4.2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学中等差数列的性质及应用核心知识点，基于等差数列定义与通项公式，深化任意两项关系、下标和性质及生成新等差数列等内容，通过问题初探、探究生成、典例讲评与分层作业构建学习支架，衔接前后知识脉络。 该资料以问题驱动探究，通过问题链引导学生推导性质，如由具体问题生成aₙ=aₘ+(n-m)d及下标和性质，培养逻辑推理与数学运算能力。结合《周髀算经》问题、出租车计费等实例渗透数学建模，典例与母题变式强化应用，课中辅助教师引导建构，课后分层作业助力学生查漏补缺。

第2课时　等差数列的性质及应用 [学习目标]　1．能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质，理解等差数列与项有关的性质．(逻辑推理) 2．能灵活运用等差数列的性质简化运算，解决简单的数列问题．(逻辑推理、数学运算) 3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应问题．(数学建模、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等差数列的子数列是如何定义的？ 问题2．等差数列的子数列有什么样的性质？ 问题3．等差数列的任意两项间有什么样的数量关系？ 问题4．等差数列的“下标和”性质是什么？ 探究1　等差数列的性质 问题1　如果{an}是等差数列，a3＝5，d＝2，不求首项，你能求数列的通项公式吗？ [提示]　由定义可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，两式相减得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d．所以an＝2n－1． 问题2　已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公式建立两者之间的关系吗？ [提示]　由an＝a1＋(n－1)d，am＝a1＋(m－1)d，两式相减得an－am＝(n－m)d， 即an＝am＋(n－m)d． [新知生成] 等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． 特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． 【教用·微提醒】　(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． [典例讲评]　【链接教材P17例5】 1．(1)已知等差数列{an}，a5＝10，a15＝25，求a25的值． (2)已知等差数列{an}，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝70，求a1＋a9的值． (3)已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，求a19－b19的值． [解]　(1)法一：设等差数列{an}的公差为d， 则解得 故a25＝a1＋24d＝4＋24×＝40． 法二：因为5＋25＝2×15，所以在等差数列{an}中有a5＋a25＝2a15，从而a25＝2a15－a5＝2×25－10＝40． (2)由等差数列的性质，得a3＋a7＝a4＋a6＝2a5＝a1＋a9，所以a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝70，于是a5＝14，故a1＋a9＝2a5＝28． (3)令cn＝an－bn，因为{an}，{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，设其公差为d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，则5＋6d＝17，解得d＝2，故a19－b19＝c19＝5＋18×2＝41． [母题探究]　本例(1)中条件变为“已知等差数列{an}中，a3＋a6＝8”，求5a4＋a7的值． [解]　法一：设等差数列{an}的公差为d，则a3＋a6＝2a1＋7d＝8， 所以5a4＋a7＝6a1＋21d＝3(2a1＋7d)＝24． 法二：在等差数列中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq， ∴a2＋a6＝a3＋a5＝2a4， ∴5a4＋a7＝a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7． 又a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5， ∴5a4＋a7＝3(a3＋a6)＝3×8＝24． 【教材原题·P17例5】 例5　已知数列{an}是等差数列，p，q，s，t∈N*，且p＋q＝s＋t．求证ap＋aq＝as＋at． 分析：只要根据等差数列的定义写出ap，aq，as，at，再利用已知条件即可得证． [证明]　设数列{an}的公差为d，则 ap＝a1＋(p－1)d， aq＝a1＋(q－1)d， as＝a1＋(s－1)d， at＝a1＋(t－1)d． 所以 ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d， as＋at＝2a1＋(s＋t－2)d． 因为p＋q＝s＋t，所以 ap＋aq＝as＋at． 　