个小家伙又在捣乱，但当他发现全班唯一正确的答案来自高斯时，才大吃一惊．而更使人吃惊的是高斯的算法，他发现：第一个数加最后一个数是101，第二个数加倒数第二个数的和也是101……共有50对这样的数，用101乘50得到5 050．这种算法是教师未曾教过的计算等级数的方法，高斯的才华使彪特耐尔十分激动，下课后特地向校长汇报，并声称自己已经没有什么可教高斯的了． 课时分层作业(五)　等差数列的前n项和公式 一、选择题 1．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，S4＝20，则数列{an}的公差d等于(　　) A．2 B．3 C．6 D．7 B　[由题意解得] 2．等差数列{an}中，a1＋a4＝10，a2－a3＝2．则其前n项和Sn＝(　　) A．8＋n－n2 B．9n－n2 C．5n－n2 D． B　[∵a2－a3＝2，∴公差d＝a3－a2＝－2．又a1＋a4＝a1＋(a1＋3d)＝2a1－6＝10， ∴a1＝8，∴Sn＝9n－n2．] 3．在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，若a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根，那么S11的值为(　　) A．88 B．－88 C．110 D．－55 D　[在等差数列{an}中，其前n项和为Sn，a5，a7是方程x2＋10x－16＝0的两个根， ∴a5＋a7＝－10，∴S11＝(a1＋a11)＝(a5＋a7)＝×(－10)＝－55． 故选D．] 4．已知Sn＝An2＋Bn＋C，下列选项中能使{an}为以2作公差的等差数列的是(　　) A．A＝1，B＝2，C＝3 B．A＝1，B＝2，C＝0 C．A＝－1，B＝2，C＝0 D．A＝－1，B＝2，C＝1 B　[C＝0，公差为2A＝2，故A＝1，故选B．] 5．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用．在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”这首歌诀的大意是：“一位老公公有九个儿子，九个儿子从大到小排列，相邻两人的年龄差三岁，并且儿子们的年龄之和为207岁，请问大儿子多少岁，其他几个儿子年龄如何推算．”在这个问题中，记这位公公的第n个儿子的年龄为an，则a3＝(　　) A．17 B．29 C．23 D．35 B　[依题意{an}为等差数列，且d＝－3， S9＝＝9a5＝207，∴a5＝23， ∴a3＝a5－2d＝29．故选B．] 二、填空题 6．若数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，且a3＋a13＝14，则其前15项和为________． 105　[根据题意，因为2an＋1＝an＋an＋2，所以数列{an}为等差数列． 所以S15＝＝＝＝105．] 7．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝________． 5　[因为Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，所以k＝5．] 8．等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5－5S3＝5，则a4＝________． 　[设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由6S5－5S3＝5，得6(a1＋3d)＝2，所以a4＝．] 三、解答题 9．已知{an}是等差数列，其中a2＝22，a6＝10． (1)求{an}的通项公式； (2)求a2＋a4＋a6＋…＋a20的值． [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a6＝a2＋4d，所以10＝22＋4d，所以d＝－3，a1＝a2－d＝25，所以an＝28－3n(n∈N*)． (2)因为{an}是等差数列，所以a2，a4，a6，…，a20是首项为a2＝22，公差为－6的等差数列，共有10项，a2＋a4＋a6＋…＋a20＝10×22＋×(－6)＝－50． 10．(多选)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝0，a4＝6，则(　　) A．Sn＝n2－3n B．Sn＝ C．an＝3n－6 D．an＝2n BC　[设等差数列{an}的公差为d，因为S3＝0，a4＝6，所以解得所以an＝a1＋(n－1)d＝－3＋3(n－1)＝3n－6，Sn＝na1＋d＝－3n＋＝．故选BC．] 11．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝3(n∈N*)，则an＝________，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝________． 3n－2　　[由题意可知，数列{an}是以1为首项，3为公差的等差数列， 所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2． 因此，a4＋a7＋a10＋…＋a3n＋4＝10＋19＋28＋…＋[3×(3n＋4)－2]＝＝．] 12．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为 S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．] 13．若数列{an}是正项数列，且＋…＋＝n2＋3n(n∈N*)，则an＝________，＋…＋＝________． 4(n＋1)2　2n2＋6n　[令n＝1，得＝4，故a1＝16． 当n≥2时，＋…＋ ＝(n－1)2＋3(n－1)． 与已知式相减，得＝n2＋3n－(n－1)2－3(n－1)＝2n＋2， ∴an＝4(n＋1)2． 又∵n＝1时，a1＝16满足上式， ∴an＝4(n＋1)2(n∈N*)， ∴＝4n＋4， ∴＋…＋＝＝2n2＋6n．] 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $