精品解析：天津市第九十五中学2025-2026学年高二上学期第一次学业质量监测（11月月考）数学试题

九十五中学2025-2026 学年度第一学期 第一次学业质量监测 高二年级数学试卷 用时: 120分钟， 满分: 150分 一、单项选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 2. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 6. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 7. 在正方体中，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（ ） A. B. C. D. 9. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，，若四点共面，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 11. 已知向量，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 12. 在棱长为2的正方体.中，点P满足且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分. 13. 已知向量，若则实数______. 14. 已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则________. 15. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 16. 两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 17. 已知空间向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积为______ 18. 已知向量则下列结论正确的是______ ①.向量与向量的夹角为②. ③.向量在向量上的投影向量为④.向量与向量共面 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 20. 已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点. （1）求证:平面· （2）直线与平面所成的角正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 22. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． （1）求异面直线与所成角； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九十五中学2025-2026 学年度第一学期 第一次学业质量监测 高二年级数学试卷 用时: 120分钟， 满分: 150分 一、单项选择题：本题共12 小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列说法正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 在空间中，单位向量唯一 C. 若两个向量不相等，则它们的长度不相等 D. 若空间中的四点不共面，则是空间的一组基底 【答案】D 【解析】 【分析】根据零向量、单位向量、相等向量、共面向量的概念及性质逐项判断即可得结论. 【详解】对于A，零向量有方向，方向是任意的，故A错误； 对于B，在空间中，单位向量模长为1但方向有无数种，故单位向量不唯一，故B错误； 对于C，若两个向量不相等，则它们的方向不同或长度不相等，故C错误； 对于D，若空间中的四点不共面，则向量不共面，故是空间的一组基底，故D正确. 故选：D. 2. 已知、、均为单位向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的定义与运算性质可求得的值. 【详解】因为、、均为单位向量，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以，， 因此，. 故选：C. 3. 如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算即可得解. 【详解】长方体中平面，平面，所以， 则，又， 所以， 故选：C. 4. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】计算得到结合线面位置关系即得解. 【详解】由题得， 所以. 所以或. 故选：D 5. 已知经过点的平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量中点到平面的距离公式求解即可． 【详解】， ，又， 点到平面的距离为， 故选：B 6. 若向量，且与的夹角余弦为，则等于（ ） A. 2 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 7. 在正方体中，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 8. 如图，在正方体中，为棱上一点且，点是棱上的动点，给出下面个结论： ①存在点，使； ②存在点，使； ③的面积不变； ④三棱锥的体积不变． 则正确的结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，只需验算是否成立，对于B，只需验算是否成立，对于C，为定值，故只需判断点运动时到距离是否是定值即可；对于D，由到底面距离不变，面积不变即可判断. 【详解】不妨以为原点，、、分别为、、轴正方向建立直角坐标系， 设，则，，，设， 结论：，，令得，故当与重合时，，正确； 结论：，，令，故当时，，正确； 结论：与不平行，故点运动时到距离不是定值，又为定值，故的面积不是定值．错误． 结论：到底面距离不变，面积不变，而为定值．正确． 故选：C． 9. 在空间四边形中，若分别是的中点，是上的点，且，记，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理将用表示，从而可求出的值，进而可求得答案. 【详解】连接，因为，分别是的中点， 所以 ， 故． 故选：A 10. 已知，，，若四点共面，则（ ） A. B. 6 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算即得. 【详解】向量，，，而四点共面， 则存在有序实数对使得，即， 则，解得，所以. 故选：A 11. 已知向量，则在方向上的投影向量的模为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量模的意义求解即得. 【详解】由，得， ， 所以在方向上的投影向量的模为. 故选：B 12. 在棱长为2的正方体.中，点P满足且，则下列说法错误的是（ ） A. 若，则平面 B. 若，则 C. 若则到平面的距离为 D. 若时，直线与平面所成角为，则 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，然后利用向量平行、向量垂直的坐标表示、以及空间向量夹角的余弦公式、线面角等知识逐项判断计算即可. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示. 则， 所以. 因为，所以，所以. 对于A： 因为，设平面的法向量为， 则满足，则有，令， 则，所以. 因为，， 所以，所以与平面的法向量垂直， 所以与平面平行，所以A正确； 对于B： 因为，， 所以，所以不垂直，所以B错误； 对于C： 因为，设平面的法向量为， 则满足，则有，令， 则，所以. 所以. 所以点到平面的距离为，所以C正确； 对于D： 由C可知，， 所以直线与平面所成角. 因为，所以， 因为，当时，. 当时，，根据基本不等式的性质可得 ，当且仅当时等号成立. 所以，所以， 综上可知，所以D正确. 故选：B. 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共计30分. 13. 已知向量，若则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出结果. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 14. 已知向量，，分别是直线，的方向向量，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得，再利用空间向量共线的充要条件计算即可. 【详解】由得， 即存在唯一实数，使， 即， 所以，解得：，所以， 故答案为： 15. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中，设，则， 则， 故，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 16. 两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点、和点、，使得，且.已知，，，则_____. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由两边同时平方计算可得答案． 【详解】如图，两条异面直线，所成的角为， ，，，，， 或，， ， 则 ， 得或（舍去） 故答案为： 17. 已知空间向量，，则以、为邻边的平行四边形的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量数量积、同角三角函数的平方关系以及三角形的面积公式求得以、为邻边的平行四边形的面积 【详解】因为，，则， 所以，， 因此，以、为邻边的平行四边形的面积为. 故答案为：. 18. 已知向量则下列结论正确的是______ ①.向量与向量的夹角为②. ③.向量在向量上的投影向量为④.向量与向量共面 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据向量夹角的余弦公式、向量垂直的坐标表示、投影向量、向量共面等知识逐一判断即可. 【详解】对于①： ， 所以， 因为向量夹角的范围是，所以的夹角为，所以①错误； 对于②： ，所以， 所以，所以②正确； 对于③： 向量在向量上的投影向量为，所以③正确； 对于④： 若向量与向量共面，则存在实数满足， 则有，解得，所以向量与向量共面，所以④正确； 故答案为：②③④. 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. 如图，在空间四边形中，点为的中点，，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算代入计算，即可得到结果； （2）由空间向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 点为的中点，， ， ． 【小问2详解】 ，由（1）得 ． 20. 已知 （1），求的坐标； （2）求； （3）若与互相垂直，求实数的值. 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由空间向量平行，得出，设，再利用列方程，进而求得； （2）先求得，，再利用公式即可求得的值； （3）利用空间向量垂直充要条件列出关于的方程，解之即可求得的值． 【小问1详解】 由题可知，， 由，得，设， 因为， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 因为、、，，， 所以，， 则. 【小问3详解】 因为，， 又与垂直， 所以， 解得或． 21. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，点分别为的中点. （1）求证:平面· （2）直线与平面所成的角正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：取的中点，连接，则， 因为四棱锥的底面 为正方形，且， 则，故四边形是平行四边形，即得. 又平面，不在平面内，所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作辅助线，通过证明，由线线平行证明线面平行即可； （2）先确定直线与平面所成的角为，然后借助于直角三角形求其正弦值即可； （3）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而根据向量夹角的余弦公式求出余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为平面，则直线与平面所成的角为. 因为为正方形，所以， 在直角三角形中，因为，则， 故. 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【小问3详解】 如图，以D为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设，则，. 所以. 设平面的法向量为， 则，故可取. 因为平面，面，所以， 因为，平面， 所以平面，故为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，则 . 即平面与平面夹角的余弦值为. 22. 图1是边长为的正方形，将沿折起得到直二面角，如图2所示． （1）求异面直线与所成角； （2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）在图1中，连接，交于点，推导出平面，然后以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小； （2）假设在棱上存在点，满足，其中，使得二面角的余弦值为，利用空间向量法可得出关于的等式，即可解得的值，即可得出结论. 【小问1详解】 如图，在图1中，连接，交于点， 因为四边形为边长是的正方形，则， 在图2中，则有，，， 因为是直二面角，所以平面平面， 因为平面平面，，平面，所以有平面， 以点为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图： 由题意，、、、， 所以，， 设异面直线与所成角为， 所以有， 因为，故，即异面直线与所成角为. 【小问2详解】 如图2，假设在棱上存在点，满足，其中， 使得二面角的余弦值为， 则， 又，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 由题意可知，平面的一个法向量为， 所以，化简得：， 解得或（舍去）， 故存在点，只需满足， 即棱上存在点，当时，二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $