专题05：圆（解决问题讲义）数学人教版六年级上册

人教版六年级数学上册解决问题 专题05：圆 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：圆的周长 1、考点解读：本考点核心是运用圆的周长公式解决实际场景中“绕圈”“滚动”“边界长度”类问题，需理解周长的实际意义（封闭曲线的长度），能根据题目条件提取半径或直径，灵活计算圆的周长，是后续复杂组合图形周长计算的基础。 2、类型 （1）基础计算型：直接给出半径/直径，求圆的周长。 （2）滚动/绕圈型：求圆滚动一周的距离、绕物体一周所需绳长。 （3）边界长度型：求圆形物体的外围长度。 3、核心思路 （1）明确题目所求为“封闭曲线长度”，确定用圆的周长公式。 （2）提取关键条件：找到圆的半径（r）或直径（d），若未直接给出，需通过题目描述推导。 （3）统一单位：确保半径/直径的单位与结果单位一致。 （4）代入公式计算，若涉及“多圈”，需用周长×圈数。 【名师点拨】 （1）区分“直径”与“半径”：避免将半径当作直径代入公式。 （2）单位统一是关键。 （3）π的取值按题目要求：题目未说明时，默认取3.14。 考点02：半圆的周长（实际应用） 1、考点解读：本考点重点是区分“半圆的周长”与“圆周长的一半”，半圆的周长是圆周长的一半加直径（封闭半圆的边界长度），需在实际场景（如半圆花坛、半圆零件）中准确计算，避免遗漏直径。 2、类型 （1）基础计算型：给出半径/直径，求半圆的周长。 （2）实际场景型：求半圆物体的外围长度。 3、核心思路 （1）明确半圆周长的构成：圆周长的一半+直径（封闭图形需包含直径）。 （2）提取半径/直径，统一单位。 （3）先算圆周长的一半（πr或πd÷2），再加直径（d=2r），求和即为半圆周长。 【名师点拨】 （1）不遗漏“直径”：避免将半圆周长误算为“圆周长的一半”。 （2）单位统一：若半径是厘米，直径也为厘米，结果单位保持一致，避免混合单位计算。 （3）结合场景验证：如“半圆拱门的周长”，需确认是否包含直径，避免因场景理解错误漏算。 考点03：圆的面积 1、考点解读：本考点核心是运用圆的面积公式解决“占地面积”“覆盖面积”“平面区域大小”类问题，需理解面积的实际意义（圆所占平面的大小），能根据半径/直径/周长推导半径，准确计算面积，是后续复杂图形面积计算的基础。 2、类型 （1）基础计算型：直接给出半径/直径/周长，求圆的面积。 （2）占地面积型：求圆形物体的底面面积。 （3）覆盖面积型：求圆规画圆的面积、喷水器喷水的覆盖面积。 3、核心思路 （1）确定题目所求为“平面区域大小”，选择圆的面积公式。 （2）提取或推导半径：若给出直径，r=d÷2；若给出周长，r=C÷(2π)。 （3）统一单位，代入公式计算。 4、计算公式 （1）面积公式：S=πr 2（S为面积，r为半径） （2）已知直径：S=π(d÷2) 2 （3）已知周长：S=π[C÷(2π)] 2 【名师点拨】 （1）先算半径再平方：避免直接用直径平方计算. （2）区分“周长”与“面积”：周长单位是长度单位（厘米、米），面积单位是平方单位（平方厘米、平方米），避免单位混淆。 （3）周长推导半径时，需先算r，再算面积，避免直接用周长代入面积公式。 考点04：求最大面积（圆相关） 1、考点解读：本考点核心是在固定周长（或固定边界）条件下，求圆形的最大面积，或在长方形/正方形内画最大圆，求圆的面积（本质是利用“周长一定时，圆的面积最大”的特性），需结合实际场景确定圆的最大半径。 2、类型：固定周长求最大圆面积、长方形内画最大圆、正方形内画最大圆。 3、核心思路 （1）固定周长型：用周长求出最大圆的半径（r=C÷(2π)），再算面积。 （2）长方形内最大圆：最大圆的直径=长方形的宽（较短边）。 （3）正方形内最大圆：最大圆的直径=正方形的边长。 4、计算公式 （1）固定周长型：S=π[C÷(2π)] 2 （2）长方形内最大圆：宽²； （3）正方形内最大圆：边长²。 【名师点拨】 （1）长方形内最大圆的直径取“宽”：避免取长方形的长。 （2）固定周长时不混淆“圆”与“其他图形”：题目要求围圆形，需按圆的周长公式求半径，避免按长方形/ 方形周长公式计算，导致半径错误。 考点05：圆环的面积 1、考点解读：本考点核心是计算两个同心圆（圆心相同、半径不同）之间的区域面积，需理解圆环面积=外圆面积-内圆面积，能从题目中提取外圆半径（R）和内圆半径（r），适用于“环形跑道”“圆环零件”“圆环花坛”等场景。 2、类型：直接给出半径型、给出直径/周长型、实际场景型。 3、核心思路 （1）确定外圆半径和内圆半径： ①若给出直径，r外=d外÷2，r内=d内÷2； ②若给出周长，r外=C外÷（2π），r内=d内÷（2π）。 （2）分别计算外圆面积（S外=πr外²）和内圆面积（S内=πr内²）。 （3）计算圆环面积=外圆面积-内圆面积。 【名师点拨】 （1）区分“外圆”与“内圆”：外圆半径大于内圆半径。 （2）单位统一：外圆和内圆的半径/直径/周长单位需一致。 考点06：方中圆和圆中方的面积问题 1、考点解读：“方中圆”指正方形内画最大圆（圆的直径=正方形边长），“圆中方”指圆内接最大正方形（正方形的对角线 圆的直径），本考点需掌握两种模型的边长与半径的关系，能相互推导面积，适用于“正方形零件挖圆”“圆形内接正方形装饰”等场景。 2、类型 （1）方中圆（正方形内最大圆）：已知正方形边长，求圆的面积；或已知圆的面积，求正方形的面积。 （2）圆中方（圆内接最大正方形）：已知圆的半径/直径，求正方形的面积；或已知正方形的面积，求圆的面积。 3、核心思路 （1）方中圆 ①圆的直径=正方形的边长（d=a，a为正方形边长），r=a÷2。 ②已知正方形边长，求圆面积：S圆=π（a÷2）²。 （2）圆中方 ①正方形的对角线=圆的直径。 ②已知圆的直径，求正方形面积：S正=（2r）²÷2= 2r²，S圆=πr²=π×（S正÷2）。 【名师点拨】 （1）圆中方避免用“边长×边长”求正方形面积：圆内接正方形的边长≠圆的直径。 （2）方中圆的圆面积与正方形面积的比例：固定为π:4。 考点07：含圆的组合图形的周长和面积 1、考点解读：本考点核心是将组合图形拆分为基础图形（圆、长方形、正方形等），分别计算周长或面积后求和/差，需准确判断组合图形的构成，避免漏算或重复计算。 2、类型：周长类、面积类。 3、核心思路 （1）周长计算 ①拆分图形：识别组合图形中的直线部分和曲线部分（曲线部分多为圆或半圆的周长）。 ②计算各部分长度：直线部分求和，曲线部分按圆/半圆周长公式计算。 ③总周长=直线部分长度+曲线部分长度（注意：组合图形中重合的边不算周长）。 （2）面积计算 ①拆分或补全：将组合图形拆为基础图形，或补全为完整图形。 ②计算各基础图形面积。 ③总面积=各基础图形面积的和/差。 【名师点拨】 （1）周长计算不遗漏曲线部分。 （2）面积计算不重复/漏算。 （3）统一单位：所有基础图形的边长、半径单位需一致，避免混合单位计算导致结果错误。 考点08：扇形（周长与面积） 1、考点解读：本考点核心是理解扇形的定义（由圆心角和两条半径围成的图形），掌握扇形弧长和面积的计算（与圆心角占整个圆的比例相关），适用于“扇形零件”“扇形花坛”“扇形统计图相关计算”等场景。 2、类型：扇形弧长计算、扇形面积计算、扇形周长计算。 3、核心思路 确定扇形的半径（r）和圆心角（n°）：圆心角是整个圆（360°）的一部分。 （1）计算弧长：弧长=圆周长×（圆心角÷360°）（即圆周长的比例部分）。 （2）计算面积：面积=圆面积×（圆心角÷360°）（即圆面积的比例部分）。 （3）计算周长：扇形周长=弧长+ 2×半径（两条半径的长度+弧长）。 【名师点拨】 （1）扇形周长不遗漏“两条半径”：避免将弧长当作扇形周长。 （2）圆心角≤360°：扇形的圆心角最大为 360°（即整个圆），若圆心角为360°，则弧长=圆周长，面积=圆面积。 考点1：圆的周长 【典型例题】冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 【答案】10.08米 【分析】半径越大，圆的周长越大，比较四个同心圆的半径，找出最小圆和最大圆，再根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，求出最小圆的周长和最大圆的周长，再用最大圆的周长－最小圆的周长，即可解答。 【详解】0.15＜0.61＜1.22＜1.83，最小圆的半径是0.15米，最大圆的半径是1.83米。 3×1.83×2－3×0.15×2 ＝5.49×2－0.45×2 ＝10.98－0.9 ＝10.08（米） 答：最大圆与最小圆的周长差是10.08米。 【练习1】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40cm。这辆独轮车轮子转1圈，可以前进 cm。 【答案】125.6 【分析】要求这辆独轮车轮子转1圈可以前进多少cm，也就是求圆形车轮的周长，根据圆的周长＝πd，代入数值计算即可。 【详解】3.14×40＝125.6（cm） 因此这辆独轮车轮子转1圈，可以前进125.6cm。 【练习2】自来水公司在公园铺设自来水管道的同时，还需在路面上设置一些圆形井盖。已知一个井盖的周长是18.84分米，井盖的半径是多少分米？ 【答案】3分米 【分析】根据圆的周长公式：C＝2πr，所以r＝C÷π÷2，代入数据即可解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（分米） 答：井盖的半径是3分米。 考点2：半圆的周长 【典型例题】如下图，小华和小明分别沿着弧线跑，你能求出他们跑的路程相差多少米吗？（π取3.14） 【答案】62.8米 【分析】小华跑的弧线可以看作是一个半径为20米的半圆，小明跑的弧线可以看作是一个半径为40米的半圆，两者路程相差多少就是求这两个半圆的周长差即可。圆的周长＝2πr，半圆的周长＝圆的周长÷2。 【详解】小华跑的路程：2×3.14×20÷2＝62.8（米） 小明跑的路程：2×3.14×40÷2＝125.6（米） 他们跑的路程相差：125.6－62.8＝62.8（米） 答：他们跑的路程相差62.8米。 【练习1】刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【答案】61.68米 【分析】求至少准备篱笆的长度，就是求这个半圆形鱼塘的周长；即用圆的周长一半加上直径的长度，根据半圆的周长公式：周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×24÷2＋24 ＝75.36÷2＋24 ＝37.68＋24 ＝61.68（米） 答：他至少要准备61.68米篱笆。 【练习2】在一个长7厘米，宽3厘米的长方形中剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）。 【答案】15.42 【分析】根据题意可知，在这个长方形中剪下一个最大的半圆，这个半圆的半径等于长方形的宽，根据半圆的周长公式：C＝πr＋2r，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×3＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（厘米） 这个半圆的周长是15.42厘米。 考点3：含圆的组合图形的周长 【典型例题】工人师傅在学校操场铺设了一个400m半圆式田径场，如图。测得每条跑道的宽度为1.25m，如果进行400m比赛，环形跑道上各道起跑线相差（ ）m。      【答案】7.85 【分析】直道距离相同，相邻跑道之间的差距在弯道，操场两侧的弯道可以拼成一个圆，跑道上各道起跑线的差距就是相邻两个圆的周长差，确定第一道和第二道两个圆的直径，根据圆的周长＝圆周率×直径，分别求出周长，求差即可。 【详解】72.6＋1.25×2 ＝72.6＋2.5 ＝75.1（m） 3.14×75.1－3.14×72.6 ＝3.14×（75.1－72.6） ＝3.14×2.5 ＝7.85（m） 环形跑道上各道起跑线相差7.85m。 【练习1】两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当它转3圈时，另一个轮子正好转1圈，另一个轮子的周长是（     ）。 A．18.84 B．56.52 C．6.28 D．28.26 【答案】B 【分析】根据圆的周长＝πd，求出已知直径的皮带轮周长，乘3就是另一个轮子的周长，据此列式计算。 【详解】 另一个轮子的周长是。 故答案为：B 【练习2】李大爷要把4根同样的圆木捆扎在一起（如图，接头处不计），至少要用（ ）分米的铁丝。 【答案】14.28 【分析】铁丝的长度可以分成两部分，一部分是4条直径的和，另一部分是4个圆弧的长，而4个圆的周长正好等于一个圆的周长。这样就把求铁丝的长度转化成求一个圆的周长加上4条直径的长度和；根据圆的周长＝π×直径，代入数据，即可解答。 【详解】2×4＋3.14×2 ＝8＋6.28 ＝14.28（分米） 至少要用14.28分米的铁丝。 考点4：圆的面积 【典型例题】张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）200米；（2）31400平方米 【分析】（1）根据速度和×相遇时间＝总路程，求出圆形场地的周长，再根据圆的直径＝周长÷圆周率，列式解答即可； （2）根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式解答即可。 【详解】（1）（72＋85）×4 ＝157×4 ＝628（米） 628÷3.14＝200（米） 答：这个圆形场地的直径是200米。 （2）3.14×（200÷2）2 ＝3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：它的占地面积是31400平方米。 【练习1】奶奶用20米长的篱笆正好围成了一个圆形的鸡舍，已知接头处用了0.532米，奶奶围成这个鸡舍的占地面积是多少平方米？ 【答案】30.1754平方米 【分析】用篱笆的长度减去接口处用去的0.532米就得到圆形鸡舍的周长，然后用周除以3.14，再除以2，就得到圆的半径，然后根据圆的面积公式计算鸡舍的面积。 【详解】 ＝19.468÷3.14÷2 ＝6.2÷2 ＝3.1（米） ＝ ＝30.1754（平方米） 答：奶奶围成这个鸡舍的占地面积是30.1754平方米。 【练习2】一座体育馆的围墙是圆形的，小舟沿着围墙走了一圈，一共是628步，小舟每步的长大约是0.6米，这座体育馆的占地面积大约是多少平方米？（取3.14） 【答案】11304平方米 【分析】用小舟的步长乘步数求出这个体育馆的周长，根据半径＝C÷（2π）求出其半径，最后根据圆的面积＝πr2进行计算解答即可。 【详解】628×0.6＝376.8（米） 376.8÷（2×3.14） ＝376.8÷6.28 ＝60（米） 3.14×602 ＝3.14×3600 ＝11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积大约是11304平方米。 考点5：求最大面积 【典型例题】白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”，描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的情景。已知一个长方形水池的长是8m，宽是6m，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 【答案】 18.84 28.26 【详解】根据题意可知，在这个长方形水池中波纹所形成最大圆的直径就是这个长方形水池的宽即为是6米，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式；S＝πr2，把数据代入公式解答。 【解答】3.14×6＝18.84（m） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（m2） 则所形成的最大整圆的周长是18.84m，面积是28.26m2。 【练习1】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】根据圆的半径＝周长÷π÷2，圆的面积＝πr2，列式解答即可。 【详解】314÷3.14÷2＝50（米） （平方米） 答：这个摄像头的监控范围有7850平方米。 【练习2】在一张长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上，剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（     ）平方厘米。 A．14.13 B．25.12 C．28.26 D．56.52 【答案】B 【分析】在一张长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上，剪出一个最大的半圆，半圆的直径＝长方形的长，根据半圆的面积＝圆周率×半径的平方÷2，列式计算即可。 【详解】3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方厘米） 这个半圆的面积是25.12平方厘米。 故答案为：B 考点6：圆环的面积 【典型例题】土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，其外形有圆形、方形、椭圆形等。一个底面是圆环形的土楼外直径为26m，内直径为14m。这个土楼的房屋占地面积是（ ）m2。 【答案】376.8 【分析】求土楼的占地面积，就是求圆环的面积；根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），代入数据计算求解。 【详解】3.14×[（26÷2）2－（14÷2）2] ＝3.14×[132－72] ＝3.14×[169－49] ＝3.14×120 ＝376.8（m2） 这个土楼的房屋占地面积是376.8m2。 【练习1】为进一步推进新农村建设，幸福新村新建了一个周长为94.2米的圆形花坛。为了便于游客观赏，村委会决定在花坛的四周铺一条环形的石子路，石子路宽1米。如果每平方米小路需要80千克石子，那么修这条路一共需要多少千克石子？ 【答案】7787.2千克 【分析】根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据即可求出花坛的半径，再加上1米，即可求出石子路外圆的半径，然后根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），求出小路的面积即可；再乘80千克，即可求出石子的总千克数。 【详解】94.2÷3.14÷2 ＝30÷2 ＝15（米） 15＋1＝16（米） 3.14×162－3.14×152 ＝3.14×256－3.14×225 ＝803.84－706.5 ＝97.34（平方米） 97.34×80＝7787.2（千克） 答：修这条路一共需要7787.2千克石子。 【练习2】一个圆形实木餐桌的直径是2米，在餐桌的中央放一个直径是1米的圆形转盘，那么露在外面的实木餐桌面的面积是多少？ 【答案】2.355平方米 【分析】根据圆环的面积：S＝πR2－πr2，代入数据计算，即可求出露在外面的实木餐桌面的面积。 【详解】（2÷2）2×3.14－（1÷2）2×3.14 ＝12×3.14－0.52×3.14 ＝1×3.14－0.25×3.14 ＝3.14－0.785 ＝2.355（平方米） 答：露在外面的实木餐桌面的面积是2.355平方米。 考点7：方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 【答案】1.14平方米 【分析】根据“圆的面积公式：”，即可求出这张圆桌的面积，正方形被分成了2个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形，根据三角形的面积公式求出一个三角形的面积，再乘上2求出正方形的面积，然后用圆的面积减去圆内最大正方形的面积，即可求出折叠部分的面积。 【详解】半径：2÷1＝1（米） 圆的面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 圆内最大正方形的面积： 2×1÷2×2 ＝2÷2×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 折叠部分的面积： 3.14－2＝1.14（平方米） 答：可折叠部分的面积是1.14平方米。 【练习1】下图设计的是一个外方内圆的花坛，圆形部分种花，正方形和圆之间的部分种上草，如果每平方米草坪22元，种满这些草共要多少钱？ 【答案】1892元 【分析】草坪面积＝正方形面积－圆的面积，正方形面积＝边长×边长，圆面积＝πr2，据此先分别求出正方形和圆的面积，再利用减法求出草坪面积。将草坪面积乘22元，求出种满这些草共要多少钱。 【详解】20×20－3.14×（20÷2）2 ＝400－3.14×102 ＝400－314 ＝86（平方米） 86×22＝1892（元） 答：种满这些草共要1892元。 【练习2】枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 【答案】86平方米 【分析】由题意可知，种月季花地的面积等于边长为20米的正方形的面积减去直径为20米的圆的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝×半径的平方解答。 【详解】20÷2＝10（米） 20×20－3.14× ＝400－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方米） 答：种月季花地的面积等于86平方米。 考点8：含圆的组合图形的面积 【典型例题】有一个边长是4米的正方形草场，在它的一组对角分别拴了一头牛，拴牛的绳长是4米。两头牛共同吃到草的面积是多少平方米？ 【答案】9.12平方米 【分析】如图两头牛共同吃到草的面积是图中叶子形状（阴影部分）的面积，连接叶子对角，阴影部分被分成完全相同的两部分，先用的圆形面积减去三角形的面积求出阴影面积的一半，最后再乘2即可求出两头牛共同吃到草的面积。 【详解】（3.14×424×4÷2）×2 ＝（3.14×1616÷2）×2 ＝（12.56－8）×2 ＝4.56×2 ＝9.12（平方米） 答：两头牛共同吃到草的面积是9.12平方米。 【练习1】根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【答案】（1）见详解；（2）100平方厘米 【分析】（1）如图： 将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可求出阴影部分的面积。 【详解】（1）我这样想：将左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分正好是一个正方形。（答案不唯一） （2）我这样算：10×10＝100（平方厘米） 答：阴影部分的面积是100平方厘米。 【练习2】某所小学图书室的窗户如图所示，上面是半圆形，下面是长方形。这扇窗户的面积是（ ）。 【答案】340.48 【分析】根据题意可知，窗户的面积等于直径是16dm的圆的面积一半，加上长是16dm，宽是15dm的长方形面积，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（16÷2）2÷2＋16×15 ＝3.14×82÷2＋240 ＝3.14×64÷2＋240 ＝200.96÷2＋240 ＝100.48＋240 ＝340.48（dm2） 这扇窗户的面积是340.48dm2。 考点9：扇形 【典型例题】有一只羊被拴在一间底面边长为3m正方形小房子的墙角B点（如下图），拴羊的绳子长8m，这只羊从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑（ ）m。 【答案】23.55 【分析】如图，羊能跑出的距离分别一个大扇形的弧长和两个小扇形的弧长，即三个不同半径圆的周长的，最后再相加即可。 【详解】2×3.14×8×＋2×3.14×5×＋2×3.14×2× ＝50.24×＋31.4×＋12.56× ＝（50.24＋31.4＋12.56）× ＝94.2× ＝23.55（m） 则最多可跑23.55m。 【练习1】下图是一个风车的造型，中心是一个边长为1cm的正方形，四个圆心角为90°的扇形组成了风车的“翅膀”，“翅膀”的面积是（     ）。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 【答案】A 【分析】由图可知，四个圆心角都为90°的扇形拼接在一起正好是一个圆形，则这个风车的“翅膀”正好可以组成一个半径为1cm的圆，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此解答。 【详解】3.14×12＝3.14（cm2） 则“翅膀”的面积是3.14。 故答案为：A 【练习2】如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 【答案】235.5平方米 【分析】这只藏獒的活动范围是个扇形，这个扇形面积是半径10米的圆的面积的，这只藏獒的活动范围面积＝圆周率×半径的平方×，据此列式解答。 【详解】3.14×102× ＝3.14×100× ＝314× ＝235.5（平方米） 答：这只藏獒的活动范围有235.5平方米。 夯实基础 1．一个钟表的分针长5cm，15分钟后，分针尖端走过的距离是（     ）。 A．7.85cm B．3.14cm C．31.4cm D．18.84cm 【答案】A 【分析】由题意可知，分针走一圈为60分钟，则15分钟分针尖端走过的距离是钟表周长的，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此进行计算即可。 【详解】3.14×（2×5）× ＝3.14×10× ＝31.4× ＝7.85（cm） 则分针尖端走过的距离是7.85cm。 故答案为：A 2．李师傅想把2个横截面直径是10cm的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起，捆一圈至少需要铁丝（     ）cm。（接口部分长度不计） A．20 B．41.4 C．62.8 D．51.4 【答案】D 【分析】捆一圈需要的铁丝长度＝一个圆的周长＋直径×2，圆的周长＝圆周率×直径，据此列式计算。 【详解】3.14×10＋10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（cm） 捆一圈至少需要铁丝51.4cm。 故答案为：D 3．如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（     ）。 A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定 【答案】C 【分析】由图中可得到：A走的路线是圆的周长，圆的直径是A、B两地直线距离的一半；B走的路线是圆的周长一半，直径是A、B两地直线距离。可设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d，根据圆周长＝πd，计算得出答案。 【详解】设A路线的圆周长的直径为d，则B走的路线直径是2d。则： A路线长：；B路线长：。即A路线与B路线一样长。 故答案为：C 4．大小两齿轮，大齿轮的直径是小齿轮的2倍，大齿轮转8圈，小齿轮转（     ）圈。 A．4 B．16 C．10 D．24 【答案】B 【分析】因为大、小齿轮转动所行驶的路程相等，所以大齿轮转动的圈数与大齿轮的周长的乘积等于小齿轮转动的圈数与小齿轮的周长的乘积，假设小齿轮的直径是d，则大齿轮的直径是2d，小齿轮转动x圈，根据圆的周长公式：C＝，分别表示出大齿轮和小齿轮的周长，再代入到数量关系中，即可求出小齿轮轮动的圈数。 【详解】解：设小齿轮的直径是d，则大齿轮的直径是2d，小齿轮转x圈， 即小齿轮转16圈。 故答案为：B 5．如图，一种零件由两个四分之一圆和一个等边三角形组合而成。已知等边三角形的边长为7厘米，这个零件的周长是（     ）。（π取） A．98cm B．77cm C．43cm D．32cm 【答案】C 【分析】由图可知，圆半径是7厘米，该圆周长为两条半径＋三角形的一条边＋半个圆周长，代入数据进行解答即可。 【详解】7×2＋7＋（×7×2÷2） ＝14＋7＋（22×2÷2） ＝21＋（44÷2） ＝21＋22 ＝43（cm） 这个零件的周长是43cm。 故答案为：C 6．甲、乙两人分别从A，B处出发沿半圆走到C，D，他们两人走过的路程相差（     ）米。 【答案】4.71 【详解】因为两个人所走的圆的半径不一样大，所以所走的路程不一样长。相差的路程为半径增加的1.5米的圆的周长，则为： 3.141.5＝4.71（米） 答：他们两人走过的路程相差4.71米。 7．一个圆形杯垫的周长是31.4厘米，这个杯垫的半径是（ ）厘米，这个杯垫的面积是（ ）平方厘米。 【答案】 5 78.5 【分析】根据圆的半径＝周长÷圆周率÷2，圆的面积＝圆周率×半径的平方，列式计算即可。 【详解】31.4÷3.14÷2＝5（厘米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 这个杯垫的半径是5厘米，这个杯垫的面积是78.5平方厘米。 8．把一根长3米绳子的一端固定在地面上，拉紧绳子的另一端旋转一周，形成的轨迹是（ ）形，图形的周长是（ ）米。 【答案】 圆 18.84 【分析】根据题意，把一根长3米绳子的一端固定在地面上，拉紧绳子的另一端旋转一周，固定点相当于圆心，绳子的长度相当于圆的半径，所以形成的轨迹是圆形。 根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算，即可求出圆的周长。 【详解】2×3.14×3＝18.84（米） 形成的轨迹是圆形，图形的周长是18.84米。 9．在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】 18.84 28.26 【分析】在长方形中画一个最大的圆，则这个圆的直径相当于长方形的宽，根据圆的周长公式：C＝πd，圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】0.6dm＝6cm 3.14×6＝18.84（cm） 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 则这个圆的周长是18.84cm，面积是28.26cm2。 10．在环形跑道上，第二道与第一道的中间线的距离是0.8米，第二道的起跑线应比第一道靠前（ ）米。 【答案】5.024 【分析】由题意，第二道与第－道的中间线的距离是0.8米，可知第二道的半圆的半径比第一道的半圆的半径多0.8米，所以第二道比第一道长3.14×0.8×2＝5.024米，故第二道的起跑线应比第一道靠前5.024米。 【详解】3.14×0.8×2 ＝2.512×2 ＝5.024（米） 则第二道的起跑线应比第一道靠前5.024米。 11．沿着直径8米的圆形水池周围铺一条1米宽的石子路，石子路占地面积是（ ）平方米。 【答案】28.26 【分析】求石子路的占地面积就是求圆环的面积，根据圆环的面积公式：S＝π（R2－r2），据此进行计算即可。 【详解】3.14× [（8÷2＋1）2－（8÷2）2] ＝3.14×[52－42] ＝3.14×[25－16] ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 则石子路占地面积是28.26平方米。 12．一个挂钟，它的分针长20厘米，则这根分针的尖端转动5圈是（ ）米。 【答案】6.28 【分析】由题意可知，这根分针的尖端转动1圈所走的路程就是挂钟的周长，则根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出挂钟一周的长度，再乘5即可求解。 【详解】3.14×（20×2）×5 ＝3.14×40×5 ＝125.6×5 ＝628（厘米） ＝6.28（米） 则这根分针的尖端转动5圈是6.28米。 13．滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是（ ）平方米。 【答案】50.24 【分析】由题意可知，能洒到的草地面积就是半径为4米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 则能洒到的草地面积是50.24平方米。 14．从长7cm，宽3cm的长方形纸上剪一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】 15.42 14.13 【分析】根据题意，在长7cm，宽3cm的长方形纸上剪一个最大的半圆，那么这个半圆的半径等于长方形的宽3cm；根据半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，其中圆的周长公式C＝2πr；半圆的面积＝圆的面积÷2，其中圆的面积公式S＝πr2，分别代入数据计算即可。 【详解】如图： 2×3.14×3÷2＋3×2 ＝9.42＋6 ＝15.42（cm） 3.14×32÷2 ＝3.14×9÷2 ＝14.13（cm2） 这个半圆的周长是15.42cm，面积是14.13cm2。 15．一个时钟的分针长10厘米，从8：00走到8：30，分针针尖走过了（ ）厘米。 【答案】31.4 【分析】根据题意知道，从8：00到8：30，分针正好走了半个圆面，由此根据圆的周长公式C＝2πr，即可求出分针的针尖移动的厘米数。 【详解】3.14×（10×2）÷2 ＝3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（厘米） 分针针尖走过了31.4厘米。 16．一根铁丝刚好可以围成一个边长是7.85厘米的正方形，这根铁丝的长度是（ ）厘米，如果用这根铁丝围成一个圆，则圆的半径是（ ）厘米。 【答案】 31.4 5 【分析】根据题意，用一根铁丝刚好可以围成一个正方形，那么铁丝的长度等于正方形的周长；根据正方形的周长＝边长×4，求出这根铁丝的长度； 如果用这根铁丝围成一个圆，那么铁丝的长度等于圆的周长；根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，据此求出圆的半径。 【详解】正方形的周长： 7.85×4＝31.4（厘米） 圆的半径： 31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 这根铁丝的长度是31.4厘米，圆的半径是5厘米。 17．一面外圆内方装饰物（如图）。装饰物直径是20cm，圆与正方形之间部分的面积是（ ）cm2。    【答案】114 【分析】观察图形可知，圆与正方形之间部分的面积＝圆的面积－正方形的面积；圆的面积根据S圆＝πr2求解，求正方形的面积时，要把正方形用对角线平均分成两个一样的三角形，三角形的底等于圆的直径，高等于圆的半径，根据三角形的面积S＝ah÷2，求出一个三角形的面积，再乘2，即是正方形的面积。分别求出圆和正方形的面积，再相减即可。 【详解】如图：  圆的面积： 3.14×（20÷2）2 ＝3.14×100 ＝314（cm2） 正方形的面积： 20×（20÷2）÷2×2 ＝20×10÷2×2 ＝200÷2×2 ＝200（cm2） 314－200＝114（cm2） 圆与正方形之间部分的面积是114cm2。 18．如图是一个靠墙的油桶示意图，当这个桶向左滚动2周，它会向左前进（ ）米。 【答案】12.56 【分析】由题意可知：滚动2周前进的距离等于车轮周长的2倍，将数据带入圆的周长公式计算即可。 【详解】3.14×2×2 ＝6.28×2 ＝12.56（米） 它会向左前进12.56米。 培优拔高 19．小明想知道一个圆形镜子的面积有多大，进行了操作（如图所示），请你帮忙求出这面镜子的面积。（π取3）    【答案】平方厘米 【分析】由题意可知，圆形镜子的周长为6厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，据此求出圆形镜子的半径，再根据圆的面积公式：S＝πr2，据此进行计算即可。 【详解】 ＝2÷2 ＝1（厘米） 3×12＝3×1＝3（平方厘米） 答：这面镜子的面积是3平方厘米。 20．青海省德令哈市的塔式光热电站是我国戈壁滩上的超级工程，这个发电站的占地面积大约是多少平方千米？ 发电站中间是一座高200米的吸热塔，24万片反光镜层层围绕着吸热塔组成一个直径约1.8千米的圆。 【答案】2.5434平方千米 【分析】根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（1.8÷2）2即可求出占地面积。 【详解】3.14×（1.8÷2）2 ＝3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方千米） 答：这个发电站的占地面积大约是2.5434平方千米。 21．李爷爷用18.84米篱笆围成一个圆形苗圃。 （1）这个苗圃的面积是多少平方米？ （2）苗圃中西红柿苗和茄子苗一共18平方米，西红柿苗和茄子苗的面积比是1∶2，西红柿苗和茄子苗的面积各是多少平方米？ 【答案】（1）28.26平方米； （2）西红柿苗6平方米；茄子苗12平方米 【分析】（1）先根据“”求出圆形苗圃的半径，再利用“”求出这个苗圃的面积； （2）把西红柿苗和茄子苗的总面积平均分成（1＋2）份，西红柿苗的面积占其中的1份，茄子苗的面积占其中的2份，先求出每份的面积，再乘西红柿苗和茄子苗的面积对应的份数，据此解答。 【详解】（1）18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3.14×32＝28.26（平方米） 答：这个苗圃的面积是28.26平方米。 （2）18÷（1＋2） ＝18÷3 ＝6（平方米） 西红柿苗：6×1＝6（平方米） 茄子苗：6×2＝12（平方米） 答：西红柿苗的面积是6平方米，茄子苗的面积是12平方米。 22．如下图所示，张大爷利用一面墙，用篱笆围了一个直径10米的半圆形鸡舍。 （1）围成这个鸡舍至少要多长的篱笆？ （2）这个鸡舍的面积是多少平方米？ （3）如果将这个半圆形鸡舍的直径增加2米，这个鸡舍的面积将扩大多少平方米？ 【答案】（1）15.7米；（2）39.25平方米；（3）17.27平方米 【分析】（1）圆周长＝3.14×直径，据此求出直径是10米的圆的周长，再将其除以2，即可求出围成这个鸡舍至少要多长的篱笆； （2）圆面积＝3.14×半径2，据此先求出直径是10米圆的面积，再将其除以2，即可求出鸡舍的面积； （3）根据（2）的求法，求出直径增加2米后鸡舍的面积，再利用减法求出这个鸡舍的面积将扩大多少平方米。 【详解】（1）3.14×10＝31.4（米） 31.4÷2＝15.7（米） 答：围成这个鸡舍至少要15.7米的篱笆。 （2）3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝39.25（平方米） 答：这个鸡舍的面积是39.25平方米。 （3）10＋2＝12（米） 3.14×（12÷2）2÷2 ＝3.14×62÷2 ＝56.52（平方米） 56.52―39.25＝17.27（平方米） 答：这个鸡舍的面积将扩大17.27平方米。 23．聪聪和明明在下图所示的操场上练习跑步，他们从相距77.2米的两个地方同时相向出发，经过20秒两人在途中第二次相遇。 （1）跑道全长多少米？ （2）如果聪聪和明明跑步速度是，那么聪聪的速度是多少？ 【答案】（1）米；（2）米/秒 【分析】（1）跑道有两条直道，每条长50米，两个弯道正好是一个直径20米的圆，据此求直道和弯道的和就是跑道全长； （2）聪聪和明明第一次相遇共跑了77.2米，第二次相遇又共同跑了跑道的全长。根据速度和＝路程÷相遇时间，求出速度和。再根据聪聪和明明跑步速度是7∶5，求出速度和的就是聪聪的速度。 【详解】（1） （米） 答：跑道全长162.8米。 （2） （米/秒） 答：聪聪的速度是7米/秒。 24．一个公园是圆形布局，半径长1千米，圆心处设立了一个纪念碑。公园共有四个门，长约1.4千米。 （1）这个公园的围墙有多长？ （2）北门在南门的什么方向？距离南门多远？ （3）如果公园里有一个半径为0.4千米的圆形小湖，这个公园的陆地面积是多少平方千米？ 【答案】（1）6.28千米；（2）正北方向；2千米；（3）2.6376平方千米 【分析】（1）公园的围墙的长度就是半径为1千米的圆周长，圆的周长公式为：C＝2πr。 （2）根据上北下南的方向，以南门为观测点判断北门，两门之间的距离为圆的直径长度。 （3）陆地的面积是圆环的面积，圆环的面积S＝π（R2－r2）。 【详解】（1）3.14×1×2＝6.28（千米） 答：这个公园的围墙有长6.28千米。 （2）1×2＝2（千米） 答：北门在南门的正北方向。距离南门2千米。 （3）3.14×（12－0.42） ＝3.14×（1－0.16） ＝3.14×0.84 ＝2.6376（平方千米） 答：这个公园的陆地面积是2.6376平方千米。 思维拓展 25．两只蚂蚁沿不同的路线从M点跑到N点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑（图中曲线部分由半圆构成）。下面四幅图中，两只蚂蚁跑的路线一样长的共有（     ）幅。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】圆的周长＝π×直径；第一幅图虚线是大圆周长的一半，实线是两个小圆的周长的一半，两个小圆的直径之和等于大圆的直径，所以两只蚂蚁跑的路线一样长；第二幅图实线和虚线是同一个圆的周长的一半，跑的路线也相同；第三幅图和第一幅图一样，也相同；第四幅图实线有一段是直线，所以实线比虚线短些，据此解答。 【详解】根据分析可知，两只蚂蚁沿不同的路线从M点跑到N点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑（图中曲线部分由半圆构成）。下面四幅图中，两只蚂蚁跑的路线一样长的共有3幅。 故答案为：C 26．如图，一个半径为1cm的小圆盘沿着一个直径为4cm的大圆盘外侧做无滑动的滚动。当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是（ ）cm2。 【答案】12.56 【分析】如下图，涂黄色阴影部分是两个半径为1cm的半圆，可以组成一个圆；黑色阴影部分是一个圆环；所以小圆盘运动过程中扫过的面积＝圆环的面积＋半径为1cm的小圆面积。 根据圆环的面积公式S环＝π（R2－r2），圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】4÷2＝2（cm） 2＋1×2 ＝2＋2 ＝4（cm） 3.14×（42－22）× ＝3.14×（16－4）× ＝3.14×12× ＝9.42（cm2） 3.14×12＝3.14（cm2） 一共：9.42＋3.14＝12.56（cm2） 小圆盘运动过程中扫过的面积是12.56cm2。 27．直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是（ ）平方厘米，硬币圆心走过的路程是（ ）厘米。 【答案】 36.28 16.57 【分析】如图：，硬币滚过的面积＝一个圆的面积＋个大圆的面积＋两个长方形的面积，大圆的半径为2厘米，圆的半径为2÷2＝1厘米，利用圆的面积公式分别求出其面积；一个长方形的长为9厘米，宽为2厘米，另一个长方形的长为6厘米，宽为2厘米，利用长方形的面积公式求出两个长方形的面积，代入数据即可求出硬币滚过的面积。硬币圆心走过的路程＝9厘米＋6厘米＋个圆的周长，利用圆的周长公式求出个圆的周长，代入数据即可求出硬币圆心走过的路程。 【详解】2×9＋2×6＋＋ ＝18＋12＋＋ ＝18＋12＋3.14＋3.14 ＝36.28（平方厘米） 9＋6＋×2×3.14 ＝15＋1.57 ＝16.57（厘米） 即硬币滚过的面积是36.28平方厘米，硬币圆心走过的路程是16.57厘米。 28．如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 【答案】（1）37.68平方米 （2）50.24平方米 【分析】（1）栓羊的绳长是4米，那么羊在空地上的活动范围是一个以4米为半径的圆；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可。 （2）栓羊的绳长是6米，那么羊在空地上的活动范围是由两部分组成，一个以6米为半径的圆和一个以（6－4）米为半径的圆，根据圆的面积公式S＝πr2，分别求出这两部分的面积，再减去上一题的面积，即是小羊的活动范围增加的面积。 【详解】（1）3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×12 ＝37.68（平方米） 答：小羊在空地上的活动范围是37.68平方米。 （2）3.14×62×＋3.14×（6－4）2× ＝3.14×36×＋3.14×4× ＝84.78＋3.14 ＝87.92（平方米） 87.92－37.68＝50.24（平方米） 答：小羊的活动范围增加了50.24平方米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学上册解决问题 专题05：圆 （方法点拨+典例分析+变式训练+分层练习） 考点01：圆的周长 1、考点解读：本考点核心是运用圆的周长公式解决实际场景中“绕圈”“滚动”“边界长度”类问题，需理解周长的实际意义（封闭曲线的长度），能根据题目条件提取半径或直径，灵活计算圆的周长，是后续复杂组合图形周长计算的基础。 2、类型 （1）基础计算型：直接给出半径/直径，求圆的周长。 （2）滚动/绕圈型：求圆滚动一周的距离、绕物体一周所需绳长。 （3）边界长度型：求圆形物体的外围长度。 3、核心思路 （1）明确题目所求为“封闭曲线长度”，确定用圆的周长公式。 （2）提取关键条件：找到圆的半径（r）或直径（d），若未直接给出，需通过题目描述推导。 （3）统一单位：确保半径/直径的单位与结果单位一致。 （4）代入公式计算，若涉及“多圈”，需用周长×圈数。 【名师点拨】 （1）区分“直径”与“半径”：避免将半径当作直径代入公式。 （2）单位统一是关键。 （3）π的取值按题目要求：题目未说明时，默认取3.14。 考点02：半圆的周长（实际应用） 1、考点解读：本考点重点是区分“半圆的周长”与“圆周长的一半”，半圆的周长是圆周长的一半加直径（封闭半圆的边界长度），需在实际场景（如半圆花坛、半圆零件）中准确计算，避免遗漏直径。 2、类型 （1）基础计算型：给出半径/直径，求半圆的周长。 （2）实际场景型：求半圆物体的外围长度。 3、核心思路 （1）明确半圆周长的构成：圆周长的一半+直径（封闭图形需包含直径）。 （2）提取半径/直径，统一单位。 （3）先算圆周长的一半（πr或πd÷2），再加直径（d=2r），求和即为半圆周长。 【名师点拨】 （1）不遗漏“直径”：避免将半圆周长误算为“圆周长的一半”。 （2）单位统一：若半径是厘米，直径也为厘米，结果单位保持一致，避免混合单位计算。 （3）结合场景验证：如“半圆拱门的周长”，需确认是否包含直径，避免因场景理解错误漏算。 考点03：圆的面积 1、考点解读：本考点核心是运用圆的面积公式解决“占地面积”“覆盖面积”“平面区域大小”类问题，需理解面积的实际意义（圆所占平面的大小），能根据半径/直径/周长推导半径，准确计算面积，是后续复杂图形面积计算的基础。 2、类型 （1）基础计算型：直接给出半径/直径/周长，求圆的面积。 （2）占地面积型：求圆形物体的底面面积。 （3）覆盖面积型：求圆规画圆的面积、喷水器喷水的覆盖面积。 3、核心思路 （1）确定题目所求为“平面区域大小”，选择圆的面积公式。 （2）提取或推导半径：若给出直径，r=d÷2；若给出周长，r=C÷(2π)。 （3）统一单位，代入公式计算。 4、计算公式 （1）面积公式：S=πr 2（S为面积，r为半径） （2）已知直径：S=π(d÷2) 2 （3）已知周长：S=π[C÷(2π)] 2 【名师点拨】 （1）先算半径再平方：避免直接用直径平方计算. （2）区分“周长”与“面积”：周长单位是长度单位（厘米、米），面积单位是平方单位（平方厘米、平方米），避免单位混淆。 （3）周长推导半径时，需先算r，再算面积，避免直接用周长代入面积公式。 考点04：求最大面积（圆相关） 1、考点解读：本考点核心是在固定周长（或固定边界）条件下，求圆形的最大面积，或在长方形/正方形内画最大圆，求圆的面积（本质是利用“周长一定时，圆的面积最大”的特性），需结合实际场景确定圆的最大半径。 2、类型：固定周长求最大圆面积、长方形内画最大圆、正方形内画最大圆。 3、核心思路 （1）固定周长型：用周长求出最大圆的半径（r=C÷(2π)），再算面积。 （2）长方形内最大圆：最大圆的直径=长方形的宽（较短边）。 （3）正方形内最大圆：最大圆的直径=正方形的边长。 4、计算公式 （1）固定周长型：S=π[C÷(2π)] 2 （2）长方形内最大圆：宽²； （3）正方形内最大圆：边长²。 【名师点拨】 （1）长方形内最大圆的直径取“宽”：避免取长方形的长。 （2）固定周长时不混淆“圆”与“其他图形”：题目要求围圆形，需按圆的周长公式求半径，避免按长方形/ 方形周长公式计算，导致半径错误。 考点05：圆环的面积 1、考点解读：本考点核心是计算两个同心圆（圆心相同、半径不同）之间的区域面积，需理解圆环面积=外圆面积-内圆面积，能从题目中提取外圆半径（R）和内圆半径（r），适用于“环形跑道”“圆环零件”“圆环花坛”等场景。 2、类型：直接给出半径型、给出直径/周长型、实际场景型。 3、核心思路 （1）确定外圆半径和内圆半径： ①若给出直径，r外=d外÷2，r内=d内÷2； ②若给出周长，r外=C外÷（2π），r内=d内÷（2π）。 （2）分别计算外圆面积（S外=πr外²）和内圆面积（S内=πr内²）。 （3）计算圆环面积=外圆面积-内圆面积。 【名师点拨】 （1）区分“外圆”与“内圆”：外圆半径大于内圆半径。 （2）单位统一：外圆和内圆的半径/直径/周长单位需一致。 考点06：方中圆和圆中方的面积问题 1、考点解读：“方中圆”指正方形内画最大圆（圆的直径=正方形边长），“圆中方”指圆内接最大正方形（正方形的对角线 圆的直径），本考点需掌握两种模型的边长与半径的关系，能相互推导面积，适用于“正方形零件挖圆”“圆形内接正方形装饰”等场景。 2、类型 （1）方中圆（正方形内最大圆）：已知正方形边长，求圆的面积；或已知圆的面积，求正方形的面积。 （2）圆中方（圆内接最大正方形）：已知圆的半径/直径，求正方形的面积；或已知正方形的面积，求圆的面积。 3、核心思路 （1）方中圆 ①圆的直径=正方形的边长（d=a，a为正方形边长），r=a÷2。 ②已知正方形边长，求圆面积：S圆=π（a÷2）²。 （2）圆中方 ①正方形的对角线=圆的直径。 ②已知圆的直径，求正方形面积：S正=（2r）²÷2= 2r²，S圆=πr²=π×（S正÷2）。 【名师点拨】 （1）圆中方避免用“边长×边长”求正方形面积：圆内接正方形的边长≠圆的直径。 （2）方中圆的圆面积与正方形面积的比例：固定为π:4。 考点07：含圆的组合图形的周长和面积 1、考点解读：本考点核心是将组合图形拆分为基础图形（圆、长方形、正方形等），分别计算周长或面积后求和/差，需准确判断组合图形的构成，避免漏算或重复计算。 2、类型：周长类、面积类。 3、核心思路 （1）周长计算 ①拆分图形：识别组合图形中的直线部分和曲线部分（曲线部分多为圆或半圆的周长）。 ②计算各部分长度：直线部分求和，曲线部分按圆/半圆周长公式计算。 ③总周长=直线部分长度+曲线部分长度（注意：组合图形中重合的边不算周长）。 （2）面积计算 ①拆分或补全：将组合图形拆为基础图形，或补全为完整图形。 ②计算各基础图形面积。 ③总面积=各基础图形面积的和/差。 【名师点拨】 （1）周长计算不遗漏曲线部分。 （2）面积计算不重复/漏算。 （3）统一单位：所有基础图形的边长、半径单位需一致，避免混合单位计算导致结果错误。 考点08：扇形（周长与面积） 1、考点解读：本考点核心是理解扇形的定义（由圆心角和两条半径围成的图形），掌握扇形弧长和面积的计算（与圆心角占整个圆的比例相关），适用于“扇形零件”“扇形花坛”“扇形统计图相关计算”等场景。 2、类型：扇形弧长计算、扇形面积计算、扇形周长计算。 3、核心思路 确定扇形的半径（r）和圆心角（n°）：圆心角是整个圆（360°）的一部分。 （1）计算弧长：弧长=圆周长×（圆心角÷360°）（即圆周长的比例部分）。 （2）计算面积：面积=圆面积×（圆心角÷360°）（即圆面积的比例部分）。 （3）计算周长：扇形周长=弧长+ 2×半径（两条半径的长度+弧长）。 【名师点拨】 （1）扇形周长不遗漏“两条半径”：避免将弧长当作扇形周长。 （2）圆心角≤360°：扇形的圆心角最大为 360°（即整个圆），若圆心角为360°，则弧长=圆周长，面积=圆面积。 考点1：圆的周长 【典型例题】冰壶场地上的营垒是四个同心圆，半径分别是0.15米、0.61米、1.22米和1.83米。其中最大圆与最小圆的周长差是多少米？（π取值3） 【练习1】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径为40cm。这辆独轮车轮子转1圈，可以前进 cm。 【练习2】自来水公司在公园铺设自来水管道的同时，还需在路面上设置一些圆形井盖。已知一个井盖的周长是18.84分米，井盖的半径是多少分米？ 考点2：半圆的周长 【典型例题】如下图，小华和小明分别沿着弧线跑，你能求出他们跑的路程相差多少米吗？（π取3.14） 【练习1】刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？ 【练习2】在一个长7厘米，宽3厘米的长方形中剪下一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）。 考点3：含圆的组合图形的周长 【典型例题】工人师傅在学校操场铺设了一个400m半圆式田径场，如图。测得每条跑道的宽度为1.25m，如果进行400m比赛，环形跑道上各道起跑线相差（ ）m。      【练习1】两个连在一起的皮带轮，其中一个轮子的直径是，当它转3圈时，另一个轮子正好转1圈，另一个轮子的周长是（     ）。 A．18.84 B．56.52 C．6.28 D．28.26 【练习2】李大爷要把4根同样的圆木捆扎在一起（如图，接头处不计），至少要用（ ）分米的铁丝。 考点4：圆的面积 【典型例题】张明和李芳从圆形场地的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张明每分钟走85米。 （1）这个圆形场地的直径是多少米？ （2）它的占地面积是多少平方米？ 【练习1】奶奶用20米长的篱笆正好围成了一个圆形的鸡舍，已知接头处用了0.532米，奶奶围成这个鸡舍的占地面积是多少平方米？ 【练习2】一座体育馆的围墙是圆形的，小舟沿着围墙走了一圈，一共是628步，小舟每步的长大约是0.6米，这座体育馆的占地面积大约是多少平方米？（取3.14） 考点5：求最大面积 【典型例题】白居易的《府西池》中“柳无气力枝先动，池有波纹冰尽开”，描述了雨点打在水面上荡开层层波纹的情景。已知一个长方形水池的长是8m，宽是6m，当波纹到池边时，所形成的最大整圆的周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 【练习1】公安部门要在一个十字路口安装红外线摄像头，摄像头的地面监控范围是周长为314米的圆（如下图）。这个摄像头的监控范围有多少平方米？ 【练习2】在一张长为8厘米，宽为6厘米的长方形纸片上，剪出一个最大的半圆，这个半圆的面积是（     ）平方厘米。 A．14.13 B．25.12 C．28.26 D．56.52 考点6：圆环的面积 【典型例题】土楼是福建、广东等地区的一种建筑形式，其外形有圆形、方形、椭圆形等。一个底面是圆环形的土楼外直径为26m，内直径为14m。这个土楼的房屋占地面积是（ ）m2。 【练习1】为进一步推进新农村建设，幸福新村新建了一个周长为94.2米的圆形花坛。为了便于游客观赏，村委会决定在花坛的四周铺一条环形的石子路，石子路宽1米。如果每平方米小路需要80千克石子，那么修这条路一共需要多少千克石子？ 【练习2】一个圆形实木餐桌的直径是2米，在餐桌的中央放一个直径是1米的圆形转盘，那么露在外面的实木餐桌面的面积是多少？ 考点7：方中圆和圆中方的面积问题 【典型例题】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 【练习1】下图设计的是一个外方内圆的花坛，圆形部分种花，正方形和圆之间的部分种上草，如果每平方米草坪22元，种满这些草共要多少钱？ 【练习2】枫林小区有一块边长为20米的正方形空地。小区物业在这块空地的中心挖了一个圆形水池，在四个角边种上月季花。种月季花地的面积等于多少平方米？ 考点8：含圆的组合图形的面积 【典型例题】有一个边长是4米的正方形草场，在它的一组对角分别拴了一头牛，拴牛的绳长是4米。两头牛共同吃到草的面积是多少平方米？ 【练习1】根据情景回答下列问题。 情境描述：一天，四年级的小红在《数学乐园》里看到了一幅图（如下所示），非常好奇！于是她提出了一个数学问题：“阴影部分的面积是多少呢？”她又想：“有些图形的面积计算方法我还没有学过，该怎样计算呢？” 假如小红向你请教，你能用她所学过的知识帮她解决吗？ （先写出你的想法，再计算阴影部分的面积） （1）我这样想： （2）我这样算： 【练习2】某所小学图书室的窗户如图所示，上面是半圆形，下面是长方形。这扇窗户的面积是（ ）。 考点9：扇形 【典型例题】有一只羊被拴在一间底面边长为3m正方形小房子的墙角B点（如下图），拴羊的绳子长8m，这只羊从A点出发，将绳子拉紧顺时针跑，最多可跑（ ）m。 【练习1】下图是一个风车的造型，中心是一个边长为1cm的正方形，四个圆心角为90°的扇形组成了风车的“翅膀”，“翅膀”的面积是（     ）。 A．3.14 B．6.28 C．12.56 【练习2】如图，张伯伯住在一个长10米、宽10米的简易房里守护自家的果园，屋外的墙角O处拴了一只藏獒，拴藏獒的绳长10米。这只藏獒的活动范围有多少平方米？ 夯实基础 1．一个钟表的分针长5cm，15分钟后，分针尖端走过的距离是（     ）。 A．7.85cm B．3.14cm C．31.4cm D．18.84cm 2．李师傅想把2个横截面直径是10cm的圆木用铁丝紧紧地捆绑在一起，捆一圈至少需要铁丝（     ）cm。（接口部分长度不计） A．20 B．41.4 C．62.8 D．51.4 3．如图，从甲地到乙地有A、B两条路可走，这两条路的长度相比，结果是（     ）。 A．路线A长 B．路线B长 C．同样长 D．不能确定 4．大小两齿轮，大齿轮的直径是小齿轮的2倍，大齿轮转8圈，小齿轮转（     ）圈。 A．4 B．16 C．10 D．24 5．如图，一种零件由两个四分之一圆和一个等边三角形组合而成。已知等边三角形的边长为7厘米，这个零件的周长是（     ）。（π取） A．98cm B．77cm C．43cm D．32cm 6．甲、乙两人分别从A，B处出发沿半圆走到C，D，他们两人走过的路程相差（     ）米。 7．一个圆形杯垫的周长是31.4厘米，这个杯垫的半径是（ ）厘米，这个杯垫的面积是（ ）平方厘米。 8．把一根长3米绳子的一端固定在地面上，拉紧绳子的另一端旋转一周，形成的轨迹是（ ）形，图形的周长是（ ）米。 9．在长8cm，宽0.6dm的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 10．在环形跑道上，第二道与第一道的中间线的距离是0.8米，第二道的起跑线应比第一道靠前（ ）米。 11．沿着直径8米的圆形水池周围铺一条1米宽的石子路，石子路占地面积是（ ）平方米。 12．一个挂钟，它的分针长20厘米，则这根分针的尖端转动5圈是（ ）米。 13．滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是（ ）平方米。 14．从长7cm，宽3cm的长方形纸上剪一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 15．一个时钟的分针长10厘米，从8：00走到8：30，分针针尖走过了（ ）厘米。 16．一根铁丝刚好可以围成一个边长是7.85厘米的正方形，这根铁丝的长度是（ ）厘米，如果用这根铁丝围成一个圆，则圆的半径是（ ）厘米。 17．一面外圆内方装饰物（如图）。装饰物直径是20cm，圆与正方形之间部分的面积是（ ）cm2。    18．如图是一个靠墙的油桶示意图，当这个桶向左滚动2周，它会向左前进（ ）米。 培优拔高 19．小明想知道一个圆形镜子的面积有多大，进行了操作（如图所示），请你帮忙求出这面镜子的面积。（π取3）    20．青海省德令哈市的塔式光热电站是我国戈壁滩上的超级工程，这个发电站的占地面积大约是多少平方千米？ 发电站中间是一座高200米的吸热塔，24万片反光镜层层围绕着吸热塔组成一个直径约1.8千米的圆。 21．李爷爷用18.84米篱笆围成一个圆形苗圃。 （1）这个苗圃的面积是多少平方米？ （2）苗圃中西红柿苗和茄子苗一共18平方米，西红柿苗和茄子苗的面积比是1∶2，西红柿苗和茄子苗的面积各是多少平方米？ 22．如下图所示，张大爷利用一面墙，用篱笆围了一个直径10米的半圆形鸡舍。 （1）围成这个鸡舍至少要多长的篱笆？ （2）这个鸡舍的面积是多少平方米？ （3）如果将这个半圆形鸡舍的直径增加2米，这个鸡舍的面积将扩大多少平方米？ 23．聪聪和明明在下图所示的操场上练习跑步，他们从相距77.2米的两个地方同时相向出发，经过20秒两人在途中第二次相遇。 （1）跑道全长多少米？ （2）如果聪聪和明明跑步速度是，那么聪聪的速度是多少？ 24．一个公园是圆形布局，半径长1千米，圆心处设立了一个纪念碑。公园共有四个门，长约1.4千米。 （1）这个公园的围墙有多长？ （2）北门在南门的什么方向？距离南门多远？ （3）如果公园里有一个半径为0.4千米的圆形小湖，这个公园的陆地面积是多少平方千米？ 思维拓展 25．两只蚂蚁沿不同的路线从M点跑到N点，甲蚂蚁沿虚线跑，乙蚂蚁沿实线跑（图中曲线部分由半圆构成）。下面四幅图中，两只蚂蚁跑的路线一样长的共有（     ）幅。 A．1 B．2 C．3 D．4 26．如图，一个半径为1cm的小圆盘沿着一个直径为4cm的大圆盘外侧做无滑动的滚动。当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是（ ）cm2。 27．直径2厘米的硬币贴着一个长9厘米，宽6厘米长方形外围滚动，从A点滚动到B点时，硬币滚过的面积是（ ）平方厘米，硬币圆心走过的路程是（ ）厘米。 28．如图，空地上有一座长方形羊圈。这座长方形羊圈的长是6米，宽是4米，在羊圈的墙角上栓着一只小羊。 （1）栓羊的绳长是4米，小羊在空地上的活动范围是多少平方米？ （2）如果栓羊的绳长是6米，那么小羊的活动范围增加了多少平方米？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $