27.1图形的相似（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025-2026学年人教版九年级数学下册大单元教学分层优化练

2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.1图形的相似（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 题型1 比例的性质 例1．已知，则 ． 【变式1-1】．已知，则 【变式1-2】．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 【变式1-3】．（1）如果，求； （2）如果，求的值． 题型2比例线段 例2．已知线段，则的值为（   ） A． B． C．25 D． 【变式2-1】．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【变式2-3】．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 题型3成比例线段 例3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（  ） A．1，2，3，4 B．1，1，2，3 C．，，2，3 D．1，，，2 【变式3-1】．若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】．已知线段下面选项正确的是（   ） A．d，b，a，c成比例线段 B．a，d，b，c成比例线段 C．a，c，b，d成比例线段 D．a，d，c，b成比例线段 【变式3-3】．是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 题型4 黄金分割 例4．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式4-1】．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【变式4-3】．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 知识点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 题型5 相似图形 例5．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】．下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（   ） A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形 C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形 【变式5-3】．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 题型6相似多边形的性质 例6．如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【变式6-1】．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【变式6-2】．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 【变式6-3】．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸． （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍； （2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比； （3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示） 题型7成比例线段的判断与计算 例7．如下图所示的八边形由十个单位正方形组成，在下面的部分包含一个单位正方形与一个底边为的三角形．若刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分，求的值． 【变式7-1】．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【变式7-2】．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【变式7-3】．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 题型8相似的实际应用 例8．如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【变式8-1】．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【变式8-2】．框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【变式8-3】．按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 题型9利用相似的定义计算求值 例9．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【变式9-1】．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【变式9-2】．某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【变式9-3】．如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图像分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G．    (1)求反比例函数的表达式． (2)当四边形为正方形时，点F的坐标是多少？ (3)当时，请判断矩形与矩形，这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由． 题型10黄金分割的实际应用 例10．如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 【变式10-1】．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【变式10-2】．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出（图4）． 求证：矩形是黄金矩形．（提示：设的长为2） 【变式10-3】．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 例11．综合与实践 主题 如何在矩形中折出黄金矩形 探究背景 宽与长之比为的矩形叫“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形． 探究过程 小组一： 步骤1：如图（1），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤2：如图（2），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤3：如图（3），先折出折痕，再将矩形沿过点F的直线折叠，使得的对应边落在直线上；展开． 步骤4：如图（4），过点G折出矩形；展开． （1）图（3）中________，________． （2）请写出图（4）中的黄金矩形． _____________________________________________________ 小组二：我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同，接下来的步骤不同． 步骤3：如图（5），先折出折痕，再将纸片沿过点E的直线折叠，使得点A的对应点G落在上，展开． 步骤4：如图（6），将纸片沿过点B的直线折叠，使得的对应边落在上，点G与上的点H对应；展开． 步骤5：如图（7），过点H折出矩形；展开． （3）请写出图（7）中黄金矩形． ________________________________________________ 评价 （4）证明：请任取一个研究过程中得到的图形，并证明其为黄金矩形． 【变式11-1】．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【变式11-2】．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形． （1）若这个矩形的面积等于，求的长度； （2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 【变式11-3】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝CD． ①求此抛物线解析； ②求直线BD的解析式； ③点P在x轴的下方的抛物线上，当2S△PDB＝9+9时，请求出满足条件的点P的坐标． . 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 4．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 5．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 6．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 7．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　） A．2 B． C． D． 8．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若矩形矩形，，，则矩形与矩形的相似比为 ． 10．如果，那么 ． 11．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 12．如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 13．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 15．（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 16．如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 17．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 18．如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 19．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 20．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学下大单元教学分层优化练 27.1图形的相似（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ，或写成． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d ，则ad=bc； （2）若a:b=b:c ，则 =ac（b称为a、c的比例中项）． 题型1 比例的性质 例1．已知，则 ． 【答案】/0.4 【知识点】比例的性质 【分析】本题主要考查比例的性质，根据已知比例关系，将所求代数式变形后代入计算 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 【变式1-1】．已知，则 【答案】 【知识点】分式的求值、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，分式的化简求值，解题的关键掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质，假设，则，然后代数求值即可． 【详解】解：假设，则， ∴ ， 故答案为：． 【变式1-2】．若， (1)求的值； (2)若，求，，的值． 【答案】(1) (2)，， 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查代数式求值以及比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）令，则，，，代入计算即可得； （2）令，则，，，代入计算可求出的值，从而可得，，的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：令， ，，， ； （2）解：令， ，，， ， ， ， ，，． 【变式1-3】．（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1）， ， ， ； （2）， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 题型2比例线段 例2．已知线段，则的值为（   ） A． B． C．25 D． 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段． 先将单位统一，再计算比值． 【详解】解：1. 统一单位：先将转换为毫米：，故． ，单位已统一为毫米． 2. 计算比值： 故选：D． 【变式2-1】．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 【变式2-2】．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【知识点】比例线段 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 【变式2-3】．在一幅地图上，用表示，这幅地图的比例尺为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例线段 【分析】本题考查比例尺，解题的关键是掌握：比例尺图上距离实际距离，根据题意代入数据可直接得出这张地图的比例尺，注意单位要统一． 【详解】解：∵， ∴这幅地图的比例尺为． 故选：D． 题型3成比例线段 例3．下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（  ） A．1，2，3，4 B．1，1，2，3 C．，，2，3 D．1，，，2 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义，对于四条线段a、b、c、d，若，则它们成比例，依次计算各选项的和值，判断是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴1，2，3，4不成比例；故此选项不符合题意； B、∵，，， ∴1，1，2，3不成比例；故此选项不符合题意； C、∵，，， ∴，，2，3成比例；故此选项符合题意； D、∵，，， ∴1，，，2不成比例；故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】．若x是a，b的比例中项，则下列式子中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例中项的定义，根据比例中项的定义可得，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵x是a，b的比例中项， ∴，，， ∵不知道x的符号，被开方数要为非负数， ∴不一定成立， 故选：D． 【变式3-2】．已知线段下面选项正确的是（   ） A．d，b，a，c成比例线段 B．a，d，b，c成比例线段 C．a，c，b，d成比例线段 D．a，d，c，b成比例线段 【答案】C 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了成比例线段的应用，准确计算是解题的关键． 根据成比例线段的定义得到，计算即可． 【详解】解：∵ ∴ 故选：C. 【变式3-3】．是四条线段，下列各组中四条线段成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查比例线段的概念．把四条线段的长度按大小顺序排列，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可． 【详解】解：A．，不成比例，不合题意； B．，成比例， 符合题意； C．，不成比例，不合题意； D．，不成比例，不合题意； 故选B． 知识点2 黄金分割比 1.黄金分割的定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 注意：≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 注意：一条线段的黄金分割点有两个. 题型4 黄金分割 例4．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求出，再由求出，再由勾股定理可得，得，即可得出结论． 【详解】解：解：∵ ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：B. 【变式4-1】．两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．点是的黄金分割点，且，，则，则，即可求解． 【详解】解：由题意知，点是的黄金分割点，且，，则， ， ， 故选：A． 【变式4-2】．如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图， 根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案. 【详解】解：∵， ∴. 根据勾股定理，得. ∵， ∴， ∴. 故选：C. 【变式4-3】．《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，全球票房达到亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知，因为点为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以， 故选：C． 知识点3 相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 注意： 　 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两 个图形是全等； 题型5 相似图形 例5．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 【变式5-1】．下列四个命题：①所有的正方形都相似；②所有的菱形都相似；③所有的矩形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似，其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了相似图形的判定，关键是掌握判定方法. 依据判定方法逐一判断即可. 【详解】①所有的正方形四个角都是直角，四条边都相等。因此，任意两个正方形的对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的正方形都相似，故该命题是真命题； ②所有的菱形四条边都相等，但对应角不一定相等，所以所有的菱形不一定都相似，故该命题是假命题； ③所有的矩形四个角都是直角，但对应边不一定成比例，所以所有的矩形不一定都相似，故该命题是假命题； ④所有的等腰直角三角形对应角都相等，对应边的比也都相等，所以所有的等腰直角三角形都相似，故该命题是真命题； 综上所述：真命题有①和④，共个， 故选：B. 【变式5-2】．下列语句描述的各组图形中，不一定是相似形的是（   ） A．两个半径不等的圆 B．两个边长不等的正方形 C．两个大小不等的正三角形 D．两个长、宽均不相等的矩形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，对应角相等且对应边成比例的图形为相似图形，据此可得答案． 【详解】解：A、两个半径不等的圆一定相似，不符合题意； B、两个边长不等的正方形一定相似，不符合题意； C、两个大小不等的正三角形一定相似，不符合题意； D、两个长、宽均不相等的矩形不一定相似，符合题意； 故选：D． 【变式5-3】．（1）如图①，把左边的图形放大到原来的2倍，在右边的格点图中画出这个图形． （2）如图②，请你在左边的格点图中画出一个图形，然后在右边的格点图中画出一个与它相似的图形． 【答案】（1） （2）（答案不唯一） 【分析】（1）将原图形的每个顶点沿格点方向，使得到对应顶点的距离变为原来的2倍，然后依次连接这些新顶点，即可得到放大2倍后的图形． （2）在左边格点图中画一个直角梯形，然后在右边格点图中画出一个边长比例不同但形状相同的直角梯形，使其与左边图形相似． 【详解】（1）解：如图所示，图①是把左边的图形放大到原来的2倍的图形． （2）解：可画出两个相似梯形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查图形的放大与相似图形的绘制，掌握图形放大时各边按比例扩大，相似图形形状相同、大小可不同是解题的关键． 题型6相似多边形的性质 例6．如图，四边形四边形，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据相似多边形的性质、四边形的内角和定理即可求解． 【详解】解：，，， ， 四边形四边形， ． 【变式6-1】．观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形与七边形相似，如果量得，，你能求出七边形的面积吗？    【答案】能， 【分析】先得出两个相似图形的相似比，再根据相似多边形面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：能．求解过程如下： 七边形与七边形相似，且其相似比等于， 七边形与七边形的面积比为，则， ． 故七边形的面积为． 【点睛】本题主要考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相抵图形面积比等于相似比的平方． 【变式6-2】．设四边形与四边形是相似的图形，且与、与、与是对应点，已知，，求四边形的周长． 【答案】38 【分析】四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形，则根据相似多边形对应边的比相等，就可求得A1B1C1D1的其它边的长，就可求得周长． 【详解】解：∵四边形ABCD与四边形A1B1C1D1是相似的图形， ∴， 又∵AB=12，BC=18，CD=18，AD=9，A1B1=8， ∴， ∴B1C1=12，C1D1=12，D1A1=6， ∴四边形A1B1C1D1的周长=8+12+12+6=38． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，相似多边形对应边之比相等． 【变式6-3】．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸． （1）填空：A1纸面积是A2纸面积的几倍，A2纸周长是A4纸周长的几倍； （2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比； （3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示） 【答案】（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克． 【分析】（1）根据A1纸对裁后可以得到两张A2纸即可得出A1纸面积是A2纸面积2倍；设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是， A4纸的长是， 宽是， A4纸的长周长=2（+）=a+b，由此可得出结论； （2）设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m，求出的值即可； （3）A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半得出A2纸的重量，同理可得出A3纸的重量，找出规律即可得出结论． 【详解】解：（1）∵A1纸对裁后可以得到两张A2纸， ∴A1纸面积是A2纸面积2倍； ∵设A2纸的长为a，宽为b，则A2纸周长=2（a+b），则A3纸的长是b，宽是，A4纸的长是，宽是，A4纸的长周长=2（+）=a+b， ∴A2纸周长是A4纸周长的2倍． 故答案为2，2； （2）∵设A1纸的长和宽分别是m、n，则A2纸的长和宽分别为n，m， ∴=，即=，即该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1； （3）∵A1纸张的重量为a克，A2纸是A1纸面积的一半， ∴A2纸的重量为a， 同理，A3纸的重量是a克， ∴A8纸张的重量是a克． 故答案为（1）2，2；（2）该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比为：1；（3）A8纸张的重量是（）7a克． 【点睛】本题考查相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 题型7成比例线段的判断与计算 例7．如下图所示的八边形由十个单位正方形组成，在下面的部分包含一个单位正方形与一个底边为的三角形．若刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了不规则图形的面积的求解方法，注意将原图形分割求解． 首先设，则，根据题意得到：下面的部分的面积为，解方程即可求得结果． 【详解】解：设，则． 刚好将这个八边形平分成两个面积相等的部分， 下面的部分的面积为， 解得 ， 则， ． 故答案为：． 【变式7-1】．（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 【变式7-2】．综合与实践 某校八年级数学课外活动小组在一次课外活动时进行了以下探究活动： 活动目的 探究比例的性质 知识储备 1．在同一长度单位下，两条线段长度的比叫做这两条线段的比．例如，如果先用同一个长度单位测量得两条线段，的长度分别为m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即或．其中，线段，分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值，那么，即．两条线段的比实际上就是两个数值的比． 2．四条线段a，b，c，d中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．反过来，如果四条线段a，b，c，d成比例，那么一定成立． 猜想性质 该数学课外活动小组经过反复讨论，得出以下五个命题（都是不为0的数）： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果（其中），那么； ④如果，那么． 证明猜想 该数学课外活动小组的甲同学借助小学已有知识经验判断出①，②是真命题并进行了证明，但对于③，④是否是真命题他无法确定． （1）请你帮助甲同学判断③，④分别是真命题还是假命题．若是真命题，请证明；若是假命题，请举出反例． 解决问题 （2）四个数a，b，c，d成比例，其中，，且，求的值； （3）和中，已知，的周长与的周长的差为6，求的周长． 【答案】（1）③④都真命题，③、④证明见解析；（2）；（3）的周长为18 【分析】本题考查了比例线段，比例的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握比例的性质是解题的关键 ． （1）根据比例的性质即可得到结论； （2）由四个数，，，成比例，得到，求得．求得； （3）由，根据比例的性质得到．求得，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）答：③④都真命题． ③证明：， ． ， ． ④证明：， ． ． ． （2）解：四个数a，b，c，d成比例， ． ， ， ． ． （3）解：， ． ． 的周长与的周长的差为6， ． ． ． 即的周长为18． 【变式7-3】．活动·探究 运用数学知识解决实际问题是我们初中生的必修课，同时也是“双减”的目标之一．青岛市某数学跨学科学习小组开展了数学跨学科学习探究，请你帮他们完成探究． 探究一、地理学习（与地理跨学科学习小组共同完成） （1）该等高线地形图的等高距为 米； （2）已知图上，若该图的比例尺是，则实际相距 ； （3）估计王家庄的实际面积可能是 ； A． B． C． D． E． F． G． （4）E点在点A的 偏 方向； 探究二、化学学习（与化学跨学科学习小组共同完成） 有两组没有标签的化学试剂： 第一组 稀 稀 溶液 溶液 第二组 稀 澄清石灰水 溶液 溶液 还有一小瓶紫色石蕊试液； 与化学小组提供的实验信息： 已知紫色石蕊试液遇到酸性溶液变红，遇到碱性溶液变蓝，遇到中性不变色酸碱盐性质表格： 酸性 稀 稀 稀 碱性 澄清石灰水 溶液 溶液 中性 溶液 溶液 请你解决以下问题： （5）数学小组中的调皮鬼郑锋设计了一个小游戏：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，数学小组获胜；如果不变色，那么化学小组获胜．化学小组的叶子姐姐觉得她们小组被坑了．你来帮叶子姐姐用画树状图的方法判断，本游戏是否公平？化学小组有没有被郑锋同学坑？如果被坑了，请你帮叶子姐姐设置一个游戏规则，让她坑郑锋一把（数学小组获胜概率小，化学小组获胜概率大），并再次画树状图证明你设计的规则能帮叶子姐姐坑到郑锋． 【答案】（1）100；（2）140000；（3）G；（4）南，东；（5）不公平；化学小组被坑了；设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明见解析 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，树状图或列表法求解概率，用方位角表示位置等等： （1）根据图示和等高线的定义求解即可； （2）根据比例尺等于图上距离比上实际距离进行求解即可； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，据此根据长方形面积公式求解即可； （4）根据点A和点E的位置结合地图中上北下南，左西右东的方位进行求解即可； （5）画出树状图或列出表格可求出数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为，则数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率，故不公平，化学小组被坑了；在原来规则下，把数学小组和化学小组获胜的条件互换即可． 【详解】解：（1）由等高线的定义和所给图形可知该等高线地形图的等高距为100米， 故答案为：100； （2）， 故答案为：； （3）结合实际情况可知，王家庄的长和宽大约为2000米，1000米，则王家庄的面积大约为， 故选：G； （4）观察图形可知，点E在点A南偏东方向， 故答案为：南；东； （5）设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴数学小组获胜的概率为，化学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率大于化学小组获胜的概率， ∴不公平，化学小组被坑了；、 设置新游戏规则：从中取样检测，如果紫色石蕊试液变红色，化学小组获胜；如果不变色，那么数学小组获胜；证明如下： 设分别用A、B、C表示三种酸性溶液，用D、E、F表示三种碱性溶液，用G、H表示两种中性溶液， 画树状图如下： 由树状图可知，一共有8种等可能性的结果数，其中能使紫色石蕊试液变红色的有3种，变蓝色的有3种，不变色的有2种， ∴化学小组获胜的概率为，数学小组获胜的概率为， ∵， ∴数学小组获胜的概率小于化学小组获胜的概率． 题型8相似的实际应用 例8．如图，一个矩形广场的长为60，宽为40，广场内两条纵向小路宽均为2，如果设两条横向小路宽都为x，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【答案】当米时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了相似多边形性质，一元一次方程的实际应用，根据相似多边形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：小路内外边缘所围成的两个矩形相似， 解得， 答：当时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似． 【变式8-1】．如图，一般书本的纸张是在原纸张多次对开的基础上得到的．矩形沿对开后，再把矩形沿对开，以此类推，如果各种开本的矩形都相似，那么与的比值是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了相似形的性质、矩形的性质、折叠的性质等知识点，掌握根据相似图形面积比是相似比的平方是解题的关键． 根据矩形的面积是矩形面积的2倍，根据相似图形面积比是相似比的平方，进而得出的值即可． 【详解】解：∵矩形的面积是矩形面积的2倍， ∵各种开本的矩形都相似， ∴， ∴． 答：AB与AD的比值是． 【变式8-2】．框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质及比例的性质，与图形有关的一元二次方程的应用；如果两个多边形相似，那么它们对应边的比相等，对应角相等，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【变式8-3】．按照国际标准，打印用的A系列纸为矩形．如图1，将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸；将纸沿长边中点连线对折、裁开，便成纸……并且通过以上操作得到的矩形纸都是相似图形．        图1                               图2        图3 (1)请直接写出A系列纸的长宽比为________； (2)将纸按如图2所示的方式折叠，求证：； (3)在图2的最后一幅图中，记与的交点为点，连接和，得到图3，求证：四边形为菱形． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形与折叠，相似多边形的性质，菱形的判定和勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为，根据对折得到的矩形纸都是相似图形，列出比例式进行求解即可； （2）由（1）可知：，折叠推出四边形为正方形，进而求得，即可得证； （3）易得，得到，折叠得到，，，进而推出，即可得证． 【详解】（1）解：设A系列纸的长为宽为，则对折后形成的矩形的长为，宽为， ∵通过对折得到的矩形纸都是相似图形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （2）证明：设，由（1）可得：， ∵矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴． （3）由题意可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 题型9利用相似的定义计算求值 例9．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【变式9-1】．如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． (1)若，，每个小矩形与矩形相似吗？请说明理由； (2)如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们______；（填“相似”或“不一定相似”） (3)若长，宽，且每个小矩形与矩形相似，求与应满足的关系式． 【答案】(1)不相似；理由见解析 (2)不一定相似 (3) 【分析】本题考查了相似多边形的性质， （1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论； （2）根据相似多边形的定义，即可求解． （3）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式． 【详解】（1）解：不相似．理由如下： ∵原矩形的长，宽， ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例， ∴每个小矩形与原矩形不相似． （2）因为两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比例，则这两个多边形相似， 所以如果两个多边形仅有对应角分别相等，那么它们不一定相似， 故答案为：不一定相似． （3）∵原矩形的长，宽，把一个矩形划分成三个全等的小矩形． ∴划分后小矩形的长为，宽为， 又∵每个小矩形与原矩形相似， ∴ ∴，即． 【变式9-2】．某市准备在一块长为，宽为的矩形荒地上建造一个市民休闲广场，如图为广场设计图，阴影部分为宽度相同的甬道，甬道把广场分成三个矩形的休闲区（其中一边为）． (1)设甬道宽度为，则_______（用含x的代数式表示）； (2)若休闲区的总面积为，求甬道的宽度； (3)能否设计出符合题目要求，且矩形A的形状与原矩形荒地的形状相似的休闲区？若能，求出此时甬道的宽；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)甬道的宽度为 (3)不能满足其要求，见解析 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似多边形的性质； （1）设甬道宽度为，根据图形可得，，即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，即可求解； （3）根据相似多边形的性质，对应边相等列出比例式，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：设甬道宽度为，依题意， ∴； （2）根据题意得，， 解得（不合题意，舍去）． 答：甬道的宽度为． （3）假设能满足要求，则， 解得， 因为不符合实际情况，所以不能满足其要求． 【变式9-3】．如图，矩形的两边，都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数的图像分别相交于点E，F，且．过点E作轴于点H，过点F作于点G．    (1)求反比例函数的表达式． (2)当四边形为正方形时，点F的坐标是多少？ (3)当时，请判断矩形与矩形，这两个矩形能否相似？若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)相似，相似比 【分析】（1）根据矩形的判定与性质求得点，再利用待定系数法求反比例函数解析式即可； （2）设正方形的边长为a，则，从而可得，再把点F代入反比例函数解析式计算即可； （3）当时，假设矩形与矩形相似，则，设，则，从而可得点，利用反比例函数图象上点的坐标特征得，解得（舍去），，即可求得结果． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵轴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵反比例函数的图像经过点E， ∴， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设正方形的边长为a，则， ∴B点坐标为，A点坐标为， ∴F点坐标为， 把代入得，解得，（舍去）， ∴F点坐标为． （3）解：当时，矩形与矩形相似． ∵矩形与矩形能相似， ∴， ，设，则， ∴A点坐标为， ∴F点坐标为， 把代入得，解得（舍去），，， ∴相似比． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质和相似的性质、解一元二次方程，理解图象与坐标的关系，求反比例函数解析式是解题的关键． 题型10黄金分割的实际应用 例10．如图，已知点是线段的黄金分割点，且． (1)若，求的长． (2)若表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积．试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了黄金分割点的概念，熟记黄金分割点分成的两线段和原线段之间的关系是解决问题的关键． （1）设，，根据黄金分割点的概念得到，再列方程求解即可． （2）分别求出，再根据即可得解． 【详解】（1）解：设，， 点是线段的黄金分割点，且， ， ， 解得， ，不符合题意， ， 的长为． （2）解：表示以为边的正方形面积，表示长为、宽为的矩形面积， ， 由（1）知，， ． 【变式10-1】．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 【变式10-2】．宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形协调、匀称、美观，应用广泛．下面我们折叠出一个黄金矩形： 第一步，在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，展平纸片； 第二步，如图2，把这个正方形折成两个相同的矩形，再展平纸片； 第三步，折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处； 第四步，展平纸片，按照所得的点折出（图4）． 求证：矩形是黄金矩形．（提示：设的长为2） 【答案】见解析 【分析】本题考查了黄金分割，折叠的性质，勾股定理，由折叠的性质和勾股定理求出，，再结合黄金矩形的定义判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】证明：设的长为2， 由折叠的性质可知，， ， ， ，即矩形是黄金矩形． 【变式10-3】．综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： （1）贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） （2）杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． （3）作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． （4）如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】（1）484；（2）否；100；200；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算即可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，由题意得，计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动， 则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 例11．综合与实践 主题 如何在矩形中折出黄金矩形 探究背景 宽与长之比为的矩形叫“黄金矩形”，两个兴趣小组开启数学探究之旅，探究如何在宽，长足够长的矩形纸片中折出黄金矩形． 探究过程 小组一： 步骤1：如图（1），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤2：如图（2），将纸片折叠，使得与重合，折痕为；展开． 步骤3：如图（3），先折出折痕，再将矩形沿过点F的直线折叠，使得的对应边落在直线上；展开． 步骤4：如图（4），过点G折出矩形；展开． （1）图（3）中________，________． （2）请写出图（4）中的黄金矩形． _____________________________________________________ 小组二：我们小组的折叠步骤1、步骤2和第一小组相同，接下来的步骤不同． 步骤3：如图（5），先折出折痕，再将纸片沿过点E的直线折叠，使得点A的对应点G落在上，展开． 步骤4：如图（6），将纸片沿过点B的直线折叠，使得的对应边落在上，点G与上的点H对应；展开． 步骤5：如图（7），过点H折出矩形；展开． （3）请写出图（7）中黄金矩形． ________________________________________________ 评价 （4）证明：请任取一个研究过程中得到的图形，并证明其为黄金矩形． 【答案】（1），；（2）四边形，四边形；（3）四边形；（4）见解析 【分析】（1）由图（1）知，四边形是正方形，且边长为2，由图（2）知，，在中由勾股定理即可求得的长，由求得； （2）由，则，得四边形是黄金矩形；同理得四边形也是黄金矩形； （3）由折叠知，，，则四边形是黄金矩形； （4）选取一个证明即可． 【详解】解：（1）由图（1）知，四边形是正方形，且边长为2， 由图（2）知，， 在中，由勾股定理得， 由折叠知，， ∴； 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ∴， ∴四边形是黄金矩形； ∵， ∴， ∴， ∴四边形也是黄金矩形； 故答案为：四边形，四边形；     （3）由折叠知，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， ∴四边形； 故答案：四边形； （4）证明：选取四边形； 理由：由题意可得，， 四边形为正方形， ， 分别为、的中点， ， ， ， ， ； 四边形为黄金矩形（选取四边形、 四边形也行） 【点睛】本题考查了折叠的性质，黄金分割，勾股定理，正方形的判定与性质等知识，正确识图是解题的关键． 【变式11-1】．某中学有一块正方形的空地，边长为40m，学校计划将空地分为五部分，种植不同的花束．白老师利用课后延时时间将设计任务交给小明和小芳两位同学，并给两位同学每人一张边长为的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案． 小明：如图1，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为． 小芳：如图2，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形矩形，且相似比为，中间小正方形的边长为． (1)结合小明设计的方案，解决下列问题： ①求出图中的长； ②求出每个小直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？ (2)求小芳的方案中矩形的面积． 【答案】(1)①② (2) 【分析】（1）①根据小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为，得到正方形的边长为，设，，根据勾股定理即可得到结论；②根据①中的结果求出模型中小直角三角形的面积，再根据模型和实际的比例关系进行求解即可； （2）设矩形的长为，宽为．根据矩形矩形相似，相似比为，得到矩形的长为，宽为，列出方程进行求解即可得到结论． 【详解】（1）①小正方形与大正方形的相似比为，且大正方形边长为， 正方形的边长为， 设，， ，， ， 整理可得， 解得， 负数舍去， ，即： ②由①知：，， ∴小直角三角形的周长是． 每个小三角形的实际周长为． （2）解：设矩形的长为，宽为． 矩形矩形相似，相似比为， 矩形的长为，宽为， 由图可知，，， 解得，， 矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，综合运用以上知识是解题的关键． 【变式11-2】．如图，用长为40cm的细铁丝围成一个矩形． （1）若这个矩形的面积等于，求的长度； （2）这个矩形的面积可能等于吗？若能，求出的长度，若不能，说明理由； （3）若这个矩形为黄金矩形（与之比等于黄金比），求该矩形的面积．（结果保留根号） 【答案】（1）11cm；（2）不能，理由见解析；（3） 【分析】 （1）设，则，根据矩形面积公式得到，再解方程得，，由于，则可得到的长为； （2）与（1）一样得到方程，整理得，计算判别式的值，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是可判断这个矩形的面积可能等于； （3）设，则，根据黄金分割的定义得，解得，再计算出，然后计算矩形的面积． 【详解】 解：（1）设，则， 根据题意得， 整理得，解得，， 当时，；当时，， 而， 所以，即的长为； （2）不能．理由如下： 设，则， 根据题意得， 整理得， 因为△， 所以方程没有实数解， 所以这个矩形的面积不可能等于； （3）设，则， 根据题意得， 解得， 则， 所以矩形的面积． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用和黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点． 【变式11-3】．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C、D，BC＝CD． ①求此抛物线解析； ②求直线BD的解析式； ③点P在x轴的下方的抛物线上，当2S△PDB＝9+9时，请求出满足条件的点P的坐标． 【答案】①y=x2﹣2x﹣3；②y＝（1﹣）x﹣3+3；③点P的坐标为（3﹣，3﹣4） 【分析】（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解； （2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE＝，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）过点P作x轴垂线交BD于Q，设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则Q的坐标为（t，t﹣t﹣3+3），由S△PDB＝S△PDQ+S△PQB求出PQ＝3，从而求得m，即可求出P的坐标． 【详解】解：①∵BO＝3AO＝3， ∴点B（3，0），点A（﹣1，0）， ∴抛物线解析式为：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3； ②如图，过点D作DE⊥AB于E， ∴CO∥DE， ∴， ∵BC＝CD，BO＝3， ∴， ∴OE＝， ∴点D横坐标为﹣， ∴点D坐标为（﹣，2）， 设直线BD的函数解析式为：y＝kx+m， 由题意可得： 解得： ， ∴直线BD的函数解析式为y＝（1﹣）x﹣3+3； ③如图，过点P作x轴垂线交BD于Q， 设P的坐标为（t，t2﹣2t﹣3），则Q的坐标为（t，t﹣t﹣3+3）， ∴PQ＝﹣t2+（3﹣）t+3， ∵S△PDB＝S△PDQ+S△PQB＝PQ•BE＝×（+3）×PQ＝×（9+9）， ∴PQ＝3， ∴3＝﹣t2+（3﹣）t+3， ∴m＝0或3﹣， ∵P在x轴下方抛物线上， ∴m＝3﹣， ∴点P的坐标为（3﹣，3﹣4）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求解析式，平行线分线段比例定理，准确计算出D点的坐标是解题的关键. 一、单选题（每小题3分，共24分） 1．若，则下列比例式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例性质，将各选项进行变形，然后与等式比较即可，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 、∵， ∴，与一致，符合题意； 、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 、∵， ∴，与矛盾，不符合题意； 故选：． 2．若，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查比例的性质，运用设参法，解题关键是准确应用比例性质设参，易错点是设参后计算或比例变形失误，解题思路是通过设，（）代入各选项分析． 【详解】解：∵， ∴设 ，（）． A．，不成立； B．，成立； C．，不成立； D．（当 时），且当 时分式无意义，不成立； 故选：B． 3．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质．由相多三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，即可求解． 【详解】解：因为两个图形相似： 解得：，，； ， 观察四个选项，D选项符合题意； 故选：D． 4．如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 故选：． 5．已知线段，，，作线段，使，则下列作法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：， ， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 6．华为非凡大师是全球首款三折叠屏手机，其折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形，如图所示是展开后的示意图，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握基本性质是解题关键； 设，，然后表示出各边的长度，再利用矩形的相似列出比例式，解比例式即可． 【详解】解：设，，则 ∵折叠， ∴， 折叠前矩形为，其中， 折叠后矩形为，其中， ∵折叠后的矩形与展开后的矩形可视为两个相似的矩形， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． 7．在设计人体雕像时，使雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计一座高度为的雷锋雕像，那么该雕像的下部设计高度约是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键．设下部高为，根据雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比列方程可解得答案． 【详解】解：设下部的高度为，则上部高度是， ∵雕像上部（腰部以上）与下部（腰部以下）的高度比，等于下部与全部的高度比， ∴， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴该雕像的下部设计高度是， 故选：B． 8．如图，在矩形中，，点分别在边上，且，若矩形矩形，且面积比为，则长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查相似图形的性质，熟练掌握及运用其性质是解题的关键．根据相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方，先求出相似比，再结合矩形的边长关系可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 矩形矩形，且面积比为， ， ， ． 故选：B 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．若矩形矩形，，，则矩形与矩形的相似比为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的相似比等于对应边的比值．根据题意，与是对应边，直接计算比值即可． 【详解】解：矩形矩形， 与为对应边， 相似比． 故答案为：． 10．如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．如图，已知点C，D都是线段的黄金分割点，如果，那么的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到，，再由列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，D都是线段的黄金分割点， ∴不妨设点C靠近A，点D靠近B， ∴，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 12．如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 13．黄金分割点是指一条线段被分为两部分，使较长部分与整体线段的比值等于较短部分与较长部分的比值的点．20世纪70年代初，我国著名的数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，．已知为2米，则线段的长为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割，数学常识，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵E为边的黄金分割点，，为2米， ∴米， 故答案为：． 三、解答题(每小题8分，共56分) 14．（1）已知，求的值． （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】分析片段 已知，将变形为，即，求得，将变形为，即可求解. 设，分别计算左边和右边，可以解决问题. 【详解】解：（1）， ． （2）证明：设，则． 将代入等式左右两边，得左边，右边， 左边右边，即． 【点睛】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用参数解决问题. 15．（1）已知，则_____． （2）已知，求的值． 【答案】（1）4；（2）2或 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． （1）先根据比例的性质可得，，，再得出，代入化简即可得； （2）先根据比例的性质可得，再分两种情况：①当时，则；②当时，则，代入即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵， ∴，且， ∴， ①当时，则； ②当时，则， ∴； 综上，的值为2或． 16．如图，四边形四边形． (1)______． (2)求边，的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（）根据相似多边形的对应角相等可得，再根据四边形内角和即可求解； （）根据相似多边形的对应边成比例可得，解比例式即可求解； 此题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ， ， 故答案为：； （2）解：∵四边形四边形， ∴， 解得，． 17．在生活和学习中，经常使用到各种尺寸的打印纸，其中应用尺寸最为广泛的是A号纸．A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张，它后面携带的数字可以理解为纸对折的次数（这里的对折指的是将长边对折，短边重合）．即：纸对折1次所得的纸张就是纸，纸对折1次（也就是纸对折2次）所得的纸张就是纸，纸实际上就是纸第4次对折的纸张大小．如图是一些A号纸的长宽数据： (1)根据以上材料，猜测A号纸的长宽之比可能是：______（填选项）； A．     B． (2)证明（1）中猜想的正确性． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题考查了相似图形的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，整理得，，，进行求解即可； （2）设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为，根据题意列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张， ∴根据以上材料，， 则， ∴猜测A号纸的长宽之比可能是， 故选：A； （2）解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， ∵A号纸是一批大小不一但形状相同的纸张 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得， ∴A号纸的长宽之比是． 18．如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论． 【答案】或，见解析 【分析】本题考查了相似多边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可． 【详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似， 由题意或， 解得或． 当时，， ∵， ∵与都是矩形， ∴矩形与矩形相似． 同理可证当时矩形与矩形相似． 19．九年级1班的小阳看到一张矩形纸片，测得它的长厘米，宽厘米，想在边上找点E，作，交于点F，使矩形矩形（不全等） (1)求的长度： (2)小阳想进一步探究，是否任意一个矩形都可以画出平行线，使分成的两个矩形相似（不全等），如果能够，请直接写出能够实现的原矩形的长与宽的比值k的取值范围，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)4或9 (2) 【分析】（1）根据矩形矩形得到，然后代数求解即可； （2）设，，，根据矩形矩形得到，得到，，然后根据一元二次方程的判别式求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形 ∴厘米，厘米， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得或9， 经检验，或9符合题意， ∴的长度为4或9； （2）解：设，， ∵矩形矩形 ∴ ∴ 整理得， 根据题意得， ∴ ∴（负值舍去） 原矩形的长与宽的比值k的取值范围为． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质，一元二次方程的判别式，解分式方程，根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键． 20．矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶ (1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？ (2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 或，E刚好是边的两个黄金分割点 【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）解：∵矩形矩形， ∴， 又∵， 可设， ∴， 解得：， ∴； （2）解：假设存在矩形与矩形相似； 则必与对应，必与对应， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴， 而， 依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形， 综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似； 且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $