1.3三角函数的计算 自主学习达标测试题 2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册

2025-2026学年北师大版（2012）九年级数学下册《1.3三角函数的计算》 自主学习达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，可能是（    ） A． B． C． D． 2．某同学遇到了这样一道题：，则锐角的度数应是（    ） A． B． C． D． 3．计算：＝（    ） A． B．1 C． D． 4．在中，，，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．在中， ，那么是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 7．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角等于（    ） A． B． C．30° D．60° 8．在中，，若用科学计算器求的度数．并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数，则下列按键顺序正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．已知为锐角，且，则的度数为 ． 10．计算： ． 11．已知为锐角，且，则 ． 12．在中，若，则 度； 13．若角是直角三角形的两个锐角，则的值为 ． 14．如图，在中，，，，现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，连接，当时，的长为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在边上，则的坐标为 ． 16．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，则 ． 三、解答题（满分72分） 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．已知是锐角，且． 求的值． 20．先化简，再求值，其中． 21．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，延长CA至D点，使AD＝AB．求： (1)求∠D及∠DBC； (2)求tanD及tan∠DBC； (3)请用类似的方法，求tan22.5°． 22．在中，，点D是边的中点，过点D作，过点C作，与交于点E，连接交于点G． (1)如图1，当时，，求证：； (2)如图2，当时，点F是上一点（不与C，D重合），连接，且，连接，若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，，当B，F两点之间距离最短时，直接写出的面积． 23．阅读、理解、应用 我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边可以看作是将射线绕点O逆时针旋转后所得到的，P和原点的距离为（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中x，y分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1的三个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关．请根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则　　． (2)已知是钝角，则下列说法正确的是　　（填写序号）． ①；②；③；④． (3)证明：若角α是锐角，则； (4)若，若角α的终边在直线上，试求的值． 参考答案 1．D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴可能是． 故选：D． 2．C 【分析】 本题考查了特殊角三角函数，熟记特殊角三角函数值是解题的关键．根据45度角的正切值为1即可求得锐角的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选：C． 3．B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值相关计算，求出对应角度的三角函数值即可． 【详解】解：∵， ∴ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 4．C 【分析】本题考查三角函数，根据三角函数值求出角的度数即可． 【详解】解： ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 5．D 【分析】此题主要考查了由特殊三角函数值求角度，根据题意画出图形，进而利用特殊角的三角函数值代入求出即可． 【详解】解：如图， ，，， ， ， 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出的大小，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 是等腰三角形 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，已知锐角三角函数求锐角；由题意，可求得的值，根据值即可求得锐角． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴； 故选：C． 8．D 【分析】本题考查了用计算器求角的度数，解直角三角形，根据按键顺序即可求解． 【详解】解：如图所示 ∵，并用“度、分、秒”为单位表示出这个度数， ∴按键顺序为： 故选：D． 9．45度/ 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的知识点，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 由可得，再根据为锐角即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为45度． 10． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，熟记特殊角的三角函数值是解题关键．先代入的值，再根据的正负化简二次根式即可． 【详解】解： ， 故答案为： 11．1 【分析】本题主要考查特殊角三角形函数值，由得，可得． 【详解】解：∴， ∴ ∴， ∴． 故答案为：1． 12．75 【分析】本题考查了算术平方根、绝对值的非负性及特殊角度的三角函数值，熟练掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0和特殊角度的三角函数值是解题的关键． 根据算术平方根，绝对值的非负性求出、的值，进而求得，的度数，根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：75． 13．/ 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的正弦等于它余角的余弦是解题关键，还要熟记特殊角三角函数值．根据一个角的正弦等于它余角的余弦，特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为： 14．1或2或 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，旋转的性质，特殊角度三角函数，根据得到，再以为边构造等边三角形，根据和在等边三角形上找对应的点即可． 【详解】解：如图，取中点，沿翻折，点对应点，取中点，连接，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴由翻折可得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵，取中点，取中点， ∴， ∴， ∵现将线段绕点顺时针旋转 得到线段，， ∴，， ∴点分别与、、重合， 当点与点重合时，， ∴点与点重合时，， ∴点与点重合时，， 故答案为：1或2或． 15． 【分析】过点作轴于点，先根据正切值求出，再根据勾股定理求出，然后根据旋转的性质可得，，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质以及勾股定理可求出、的长，于是得解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵的顶点在轴的正半轴上，，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 由旋转的性质得：，， ∴，则， ∴，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求角的正切值，根据特殊角三角函数值求角的度数，勾股定理，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形等知识点，求出并进而求出是解题的关键． 16． 【分析】本题考查了反比例函数中比例系数的几何意义、相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点、分别作轴的垂线，垂足为点、，通过证明得到，再根据得到，得出，再由反比例函数的性质可知，，列出方程即可求出的值． 【详解】解：如图，过点、分别作轴的垂线，垂足为点、， ， ， ， 轴，轴， ， ， ，即， ， ， ， ， 在中，， ， 点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ，， ， 解得：． 故答案为：． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解； （2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 18．(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 20．解： = =． = = = = =； 当时，原式=． 21．解：(1) ∵AD=AB ∴ ∠D+∠DBA=30°（外角性质） ∴∠D＝15°，∠DBC＝15°+60°=75°； (2)设BC=1 则AB=AD=2,（30°角所对直角边等于斜边一半） ∴AC= （勾股定理） ∴ ,   (3)见下图, Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，延长CA至D点，使AD＝AB． ∴ ∠D+∠DBA=45°（外角性质） ∴∠D＝22.5°， 设BC=1, ∴AC=1,AB=, ∴ 22．（1）证明：∵， ∴， 当时，， ∴点E在边上， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点D是边的中点，即， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中，，， ∴， ∵， ∴， ∴和中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点B作于点H，连接，取中点O，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴，， ∴， ∴当点F在上时，取得最小值， ∴此时， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故取得最小值时，的面积为． 23．（1）解：当时，点P在y轴的正半轴上，即， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：①∵是钝角，则的终边在第二象限， ∴， ∵， ∴，即①正确； ，即②正确； ，即③错误； ，即④错误． 故答案为：①②． （3）解：设锐角终边上一点，，则， ∵的终边与的终边关于y轴对称，取对应点， ∴， ∴． （4）解：∵角α的终边在直线上，且， ∴， ∴， ∵与关于y轴对称， ∴设的终边上一点对应的终边上有一点， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $