专题04 二次函数的应用（6大题型）（专项训练）数学北师大版九年级下册

专题04 二次函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、增长率、销售问题 1 题型二、拱桥问题 4 题型三、投球问题 8 题型四、喷水问题 13 题型五、图形问题 17 题型六、图形运动问题 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、增长率、销售问题 1．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，运用方程思想和二次函数性质是解题的关键． （1）通过设降价百分率列一元二次方程求解； （2）设商品涨价元，根据题意列出与的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设每次降价的百分率为． 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率为； （2）设商品涨价元，则每千克盈利元，日销量为千克． 根据题意得，， 因为， 所以当时，有最大值， 答：商品涨价元时，商家每天销售该商品获得的利润最大，最大利润是元． 2．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 3．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元． 4．（25-26九年级上·黑龙江·期中）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． (1)求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为 (2)该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键. （1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为，根据增长率问题的等量关系列方程求解即可； （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，再根据利润，接着配方求解即可． 【详解】（1）设该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得． 解得（不符合题意，舍去）． 答：该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率为． （2）设该“文创T恤”售价为元，月销售利润为元，则每件的销售利润为元，月销售量为件． ． 当时，． 答：该“文创T恤”售价为62元时，月销售利润最大，最大利润为11520元． 题型二、拱桥问题 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 【答案】(1) (2)这辆货车不能安全通过，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，得顶点P的坐标为，从而可设抛物线的解析式为，再把点代入，进而计算可以得解； （2）依据题意，由时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：根据题意，得顶点P的坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得：， 解得：， 所求抛物线的解析式为； （2）当时，， 这辆货车不能安全通过． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 【答案】(1)建立的平面直角坐标系见详解， (2)米 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据建立的平面直角坐标系求出函数的表达式是解题关键． （1）以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系；因此，抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的函数表达式为，再将点的坐标代入即可求解； （2）根据题（1）的结果，令求出的两个值，从而可得水面上升2米后的水面宽度； （3）将代入，得出的值，进而减去货船的高度，即可求解． 【详解】（1）解：以的中点为平面直角坐标系的原点所在线为轴，过点作的垂线为轴，建立的平面直角坐标系如下： 根据所建立的平面直角坐标系可知，点的坐标为，抛物线的顶点坐标为， 因此设抛物线的函数表达式为， 将代入得：， 解得：， 则所求的抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意，令得， 解得：， 则水面上升2米后的水面宽度为：（米）， （3）解：由题意，当时，， ∵一艘货船的高为米， ∴水面在正常水位的基础上最多能上升（米）． 7．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的应用等知识， （1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出当时，，即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， 设其表达式为， ， 解得， 所在抛物线的函数表达式为； （2）解：点到的距离均为， 当时，， ， 这两条灯带的总长为． 8．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． （1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案； （2）在中，令解出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 题型三、投球问题 9．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 【答案】(1) (2)该运动员的成绩达标，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：设该抛物线的解析式为， 将代入解析式得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：该运动员的成绩达标，理由如下： 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴着陆点的坐标为， ∵， ∴该运动员的成绩达标． 10．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)，能够投中； (2)能够盖帽拦截成功． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征． 根据球出手时的高度可知抛物线经过点，根据球出手后水平距离为时到达最大高度，可知抛物线的顶点坐标是，根据球出手时篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面可知篮圈中心的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式，当时，求出球的高度为，可知篮球能投中； 把代入代数式，可得：，因为可知能够盖帽拦截成功． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中； （2）解：当时，， 能够盖帽拦截成功． 11．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 【答案】(1)球的高度是米 (2)得分100分 (3)的绝对值变小，可以不变（答案不唯一），作图见解析，验证见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）直接令求解即可； （2）令，解一元二次方程求出方程的根即可判断得分； （3）的绝对值变小，可以不变，假设落地距离为米，保持，再计算说理，即可作图． 【详解】（1）解：当时，， ∴小普把球脱手时，球的高度是米； （2）解：当时，， 整理得， 解得，（舍）， ∵铅球扔出10米的得分为100分， ∴小普得分100分； （3）解：变小，可以不变（答案不唯一）， 假设落地距离为米，保持， 将代入， 则， 解得，此时 作图如图： 12．（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【分析】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【详解】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 题型四、喷水问题 13．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 【答案】(1) (2)水管的高度为米 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，掌握待定系数法是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）令代入函数解析式可得结论． 【详解】（1）解：根据题意得，， 设函数解析式为， 把代入得， 解得，， ∴函数解析式为； （2）解：当时，， 所以，水管的高度为米． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】(1) (2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【分析】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． （2）解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用． （1）由抛物线顶点，设抛物线的表达式为，用待定系数法可得抛物线的表达式； （2）当时，，解得或，进而可得结论． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴， ∴抛物线的表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 结合抛物线图象可得，当她的头发不接触到水柱时，她在x轴上的横坐标x的取值范围为． 16．（25-26九年级上·北京东城·期中）阅读以下材料信息并解决问题： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 信息2 圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，， ，B为水流所在抛物线的顶点， 点A，B，O，E，M均在同一平面内． 问题解决： (1)填空：的长度为 ，该抛物线顶点坐标为 ． (2)求水流所在抛物线的函数解析式． (3)现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由(圆柱形水杯的厚度忽略不计)． 【答案】(1)36， (2) (3)水流不能流到圆柱形水杯内 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）根据题意得出，抛物线顶点坐标为； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）圆柱形水杯最左端到点O的距离是9，将代入二次函数解析式，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为， ∴， ∵轴，， ， ∴B的横坐标为，， ∴该抛物线顶点坐标为， 故答案为：36，； （2）解：∵该抛物线顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为； （3）解：水流不能流到圆柱形水杯内，理由如下： 圆柱形水杯最左端到点的距离是， 当时，， ∵， ∴水流不能流到圆柱形水杯内． 题型五、图形问题 17．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为60米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 【答案】(1)10米 (2)1250平方米 【分析】本题主要考查二次函数应用、一元二次方程应用，正确列出方程是解题的关键． （1）设，则，根据题意得解一元二次方程即可求解； （2）设设矩形菜园的面积为，，则，可得，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 根据题意得， 解得， 当时，，不合题意舍去； 当时，， 答：所利用旧墙的长为10米； （2）解：设矩形菜园的面积为，，则， ∴， ∵，且， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，最大值为1250， 答：矩形菜园面积的最大值为1250平方米． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)当，时，窗户的透光面积达到最大，最大面积是 【分析】（1）根据矩形的面积公式可求得函数解析式，根据长宽均大于求得取值范围； （2）将（1）中解析式配成顶点式，即可求最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 关于的函数表达式为． ，， 自变量的取值范围为． （2）解：由（1），得． ，， 当时，有最大值，最大值为． 此时，，即． 故当，时， 窗户的透光面积达到最大，最大面积是． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． 19．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】(1)当时，花园面积最大，为100平方米； (2)当花园面积最大时，的长为8米． 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； （2）由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1) (2)， (3)最大面积是，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）由矩形的性质得出，推出，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得， ． （2） 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即 ， 解得， ，． （3） 解：∵四边形是矩形， ， ∴， ∵是高， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴，． 设，矩形的面积为， 则 ，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是； 此时，，． 答：最大面积是，，． 题型六、图形运动问题 21．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)当为时，的长度等于； (3)当时，的面积有最大值，为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，列代数式，二次函数的应用等知识，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键． （）根据两点的运动速度可得长度； （）由四边形时矩形，则，然后由勾股定理得，然后代入得，再解方程并检验即可； （）由（）得，，，根据题意得出，设的面积为，再通过面积公式得，最后由二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设运动时间为秒（），由题意得，，， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴当为时，的长度等于； （3）解：存在的值，使的面积最大， 理由：由（）得，，， ∵当点运动到点时，两点停止运动 ∴， 设的面积为， ∴ ， ∵， ∴当时，的面积有最大值，为． 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） (1)当点落在线段上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，动点问题，求二次函数关系式，正方形的性质，勾股定理，理解题意，作出图形是解答关键． （1）当点M落在线段上时，求出，，根据勾股定理求出，最后利用列出方程求解． （2）根据题意分三种情况：当时，时，当时，利用等腰直角三角形的性质求解． 【详解】（1） ∵在中，，， ∴， 当点M落在线段上时，四边形是正方形， 根据题意得， 在等腰直角三角形中， 由题意可得和、是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ， ∵， ∴， ∴； （2）①当时，正方形完全在内部，此时重叠部分面积就是正方形的面积， ∴正方形面积； ②当时， 设与交于点E，与交于点F， 此时正方形与重叠部分为矩形， 和为等腰直角三角形，即，， ∵， ∴， 在中由勾股定理得， 即， ∴， ∴矩形面积； ③当时，正方形与无重叠，所以； 综上所述，当时，；当时，；当时，． 23．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 【答案】(1) (2)， (3)①4；② 【分析】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在上匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，且其面积为S， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得或（舍去）； ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴当点P由点B运动到点A时，S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或（舍去）， ∴，且， ∴，； （3）解：①∵点P在上运动时，，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移4个单位长度得到的， 设是函数上的两点，则点和点是函数上的两点， ∴，， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴； ②由（3）①得， ∵， ∴， ∴， ∴．    24．（2025九年级下·江西·专题练习）【问题提出】 如图（1），在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线运动，到达点C时停止，以为边，在的上方作正方形．设运动时间为x秒，正方形的面积为y，当点 P从点B 运动到点 C时，经探究发现y是关于x的二次函数，其图象如图（2）所示． 【初步感知】 （1）①的长为 ，m的值为 ； ②当点 P 由点B 运动到点 C 时，y关于x的函数解析式为 ． 【深入思考】 （2）请判断在点 P 由点A 运动到点 B 的过程中，y与x之间满足什么函数关系，并求出此时y关于x的函数解析式． 【拓展应用】 （3）①当点 D 在直线上时，求正方形的面积； ②若存在3个时刻 对应的正方形的面积均相等，且 ，求k的取值范围． 【答案】（1）①，；②；（2）点 P 由点A 运动到点 B 的过程中，y与x之间满足二次函数关系；；（3）①12或；② 【分析】（1）①由函数图象分析即可求解；②由题意可得此时，即可求解函数关系式； （2）可得为等边三角形，则当点P是的中点，即时，，此时最短，由勾股定理得：，那么当时，y取得最小值，为12，设，将代入求解即可； （3）①当点D在的延长线上时，则，此时点P是的中点，由(2)可知，此时正方形的面积为12；当点D在线段上时，点P在线段上，则，而，得到，求出，则，即可求解面积； ②先补全函数图象，由于存在3个时刻对应的正方形的面积均相等，画图找出临界位置，再分析求解即可． 【详解】解：（1）①由函数图象可得，当时，运动路程为， ∵， ∴此时点与点重合， 当时，正方形面积为0，此时运动路程为， 此时点与点重合， ∴， ∴点与点重合，此时， 故答案为：，； ②由题意得：， ∴y关于x的函数解析式为， 故答案为：； （2）点 P 由点A 运动到点 B 的过程中，y与x之间满足二次函数关系， ∵， ∴为等边三角形， ∴当点P是的中点，即时，，此时最短， ∴由勾股定理得：， ∴当时，y取得最小值，为12， 设， 将代入，得， 解得， ∴此时y关于x的函数解析式为； （3）①如图(1)，当点D在的延长线上时， ∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴点P是的中点， 由(2)可知，此时正方形的面积为12； 如图(2)，当点D在线段上时，点P在线段上， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴正方形的面积为：， 综上：当点D在直线上时，正方形的面积为12或； ②由（2）可得，当时，关于的函数解析式为，补全图象如图（3），由图象可得此时， 令， 解得：或（舍去）， ∴存在3个时刻对应的正方形的面积均相等， 则， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：， ∴的取值范围为：． 一、单选题 1．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为，由题意得，，利用待定系数法可得到，再求出时，x的值即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以点C为原点，以过点C且平行于水面的直线为x轴，以过点C且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为， 由题意得，， 把代入到中得：，解得， ∴抛物线解析式为， 当时，解得， ∵， ∴当水面上升2米后，宽度变为米， 故选：B． 2．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数图象的性质，顶点坐标的计算，函数值的计算是解题的关键． 根据时，解方程，可判定结论①；配方出顶点式，求出最大值，可判定结论②；把运动时的高度，运动时的高度计算出来比较即可判定结论③；由此即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：或， ∴小球从抛出到落地需要，正确，故①符合题意； ，由于， ∴当时，小球运动的高度是20m，不可能为，故②错误，不符合题意； 当时，，当时，， 那么小球运动时的高度等于运动时的高度，故③错误，不符合题意， ∴正确的个数为1， 故选：B． 3．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲列式即可判断①； 设定价增加元，则定价为元，房间数为个，根据题意列出方程求解即可；设利润为w，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】结论①：定价增加30元，即定价为元， 每增加10元，空闲房间数增加1个， 故增加30元对应空闲3个，居住房间数为个，故①结论正确； 结论②：设定价增加元，则定价为元，房间数为个． 根据题意得， 解得或． 当时，对应定价为元（超过360元上限）， ∴，故②结论错误； 结论③：设利润为w，根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为， ∵ ∴ ∴当， ∴最大利润为：元，故③结论错误． 综上，仅结论①正确，正确个数为1． 选B． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，有理数运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，二次函数与轴的交点坐标，熟练掌握待定系数法和二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题得，代入，得出抛物线的解析式为，令，求解即可， 【详解】解：由题意，， 得， 将代入， 得：， 解得：， ∴， 令，得， 解得：，， ∴为， 故答案为：． 5．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，将代入，得出，结合题意，即可求解． 【详解】解：将代入， ， 解得：（舍去） 又∵运动员出手点距离最高点的水平距离为， ∴该运动员投掷标枪的水平距离为米 故答案为：． 6．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 【答案】①②④ 【分析】由题意可知，，，，，利用待定系数法求出玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式，可判断①结论；令直线与轴的交点为，证明是等腰直角三角形，得到，再利用待定系数法求出直线的解析式，可判断②结论；联立直线和抛物线，求出，可判断③④结论． 【详解】解：由题意可知，，，，， 设玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为， ，解得：， 玻璃水杯轮轮廓所在抛物线的解析式为，①结论正确； 令直线与轴的交点为， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为，②结论正确； 联立，解得：或（舍）， ， 点P到杯口的距离为，③结论错误； 点P到点D的距离为，③结论正确； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了坐标与图形，二次函数的应用，二次函数与一次函数的交点问题，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程等，勾股定理知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 三、解答题 7．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？ 【答案】(1) (2)①；②当时，利润最大，最大值为12250元 【分析】本题考查了二次函数，一次函数和一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解； ②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的二次函数，进而可求出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 由题意可得， 解得，（舍去） ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：①根据题意得： ． ②根据题意得： ． ∴当元时，w取最大值12250元． 8．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题是二次函数与几何综合题，考查了动点函数图象，二次函数的性质，三角形的面积，熟练掌握全二次函数的性质是解题的关键． （1）根据时，从点正好运动到点，即可求出点运动的速度，根据时，求出的长； （2）分别求出当时及当时，函数的关系式，并补全图象即可； （2）分2种情况及，结合，利用图象法求解的范围即可解答． 【详解】（1）解：图2是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， ， 根据题意得， ， ， ； （2）当时，， ， 当时，， ， ， 补全图象如图所示：    （3）在二次函数中，当时， ， 解得，，（舍去）， 在一次函数中，当时， ， 解得， 在时，的面积为的值不小于； 9．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼如图2，发石车发射点点离地面高米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，高为米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点，C），求出的取值范围． 【答案】(1)①；②能飞越 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用； （1）①利用待定系数求函数解析式即可； ②将代入，求出x值即可求解． （2）求出过，和，的抛物线的解析式，即可得到a的取值范围． 【详解】（1）解：①由题意， 抛物线为，且石块在空中飞行的最大高度为米， ， 把代入得：， 解得， 所求抛物线的解析式为； 墙高为米， 令，则， 解得舍去或， 又墙宽为米，点与点的水平距离为米，且， 石块能飞越防御墙； （2）解：由题意，得， 把，代入得：， 解得； 把，代入解析式的：， 解得：． 若要使石块恰好落在防御墙顶部上包括端点，，则． 10．如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线．设计者测得水面宽为，为方便货轮通行，桥面离水面距离需为，已知顶点与桥面距离为顶点与水面距离的时，拱桥结构最稳定．如图②，以拱架与水面接触点的连线为轴，以拱架最高点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度； (3)在（2）条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升，拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米． 【答案】(1) (2)拱索长度为 (3)右侧第三根拱索会伸长 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意列出关系式是解题的关键． （1）由题意设抛物线解析式为，求出，然后代入求解即可； （2）首先由求出，然后将代入解析式求解即可； （3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为，然后将代入得到①，由（1）知：②，相减得到，然后将代入两个抛物线解析式表示出，，进而求解即可． 【详解】（1）由题意设抛物线解析式为 由， 解得 将点代入解析式得： 故抛物线解析式为． （2）由题意，解得，， 得，即每根拱索间水平距离为． ∴拱架中心右侧第三根拱索对应的横坐标为 代入解析式解得 故该拱索长度为． （3）设在夏季最热时拱架形状对应抛物线解析式为 由题意此时函数顶点为，代入解析式得：① 由（1）知：② 得： 由（2）知：将分别代入两个抛物线解析式得： ， 相减得 故右侧第三根拱索会伸长． 11．（2025·山西长治·二模）综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 【答案】(1) (2)7 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点坐标，根据抛物线顶点式（其中为顶点坐标）设出抛物线解析式，然后因为点在抛物线上，将点A的坐标代入所设解析式，就可以求出a的值，进而确定y与x之间的函数关系式． （2）要确定射灯数量，需先求出一盏灯的光照区域水平跨度，令，代入（1）中求出的抛物线函数关系式，得到关于x的一元二次方程，求解方程得到两个x的值，两值之差就是一盏灯的光照区域水平跨度，再用墙面总长度除以一盏灯的光照区域水平跨度，就可得到至少需要的射灯数量． （3）令，代入抛物线函数关系式求出对应的x的值，得到光照区域在高度为处的水平位置，设矩形照片一边长与x有关，进而表示出矩形另一边的长度，从而得到矩形周长关于t的函数表达式，最后根据二次函数的性质，求出该函数的最大值，即矩形照片的最大周长． 【详解】（1）解：已知抛物线顶点， 设抛物线解析式为， 因为点在抛物线上，把代入， 可得：， 解得， 所以y与x之间的函数关系式为． （2）解：因为抛物线关于对称轴对称， 且相邻两抛物线在水平方向上的距离相等， 令，则， 解得， 解得，，即一盏灯的光照区域水平跨度为， 墙面长，则需要安装的射灯数量至少为（盏）． （3）解：令，则， ， 解得， 设矩形照片的一边长为m，其对应的横坐标为x， 则另一边长为， 矩形周长， 由抛物线对称性，设x到对称轴的距离为t，即，则， 此时，矩形另一边， 矩形周长， 对于二次函数，其中，， 根据二次函数顶点公式， 当时，． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，将实际的射灯照明问题转化为数学模型，运用了二次函数的顶点式，通过已知顶点设出表达式，求出二次函数的顶点式是解决本题的关键． 12．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． （1）以水池中心为原点，水平向右方向为轴正半轴，喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． （2）若将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线的最高高度与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口离水面竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． （3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 【答案】（1）（2）m；（3），所设计的喷泉比较美观 【分析】本题考查二次函数的应用．理解新定义的意义是解决本题的关键．根据函数值的最大值求出函数的另一个值对应的x的取值，进而来判断t的取值范围，是解决本题的难点． （1）设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为用待定系数法求解，再求出其与轴交点，再求解即可； （2）由将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，可得优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为，设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为将代入，得，再求解即可； （3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为将分别代入中，得，则有，解得，得，可得进一步优化后抛物线的函数表达式为，当时，，解得， 求得接近黄金比0.618，再求解即可． 【详解】解：（1）由题可知，原喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将（0，2.25）代入，得， 解得， 原喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 令，得， 解得（不符合题意，舍去）． 喷泉水流到喷水管的最大水平距离为 （2）将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变， 优化后喷泉水流右支抛物线的顶点坐标为， 设优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 将代入，得， 解得， 优化后喷泉水流右支抛物线的函数表达式为 当时，， 优化后喷水口的竖直高度为 （3）设进一步优化后抛物线的函数表达式为 将分别代入中， 得 ①，②， ， ②①，得， 解得（负值已舍去）， 代入①，得， 进一步优化后抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得， ， 接近黄金比0.618， 所设计的喷泉比较美观． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二次函数的应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、增长率、销售问题 1 题型二、拱桥问题 4 题型三、投球问题 8 题型四、喷水问题 13 题型五、图形问题 17 题型六、图形运动问题 22 B综合攻坚・能力跃升 题型一、增长率、销售问题 1．（25-26九年级上·天津河北·阶段练习）近年来越来越多的商家向互联网转型发展，“直播带货”已经成为商家销售产品的重要途径，为了在店庆期间扩大销量，某商家在直播间销售一种高档水果，将售价从原来的每千克元经两次降价后，调至每千克元． (1)若该商家两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率； (2)现在店庆结束了，商家准备适当涨价，如果现在每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克每涨价元，日销量将减少千克，则商品涨价多少元时，商家每天销售该商品获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（25-26九年级上·云南保山·期中）应用题：某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 3．（25-26九年级上·四川眉山·阶段练习）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 4．（25-26九年级上·黑龙江·期中）黑龙江哈尔滨是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某商店以每件38元的价格购进一批旅游纪念品，“文创T恤”以每件66元的价格出售．经统计，7月份的销售量为256件，9月份的销售量为400件． (1)求该款“文创T恤”7月份到9月份销售量的月平均增长率； (2)从10月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，根据销售经验预测，该“文创T恤”每降价1元，月销售量就会增加20件．当该“文创T恤”售价为多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少元？ 题型二、拱桥问题 5．（25-26九年级上·河南周口·期中）某施工队要修建一个横断面为抛物线（如图所示）的公路隧道，隧道最高点离路面的距离为，宽度为． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)隧道内设双向行车道，并且中间有一条宽的隔离带．一辆货车装载某大型设备后高，宽为，这辆货车能否安全通过隧道？请说明理由． 6．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米．已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题： (1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式； (2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度； (3)已知一艘货船的高为米，宽为米，其截面如图3所示．为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？ 7．（2025·陕西·中考真题）某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系、 (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 8．（25-26九年级上·吉林四平·期中）湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 题型三、投球问题 9．（25-26九年级上·全国·期中）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K（与相距，离地高度）为飞行距离计分的参照点，落地点超过点 K 越远，飞行距离分越高.某运动员从起跳点A滑出，当该运动员飞行的水平距离（与相距的距离）为时，恰好达到最大高度，该运动员最后着陆在着陆坡上.着陆点在点 K 处或在点 K 右侧视为成绩达标． (1)求抛物线的解析式； (2)判断该运动员的成绩是否达标，并说明理由． 10．（25-26九年级上·安徽黄山·阶段练习）九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 11．（24-25九年级上·上海普陀·期末）如图，已知小普推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析式为． (1)直接写出当小普把球脱手时，球的高度； (2)如果铅球扔出10米的得分为100分，9米为90分以此类推，直接写出小普同学的得分； (3)小普努力训练，投出了超过100分的好成绩，你认为铅球运动过程中离地面的高度（米）关于水平距离（米）的函数解析中、、的值会发生什么变化，请你在图中画出抛物线大概图像，并设出你需要的数据，通过计算验证你的结论． 12．（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 题型四、喷水问题 13．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）某景点圆形喷水池中心处竖直安装一根水管，喷水口处的水流呈抛物线型，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图所示，为该水流的最高点，已知水流落地处离池中心处的距离为，于点，，． (1)求与之间的函数关系式； (2)求水管的高度． 14．（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 15．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头距地面，水柱在距喷水头水平距离处达到最高，最高点距地面；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中（）是水柱距喷水头的水平距离，（）是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的表达式． (2)身高的小红在水柱下方走动，当她的头发不接触到水柱时，求她在轴上的横坐标的取值范围． 16．（25-26九年级上·北京东城·期中）阅读以下材料信息并解决问题： 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从B处流出且呈抛物线形．以点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，水流最终落到x轴上的点M处． 信息2 圆柱的高为，点A到圆柱顶端的距离为，轴，， ，B为水流所在抛物线的顶点， 点A，B，O，E，M均在同一平面内． 问题解决： (1)填空：的长度为 ，该抛物线顶点坐标为 ． (2)求水流所在抛物线的函数解析式． (3)现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在点M处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由(圆柱形水杯的厚度忽略不计)． 题型五、图形问题 17．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为60米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏． (1)所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 18．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是一个矩形窗框的示意图，它由两个小矩形组成，现工人计划用长为的铝合金框条制作该窗框．设窗框的高为，窗户的透光面积为（铝合金框条的宽度不计）． (1)求关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围． (2)如何设计制作方案能使窗户的透光面积达到最大？最大面积是多少？ 19．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． (1)当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ (2)若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20．（2025九年级上·全国·专题练习）如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 题型六、图形运动问题 21．（25-26九年级上·河南安阳·阶段练习）在矩形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动．设运动时间为秒（）． (1)填空：______，______； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)是否存在的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时的值和最大的面积值；若不存在，请说明理由． 22．（25-26九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在中，，，动点P，Q同时从点出发，分别沿射线和射线的方向均以的速度匀速运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的时间为，正方形与重叠部分的面积为．（注：无重叠时，重叠部分面积看作） (1)当点落在线段上时，求的值． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 23．（2024九年级下·广东·专题练习）综合运用 在中，，D为边上一点，，动点P以每秒1个单位长度的速度从点C出发，在三角形的三边上沿匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为，正方形的面积为S，试探究S与t的关系． (1)如图1，当点P由点C运动到点B时，求S关于t的函数表达式． (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发现S是关于t的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求S关于t的函数表达式及线段的长． (3)若存在3个时刻，，（）对应的正方形的面积均相等． ①求的值； ②当时，求正方形的面积． 24．（2025九年级下·江西·专题练习）【问题提出】 如图（1），在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿路线运动，到达点C时停止，以为边，在的上方作正方形．设运动时间为x秒，正方形的面积为y，当点 P从点B 运动到点 C时，经探究发现y是关于x的二次函数，其图象如图（2）所示． 【初步感知】 （1）①的长为 ，m的值为 ； ②当点 P 由点B 运动到点 C 时，y关于x的函数解析式为 ． 【深入思考】 （2）请判断在点 P 由点A 运动到点 B 的过程中，y与x之间满足什么函数关系，并求出此时y关于x的函数解析式． 【拓展应用】 （3）①当点 D 在直线上时，求正方形的面积； ②若存在3个时刻 对应的正方形的面积均相等，且 ，求k的取值范围． 一、单选题 1．（2025·湖南·模拟预测）某拱桥呈抛物线形，水面宽度为8米时，拱顶离水面4米．当水面上升2米后，宽度变为（    ）． A．4米 B．米 C．米 D．6米 2．（2025·辽宁朝阳·二模）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动的高度可以是25m； ③小球运动时的高度大于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2025·天津河东·模拟预测）某宾馆有50个房间供游客居住，市场监管部门规定每间房价不得高于360元，当每个房间每天的定价为220元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的成本．有下列结论： ①若每个房间定价增加30元，则每天居住的房间数为47个； ②每个房间的定价可以有两个不同的值满足该宾馆某天利润为12000元； ③宾馆每天的最大利润为12250元． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 5．（2025·河南许昌·二模）如图，运动员投掷标枪时的运动轨迹可看作抛物线的一部分，以地面所在直线为轴，过最高点且垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．则该标枪运动轨迹的函数关系式为：，已知运动员出手点距离最高点的水平距离为，则该运动员投掷标枪的水平距离为 ． 6．如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廓线、为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点B（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中正确的是 ． ①玻璃水杯轮廓线所在抛物线的解析式为；②直线的解析式为；③点P到杯口的距离为；③点P到点D的距离为． 三、解答题 7．公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．经销商决定涨价销售，设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②求售价x定为多少元时，月销售利润达到最大，最大月销售利润为多少？ 8．如图1，在中，，．点以的速度从点A出发沿匀速运动到；同时，点以的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，S与的函数图象如图2所示．    (1)求线段的长和点的运动速度； (2)求的面积为关于运动时间t的函数关系式，写出自变量的取值范围，并补全函数图象； (3)当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于？请直接写出t的取值范围． 9．发石车（图1）是古代的一种攻城器械，据《三国志》记载：曹操创制发石车，攻破袁绍军壁楼如图2，发石车发射点点离地面高米，其正前方有一堵壁楼，其防御墙的竖直截面为矩形，墙宽为米，高为米，点与点的水平距离为米，以发射点的正下方点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系，将石块当作一个点看，其飞行路线母以近似看作抛物线． (1)若发射石块在空中飞行的最大高度为米． ①求抛物线的函数解析式； ②石块能否飞越防御墙？ (2)若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括点，C），求出的取值范围． 10．如图①，某市规划了一座单孔拱桥，其桥梁主体是抛物线．设计者测得水面宽为，为方便货轮通行，桥面离水面距离需为，已知顶点与桥面距离为顶点与水面距离的时，拱桥结构最稳定．如图②，以拱架与水面接触点的连线为轴，以拱架最高点所在的铅垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，求拱架中心右侧第三根拱索的长度； (3)在（2）条件下，如图③，拱架与桥面之间均匀分布了23根拱索，夏季最热时，拱架的顶点会上升，拱索会随之伸长，其他季节不变，求夏季最热时，拱架中心右侧第三根拱索会伸长多少厘米． 11．（2025·山西长治·二模）综合与实践 小刚家的新家装修到了安装射灯，设计沙发背景墙的阶段，他和爸爸到了装饰城，看到了如图1中的某种型号的射灯投射下的背景样板墙，4盏射灯的光照的区域“覆盖”了整个墙面．光照的区域边缘可近似的看为抛物线，相同型号的射灯光照区域的形状完全一样．小刚抽象出了如图2中的示意图，测量后得到相关数据，左侧第一盏灯最高点C距离地面高度为290cm，与左墙面的水平距离为30cm，光线与墙的交点A距离地面245cm，点B，D，E均为两条光线的交点，点F且A，B，D，E，F在同一高度的水平线上． (1)数学建模 如图3，以墙面OA所在的直线为y轴，垂直于OA的地面所在直线为x轴，建立的平面直角坐标系，设光线距离地面的高度为，距墙面OA水平距离为，求y与x之间的函数关系式． (2)问题解决 小刚家沙发背景墙和装饰城的样板墙高度一致，墙面长为420cm，按照样板墙的方式安装射灯，请帮小刚计算需要安装的射灯数量至少为多少时，光照区域才能如样板墙那样实现全“覆盖”？ (3)如图4，小刚妈妈还计划在这每一盏射灯的光照区域内安装一幅矩形的家庭照片，照片的底部安装高度距离地面145cm，请直接写出如图4中，左侧第一盏灯的光照区域内矩形照片的周长的最大值． 12．（2025·浙江·模拟预测）背景材料：某社区准备改造原半径为的水池中的喷泉设施（如图①），综合实践小组开展了优化设计方案的综合实践活动． 【建模分析】如图②，将喷泉最外侧水流抽象成抛物线，测量出如下数据：喷水口位置在水池中心点的正上方且竖直高度为，水流最高高度为，水流最高点距喷水管的水平距离为． （1）以水池中心为原点，水平向右方向为轴正半轴，喷水管竖直向上方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，求原喷泉水流右支抛物线的函数表达式，并求出喷泉水流到喷水管的最大水平距离； 【优化设计】小组成员讨论后确定优化设计的方向，一是降低喷水口竖直高度，不降低喷出水流的最高点；二是使得喷泉水流到喷水管的水平距离尽可能大，且喷出的水不落到水池外． （2）若将喷出的水流的最高点水平向外移，高度不变，喷出的水流到喷水管的最大水平距离为，请确定优化后喷水口的竖直高度； 【拓展研究】如图③，该小组进一步提出优化设计要求：为了使喷泉喷出的水流达到美观效果，要求喷出的水流所在抛物线的最高高度与水平宽度的比接近黄金比0.618，确定水流离喷水管最大水平距离为，喷水口离水面竖直高度为，喷出的水流的最高高度为． （3）求进一步优化后喷出的水流所在抛物线的函数表达式，并通过计算评价所设计喷泉的美观度． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $