专题06 几何动点问题（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题06 几何动点问题 4大高频考点概览 考点01 三角形相关几何动点 考点02 全等三角形相关几何动点 考点03 等腰三角形相关几何动点 考点04 等边三角形相关几何动点 地 城 考点01 三角形相关几何动点 1．（24-25八上·重庆巴南区实验中学教育联盟·期末）中，，点D和点E分别是边和上的点，点P是一动点．令． (1)若点P在线段上，如图（1）所示，且，则________；若点P在线段上运动，如图（2）所示，则之间的关系是________________． (2)若点P运动到边的延长线上，如图（3）所示，则之间有何关系？猜想并说明理由．若点P运动到外，如图（4）所示，则的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的关系式． 【答案】(1)； (2)，理由见解析；不成立， 【来源】重庆市巴南区实验中学教育联盟2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴； ∵， ∴； 故答案为：，； （2）解：，理由如下， 如图，设交于点F， ∵，， ∴； 不成立，如图，设交于点G， ∵，，， ∴， ∴． 2．（24-25八上·重庆璧山青杠初中·期末）如图，在△ABC中，已知于点D，AE平分 （1）试探究与的关系； （2）若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，,如图2所示，此时的关系如何？ （3）若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，，①中的结论是否还成立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论. 【答案】（1）∠EAD=（∠C-∠B），理由见解析； （2）∠EFD=（∠C-∠B），理由见解析； （3）∠AFD=（∠C-∠B）成立，理由见解析. 【来源】重庆市璧山区青杠初级中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）由图不难发现∠EAD=∠EAC-∠DAC，再根据三角形的内角和定理结合角平分线的定义分别用结论中出现的角替换∠EAC和∠DAC； （2）作于G转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决； （3）作于H转化为（1）中的情况，利用（1）的结论即可解决． 【详解】解：（1）∠EAD=（∠C-∠B）.理由如下： ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE=∠CAE=∠BAC ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C） ∴∠EAC= [180°-（∠B+∠C）] ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAC=180°-∠ADC-∠C=90°-∠C， ∵∠EAD=∠EAC-∠DAC ∴∠EAD= [180°-（∠B+∠C）]-（90°-∠C）=（∠C-∠B）． （2）∠EFD=（∠C-∠B）.理由如下： 作于G 由（1）可知∠EAG=（∠C-∠B） ∵， ∴FD∥AG ∴∠EAG=∠EFD ∴∠EFD=（∠C-∠B） （3）∠AFD=（∠C-∠B）．理由如下： 作于H 由（1）可知∠EAH=（∠C-∠B） ∵， ∴FD∥AH ∴∠EAH=∠AFD ∴∠AFD=（∠C-∠B） 3．（24-25八上·重庆育才中学·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E． （1）若∠B＝30°，∠ACB＝80°，求∠E的度数； （2）当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明．    【答案】（1）∠E＝25°；（2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）． 【来源】重庆市育才中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝80°， ∴∠BAC＝70°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝35°， ∴∠ADC＝65°， ∴∠E＝25°； （2）∠E＝（∠ACB﹣∠B）．    设∠B=n°，∠ACB=m°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2=∠BAC， ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°， ∵∠B=n°，∠ACB=m°， ∴∠CAB=（180-n-m）°， ∴∠BAD=（180-n-m）°， ∴∠3=∠B+∠1=n°+（180-n-m）°=90°+n°-m°， ∵PE⊥AD， ∴∠DPE=90°， ∴∠E=90°-（90°+n°-m°）=（m-n）°=（∠ACB-∠B）． 4．（24-25八上·重庆沙坪坝八中·期末）如图，在中，P是线段上的一个动点，且不与B，C重合，，． (1)已知，． ① ； ②若，则 ； (2)如图②，已知，作，试探究，，之间的关系． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：①∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ②∵， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴； （2）解：，理由见解析； ∵，，， ∴，，， ∵， ∴, ∴. 5．（24-25八上·重庆实验外国语·期末）综合与实践 在中，，点，分别是边，上的点，点P是一动点，令，，． 【问题初探】（1）如图，若点在线段上，且，则________； 【问题再探】（2）如图，若点在线段上运动，写出，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图，若点在线段的延长线上运动，写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】（4）如图，若点运动到的内部，请直接写出此时，，之间的数量关系． 【答案】（）；（）；（）；（）． 【来源】重庆市实验外国语学校2024-2025学年八年级上学期期末考试试卷 【详解】解：（）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴； （）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； （）∵，， ∴， ∵五边形的内角和为， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八上·重庆沙坪坝八中·期末）在中，平分交于点，点是线段上的动点（不与点、、重合），过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点. (1)如图1，点在线段上运动. ①若，，则______°； ②若，则______°； ③试探究与之间的数量关系，并说明理由； (2)若点在线段上运动，请在图2中补全图形，并直接写出与之间的数量关系（不必说明理由）． 【答案】(1)①；②；③ (2) 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）①∵ ∴， 又∵是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∴， 故答案为：50； ②∵ ∴ ∴， 故答案为：70； ③ ∵ ∴， 又∵是的角平分线，是的角平分线 ∴， 又∵ ∴ （2）如图， ∵是的角平分线，是的角平分线 ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 7．（24-25八上·重庆綦江中学·期末）在△ABM中，AM⊥BM，垂足为M，AM＝BM，点D是线段AM上一动点．地 城 考点02 全等三角形相关几何动点 三角形相关几何动点 （1）如图1，点C是BM延长线上一点，MD＝MC，连接AC，若BD＝17，求AC的长； （2）如图2，在（1）的条件下，点E是△ABM外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF． （3）如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE，AE＝EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关系．（不用证明）    【答案】（1）17；（2）见解析；（3）∠3＝2∠1+∠2 【来源】重庆市綦江中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】解：（1）如图1，∵AM⊥BM，    ∴∠AMC＝∠BMD＝90°， ∵AM＝BM，MD＝MC， ∴△AMC≌△BMD（SAS）， ∴AC＝BD＝17． （2）证明：如图2，延长EF到点G，使FG＝FE，连接BG，    ∵F为BC中点， ∴BF＝CF， ∵∠BFG＝∠CFE， ∴△BFG≌△CFE（SAS）， ∴BG＝EC，∠G＝∠CEF， 又∵BD＝AC，EC＝AC， ∴BD＝EC， ∴BG＝BD， ∴∠G＝∠BDF， ∴∠BDF＝∠CEF． （3）如图3，延长AE、BM交于点C，作MH⊥AC于点H，作MF⊥BG于点F， ∵AM⊥BM，AE⊥BE， ∴∠BEC＝∠AMC＝90°， ∴∠MBF＝90°﹣∠C＝∠MAH， ∵∠BFM＝∠AHM＝90°，BM＝AM，   ∴△BFM≌△AHM（AAS）， ∴FM＝HM， ∵∠EFM＝∠EHM＝90°，EM＝EM， ∴Rt△EMF≌Rt△EMH（HL）， ∵∠FEH＝90°， ∴∠FEM＝∠HEM＝∠FEH＝45°， ∵∠AEB＝∠GEC＝90°， ∴∠AEM＝∠GEM＝90°+45°＝135°， ∵AE＝EG，EM＝EM， ∴△AEM≌△GEM（SAS）， ∴∠AME＝∠GME， ∵∠BEM＝∠BAM＝45°， ∴∠AME＝∠3﹣∠BEM＝∠3﹣∠BAM＝∠1， ∴∠AMG＝2∠AME＝2∠1， ∵∠3＝∠AMG+∠2， ∴∠3＝2∠1+∠2．    8．（24-25八上·重庆江北·期末）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m， CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明∶DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=，其中为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状． 【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF为等边三角形，证明见解析 ∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形． 【来源】重庆市江北区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA=90°． ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°． ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD． 又AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）成立．证明如下： ∵∠BDA =∠BAC=， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=180°-． ∴∠DBA=∠CAE． ∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC， ∴△ADB≌△CEA（AAS）． ∴AE=BD，AD=CE． ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）△DEF为等边三角形．理由如下： 由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE， ∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°． ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF． ∴∠DBF=∠FAE． ∵BF=AF， ∴△DBF≌△EAF（SAS）． ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE． ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°． ∴△DEF为等边三角形． 9．（24-25八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学·期末）中，，，过点作，连接，，为平面内一动点． (1)如图1，点在上，连接，，过点作于点，为中点，连接并延长，交于点． ①若，，则______； ②求证：． (2)如图2，连接，，过点作于点，且满足，连接，，过点作于点，若，，，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) 证明过程见解析； 【来源】重庆市渝中区鲁能巴蜀中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为：． 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 10．（24-25八上·重庆八中·期末）为等边三角形，点为平面内一点且，连接． (1)如图，已知，，点为中点，连接，求； (2)如图，点为中点，连接，请用等式表示线段和的数量关系，并证明； (3)如图，在（）问的条件下，点分别是上的动点，连接，，且，当取最小值时，请直接写出四边形的面积． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 同理得：， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，延长至，使得，连接，延长至，使得，连接， ∵点为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 如图，作，交于点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 作关于对称点，连接， ∴，是等边三角形， 当共线时，且时，取最小值， ∴为中点，为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 11．（24-25八上·重庆南开中学·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【来源】重庆南开中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 12．（24-25八上·重庆一中·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，连接，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第一中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 又，， ， ； （2）证明：如图，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ． 13．（24-25八上·重庆潼南·期末）如图，在中，，点是上一动点，点在的延长线上，且，平分交于，连接．地 城 考点03 等腰三角形相关几何动点 (1)如图1，求证：； (2)如图2，时，求证：； (3)如图3，当时，过点作的垂线，过点作的平行线，两直线l，n相交于，连接．当取得最大值时，请直接写出此时的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）证明：平分 （2）如图，在上截取，连接 由（1）得 是等边三角形 是等边三角形 即 （3）如图，， 点是上一动点， 以为圆心，为半径作 点是上一动点， 则点在上运动，当点到达点时，点到达点，当点到达点时，点到达点，故点在上运动 则当三点共线时，最大 则由题意可得，，， 即此时 如图，延长交于点 由（1）得 由（2）得 ． 14．（24-25八上·重庆九龙坡育才中学·期末）当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全等的两个三角形，从而解决问题． 已知，点是的中点．    (1)如图1，点在上，延长交于点，且，求证：；小明同学应用倍长中线的方法，延长至点，使，连接，请你帮助他写出证明过程； (2)如图2，点在射线上，连接，延长交于点，若为的中点，求证：； (3)在（2）的条件下，若点是线段的中点，垂直平分线段，在上有一动点，连接，当的周长最小时，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】重庆市九龙坡区育才中学校2024-2025学年八年级上学期期末 【详解】（1）如图所示，延长至点M，使，连接，    ∵D是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长至点H，使，连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， ∴在和中 ∴， ∴； （3）如图所示，连接交与，连接，    ∵垂直平分线段， ∴， ∵且M为的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∵的周长， ∴当P点运动到点时，最小，即的周长最小，最小为， ∴此时， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．（24-25八上·重庆南川·期末）在中，，点是边上的两点． (1)如图1，若，点在边上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作交于点，求的值； (2)如图2，若，点在的延长线上，连接，，，且，，求证：； (3)如图3，连接，，若，且，平分，，的面积为30，点分别是线段上的动点，连接，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆市南川区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，过点作，交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， 如图，过点作于点，交于点，过点作于点， 平分， ， 当D，N，H三点共线时最小 ， ， ， 的最小值为． 16．（24-25八上·重庆忠县·期末）在如图中，，，点D在上，点E在上． (1)如图①，若，，，求的长； (2)如图②，过B点作交的延长线于点F，过C点作于E，求证：； (3)如图③，若，点H在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，试问在点M、N运动的过程中，请判断的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值为3 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）过点C作，交的延长线于点P，连接， ∵， ∴，则， ∴，由题意和辅助线得和都是的余角， ∴． 又∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴在直角中，，， ∴； （2）在上取点G，连接，，使． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，，由， ∴， 即是等腰直角三角形， 由， ∴点E是的中点， ∴， ∴， ∴； （3）存在最小值为3． 作点E关于直线的对称点， 作点H作直线的对称点，则， 当四点、M、N、共线时，此时的最小值为， 连接，分别与、于交点即是所找的点M、N， 可知，， ∴，， ∴为等边三角形， 所以． ∴的最小值为3. 17．（24-25八上·重庆万州·期末）已知和均为等腰三角形，，点E在上，点F在射线上． (1)如图1，若，点与点重合，求证：； (2)如图2，若，求证：． (3)若，在（2）的条件下，点E为的中点，P为所在直线上一动点，当取得最大值时，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【来源】重庆市万州区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）证明：∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ （2）如图2，在上截取，连接， 连接交于N， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 即． ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴． 即． （3）解：如图所示，延长交直线于点， 当取得最大值时，则的最大值为的长， 由（2）可得 ∴, ∴， ∴， ∵为的中点，则， 又∵ ∴， ∴ 18．（24-25八上·重庆巴南·期末）已知点D在△ABC外，，，射线BD与△ABC的边AC交于点H，，垂足为E，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，已知，，点F在线段BC，且，点M，N分别是射线BC、BD上的动点．在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值；若不存在，写出你的理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，最小值为4 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）如图，在BD上取BG=CD，连接AG，AD． ∵在和中，， ∴， ∴． 又∵， ∴E为DG中点，即， ∴， ∴； （2）如图，作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 19．（24-25八上·重庆永川·期末）如图，是边长为的等边三角形，点、点分别是边、上的动点．地 城 考点04 等边三角形相关几何动点 (1)若点在上以的速度由点向点运动，同时点在上以的速度由点向点运动，设点运动的时间为秒． ① 试求当为何值时，为等边三角形？ ② 若为直角三角形，试求的值． (2)如图2，点为外一点，且＝，．若点、点在运动过程中始终保持，试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1)①秒；②秒或秒 (2)不变， 【来源】重庆市永川区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：① 由题意得：，，．                 当时，为等边三角形． 即．             解得：．即秒时，为等边三角形．             ②是边长为的等边三角形， ，． ．若，则． ，即 （）， 解得．                 ．若 ，则 ． ，即， 解得．                 经验证，和均符合题意． 故若为直角三角形时，的值为秒或秒． （2）的周长不发生变化．理由如下： 延长至，使，连接． ，， ． 是等边三角形， ． ．                                     又 ，， ． ，．                                 ，， ． ． 即． ．                             又，， ． ． ． 的周长不发生变化，为． 20．（24-25八上·重庆江北·期末）等边中，于点H，点D为边上一动点，连接，点B关于直线的对称点为点E，连接． (1)如图1，点E恰好落在的延长线上，则求______o； (2)过点D作交于点G，连接交于点F． ①如图2，试判断线段和之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线交于点M，连接，D点运动的过程中，当取最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】(1)15 (2)①，理由见解析；② 【来源】重庆市江北区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵是等边三角形，， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：15； （2）①，理由如下： 如图，延长交于点N， 设， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； ②如图，连接，取中点P，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当C、M、G三点共线且与重合时，最短，此时点D与H点重合，点G与点P重合， ∵P、H分别是的中点， ∴． 21．（24-25八上·重庆江津·期末）如图1，是等边三角形，点是平面内的一点，连接，将边沿直线翻折得到线段，连接，连接与交于点． (1)若，求的度数； (2)试探究线段之间的数量关系并证明； (3)如图2，的边长为，连接，点是直线上的一点，连接，点是直线上的一个动点，当在左侧，且时，连接，当的周长最小时，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【来源】重庆市江津区2024-2025学年上学期期末八年级数学试卷 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， 根据折叠可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：；理由如下： 连接，在上取点G，使，连接，如图所示： 设，则， 根据折叠可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 根据折叠可知：， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 延长，取点M，使，连接，交于点H，连接，交于点N，如图所示： ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴点G在点N处时，最小， ∵，， ∴， ∴当的周长最小时，的最小值为． 22．（24-25八上·重庆江北·期末）如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接． (1)当时，求的度数； (2)求证：； (3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)证明见解析； (3)． 【来源】重庆市江北区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点与点关于射线对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， （2）解：如图，在上截取，连接， 由（）得垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，连接， 由（）得垂直平分， ∴， ∴当点三点共线时，的值最小， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．（24-25八上·重庆綦江区·期末）如图所示，和都是边长为厘米等边三角形，两个动点，同时从点出发，点以厘米秒的速度沿的方向运动，点以厘米秒的速度沿的方向运动，当点P到达点B时，、两点同时停止运动．设、运动的时间为秒． (1)点、从出发到相遇所用时间是 秒； (2)当取何值时，也是等边三角形？请说明理由； (3)是否存在t的值，使，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)不存在，理由见解析． 【来源】重庆市綦江区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【详解】（1）解：设点、从出发到相遇所用时间是， 根据题意得：， 解得：， 故答案为：； （2）解：当时，是等边三角形． 理由如下： 如图所示，若是等边三角形， 此时点在上，点在上，且，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 解得：；         （3）解：不存在的值，使． 理由如下： 如图所示：若， ，  ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， 解得：, 又， 不存在的值，使． 24．（24-25八上·重庆九龙坡·期末）如图，△ABC是等边三角形，点D在边AC上（点D不与点A，C重合），点E是射线BC上的一个动点（点E不与点B，C重合），连接DE，以DE为边作等边△DEF，连接CF. （1）如图1，当DE的延长线与AB的延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，过点D作，DG交BC于点G，求证：CF=EG； （2）如图2，当DE的反向延长线与AB的反向延长线相交，且点C，F在直线DE的同侧时，求证：CD=CE+CF； （3）如图3，当DE的反向延长线与线段AB相交，且点C，F在直线DE的异侧时，猜想CD、CE、CF之间的等量关系，并说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）FC=DC+EC，证明见解析. 【来源】重庆市九龙坡区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． ∵， ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60°． ∴△DGC是等边三角形． ∴DC＝DG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60° ∴∠EDG＝60°－∠GDF，∠FDC＝60°－∠GDF， ∴∠EDG＝∠FDC， ∴△EDG≌△FDC． ∴FC＝EG． （2）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 如图2，过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B＝60°． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°， ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°－∠CDE，∠FDC＝60°－∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC．   ∴EG＝FC．   ∵CG＝CE＋EG， ∴CG＝CE＋FC． ∴CD＝CE＋FC． （3）解：如图3，猜想DC、EC、FC之间的等量关系是FC＝DC＋EC． 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°． 过点D作，DG交BC于点G． ∴∠DGC＝∠B． ∴∠DGC＝∠DCG＝60° ∴△DGC是等边三角形． ∴CD＝DG＝CG，∠CDG＝60°． ∵△DEF是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∴∠EDG＝60°＋∠CDE，∠FDC＝60°＋∠CDE， ∴∠EDG＝∠FDC． ∴△EDG≌△FDC． ∴EG＝FC． ∵EG＝EC＋CG， ∴FC＝EC＋DC． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06几何动点问题 ☆4大高频考点概览 考点01三角形相关几何动点 考点02全等三角形相关几何动点 考点03等腰三角形相关几何动点 考点04等边三角形相关几何动点 目目 考点01 三角形相关几何动点 1. (24-25八上重庆巴南区实验中学教育联盟·期末)Rt△ABC中，∠C=90°，点D和点E分别是ABC 边AC和BC上的点，点P是一动点.令LPDA=L1,LPEB=L2,LDPE=La. E 2 D 2 图1 图2 C B B 图3 图4 (1)若点P在线段AB上，如图(1)所示，且∠=50°，则∠1+∠2= °；若点P在线段AB上运动， 如图(2)所示，则La,∠1，∠2之间的关系是 (2)若点P运动到边AB的延长线上，如图(3)所示，则∠，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由，若 点P运动到ABC外，如图(4)所示，则La,∠1，∠2的关系仍然成立吗？若不成立，请直接写出它们的 关系式 2.(2425八上重庆璧山青杠初中.期末)如图，在△ABC中，己知AD⊥BC于点D,AE平分 ∠BAC(∠C>∠B) (1)试探究∠EAD与∠C、∠B的关系； (2)若F是AE上一动点，当F移动到AE之间的位置时，FD⊥BD,如图2所示，此时∠EFD与∠C、∠B 的关系如何？ 1/11 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (3)若F是AE上一动点，当F继续移动到AE的延长线上时，如图3，FD⊥BC,①中的结论是否还成 立？如果成立请说明理由，如果不成立，写出新的结论 D C B 图① 图② 图③ 3.(24-25八上重庆育才中学期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点， PE⊥AD交直线BC于点E. (1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数； (2)当P点在线段AD上运动时，猜想∠E与∠B、∠ACB的数量关系，写出结论无需证明. B D C 4.(24-25八上·重庆沙坪坝八中·期末)如图，在ABC中，P是线段BC上的一个动点，且不与B,C重 合，PD⊥AB,PE⊥AC· D B P 图① 图② (1)已知LBAC=80°，∠B=∠C. ①∠DPE=-; ②若∠APB=3∠PAC,则∠APD=-; (2)如图②，已知AB=AC,作BF⊥AC,试探究BF,PE,PD之间的关系 5.(24-25八上·重庆实验外国语期末)综合与实践 在ABC中，∠C=40°，点D,E分别是ABC边AC,BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠I, 2/11 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 ∠PEB=∠2，∠DPE=∠. 【问题初探】(1)如图1，若点P在线段AB上，且∠=60°，则∠1+∠2= 【问题再探】(2)如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由： (3)如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠之间的数量关系，并说明理由： 【问题解决】(4)如图4，若点P运动到ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠之间的数量关系. 久/2 图1 兰角形相養何动点 图3 图4 6.(2425八上重庆沙坪坝八中期末)在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,点E是线段AC上的 动点（不与点A、D、C重合），过点E作EF∥AB交直线BD于点F,∠CEF的角平分线所在直线与射线 BD交于点G B 图1 图2 (1)如图1，点E在线段AD上运动 ①若∠ABC=40°，LA=60°，则LDGE=; ②若∠C=40°，则LDGE-°； ③试探究∠DGE与∠C之间的数量关系，并说明理由； (2)若点E在线段DC上运动，请在图2中补全图形，并直接写出∠DGE与∠C之间的数量关系（不必说明 理由) 目目 考点02 全等三角形相关几何动点 7. (24-25八上·重庆綦江中学期末)在△ABM中，AMLBM,垂足为M,AM=BM,点D是线段AM上一 动点. (1)如图1，点C是BM延长线上一点，MD=MC,连接AC,若BD=17,求AC的长； (2)如图2，在(1)的条件下，点E是△ABM外一点，EC=AC,连接ED并延长交BC于点F,且点F 3/11 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF (3)如图3，当E在BD的延长上，且AE⊥BE,AE=EG时，请你直接写出∠1、∠2、∠3之间的数量关 系.（不用证明） G D B B F MC B M 图1 图2 图3 8.(24-25八上重庆江北期末)(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线m经 过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE (2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线m上，并且有∠ BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出 证明；若不成立，请说明理由， (3)拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点(D、A、E三点互不重合)， 点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC ,试判断△DEF的形状. B B A E D A E m D A E m (图1) (图2) (图3) 9.(24-25八上·重庆渝中区鲁能巴蜀中学期末)Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,过点A作 AE⊥AB,连接BE,CE,M为平面内一动点. E M M B 图1 图2 (I)如图1，点M在BE上，连接CM,CM⊥BE,过点A作AF⊥BE于点F,D为AC中点，连接FD并延 4/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 长，交CM于点H. ①若AE=2,AB=4,则S4Ec=; ②求证：MF=MH. (2)如图2，连接BM,EM,过点B作BM'⊥BM于点B,且满足BM'=BM,连接AM',MM',过点B作 BG⊥CE于点G,若S。4Bc=18,EM=3,BG=4,请求出线段AM'的取值范围. 10.(24-25八上重庆八中.期末)ABC为等边三角形，点D为平面内一点且∠ADC=60°，连接BD. 图1 图2 图3 (I)如图1，已知∠ACD=90°，CD=2,点E为AC中点，连接BE,求SBD; (2)如图2，点E为AC中点，连接DE,请用等式表示线段BD和DE的数量关系，并证明； (3)如图3，在(1)问的条件下，点M、N分别是CD、AD上的动点，连接CN,MW,且ND=2CM,当 CN-CM取最小值时，请直接写出四边形BNDM的面积. 11.(24-25八上重庆南开中学·期末)如图①，在Rt△ABC中， LC=90°，BC=9cm,AC=12cm,AB=15cm,现有一动点P,从点A出发，沿着三角形的边 AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s,设运动时间为s. B E 图① 图② (1)如图①，当t= 时，△APC的面积等于ABC面积的一半； (2)如图②，在aDEF中，∠E=90°，DE=4cm,DF=5cm,∠D=LA,在ABC的边上，若另外有一个动 点Q,与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻， 恰好aAPQ≌aDEF，求点Q的运动速度】 12.(24-25八上·重庆一中.期末)己知：ABC中，∠ACB=90°，AC=CB,D为直线BC上一动点，连接 AD,在直线AC右侧作AE⊥AD,且AE=AD. 5/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A H A B C B C 图1 图2 (I)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H,求证：AC=EH; (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M,连接DE,求证：BM=EM 目目 考点03 等腰三角形相关几何动点 13.(24-25八上·重庆潼南期末)如图，在ABC中，CA=CB,点D是CB上一动点，点E在AD的延长 线上，且CA=CE,CF平分LBCE交DE于F,连接BF. C 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：∠CAF=∠CBF; (2)如图2，LABC=60°时，求证：CF+EF=AF: (3)如图3，当∠ABC=45°时，过点A作AB的垂线1，过点C作AB的平行线n,两直线1，n相交于M,连 接ME.当ME取得最大值时，请直接写出此时 EF 的值 AD 14.(24-25八上重庆九龙坡育才中学期末)当已知三角形一边中点时，我们常通过“倍长中线”来构造全 等的两个三角形，从而解决问题， 己知ABC,点D是BC的中点. B D M 图1 图2 图3 6/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)如图1，点E在AD上，延长CE交AB于点F,且FA=FE,求证：CE=AB;小明同学应用倍长中线的 方法，延长ED至点M,使ED=DM，连接BM,请你帮助他写出证明过程； (2)如图2，点E,G在射线DA上，连接BE,CG,BG,延长CG交BE于点F,若FE=FG,G为ED的中点，求 证：BG=BD: (3)在(2)的条件下，若点M是线段DG的中点，∠DBG=40°，NH垂直平分线段BG,在NH上有一动点 P,连接GP,DP,PM,当aGPM的周长最小时，直接写出∠DPH的度数 15.(24-25八上·重庆南川期末)在ABC中，AC=BC,点D,E是边BC上的两点. 图1 图2 图3 (I)如图1，若∠B=60°，点N在AB边上，点F在AC的延长线上，且BN=CF,连接NF交BC于点E, 过点N作ND∥AF交BC于点D,AC=4,CF=1,求CE的值； (2)如图2，若∠B=60°，点F在AC的延长线上，连接DF,AD,AE,且AD=FD,∠CAE=∠CDF,求 证：CE=CF; (3)如图3，连接AD,AE,若AD⊥BC,且BD:CD=1:4,AE平分∠BAC,BD=2,ABC的面积为30， 点M,N分别是线段AB,AE上的动点，连接MN,DN,直接写出MN+DN的最小值. 16.(24-25八上·重庆忠县期末)在如图Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在BC上，点E在 AD上. D 图① 图② 图③ (1)如图①，若∠CED=45°，∠BED=30°，AE=2,求BE的长； (2)如图②，过B点作BF⊥AD交AD的延长线于点F,过C点作CE⊥AD于E,求证：AE=BF+EF; (3)如图③，若∠BAD=25°，点H在线段AC上，且AE=AH=3,点M、N分别是射线AC、AD上的动 点，试问在点M、N运动的过程中，请判断EM+MW+WH的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这 7/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 个最小值；若不存在，说明理由. 17.(24-25八上·重庆万州期末)己知ABC和aDEF均为等腰三角形， AB=AC,DE=DF,LBAC=LEDF,点E在AB上，点F在射线AC上. B C(F) 图1 图2 (1)如图1，若LBAC=60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC: (2)如图2，若AD=AB,求证：AF=AE+BC. (3)若AB=5,在(2)的条件下，点E为AB的中点，P为BC所在直线上一动点，当|DP-EP|取得最大值 时，请直接写出BP的长 18.(24-25八上重庆巴南·期末)已知点D在△ABC外，∠BAC=90°，AB=AC,射线BD与△ABC的 边AC交于点H,AE⊥BD,垂足为E,∠ABD=∠ACD. H H D D B B M (图1) (图2) (1)如图1，求证：2DE+DC=BD; (2)如图2，已知∠ABE=25°，BE=4,点F在线段BC,且BE=BF,点M,N分别是射线BC、BD上的 动点，在点M,N运动的过程中，请判断式子EM+MN+NF的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这 个最小值；若不存在，写出你的理由. 目目 考点04 等边三角形相关几何动点 19.(24-25八上重庆永川期末)如图1，△ABC是边长为6Cm的等边三角形，点P、点Q分别是边AB、 AC上的动点. 8/11 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 A d B B D 图1 图2 (I)若点P在AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动， 设点P运动的时间为t秒. ①试求当t为何值时，△APQ为等边三角形？ ②若△APQ为直角三角形，试求t的值， (2)如图2，点D为△ABC外一点，且BD=CD,∠BDC=120°，若点P、点Q在运动过程中始终保持 ∠PDQ=60°，试判断在这一过程中，△APQ的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变 化，请说明理由 20.(24-25八上·重庆江北期末)等边ABC中，BC=4,AH⊥BC于点H,点D为BC边上一动点，连接 AD,点B关于直线AD的对称点为点E,连接AE,DE,CE. G H D D 图1 图2 图3 (I)如图1，点E恰好落在AH的延长线上，则求∠BCE=; (2)过点D作DG∥AC交AB于点G,连接GE交AD于点F. ①如图2，试判断线段AF、EF和CE之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，直线GE交AH于点M,连接BM,D点运动的过程中，当BM+GM取最小值时，请直接写出线 段DG的长度. 21.(24-25八上重庆江津期末)如图1，ABC是等边三角形，点D是平面内的一点，连接AD,将AB 边沿直线AD翻折得到线段AE,连接BE,连接CE与AD交于点F, 9/11 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B H 图1 图2 (1)若∠ABE=75°，求∠ACE的度数； (2)试探究线段EF、AF、CF之间的数量关系并证明； (3)如图2，ABC的边长为4√6，连接BF,点H是直线BF上的一点，连接CH,点G是直线CH上的一个 动点，当BF在AB左侧，且∠ABF=30°时，连接AH、BG,当△AHC的周长最小时，直接写出BG的最小 值. 22.(24-25八上·重庆江北期末)如图1，等边ABC中，过点A在AB边的右侧作射线AP, ∠BAP=a(30°<O<45)点B与点E关于射线AP对称，连接AE,BE,且BE交射线AP于点D,过C、E两 点的直线交射线AP于点F,连接BF, M D P P 图1 图2 (1)当a=40°时，求∠BEF的度数； (2)求证：AF=BF+CF: (3)如图2，点M为射线AP上的一动点，过点M做MN⊥AB于点N,连接BM,当BM+MN的值最小时， 请直接写出∠AMB的大小（用含α的代数式表示）· 23.(24-25八上·重庆綦江区·期末)如图所示，4ABC和△ACD都是边长为5厘米等边三角形，两个动点P ，Q同时从A点出发，点P以2厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以4厘米/秒的速度沿 A→B→C→D的方向运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动.设P、Q运动的时间为t秒， 10/11