(1)灵活利用等差数列的性质，可以减少运算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即变为an＝a1＋(n－1)d，可以减少记忆负担． (2)等差数列运算的两种常用思路 ①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量． ②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ar． [学以致用]　1．(1)数列{an}满足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，则log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　) A．－2 B．－ C．2 D． (2)已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，则a3＋a6＋a9＝________． (1)C　(2)27　[(1)由3＋an＝an＋1， 得an＋1－an＝3． 所以{an}是公差为3的等差数列． 又a2＋a4＋a6＝9， 且a2＋a6＝2a4， 所以3a4＝9， 则a4＝3， 所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12， 故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2． (2)法一：由性质可知，数列a1＋a4＋a7，a2＋a5＋a8，a3＋a6＋a9是等差数列， 所以2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)，则a3＋a6＋a9＝2×33－39＝27． 法二：设等差数列{an}的公差为d， 则(a2＋a5＋a8)－(a1＋a4＋a7)＝(a2－a1)＋(a5－a4)＋(a8－a7)＝3d＝－6， 解得d＝－2， 所以a3＋a6＋a9＝a2＋d＋a5＋d＋a8＋d＝27．] 探究2　由等差数列生成新的等差数列 问题3　若{an}为等差数列，则{2an－3}是等差数列吗？ [提示]　设{an}的公差为d，则(2an＋1－3)－(2an－3)＝2(an＋1－an)＝2d， 即{2an－3}是以2a1－3为首项，以2d为公差的等差数列． 问题4　若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，在{an}中每相邻两项之间都插入4个数，若要使之构成一个新的等差数列，你能求出它的公差吗？ [提示]　设新数列为{bn}，公差为d′，则有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，所以d′＝． [新知生成] 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2．从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列，即抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的新的等差数列． 【教用·微提醒】　(1)一般情况下，等差数列{an}，{bn}构成的{anbn}不是等差数列． (2)从等差数列中取项，下标具有等差数列的通项结构时，该数列为等差数列，如{a2n}，{a2n－1}，{a3n－2}，…． [典例讲评]　2．(1)(多选)若{an}是等差数列，则下列数列为等差数列的有(　　) A．{an＋an+1} B．{} C．{an+1－an} D．{2an} (2)【链接教材P16例4】有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为(　　) A．15 B．16 C．17 D．18 (1)ACD　(2)B　[(1)设等差数列{an}的公差为d． 对于A，(an＋an＋1)－(an－1＋an)＝(an－an－1)＋(an＋1－an)＝2d(n≥2)， 所以{an＋an＋1}是以2d为公差的等差数列； 对于＝(an＋1－an)(an＋an＋1)＝d(an＋an＋1)，因为d(an＋an＋1)不一定为常数，所以{}不一定是等差数列； 对于C，因为an＋1－an＝d，所以{an＋1－an}为等差数列； 对于D，因为2an＋1－2an＝2d，所以{2an}为等差数列． (2)易知，第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，故新数列的公差为具有相同首项的两个数列公差的最小公倍数，其公差为12，首项为2， 所以通项公式为an＝12n－10， 所以12n－10≤190，解得n≤， 而n∈N*，所以n的最大值为16，即这个新数列的项数为16．] 【教材原题·P16例4】 例4　已知等差数列{an}的首项a1＝2，公差d＝8，在{an}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}． (1)求数列{bn}的通项公式． (2)b29是不是数列{an}的项？若是，它是{an}的第几项？若不是，说明理由． 分析：(1){an}是一个确定的数列，只要把a1，a2表示为{bn}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{bn}的通项公式；(2)设{an}中的第n项是{bn}中的第cn项，根据条件可以求出n与cn的关系式，由此即可判断b29是不是{an}的项． [解]　(1)设数列{bn}的公差为d′． 由题意可知，b1＝a1，b5＝a2，于是 b5－b1＝a2－a1＝8． 因为b5－b1＝4d′，所以4d′＝8，所以d′＝2． 所以bn＝2＋(n－1)×2＝2n． 所以，数列{bn}的通项公式是 bn＝2n． (2)数列{an}的各项依次是数列{bn}的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{cn}，则cn＝4n－3． 令4n－3＝29，解得 n＝8． 所以，b29是数列{an}的第8项． 　对于任何形式的构造数列，判断是不是等差数列，一般从两个方面进行判断：(1)判断：an－an－1(n≥2)是不是常数；(2)其通项公式是不是关于n的一次函数． [学以致用]　2．已知两个等差数列{an}：5，8，11，…，与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式cn＝________；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是________． 12n－1　25　[由于数列{an}和{bn}都是等差数列，所以{cn}也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1．又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，解得1≤n≤25.25， 又n∈N*，故{cn}的项数为25．] 探究3　等差数列中项的设法 [典例讲评]　3．(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解]　(1)设这三个数依次为a－d，a，a＋d， 则 解得所以这三个数为4，3，2． (2)设这四个数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)， 依题意得2a＝2且(a－3d)(a＋3d)＝－8， 即a＝1，a2－9d2＝－8， 所以d2＝1，所以d＝1或d＝－1． 又四个数成递增等差数列，所以d＞0， 所以d＝1，故所求的四个数为－2，0，2，4． 　等差数列的设项方法和技巧 (1)当已知条件中出现与首项、公差有关的内容时，可直接设首项为a1，公差为d，利用已知条件建立方程(组)求出a1和d，即可确定此等差数列的通项公式． (2)当已知数列有3项时，可设为a－d，a，a＋d，此时公差为d．若有5项、7项……可同理设出． (3)当已知数列有4项时，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，此时公差为2d．若有6项、8项……可同理设出． [学以致用]　3．已知成等差数列的四个数的和为26，第二个数与第三个数的积为40，求这四个数． [解]　设这四个数依次是a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(a，d∈R)． 可得 解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2． 探究4　等差数列的实际应用 [典例讲评]　4．(1)《周髀算经》中有一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为(　　) A．12.5尺 B．10.5尺 C．15.5尺 D．9.5尺 (2)【链接教材P16例3】某市出租车的计价标准为 1.2元/km, 起步价为10元，即最初的4 km(不含 4 km) 计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元． (1)C　(2)23.2　[(1)设此等差数列{an}的公差为d，则a1＋a4＋a7＝3a1＋9d＝37.5，a1＋11d＝4.5，解得d＝－1，a1＝15.5．故选C． (2)根据题意，当该市出租车的行程大于或等于 4 km 时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11.2, 表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．] 【教材原题·P16例3】 例3　某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d万元(d为正常数)．已知这台设备的安全使用年限为10年，第11年期间，它的价值将低于购进价值的5%，设备需在这年年初报废．请确定d的取值范围． 分析：这台设备使用满n年时的价值构成一个数列{an}．由题意可知，使用满10年时，这台设备的价值应不小于(220×5%＝)11万元；而第11年年底，这台设备的价值应小于11万元．可以利用{an}的通项公式列不等式求解． [解]　设使用满n年时，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}．由已知条件，得 an＝an－1－d(n≥2)． 由于d是与n无关的常数，所以数列{an}是一个公差为－d的等差数列．因为购进设备的价值为220万元，所以a1＝220－d，于是 an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd． 根据题意，得 即 解这个不等式组，得 19＜d≤20.9． 所以，d的取值范围为19＜d≤20.9． 　解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点 (1)解答等差数列实际应用问题的基本步骤：①审题，即仔细阅读材料，认真理解题意．②建模，即将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题．③判断，即判断该数列是不是等差数列．④求解，即求出该问题的数学解．⑤还原，即将所求结果还原到实际问题中． (2)解决等差数列实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题． [学以致用]　4．(源自北师大版教材)一个木制梯形架的上、下两底边分别为33 cm，75 cm，把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各对应分点，构成梯形架的各级．试计算梯形架间各级的宽度． [解]　记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}，则由梯形中位线的性质，易知相邻三项均成等差数列，即数列{an}成等差数列．依题意，有 a1＝33 cm，a7＝75 cm． 现要求a2，a3，…，a6，即中间5级的宽度． 依等差数列的定义，有 d＝＝＝7(cm)， 所以a2＝33＋7＝40(cm)，a3＝40＋7＝47(cm)，a4＝47＋7＝54(cm)，a5＝54＋7＝61(cm)，a6＝61＋7＝68(cm)． 因此，梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40 cm，47 cm，54 cm，61 cm，68 cm． 1．在等差数列{an}中，a4＋a6＋a8＋a10＝22，则a1＋a13的值为(　　) A．－11 B．11 C．22 D．33 B　[由等差数列的性质可知，a4＋a10＝a6＋a8＝a1＋a13，又因为a4＋a6＋a8＋a10＝22，所以2(a1＋a13)＝22，即a1＋a13＝11．故选B．] 2．下列命题中，与命题“{an}为等差数列”不等价的是(　　) A．an＋1＝an＋d(d为常数) B．数列{－an}是等差数列 C．数列是等差数列 D．an＋1是an与an＋2的等差中项 C　[对于A，即an＋1－an＝d，故A正确． 对于B，数列{－an}是等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数，故an＋1－an＝－d，－d为常数，故B正确． 对于C，数列是等差数列，则＝d，d为常数，不能推导出{an}为等差数列，故C错误．D正确．] 3．三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为－24，则这三个数为________． －2，2，6或6，2，－2　[设这三个数分别为a－d，a，a＋d． 由题意可得 解得或 故所求三个数为－2，2，6或6，2，－2．] 4．(教材P17练习T1改编)假设某市2024年新建住房450万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米，那么该市在________年新建住房的面积开始大于820万平方米． 2032　[设第n年(2024为第1年)该市新建住房的面积为an万平方米． 由题意，得{an}是等差数列，首项a1＝450，公差d＝50， 所以an＝a1＋(n－1)d＝400＋50n． 令400＋50n>820，解得n>． 由于n∈N*，则n≥9． 所以该市在2032年新建住房的面积开始大于820万平方米．] 1．知识链： 2．方法链：公式法、构造法、解方程组法． 3．警示牌：(1)不注意运用性质而出错或解法烦琐． (2)实际问题中项数的确定． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列通项公式的变形公式是什么？ [提示]　an，am是数列{an}中任意两项，则an＝am＋(n－m)d，此式既是通项公式的变形公式，又可作为等差数列的性质，经常使用． 2．等差数列的项的下标性质有哪些？ [提示]　若n，m，p，q∈N*，且n＋m＝p＋q，则an＋am＝ap＋aq． 特别地，若m＋n＝2k(k，m，n∈N*)，则有an＋am＝2ak． 3．如何选择合适的方法求解等差数列的有关计算问题？ [提示]　在等差数列{an}中，首项a1与公差d是两个最基本的元素．有关等差数列的计算问题，如果条件与结论间无明显联系，则均可以化成关于a1，d的方程组求解；如果条件与结论存在明显的特点，一般运用性质解决较为简捷． 课时分层作业(四)　等差数列的性质及应用 一、选择题 1．在等差数列{an}中，若a3＋a9＝26，则a3＋3a7＝(　　) A．13 B．26 C．39 D．52 D　[因为{an}是等差数列， 所以a3＋a9＝2a6＝26，解得a6＝13， 所以a3＋3a7＝a3＋a7＋2a7＝2(a5＋a7)＝4a6＝52． 故选D．] 2．已知数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π，则tan(a3＋a7)＝(　　) A． B．－ C．－ D． C　[∵数列{an}为等差数列，且a1＋a5＋a9＝4π＝3a5，∴a5＝，则tan (a3＋a7)＝tan 2a5＝tan ＝tan ＝－tan ＝－． 故选C．] 3．已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，则m＝(　　) A．12 B．8 C．6 D．4 B　[由等差数列性质得a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10)＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8， 又d≠0，∴m＝8．] 4．我国明代珠算家程大位的名著《算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米(　　) A．96石 B．78石 C．60石 D．42石 B　[依题意，设甲、乙、丙分得的米质量分别为a1，a2，a3，则a1＋a2＋a3＝3a2＝180，且a1－a3＝－2d＝36，解得a2＝60，d＝－18，所以a1＝a2－d＝60＋18＝78．故选B．] 5．已知数列{an}，{bn}为等差数列，且公差分别为d1＝2，d2＝1，则数列{2an－3bn}的公差为(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 D　[由于{an}，{bn}为等差数列，故数列{2an－3bn}的公差d＝(2an＋1－3bn＋1)－(2an－3bn)＝2(an＋1－an)－3(bn＋1－bn)＝2d1－3d2＝1．] 二、填空题 6．已知数列{an}是等差数列，a9＝20，a20＝9，则这个数列的公差d＝________． －1　[等差数列{an}中，a9＝20，a20＝9，所以公差d＝＝＝－1．] 7．已知等差数列{an}是递增数列，前3项的和为12，前3项的积为48，则它的首项是________． 2　[由题意得a1＋a2＋a3＝3a2＝12，故a2＝4，设公差为d，则(a2－d)·a2·(a2＋d)＝4(4－d)(4＋d)＝48，解得d2＝4．因为d>0，故d＝2，a1＝a2－d＝4－2＝2．] 8．等差数列{an}，{bn}满足对任意n∈N*，都有＝，则＝________． 1　[由等差数列的性质可得 b3＋b9＝b4＋b8＝2b6，a7＋a5＝2a6， 所以＝＝＝＝1．] 三、解答题 9．在等差数列－5，－，－2，－，…的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)28是新数列中的项吗？若是，求出是第几项；若不是，说明理由． [解]　(1)原数列的公差d＝－－(－5)＝，所以新数列的公差d′＝d＝，故新数列的通项公式为an＝－5＋(n－1)＝n－． (2)令＝28，得n＝45，所以28是新数列中的项，是第45项． 10．已知{an}和{bn}是两个等差数列，且(1≤k≤5)是常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3的值为(　　) A．64 B．128 C．256 D．512 B　[由题意可得＝，则b5＝64，故b3＝＝＝128．] 11．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2 024这2 024个数中，能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为________． 135　[因为能被3除余1且被5除余1的数即为能被15除余1的数，故an＝15n－14(n∈N*)，又1≤an≤2 024，解得1≤n≤135，所以此数列的项数为135．] 12．已知数列{an}满足a1＝2，a3＝8，且2an＝an－1＋an＋1(n∈N*，n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)∀m∈N*，将数列{an}中落在区间(3 m，32m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的通项公式． [解]　(1)当n≥2时，an＋1－an＝an－an－1，∴{an}为等差数列，设公差为d． ∵a3－a1＝6＝2d，∴d＝3，∴an＝2＋3(n－1)＝3n－1． (2)由(1)得3m＜3n－1＜32m，∴3m-1＋＜n＜32m-1＋，∴n＝3m-1＋1，3m-1＋2，3m-1＋3，…，32m-1，∴bm＝32m-1－3m-1． 13．有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售．甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售．某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？ [解]　设某单位需购买电视机n台． 在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{an}，an＝780＋(n－1)×(－20)＝－20n＋800， 由an＝－20n＋800≥440，得n≤18， 即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n)元； 购买台数超过18台时，每台售价440元． 到乙商场购买时， 每台售价为800×75%＝600(元)． 比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n)n－600n＝20n(10－n)． 当n＜10时，(800－20n)n＞600n，到乙商场购买花费较少； 当n＝10时，(800－20n)n＝600n，到甲、乙商场购买花费相同； 当10＜n≤18时，(800－20n)n＜600n，到甲商场购买花费较少； 当n＞18时，440n＜600n，到甲商场购买花费较少． 因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机为10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少． 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $