4.2.1 第1课时 等差数列的概念及通项公式-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式核心知识点，从十二生肖纪年等现实实例观察规律引入概念，通过定义辨析、公式推导（归纳法与累加法）及与一次函数关系构建“实例感知-抽象建模-应用拓展”的学习支架。 资料以生活实例培养数学抽象能力，通过问题链探究（如等差中项求解）和典例分析提升数学运算素养，分层作业设计兼顾课中教学互动与课后巩固，助力学生查漏补缺，体现用数学思维解决实际问题的学科特色。

4.2　等差数列 4.2.1　等差数列的概念 第1课时　等差数列的概念及通项公式 [学习目标]　1．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念．(数学抽象) 2．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系．(数学抽象) 3．会求等差数列的通项公式．(数学运算) 4．能利用等差数列的通项公式解决相关问题．(数学运算、数学建模) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．等差数列的概念是什么？ 问题2．等差中项的定义是什么？ 问题3．等差数列的通项公式怎样表示？ 探究1　等差数列的概念 问题1　观察下列现实生活中的数列，回答下面的问题． (1)我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…． (2)某个电影院设置了20排座位，这个电影院从第1排起各排的座位数组成数列：38，40，42，44，46，…． (3)全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码(表示以cm为单位的鞋底的长度)由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5． 以上三个问题中的数蕴含三个数列，你能找到它们的共同规律吗？ [提示]　以(1)为例，2 029－2 017＝12，2 041－2 029＝12，2 053－2 041＝12，2 065－2 053＝12，2 077－2 065＝12，…，后项与前项的差为同一个常数，这个规律也适用于(2)(3)． [新知生成] 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【教用·微提醒】　(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项． (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒． (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d． (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． [典例讲评]　1．(1)下列说法正确的是(　　) A．若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列 B．若an＋1－an＝n(n∈N*)，则{an}是等差数列 C．等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D．等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 (2)判断下列各组数列是不是等差数列．如果是，写出首项a1和公差d． ①1，3，5，7，9，…； ②9，6，3，0，－3，…； ③1，3，4，5，6，…； ④7，7，7，7，7，…； ⑤1，，…． (1)A　[对于A，由a－b＝b－c，可得b－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，故A正确； 对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故B不正确； 对于C，公差d可以等于0，故C不正确； 对于D，d＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，而an－1－an＝－d(n≥2，n∈N*)，但－d不是等差数列的公差，故D不正确．] (2)[解]　①是，a1＝1，d＝2；②是，a1＝9，d＝－3；③不是；④是，a1＝7，d＝0；⑤不是． 　利用定义法判断等差数列：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列． [学以致用]　【链接教材P15练习T1】 1．下列数列： ①0，0，0，0； ②0，1，2，3，4； ③1，5，9，13； ④0，1，2，3，3，5…． 其中一定是等差数列的有________个． 3　[①②③是等差数列，④不是等差数列．] 【教材原题·P15练习T1】 判断下列数列是不是等差数列．如果是，写出它的公差． (1)95，82，69，56，43，30； (2)1，1.1，1.11，1.111，1.111 1，1.111 11； (3)1，－2，3，－4，5，－6； (4)1，． [答案]　(1)是，公差是－13．(2)不是．(3)不是．(4)是，公差是－． 探究2　等差中项 问题2　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ [提示]　由定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2． [新知生成] 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【教用·微提醒】　(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． [典例讲评]　2．(1)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　) A．2　 B．3 C．6　 D．9 (2)已知1，x，y，10构成等差数列，则x，y的值分别为________． (1)B　(2)4，7　[(1)由已知可得⇒m＋n＝6⇒＝3． (2)由已知，得x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y，① y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10，② 由①②可得x＝4，y＝7．] 　等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． [学以致用]　2．lg (2＋)与lg (2－)的等差中项是________． 0　[等差中项为＝＝0．] 探究3　等差数列的通项公式 问题3　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？请结合等差数列的定义写出其符号表达式． [提示]　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an－an－1＝d(n≥2)， 思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，… 归纳可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1． 综上，an＝a1＋(n－1)d． 思路二：a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 当n＝1时，a1＝a1＋(1－1)d＝a1． 综上，an＝a1＋(n－1)d． [新知生成] 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3． [典例讲评]　3．(1)(多选)下列判断正确的是(　　) A．等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列 B．若an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)，则数列{an}是等差数列 C．等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D．若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0 (2)【链接教材P14例1】在等差数列{an}中，求解下列各题： ①已知a1＝2，d＝3，n＝10，求an； ②已知a1＝3，an＝21，d＝2，求n； ③已知an＝3－2n，求a1和d； ④已知前三项是20，17，14，求a20． (1)BCD　[(1)A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；B，C，D均正确．] (2)[解]　①a10＝a1＋(10－1)d＝2＋9×3＝29． ②由an＝a1＋(n－1)d得3＋2(n－1)＝21，解得n＝10． ③由n＝1时，a1＝3－2＝1， an－1＝3－2(n－1)＝5－2n， 得d＝an－an－1＝－2． ④由a1＝20，d＝17－20＝－3， 得an＝20＋(n－1)×(－3)＝－3n＋23， 所以a20＝－3×20＋23＝－37． 【教材原题·P14例1】 例1　(1)已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}的公差和首项； (2)求等差数列8，5，2，…的第20项． 分析：(1)已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由an－an－1＝d即可求出公差d；(2)可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项． [解]　(1)当n≥2时，由{an}的通项公式an＝5－2n，可得 an－1＝5－2(n－1)＝7－2n． 于是 d＝an－an－1＝(5－2n)－(7－2n)＝－2． 把n＝1代入通项公式an＝5－2n，得 a1＝5－2×1＝3． 所以，{an}的公差为－2，首项为3． (2)由已知条件，得 d＝5－8＝－3． 把a1＝8，d＝－3代入an＝a1＋(n－1)d，得 an＝8－3(n－1)＝11－3n． 把n＝20代入上式，得 a20＝11－3×20＝－49． 所以，这个数列的第20项是－49． 　等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． (2)等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数．这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”． [学以致用]　3．(1)【链接教材P15例2】等差数列－3，－7，－11，－15，…的第20项为________． (2)在等差数列{an}中， ①已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d； ②已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an． (1)－79　[该数列为等差数列，首项a1＝－3， 公差d＝(－7)－(－3)＝－4， 则a20＝a1＋19d＝－3＋19×(－4)＝－79．] (2)[解]　①由题意知 解得 ②设等差数列的公差为d， 由题意知解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*． 【教材原题·P15例2】 例2　－401是不是等差数列－5，－9，－13，…的项？如果是，是第几项？ 分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看－401是否能使这个方程有正整数解． [解]　由a1＝－5，d＝－9－(－5)＝－4，得这个数列的通项公式为 an＝－5－4(n－1)＝－4n－1． 令－4n－1＝－401， 解这个关于n的方程，得 n＝100． 所以，－401是这个数列的项，是第100项． 探究4　等差数列的判定与证明 [典例讲评]　4．已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－(n>1)，记bn＝． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式． [思路引导]　先用an＋1表示bn＋1，再验证bn＋1－bn为常数，最后可求出数列{an}的通项公式． [解]　(1)证明：bn＋1－bn＝ ＝＝ ＝＝． 又b1＝＝， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． (2)由(1)知bn＝＋(n－1)×＝． ∵bn＝，∴an＝＋2＝＋2． ∴数列{an}的通项公式为an＝＋2． [母题探究]　本例中若将条件改为“已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝”，求数列{an}的通项公式． [解]　由an＋1＝两边取倒数，可得＝，即＝，所以＝，因此数列是公差为的等差数列． 因为a1＝2，所以＝，即数列是首项为，公差为的等差数列，因此＝(n－1)＝n，故an＝． 　等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． [学以致用]　4．(1)已知数列{an}是等差数列，设bn＝2an＋3，求证：数列{bn}是等差数列； (2)已知a1＝2，若an＋1＝2an＋2n+1，证明为等差数列，并求{an}的通项公式． [证明]　(1)因为数列{an}是等差数列，可设其公差为d，则an＋1－an＝d．由bn＝2an＋3，得 bn＋1－bn＝(2an＋1＋3)－(2an＋3)＝2(an＋1－an)＝2d，一个常数， 所以数列{bn}是等差数列． (2)由于an＋1＝2an＋2n+1， 所以＝＝1， 所以是以1为首项，1为公差的等差数列． 所以＝1＋(n－1)×1＝n． 所以an＝n·2n． 1．(多选)(教材P15练习T1改编)下列数列中，是等差数列的是(　　) A．1，4，7，10 B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C．25，24，23，22 D．10，8，6，4，2 ABD　[A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中，因为24－25≠23－24≠22－23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列．] 2．(教材P15练习T2改编)若2a＋1是a－1与4a－2的等差中项，则实数a的值为(　　) A．－ B． C． D．5 D　[由2a＋1是a－1与4a－2的等差中项， 得2×(2a＋1)＝a－1＋4a－2，解得a＝5．故选D．] 3．(多选)下列命题中，正确的是(　　) A．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B．数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列 C．等差数列的通项公式一定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数) D．数列{2n＋1}(n∈N*)是等差数列 BCD　[对于A，数列6，4，2，0的公差为－2，A错误； 对于B，数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列，所以B正确； 对于C，由等差数列与函数的关系知C正确；选项D显然正确．故选BCD．] 4．在等差数列{an}中，首项为33，若第12项为0，则数列{an}的通项公式为________． an＝36－3n　[若a1＝33，a12＝0，则33＋11d＝0，得d＝－3，所以an＝33＋(n－1)×(－3)＝－3n＋36．] 1．知识链： 2．方法链：方程组法、构造法、定义法． 3．警示牌：(1)在具体应用问题中项数不清． (2)忽略等差数列通项公式与函数关系中d＝0的情况． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 1．等差数列的概念中，应从哪几个方面理解？ [提示]　等差数列的概念是非常严密的，要抓住“从第2项起”“后项与前项的差”“同一个常数”三个关键点进行理解． 2．任何两个数都有等差中项吗？ [提示]　任何两个数都一定有等差中项，有且只有一个，这个等差中项就是它们的算术平均数，即a与b的等差中项为． 3．如何判断数列为等差数列？ [提示]　判断一个数列为等差数列可用以下几种方法：①定义法：an＋1－an＝常数；②等差中项法：an＋an＋2＝2an＋1；③通项法：即an＝dn＋b(d，b为常数)． 课时分层作业(三)　等差数列的概念及通项公式 一、选择题 1．若数列{an}的通项公式是an＝2(n＋1)＋3，则此数列(　　) A．是公差为2的等差数列 B．是公差为3的等差数列 C．是公差为5的等差数列 D．不是等差数列 A　[an＋1－an＝[2(n＋2)＋3]－[2(n＋1)＋3]＝2，故{an}是公差为2的等差数列．] 2．已知{an}是等差数列，且a2＋1是a1和a4的等差中项，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．－2 D．－1 B　[由2(a1＋1＋d)＝a1＋a1＋3d，得公差d＝2．故选B．] 3．在数列{an}中，若＝，a1＝8，则数列{an}的通项公式为(　　) A．an＝2(n＋1)2 B．an＝4(n＋1) C．an＝8n2 D．an＝4n(n＋1) A　[由题意得＝，故数列{}是首项为＝2，公差为的等差数列，所以＝2(n－1)＝n＋，故an＝2(n＋1)2．] 4．用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为(　　) A．199 B．201 C．203 D．205 B　[由题图可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数量为an，则an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，则第100个图形所用火柴棒数量为2×100＋1＝201．] 5．在数列{an}中，a1＝1，a6＝，且数列是等差数列，则a16＝(　　) A．7 B． C．19 D． B　[设等差数列的公差为d，则＝＋5d，解得d＝， 故＝＋15d＝1＋6＝7，即a16＝．故选B．] 二、填空题 6．在△ABC中，B是A和C的等差中项，则cos B＝________． 　[∵B是A和C的等差中项，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，cos B＝．] 7．在－3和6之间插入两个数a，b，使这四个数成等差数列，则公差为________． 3　[设该等差数列为{an}，其首项为a1，公差为d， 由题意知a1＝－3，a4＝6， 即解得d＝3．] 8．已知数列{an}满足a1＝1，若点(n∈N*)在直线x－y＋1＝0上，则an＝________． n2　[由题设可得＋1＝0， 即＝1，又＝1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2．] 三、解答题 9．在等差数列{an}中，解答下列各题： (1)已知a5－a3＝12，a12＝20，求a1和d； (2)已知a1＝9，公差d＝－2，an＝－15，求n； (3)已知a3＝9，a9＝3，求{an}的通项公式． [解]　(1)因为a5－a3＝12，所以公差d＝6． 由a12＝a1＋11d＝20，所以a1＝－46． 故a1＝－46，d＝6． (2)由an＝a1＋(n－1)d，得－15＝9－2(n－1)，解得n＝13． (3)由已知可得 解得 所以an＝a1＋(n－1)d＝11－(n－1)＝－n＋12． 10．首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A． B． C． D． C　[设an＝－24＋(n－1)d，n∈N*， 由解得<d≤3．] 11．设a＞0，b＞0，是a与b的等差中项，则的最小值为(　　) A．3＋2 B．3－2 C．5 D． A　[由是a与b的等差中项，得a＋b＝1，又a＞0，b＞0， 所以＝(a＋b)＝3＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立， 所以的最小值为3＋2．] 12．已知数列{an}的各项均为正数，a1＝2，an＋1－an＝，则an＝________． 2　[由题意，得＝＝4，所以数列}是以4为首项，4为公差的等差数列，所以＝4＋4(n－1)＝4n，则an＝2．] 13．数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)． (1)当a2＝－1时，求实数λ及a3； (2)是否存在实数λ，使数列{an}为等差数列？若存在，求出它的公差；若不存在，请说明理由． [解]　(1)因为a1＝2，a2＝－1，a2＝(λ－3)a1＋2， 所以λ＝． 所以a3＝－a2＋22＝． (2)不存在．理由如下： 因为a1＝2，an＋1＝(λ－3)an＋2n(n∈N*)， 所以a2＝(λ－3)a1＋2＝2λ－4，a3＝(λ－3)a2＋4＝2λ2－10λ＋16． 若数列{an}为等差数列，则a1＋a3＝2a2，即λ2－7λ＋13＝0． 因为Δ＝49－4×13＜0，所以方程无实数解． 所以不存在实数λ，使数列{an}为等差数列． 14．已知数阵中，每行、每列的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22＝________． 　[设第三行的四个数的公差为d3，因为a31＝1，a34＝7，所以a34＝a31＋3d3，解得d3＝2，所以a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等差中项，所以a22＝＝＝．] 15 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $