2.3有理数的乘除运算(基础篇）2025-2026学年北师大版数学七年级上册

有理数的乘除运算 2.3有理数的乘除运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 页码 传送门 复习 有理数的加法 2 课前复习 有理数的减法 新课探索 有理数的乘法 3 新课探索 有理数的除法 题型练习 倒数 5 题型练习 多个有理数的乘法运算 乘法运算律 乘除混合运算 简便运算 四则混合运算 易错点 13 易错点 总结 14 总结 课前复习 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 新课探索 1、 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 【练习】下列计算结果是负数的是( ) A (-3)×4×(-5) B (-3)×4×0 C (-3)×4×(-5)×(-1) D 3×(-4)×(-5) 答案：C、 分析：A、有2个负因数，积是正数，故本选项错误； B、有0因数，积为0,故本选项错误； C、有3个负因数，积是负数，故本选项正确； D、有2个负因数，积是正数，故本选项错误. 故选：C. 2、 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 【练习】计算：(-3)÷(- )×(-4). 答案：-16. 分析：(-3)÷(- )×(-4)=-3××4=-16. 题型练习 倒数 1．的倒数是（   ） A． B．-3 C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查倒数的定义，根据乘积是1的两个数互为倒数即可解答． 【详解】解：∵， ∴ 的倒数为 ． 故选：A． 2．已知a和b互为倒数，则（   ） A． B． C．10 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的意义，分数除法运算，利用倒数的定义简化表达式，将除法转换为乘法后计算． 【详解】解：∵ a和b互为倒数， ∴， ∴． 故选：B． 多个有理数的乘法运算 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算． （1）根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据“乘以任何数都等于” 计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查有理数的加减运算和乘法运算，正确的计算是解题的关键． （1）根据有理数的加减法计算即可； （2）根据有理数的乘法运算计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 乘法运算律 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)5 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握乘法运算律，是解题的关键． （1）根据有理数四则混合运算法则，进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键．根据乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 乘除混合运算 7．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查有理数的乘除法混合运算： （1）将小数化为分数，将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可； （2）将带分数化为假分数，化除为乘再计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 8．计算：． 【答案】51 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 先把小数写成分数，带分数写成假分数，再由乘法分配律及除法运算计算即可． 【详解】原式 ． 简便运算 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算和利用运算律简便计算，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）先把除法统一成乘法，再按有理数乘法法则计算即可； （2）先把改写成，再按乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）先化简多重符号，再进行加减运算； （2）先化简多重符号，再利用交换律与结合律进行简便运算； （3）利用乘法分配律的逆运算进行简便计算； （4）先化简绝对值，再利用交换律与结合律进行简便运算． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 四则混合运算 11．计算． ①                             ②   ③                 ④ 【答案】①；②；③24；④25 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则，逐一进行计算即可，熟练掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键． 【详解】解：①原式； ②原式； ③原式； ④原式． 12．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据有理数加减法法则进行计算即可； （2）原式先计算有理数乘法和除法，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 易错点 1. 符号处理错误 · 忽视负号的存在，导致结果符号错误。例如： 应为正数 $12$，但误认为是负数。 · 在多个负数相乘时，未能正确判断最终符号。奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 2. 零的特殊性忽略 · 任何数与 0 相乘结果为 0，但有时会误以为 0 乘以某个数仍保留原数值。 · 零作为除数无意义（如 ），却可能未意识到其数学上的非法性。 3. 分数运算中的分母处理不当 · 在涉及分数的乘法中，分子和分母位置混淆。例如： 错写成 。 · 分母不能直接约简或计算错误。例如： 中未能正确化简为 。 4. 倒数概念理解偏差 · 对于除法转化为乘法时，取倒数出错。例如： 转换为 是正确的，但可能会误操作为 。 · 倒数定义不清，比如将 的倒数误记为 的相反数。 5. 混合运算顺序混乱 · 没有遵循“先乘除后加减”的原则，造成整体答案错误。例如： 应优先计算 再加 3，而不是从左到右依次计算。 6. 分配律使用错误 · 在括号展开时，分配律应用不准确。例如： 展开后应为 ，但可能误写为 。 7. 绝对值影响忽视 · 绝对值符号内的负数被忽略。例如： 结果应为 $15$，但可能因误解绝对值而计算错误。 总结 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 有理数的乘除运算 2.3有理数的乘除运算 （30分提至70分用） 目录 模块 内容 知识点 传送门 复习 有理数的加法 课前复习 有理数的减法 新课探索 有理数的乘法 新课探索 有理数的除法 题型练习 倒数 题型练习 多个有理数的乘法运算 乘法运算律 乘除混合运算 简便运算 四则混合运算 易错点 易错点 总结 总结 课前复习 有理数的加法 首先确定和的符号，再把各加数的绝对值相加. ①同号两数相加，取相同的 符号,并把它们的绝对值相加； ②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ③一个数同0相加，仍得这个数 有理数的加法运算律： ①两个有理数相加，交换位置，和不变； 加法交换律：a+b=b+a ②三个有理数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数 相加，和不变。加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 总结技巧： 对于三个以上有理数相加，按下列过程计算比较简便： 1.其中的相反数相加； 2.再将正数、负数分别相加； 3.最后求出异号加数的和。遇到小数、分数时，可把相加得整数的先加起来。 有理数的减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 新课探索 1、 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 【练习】下列计算结果是负数的是( ) A (-3)×4×(-5) B (-3)×4×0 C (-3)×4×(-5)×(-1) D 3×(-4)×(-5) 2、 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 【练习】计算：(-3)÷(- )×(-4). 题型练习 倒数 1．的倒数是（   ） A． B．-3 C．3 D． 2．已知a和b互为倒数，则（   ） A． B． C．10 多个有理数的乘法运算 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2)． 乘法运算律 5．计算： (1)； (2)． 6．计算： 乘除混合运算 7．计算： (1)； (2)． 8．计算：． 简便运算 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1) (2) (3) (4) 四则混合运算 11．计算． ①                             ②   ③                 ④ 易错点 1. 符号处理错误 · 忽视负号的存在，导致结果符号错误。例如： 应为正数 $12$，但误认为是负数。 · 在多个负数相乘时，未能正确判断最终符号。奇数个负号结果为负，偶数个负号结果为正。 2. 零的特殊性忽略 · 任何数与 0 相乘结果为 0，但有时会误以为 0 乘以某个数仍保留原数值。 · 零作为除数无意义（如 ），却可能未意识到其数学上的非法性。 3. 分数运算中的分母处理不当 · 在涉及分数的乘法中，分子和分母位置混淆。例如： 错写成 。 · 分母不能直接约简或计算错误。例如： 中未能正确化简为 。 4. 倒数概念理解偏差 · 对于除法转化为乘法时，取倒数出错。例如： 转换为 是正确的，但可能会误操作为 。 · 倒数定义不清，比如将 的倒数误记为 的相反数。 5. 混合运算顺序混乱 · 没有遵循“先乘除后加减”的原则，造成整体答案错误。例如： 应优先计算 再加 3，而不是从左到右依次计算。 6. 分配律使用错误 · 在括号展开时，分配律应用不准确。例如： 展开后应为 ，但可能误写为 。 7. 绝对值影响忽视 · 绝对值符号内的负数被忽略。例如： 结果应为 $15$，但可能因误解绝对值而计算错误。 总结 有理数的乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0;乘积是1的两个数互为倒数. 同号得正异号负， 一项为零积为零。 有理数的除法 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。 这个法则也可以表示成：a÷b=a x (b≠0) 两数相除，同号得正，异号得负， 并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0 1 学科网（北京）股份有限公司 $