第01讲 函数（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版新教材）

第01讲 函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图象 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 函数的概念】 【典例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念． 函数的概念：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量． 根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，据此即可确定答案． 【详解】解：A、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不能表示y是x的函数； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不能表示y是x的函数； C、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，能表示y是x的函数； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不能表示y是x的函数； 故选：C． 【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的概念，对于两个变量x、y，若对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，则y是x的函数，据此结合函数图象逐一判断即可． 【详解】解：A、对于x的一个值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B、对于部分x的值，y都有两个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C、对于x的一个值，y都有唯一的值与之对应，故y是x的函数，符合题意； D、对于部分x的值，y都有两个值或三个值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； 故选：C． 【变式2】下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【答案】D 【分析】本题的解题思路是逐一分析每个选项，看是否满足对于自变量的每一个确定的值，函数都有唯一确定的值与之对应； 本题考查了函数的定义，掌握函数的定义是解题的关键． 【详解】解：A、在圆的面积公式中，对于r的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是r的函数，表述正确，不符合题意； B、在匀速运动公式中，对于t的每一个确定的值，s都有唯一确定的值与之对应，所以s是t的函数，表述正确，不符合题意； C、根据光的反射定律，反射角等于入射角，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值（等于）与之对应，所以是的函数，表述正确，不符合题意； D、在表达式中，当时，对于的每一个确定的值，都有两个值，不满足函数定义中“唯一确定”的条件，所以不是的函数，表述不正确，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的定义，根据函数定义逐项判断即可． 【详解】解：ABC：对于式子有意义的任意一个x，有且仅有一个确定的y的值与之对应，符合函数的定义； D：可化为，当时，对x的一个取值，有2个y的值与之对应，不符合函数的定义， 故选：D． 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型2 求自变量的取值范围或函数值】 【典例2】已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：当时，． 故选：C 【变式1】已知，则 ． 【答案】5 【分析】根据二次根式的被开方数非负，确定x的取值范围，进而求出x的值，再代入表达式计算y的值． 【详解】解：由题意得且， 解得． 当时，． 故答案为：5． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了求函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于求解即可，熟练掌握函数是二次根式时的自变量取值范围是解题的关键． 【详解】解：∵函数有意义， ∴自变量的取值范围是， 解得：， 故答案为：． 【变式3】根据如图所示的计算程序，若笑笑输入的的值为4，则输出的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值和算术平方根，解答本题的关键就是弄清楚图中给出的计算程序．先根据x的值为4，选择代入正确的关系式中，再计算即可． 【详解】解：∵输入的x的值为4， 则输出y的值为， 故答案为：． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图象：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图象的起点、拐点、交点 【题型3 函数的三种表示方法】 【典例3】某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的表示方法，“当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用”是解题的关键． 由图表可知，当行李的质量超过20千克时，求出每千克需要支付的费用，即可求出答案． 【详解】解：由图表可知，当行李的质量超过20千克时，每千克需要支付的费用为（元）， 则（元）． 故选：B． 【变式1】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【答案】C 【分析】根据表格中信息逐一判断即可． 【详解】解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为，故A正确，不符合题意； B、时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，不符合题意； C、有表格知：该车每行驶耗油，则，故C错误，符合题意； D、当 时，，故D正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键． 【变式2】小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【答案】(1)22 (2)在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致 (3)18分钟 【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系， （1）根据表格可知从55min开始水温不在发生变化，此时水温约等于室温，即可得出结果； （2）根据表格数据描述特点； （3）结合表格数据分析求解． 【详解】（1）解：由表格可知，从55min开始水温不在发生变化，为22℃， ∴当天的室温大概是22℃； 故答案为：22． （2）解：由表格数据可得在室温下开水随时间的增加温度逐渐降低，最后与室温保持一致； （3）解：结合表格数据可得从15min至25min之间，平均每分钟温度降低1℃， ∴某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等18分钟． 【变式3】测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面一组对应值： 悬挂物体的质量x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度L（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L． (2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ 【答案】(1)L=0.5x+12 ； (2)弹簧的长度是17厘米； (3)所挂物体质量是12千克． 【分析】（1）观察表格即可得规律∶弹簧称所挂重物质量x每增加1千克，弹簧长度L就增加0.5厘米，从而可得出挂质量为x千克与弹簧的长度L之间的关系； （2）将x=10代入解析式，求出L的值，即可求得答案； （3）将L= 18代入求出即可． 【详解】（1）解∶由表格可知，弹簧的长度L的初始值为12厘米，当弹簧称所挂重物质量x每增加1千克，弹簧长度L就增加0.5厘米， ∴L=0.5x+12 ； （2）解：当x=10时，L=0.5x+12=17=0.5×10+12=17（厘米）， 答∶当所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17厘米； （3）解：当L= 18厘米时，则18=0.5x+ 12， 解得∶x=12（千克）， 答∶所挂物体质量是12千克． 【点睛】此题考查了用关系式表示变量间的关系以及求变量的值，解题的关键是根据题意找出因变量随自变量变化的规律． 【题型4 函数解析式】 【典例4】某中学二期要种植一块面积为的长方形草坪，草坪的长为（单位：），草坪的宽（单位：），则与之间的关系可用式子表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列函数解析式．根据矩形的面积即可确定函数解析式． 【详解】解：由题可知，， 即． 故选：D． 【变式1】博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 【变式2】已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数表达式的求法，根据题意列出等式即可解决问题； 【详解】解：由题可知：， ∴， 故选：C． 【变式3】一棵小树苗高15厘米，如果以后每年长高10厘米，则高度（厘米）与生长时间（年）之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 先计算生长时间为x年时小树苗长高的高度，再将长高的高度与初始高度相加，即可得到高度h与生长时间x之间的关系式． 【详解】解：由题意得高度（厘米）与生长时间（年）之间的关系式为：， 故答案为：． 【题型5 从函数的图象获取信息】 【典例5】某市春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了某天连续12个小时风力的变化情况，并画出了风力随时间变化的图象如图所示，则下列说法正确的（   ） A．15时风力最大 B．20时风力最小 C．在8时至12时，风力最大为7级 D．8时至14时，风力不断增大 【答案】B 【分析】本题考查函数的图象，利用数形结合的思想解答．根据函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：由图象可得， 15时风力不是最大，故选项A错误； 20时风力最小，选项B正确； 在8时至12时，风力最大为4级，故选项C错误； 8时至11时，风力不断增大，11至12时，风力在不断减小，在12至14时，风力不断增大，故选项D错误， 故选：B． 【变式1】小舒和妈妈在沙滨路沿江跑步，中途休息了一阵后，用相同速度继续跑，第分钟时运动结束．所走路程用表示，出发时间用表示，与的关系如图所示．下列说法中，正确的是（    ） A．她们一共走了4500米 B．在跑步中她们的速度是150米/分 C．的值为15 D．她们中途休息了2.5分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义即可求出答案． 【详解】解：A、她们一共走了3000米，故本选项不符合题意； B、在跑步中她们的速度是（米/分），故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、她们中途休息了（分钟），说法正确， 故选项符合题意． 故选：D． 【变式2】将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h（）与注水时间t（）的函数图象大致为图中的（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了函数图象．根据用一注水管向空水杯内注水，即可分段求出小水杯内水面的高度h（）与注水时间t（）的函数图象． 【详解】解：一注水管向小圆柱形的水杯内注水，水面在逐渐升高，当小杯中水满时，开始向大圆柱形的水杯内流，这时水位高度不变， 当两个水杯水面高度一致后，再继续注水，水面高度在升高，升高的比变慢． 故选：C． 【变式3】某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力，要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型，结合实际意义画出正确的图象．首先看图可知，随着的增大而增大，再根据游泳池的横断面上宽下窄可知，深水区随着的增大速度大于浅水区，从而得解． 【详解】解：观察图形可知：水的深度（米）与注水时间（分）之间的关系分为两段，每一段随着的增大而增大，故排除A、D选项， 根据游泳池的横断面上宽下窄可知：深水区随着的增大速度大于浅水区，故排除B选项，只有C选项符合题意． 故选：C ． 【题型6 动点问题的函数图象】 【典例6】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题和坐标系．路线为，将每段路线在坐标系中对应清楚即可得出结论． 【详解】解：坐标系中对应点运动到B点， ，故B选项正确，符合题意； ，即， 解得：，故A选项错误，不符合题意； 对应的段， ， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∴所用时间为， ∴，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，涉及了勾股定理，旨在考查学生从图象获取信息的能力．由图象可知当时，，可得；当时，的值最小，可得的值；由图象可知的最大值为4，据此即可求解． 【详解】解：由图②知：当，P和A重合，则， 当时，y最小，最小值为n，此时，， ∴， 当时，P和C重合，则， 过点B作， ∴，， ∴， 故答案为：；． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 【答案】(1)x，y (2)16 (3)的长为8，梯形的面积为26 (4)3或 【分析】（1）依据点P运动的路程为x，的面积为y，即可得到自变量和因变量； （2）直接观察图2，即可解答； （3）根据图象得出的长，以及此时面积，利用三角形面积公式求出的长即可；由函数图象得出的长，利用梯形面积公式求出梯形面积即可； （4）当点P在边上时，直接由三角形的面积公式列方程求解；当点P在边上时，由函数图象求得随变化的规律，进而由面积列出关于x的方程求解便可． 【详解】（1）解：在这个变化过程中，自变量是x，因变量是y； 故答案为：x；y （2）解：由图2得：当时，； 故答案为：16 （3）解：由图象得：当时，点P运动到点C， ∴， ∴，即， ∴， 由图象得：当时，点P运动到点D， ∴， ∴， ∴的长为8，梯形的面积为26； （4）解：当点P在边上时，， 解得：； 当点P在边上时，由图象得：y随x增大而匀速减小，且x每增加1，y则相应减小， 当时，有， 解得：， 综上所述，当的面积为12时，点P运动的路程为3或． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解本题的关键． 一、单选题 1．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件；分式有意义的条件是分母不为，对于函数，要使函数为分式形式，分母不能为零，因此自变量需满足分母． 【详解】解：∵分母 ∴． 故选：A． 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的定义，掌握在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数是关键．根据函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、对每一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，是函数图象，符合题意； B、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； C、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意； D、对每一个x的值，不是有唯一确定的y值与之对应，不是函数图象，不符合题意． 故选：A． 3．某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数的变量，放完水时存水量，代入函数表达式解方程即可． 【详解】解：∵ 放完水时，且， ∴ ， ∴ ， ∴． 故选：B． 4．某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题选择图象，解题的关键是根据用水量是否超过6吨将图象分为两段，再结合已知即可判断出答案． 【详解】解：根据题意，每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元；当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元， 即图象分两段，先平缓，再陡峭， 故选：C． 5．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 【答案】C 【分析】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数的图象是解题的关键．根据函数图象可直接进行求解． 【详解】解：A、从早上6时开始气温逐渐下降，至9时以后才逐渐升高，该选项错误，不符合题意； B、当日温度为的时间点有3个，该选项错误，不符合题意； C、当日气温均在以上，该选项正确，符合题意； D、当日气温在以下的时长约为个小时，该选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（   ） A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查函数图象，关键是利用已知信息和图象所给的数据分析题意，依次解答．由图象可以直接得出前分钟小亮的平均速度，从而得出正确；由图象可知从分到分小亮又返回学校，可以判断错误，正确；求出小亮分钟离家距离，可以判断正确. 【详解】解：由图可知，前分钟的平均速度为：（米/分），故正确； 由图象可知，小亮第分钟又返回学校，故错误； 由图象可知，他在第分钟时离家越来越远故正确； 由图象可知：第41分钟离家距离为，故正确， 故选：． 7．如图是汽车行驶速度（千米时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（    ） （）汽车行驶时间为分钟；（）表示汽车匀速行驶；（）在第分钟时，汽车的速度是千米时 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据函数图象获取信息即可求解，读懂题意，从函数图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：（）∵由横坐标时间可看出汽车的行驶时间， ∴汽车行驶时间为分钟，故（）正确； （）∵由图可知段速度千米时， ∴表示汽车匀速行驶，故（）正确． （）由图可知第分钟时，汽车的速度是千米时，故（）错误； 综上可知：（）（）正确，共个， 故选：． 二、填空题 8．下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 【答案】 【分析】本题主要考查函数的概念，熟练掌握函数的概念是解题的关键；因此此题可根据函数的概念：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：可以把Q看成是h的函数； 故答案为Q，h． 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，熟练掌握基本知识点是解题关键； 根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可 ． 【详解】解：∵函数， ∴， 解得：． 故答案为：． 10．下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度，那么此次抛射过程中，物体达到的最大高度是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了从函数的图象获取信息的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据函数图象的信息，仔细作答，然后即可求解 【详解】解：由函数图象可得，当时，有最大值3， ∴此次抛射过程中，物体达到的最大高度是， 故答案为：3． 11．汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 12．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求函数值，根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系为，将代入求值即可，解题的关键是正确列出函数关系式． 【详解】解：由题意，得， 当时，， 故答案为：． 13．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，等腰三角形的性质，二次根式，根据图象可知，，当点在上，且时，，勾股定理求出的长，三线合一，求出的长，求出三角形的周长，再除以点的移动速度，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，点与点重合， ∴， 当点在上，且时，最小，对应图象上的点，此时， 在中，， ∵，， ∴， ∴的周长为：， ∴； 故答案为：． 三、解答题 14．小明和小亮上山游玩，小明乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小明在小亮出发后50分钟才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系： (1)小亮行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟； (2)求小亮休息后所走的路程段上的步行速度； (3)当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 【答案】(1)3600，20 (2) (3) 【分析】本题考查函数图象的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以直接写出小亮行走的总路程和他中途休息的时间； （2）根据函数图象中的数据，可以计算出小亮在休息后的速度； （3）根据题意和图象中的数据，可以计算出小明从开始与到达缆车终点用的时间，然后即可计算出当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程． 【详解】（1）解：由图象可得， 小亮行走的总路程是，他途中休息了， 故答案为：3600，20； （2）解：由图象可得， 小亮在休息后的速度为：， 即小亮在休息后的速度为； （3）解：小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍， 缆车到山顶的线路长是， 缆车到山顶的时间为：， 当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是：， 答：当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是． 15．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，当 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟； (2)图中点A的坐标为 ； (3)在整个过程中，何时两人相距1500米？ 【答案】(1)，， (2) (3)在整个过程中，第分钟和分钟两人相距1500米 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，有理数的混合运算的应用，采用数形结合与分类讨论的思想是解此题的关键． （1）由图象可得，当分钟时甲乙两人相遇，根据速度路程时间即可得出甲的速度，再求出甲、乙两人的速度和，即可得出乙的速度； （2）先求出乙从图书馆回到学校的时间，再求出此时甲走的路程即可得解； （3）分两种情况，分别列式计算即可得解． 【详解】（1）解：由图象可得，当分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为（米/分钟）， ∵甲、乙两人的速度和为（米/分钟）， 故乙的速度为（米/分钟）； （2）解：乙从图书馆回到学校的时间为（分钟）， （米）， 故点的坐标为； （3）解：当两人在相遇之前相距1500米时，（分钟）， 当两人在相遇之后相距1500米时，（分钟）； ∴在整个过程中，第分钟和分钟两人相距1500米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 函数 知识点1：函数的定义 知识点2：自变量的取值范围和函数值 知识点3：函数图象 定义：在一个变化过程中，我们称数值发生改变的量为变量，数值始终不变的量为常量． 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x和 y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是因变量，y 是x 的函数．如果 当 x=a时，y=b ，那么b叫做当自变量 x的值为a 时的函数值． 【题型1 函数的概念】 【典例1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列关于两个变量的关系，表述不正确的是（   ） A．圆的面积公式中，S是r的函数 B．在匀速运动公式中，s是t的函数 C．光线照到平面镜上，入射角为，反射角为，则是的函数 D．表达式中，y是x的函数 【变式3】下列表达式中，不是的函数的是（    ） A． B． C． D． 初中阶段，在一般的函数关系中自变量的取值范围主要考虑以下四种情况： （1） 函数关系式为整式形式：自变量取值范围为任意实数； （2） 函数关系式为分式形式：分母0 （3） 函数关系式含算术平方根：被开方数0； （4）函数关系式含0指数：底数0； 【题型2 求自变量的取值范围或函数值】 【典例2】已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知，则 ． 【变式2】函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式3】根据如图所示的计算程序，若笑笑输入的的值为4，则输出的值为 ． 对于在某一变化过程中的两个变量，把自变量x与因变量y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出这些点，这些点所组成的图形就是它们的图象（这个图象就叫做平面直角坐标系）。它是我们所表示两个变量之间关系的另一种方法，它的显著特点是非常直观。不足之处是所画的图象是近似的、局部的，通过观察或由图象所确定的因变量的值往往是不准确的。 理解图象：a.认真理解图象的含义，注意选择一个能反映题意的图象；b.从横轴和纵轴的实际意义理解图象上特殊点的含义（坐标），特别是图象的起点、拐点、交点 【题型3 函数的三种表示方法】 【典例3】某航空公司规定，旅客可免费携带一定质量的行李，超出部分需另外收费，下表列出了乘客携带的行李质量x（千克）与其运费y（元）之间的一些数据： x（千克） 20 23 26 29 32 y（元） 0 90 180 270 360 若旅客携带了36千克的行李，他应该支付的运费为（    ） A．450元 B．480元 C．510元 D．600元 【变式1】李强一家自驾车到离家的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 … 油箱剩余油量 50 42 34 26 18 … 下列说法不正确的是（    ） A．该车的油箱容量为 B．该车每行驶100km耗油8L C．油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为 D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余油 【变式2】小明为了了解水温的变化规律，连续测量并记录一杯开水在室温下的温度变化情况，得到下表： 时间/min 0 5 10 15 25 35 45 55 65 70 温度/℃ 98 71 55 45 35 28 24 22 22 22 根据上表，回答问题： (1)室温大概是________℃； (2)你能描述在室温下开水温度随时间变化的特点吗？ (3)某种奶粉的适宜冲泡温度为42℃，小明想冲泡这种奶粉，水烧开后大约需要等多久？ 【变式3】测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面一组对应值： 悬挂物体的质量x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8 弹簧的长度L（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L． (2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ 【题型4 函数解析式】 【典例4】某中学二期要种植一块面积为的长方形草坪，草坪的长为（单位：），草坪的宽（单位：），则与之间的关系可用式子表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知一个长方形的周长为，相邻两边分别为，，则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式3】一棵小树苗高15厘米，如果以后每年长高10厘米，则高度（厘米）与生长时间（年）之间的关系式为 ． 【题型5 从函数的图象获取信息】 【典例5】某市春天经常刮风，给人们的出行带来很多不便，小明观测了某天连续12个小时风力的变化情况，并画出了风力随时间变化的图象如图所示，则下列说法正确的（   ） A．15时风力最大 B．20时风力最小 C．在8时至12时，风力最大为7级 D．8时至14时，风力不断增大 【变式1】小舒和妈妈在沙滨路沿江跑步，中途休息了一阵后，用相同速度继续跑，第分钟时运动结束．所走路程用表示，出发时间用表示，与的关系如图所示．下列说法中，正确的是（    ） A．她们一共走了4500米 B．在跑步中她们的速度是150米/分 C．的值为15 D．她们中途休息了2.5分钟 【变式2】将一个小圆柱形的空水杯固定在一个大圆柱形的空水杯中，看作一个容器，对准小圆柱形的空水杯匀速注水，如图所示，在注水过程中，则容器的最高水位h（）与注水时间t（）的函数图象大致为图中的（　　） A． B． C． D． 【变式3】某游泳池的横断面如图所示，分深水区和浅水区，如果以固定的流量把游泳池蓄满水，下面的图象能大致表示水的深度（米）和注水时间（分）之间关系的是（   ） A．B． C． D． 【题型6 动点问题的函数图象】 【典例6】如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【变式1】如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒）之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图①，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图②所示，则 ， ． 【变式3】如图1，在直角梯形中，动点P从点B出发，沿匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，y与x之间的关系图象如图2所示． (1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；（用字母表示） (2)当时， ； (3)求的长以及梯形的面积； (4)当的面积为12时，求点P运动的路程． 一、单选题 1．在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．某游泳池在一次换水前存水，换水的时候打开排水孔匀速放水．设放水时间为，游泳池内的存水量为，关于的函数表达式为，放完游泳池内的水所需要的时间为（   ） A． B． C． D． 4．某市规定每户每月用水量不超过6吨，每吨价格为2.5元：当用水量超过6吨时，超过部分每吨价格为3元．下图中能表示每月水费与用水量关系的是（　　） A． B． C． D． 5．如图是北京市某天的气温变化图，根据图象判断，以下说法正确的是（   ） A．从早上6时开始气温逐渐升高，直到15时达到当日最高气温接近 B．当日温度为的时间点有两个 C．当日气温均在以上 D．当日气温在以下的时长为12个小时 6．小亮从学校步行回家，图中的折线反映了小亮离家的距离与时间的函数关系，根据图象提供的信息，给出以下结论：①他在前的平均速度是；②他在时在家中逗留；③他在时离家越来越远；④他在后到家．其中，正确的是（   ） A．①②③④ B．①④ C．①③ D．①③④ 7．如图是汽车行驶速度（千米时）和时间（分）的关系图，下列说法中正确的个数为（    ） （）汽车行驶时间为分钟；（）表示汽车匀速行驶；（）在第分钟时，汽车的速度是千米时 A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 8．下表反映了某一水库储水量（单位：万立方米）与水深（单位：米）的关系，我们可以把 看成是 的函数． 20 25 30 50 1200 3200 53000 250000 9．在函数中，自变量的取值范围是 ． 10．下图是某物体的抛射曲线图，其中s表示物体与抛射点之间的水平距离，h表示物体的高度，那么此次抛射过程中，物体达到的最大高度是 ． 11．汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 12．如图，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加．根据小球速度（单位：）关于时间（单位：）的函数关系，第时小球的速度为 ． 13．如图1，在中，．动点从的顶点出发，以的速度沿匀速运动回到点．图2是点运动过程中，线段的长度（单位：）随时间（单位：）变化的图象，其中点为曲线部分的最低点．则图2中的值为 ． 三、解答题 14．小明和小亮上山游玩，小明乘坐缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小明在小亮出发后50分钟才乘上缆车，缆车的平均速度为180米/分．设小亮出发x分后行走的路程为y米．图中的折线表示小亮在整个行走过程中y随x的变化关系： (1)小亮行走的总路程是 米，他途中休息了 分钟； (2)求小亮休息后所走的路程段上的步行速度； (3)当小明到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是多少？ 15．学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地．两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)根据图象信息，当 分钟时甲乙两人相遇，甲的速度为 米/分钟，乙的速度为 米/分钟； (2)图中点A的坐标为 ； (3)在整个过程中，何时两人相距1500米？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $