专题03 尺规作图（期末真题汇编，重庆专用）八年级数学上学期

专题03 尺规作图 4大高频考点概览 考点01 作已知角相等的角 考点02 作角平分线 考点03 作垂直平分线 考点04 作垂直 地 城 考点01 作已知角相等的角 1．（24-25八上·重庆江北·期末）如图，在中，，，点为线段上的一点，过点作交的延长线于点． (1)基本尺规作图：作，交线段于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)求证：． 证明：∵， ∴_______① ∵， ∴， ∴________② 在和中 ∴， ∴_________④，， ∵， ∴． 【答案】(1)作图见解析； (2)；；；． 【来源】重庆市江北区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（）根据作一个角等于已知角的基本作法作图即可； （）根据全等三角形的判定和性质求解； 本题考查了基本作图，掌握作角等于已知角的基本作法和全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，，，． 2．（24-25八上·重庆巴蜀中学·期末）小明在学习八年级上册第七章《平行线的证明》的过程中，遇到如下图的一个图形，其中，，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论．下列是小明的操作和猜想，请按照他的思路作图，并填空． (1)用尺规作交的延长线与点，使得； (2)求证：． _____________① ． ， _____________②． 又_____________③， ． 而， ， _____________④， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）① ． ， ②． 又③， ． 而， ， ④， ． 3．（24-25八上·重庆沙坪坝·期末）如图，是的角平分线，请完成以下作图与填空： (1)用尺规在右侧作，使得，射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在中，，，是的角平分线，．求的度数． 解：在中，________①______°， ． 是的角平分线， _________②_________． ， ___________③___________， ． 【答案】(1)见解析 (2)①180，②③ 【来源】重庆市沙坪坝区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷 【分析】此题考查了尺规作一个角等于已知角，与角平分线有关的三角形内角和问题，平行线的性质和判定等知识，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）利用尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理得到，然后根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质和判定求解即可． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）解：在中，， ． 是的角平分线， ． ， ， ． 故答案为：①180，②③. 4．（24-25八上·重庆北碚·期末）已知：， (1)尺规作图：以为边，在的外部作（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，是内部的一条射线，若，，求的度数．补全解题过程． 解：∵，， ∴______． ∵平分， ∴（______）（填写推理依据） ∴_____． ∴__． ∴______． 【答案】(1)见解析 (2)；；角平分线的定义；；； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 （2）解：， ． 平分， （角平分线的定义）（填写推理依据） ． ． ． 故答案为；110；；角平分线的定义；55；；15． 5．（24-25八上·重庆南开中学·期末）如图，点为直线上一点，射线与点E在直线的同一侧，且点E在内部． (1)请按要求进行尺规作图：作射线，并在内部作，使得（不写作法和结论，只保留作图痕迹）． (2)小南发现，若为的角平分线，则的大小始终为．请根据他的思路，补全下列解题过程． 解：∵， ∴， ∴①_______． ∵②_______， ∴． 又∵， ∴③_____④________°． 【答案】(1)见解析 (2)，平分，， 【来源】重庆市南开中学校2024-2025学年八年级上学期期末考试卷 【分析】本题主在考查了尺规作图——作一个角等于已知角．熟练掌握基本作图，角平分线定义，角的和差倍分计算，是解题的关键． （1）按照作一个角等于已知角的方法作图； （2）①根据角平分线定义知，②已知中的为的角平分线，③是求度数的，④． 【详解】（1）解 ：如图，即为所求作； （2）解：∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴． 又∵， ∴． 故答案为：，平分，，． 6．（24-25八上·重庆开州云枫初中教育集团·期末）如图，在中，点为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：点为边上的中点， ① 在和中， （ ② ） （ ③ ）， 在和中， （ ④ ） ， （ ⑤ ）． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行 【来源】 重庆市开州区云枫初中教育集团2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，作与已知角相等的角的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）先证明 得到，再证明得到，由此即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求；   ； （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴ ， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①；②；③，④；⑤内错角相等，两直线平行． 7．（24-25八上·重庆巴蜀中学·期末）在四边形中，为对角线．      (1)尺规作图：在线段上找一点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）条件下，若，求证：． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质： （1）根据尺规作图—作一个角等于已知角的方法，作图即可； （2）证明即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）∵， ∴， ∵，， ∴； ∴． 8．（24-25八上·重庆八中·期末）如图．，连接点E在上上，连接平分． (1)用尺规完成下列基本作图：以点E为顶点，为一边．在内作，使它等于（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)图见解析； (2)20° 【来源】重庆市第八中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据尺规作图-作一个角等于已知角的作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质和三角形的外角性质可求∠AED=100°，再根据角平分线的定义和角的运算求解即可． 【详解】（1）解：如图，∠DEG即为所求作； （2）解：∵∠A=30°，AB∥CD， ∴∠C=∠A=30°， ∴∠AED=∠C+∠D=100°， ∵∠D=70°， ∴∠DEG=∠D=70°， ∵EF平分∠AED， ∴∠DEF=∠AED=50°， ∴∠FEG=∠DEG－∠DEF=70°－50°=20°． 【点睛】本题考查尺规作图-作一个角等于已知角、角平分线定义、三角形的外角性质、平行线的性质，掌握尺规作图的方法步骤，熟练运用三角形的外角性质是解答的关键． 9．（24-25八上·重庆大渡口·期末）小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成以下作图和填空：地 城 考点02 作角平分线 如图，在四边形中，，平分． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点．（只保留作图痕迹） (2)探究：与的位置关系．将下面的过程补充完整． 解：∵且， ∴ ① ， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． ∴ ② ． ∴ ③ ． 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么 ④ ． 【答案】(1)作图见解析 (2)，，，另一组对角的角平分线互相平行 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵且， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为，那么另一组对角的角平分线互相平行， 故答案为：，，，另一组对角的角平分线互相平行． 10．（24-25八上·重庆丰都·期末）我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边．小丽同学提出问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究．请根据她的思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ①__________． 在和中， ∴． ③_____． ④_____， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大． 【来源】重庆市丰都县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）证明：∵平分线， ． 在和中， ∴． ． ∵， ． 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，大边所对角比小边所对角大． 故答案为：①；②；③；④；⑤大边所对角比小边所对角大 11．（24-25八上·重庆渝北区第二实验中学·期末）如图，已知在中，点D在边上，且． (1)用尺规作图法，作的平分线，交于点P；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)在（1）的条件下，连接、求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 12．（24-25八上·重庆K12·期末）如图，中，． (1)尺规作图：在斜边上找一点D，使，作的平分线，交于点E，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：是直角三角形． 证明：∵平分， ∴ ． 在和中， ， ∴， ∵， ∴_______， ∴，是直角三角形 【答案】(1)见解析 (2)，，，，，， 【来源】重庆市K12教育2024-2025学年八年级上学期期末考试试题 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定： （1）在截取，再利用基本作图作的平分线； （2）证明得到，从而得到． 【详解】（1）解：如图所示， （2）证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：． 13．（24-25八上·重庆两江育才中学·期末）尺规作图并完成证明：如图，点C是上一点，，，．    (1)用直尺和圆规，作的平分线，交于点F．（只保留作图痕迹） (2)证明：． 证明： ∵（已知） ∴① （② ） ∴（③ ） 在和中， ∵ ∴（④ ） ∴⑤ ． 【答案】(1)见解析 (2)；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；； 【来源】重庆市两江育才中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）以为圆心，适当长为半径画弧交于，交于，以为圆心，适当长为半径画弧交点为，连接交于，点即为所求； （2）先证明三角形全等，进而即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，点即为所求；    （2）证明：∵（已知） ∴①（②内错角相等，两直线平行） ∴（③两直线平行，内错角相等） 在和中， ∵ ∴（④） ∴⑤； 故答案为：；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；；． 14．（24-25八上·重庆渝中·期末）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等．那么，不相等的边所对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过直观观察发现：在中，大于，边所对的大于边所对的．为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将转化为一个三角形的外角，利用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明． 请根据以上思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，中，． 求证：， (1)尺规作图：作的平分线，交于点D，在上截取，连接．（保留作图痕迹） (2)证明：∵平分线， ∴①． 在和中， ， ∴． ∴③． ∵④， ∴． 【答案】(1) (2)①；②；③；④ 【来源】重庆市渝中区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及三角形外角性质，运用全等三角形判定角相等是解题的关键． （1）根据要求尺规作图即可． （2）根据条件证明，然后通过三角形的外角性质得出结论即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）解：∵平分线， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：①；②；③；④ 15．（24-25八上·重庆高新区第二联盟体·期末）如图，中，，于． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写做法）； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市高新区第二联盟体2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据角平分线的作法作图即可； （2）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义求出，根据垂线的定义求出，最后利用对顶角相等得到． 【详解】（1）解：如图，点P和点Q即为所求； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图—角平分线，垂线的定义，角平分线的定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是合理利用定理得出角的关系，通过准确计算得到角的度数． 16．（24-25八上·重庆西南大学附中·期末）如图，已知中，. (1)请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D，在AB上取一点E，使AE=AC，连接DE.（不写作法，不下结论，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图形中，求证：.请完成下面的证明过程： 证明：∵AD平分， ∴______， 在与中 ∴， ∴______，，AE=AC， ∵______，且， ∴，∴， ∴______， ∵，∴. 【答案】(1)见详解 (2)∠DAE，∠AED，∠B，CD 【来源】重庆市西南大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用尺规作出角平分线及相等的线段，然后连接即可； （2）先证明，再结合∠B，且，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图所示即为所求； （2）证明：∵AD平分， ∴∠DAE， 在与中， ∴， ∴∠AED，，AE=AC， ∵∠B，且， ∴， ∴， ∴CD， ∵， ∴． 故答案是：∠DAE，∠AED，∠B，CD． 17．（24-25八上·重庆渝北·期末）数学课上，老师布置如下任务：如图，在中，平分交于点．地 城 考点03 作垂直平分线 (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：∵ ， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ， ∴ （ ） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市渝北区2024-2025学年上学期期末质量检测八年级数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）证明得出，进而即可得到结论 【详解】（1）解：作图如图所示： （2）证明：∵平分， ∴． ∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∴（平角的定义） ∴在和中， ∴． ∴ ∴． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，熟记全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 18．（24-25八上·重庆两江育才中学·期末）如图，在中，平分交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点E、O、F，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：① ， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ． ③ 是线段的垂直平分线， ④ ． 【答案】(1)图见详解 (2)平分；；；． 【来源】重庆市两江育才中学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：分别以为圆心，以大于为半径画四个圆弧，交于两点，连接两个交点分别交、、于点E、O、F，连接，如图： （2）证明：①平分， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中， ， ． ③， 是线段的垂直平分线， ④， ． 故答案为：平分；；；． 19．（24-25八上·重庆江北巴川量子学校·期末）如图，中，，的平分线交于点D． (1)尺规作图：作的垂直平分线，分别交、、于点 E、F、G，连接、；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作的图形中，求证：． 补全下列证明过程： 证明：垂直平分 ，①　　 平分 ②　　 在和中， ， ④　　 【答案】(1)见解析； (2)，，，． 【来源】重庆市江北区江北巴川量子学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：图形如图所示：直线即为所求， （2）解：证明：垂直平分， ，， 平分， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 20．（24-25八上·重庆江北鲁能巴蜀中学·期末）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°． （1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）； （2）连接BD，求证：BD平分∠CBA． 【答案】（1）作图见解析；（2）证明见解析． 【详解】（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线； （2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=30°， ∵∠C=90°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°， ∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠CBA． 21．（24-25八上·重庆八中·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图： ①作边的垂直平分线交于点，交于点； ②连接，作的平分线交于点；（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中；求的度数． 解：∵垂直平分线段， ∴，（_________）（填推理依据） ∴，（__________）（填推理依据） ∵，∴， ∵， ∴__________， ∴__________， ∵平分， ∴__________． 【答案】(1)详见解析 (2)线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，等边对等角，110，80，40 【来源】重庆市第八中学2024-2025学年八年级上学期期末 【详解】（1）解：①作边的垂直平分线交于点，交于点如图所示： ②连接，作的平分线交于点如图所示： （2）∵垂直平分线段， ∴，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴，（等边对等角） ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；等边对等角；110；80；40． 22．（24-25八上·重庆云阳·期末）在学习了全等三角形和等腰三角形的相关性质后，我们通过进一步研究发现，等腰三角形中两腰上的中线有相等关系，可利用证明三角形全等得到此结论．根据此想法和思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，，点是的中点，连接．用尺规作的垂直平分线分别交，于点，，连接．（只保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)已知：在中，，点是的中点，垂直平分，求证：． 证明： ___________① 点是的中点，垂直平分 ，___________② 在和中 ． 进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④等腰三角形的两底角的平分线相等 【来源】 重庆市云阳县2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）证明： ， 点是的中点，垂直平分 ，， 在和中 ， ． 进一步思考，等腰三角形两底角的平分线呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论： 等腰三角形的两底角的平分线相等． 故答案为：①②③④等腰三角形的两底角的平分线相等． 23．（24-25八上·重庆渝北二实中·期末）如图，在中，，为的中点，连接． (1)请用直尺和圆规完成基本作图：作的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接、；（保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：．（请补全下面的证明过程）． 证明：，为中点， 　　． 为的垂直平分线， ， 又，， 　　． 　　， ． ( _____________________) 【答案】(1)见详解 (2)，， 【来源】重庆市渝北区渝北区第二实验中学校2024-2025学年八年级上学期期末 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图求解即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和等量代换求解即可． 【详解】（1）解：直线即为所求， （2）证明：如图， ，为中点， ， 为的垂直平分线， ，． 又，， ， ， ． 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查作图—基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定． 24．（24-25八上·重庆梁平·期末）如图，在中，，，分别是，上的点，且． (1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，求证：（补全下面的证明过程，不写证明理由）． 证明：， ①____________， 是的垂直平分线， ②____________， ， ， ， ③____________， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)① ② ③ 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）按照作线段垂直平分线的方法作出的垂直平分线即可； （2）由等边对等角可得，由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，结合，可得，然后由垂线的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）证明：， ①， 是的垂直平分线， ②， ， ， ， ③， ， ， ， 故答案为：，，． 25．（24-25八上·重庆忠县·期末）小王同学遇到一道几何题，如图所示，点在边上，点在外，点是与的交点，已知，，平分，证明：．地 城 考点04 作垂直 (1)小王同学首先想到过点作的垂线，垂足为，请用尺规完成小王同学的基本作图；（在答题卡上保留作图痕迹，标上字母，不写作法） (2)下面是小王同学的不完整证明，请根据小王同学的证明思路完成对应空白填空．（在答题卡上填上对应代号的内容） 证明：∵，∴，由（1）得， ∵平分，∴（① ）， 在和中，∵，， ∴（② ）， ∴（③ ）， 又∵（④ ），且，， ∴，∴． 【答案】(1)见详解 (2)①角平分线的性质定理，②，③，④对顶角相等 【来源】重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与点，与的交点即为； （2）按照步骤作答即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）证明：∵，∴，由（1）得， ∵平分，∴（角平分线的性质定理）， 在和中，∵，， ∴（）， ∴， 又∵（对顶角相等），且，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质，熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，对顶角的性质是解题的关键． 26．（24-25八上·重庆綦江区·期末）学习了角平分线性质后，小明进行了拓展研究，他发现的外角和外角的角平分线，交于点，他猜想平分，他的解决思路是利用角平分线性质．过点分别向、、作垂线，再利用相关性质得出结论．其中小明已经完成过点分别向、作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空． (1)用直尺和圆规，过点作于点．（保留作图痕迹） (2)已知：如图，的外角和外角的角平分线，交于点，于点，于点，于点．求证：． 证明：平分， 于点，于点， ① ， 平分， 于点，于点， ② ， ③ ， ，， ④ ， ． 由此他得出结论：三角形的两⑤ 所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 【答案】(1)作图见解析 (2)；；；平分；外角角平分线 【来源】重庆市綦江区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查尺规作图（过直线外一点作高），角平分线的性质与判定，熟练掌握利用尺规作高的方法和角平分线的性质与判定是解题的关键． （1）用尺规作高即可； （2）先利用角平分线的性质得出，，则，再利用角平分线的判定即可得平分，最后总结即可． 【详解】（1）解：作图如图所示： 则即为所求； （2）解：平分，于点，于点， ， 平分，于点，于点， ， ， ，， 平分， ． 由此他得出结论：三角形的两外角角平分线所在直线交点与三角形另一顶点连线平分这个内角． 故答案为：；；；平分；外角角平分线． 27．（24-25八上·重庆沙坪坝八中·期末）学习了角平分线的性质后，小明进行了拓展性研究．他发现的外角和外角的角平分线，交于点F，他猜想平分．他的解决思路是利用角平分线性质，过点F分别向、、作垂线，再证明这和这两个角所在的三角形全等得出结论．其中小明已经完成过点F分别向，作垂线，请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点F作于点K．（保留作图痕迹） 已知：如图，的外角和的角平分线，交于点F，于点K，于点H，于点G．求证：． 证明：∵平分， 于点H，于点G， ∴_________． ∵平分， 于点K，于点H， ∴． ∴_________． ∵，， ∴，均为直角三角形． ∵， ∴_________． ∴． 由此他得到结论： 三角形两条_________平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角． 【答案】作图见解析，；；；外角 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】如图，即为所作； 证明：∵平分， 于点H，于点G， ∴． ∵平分， 于点K，于点H， ∴． ∴． ∵，， ∴，均为直角三角形． ∵， ∴． ∴． 由此他得到结论： 三角形两条外角平分线所在直线交点与三角形另一个顶点连线平分此内角． 28．（24-25八上·重庆西南大学附中·期末）在几何学习中，我们遇到这样一个题目：“在四边形中，．若平分，，求证：．”结合学过的知识，可以知道：首先过点C分别作出、的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后结合补角的知识使问题得到解决．请根据上述的思路，完成下面的作图与填空： (1)尺规作图：用直尺和圆规，过点C分别作出、的垂线，垂足分别是点 E、F（只保留作图痕迹）； (2)证明：∵，， ∴， 又∵平分， ∴　　． 在和中， ∴ ∴　　． 又 　　． ∴． 【答案】(1)见详解 (2)，，， 【详解】（1）解： 如图，、为所作直线， （2）证明：∵， ∴ 又∵平分， ∴， 在和中， ， ， ∴． 又， ∴． 故答案为∶ ，，，． 29．（24-25八上·重庆两江南开·期末）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：，． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【来源】重庆市两江南开2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与，与的交点即为； （2）按照步骤作答即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：， ． 平分，，， ， ，． 在和中， （）． ， ，， ， ． 故答案为：，， ，． 30．（24-25八上·重庆开州·期末）如图，在中，为上的一点，连接．    (1)尺规作图：作出中边上的高，与交于，与交于（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【来源】重庆市开州区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）以点A为圆心，大于点A到的距离为半径画弧，交于M、N两点，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，即可得出答案； （2）证明≌，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图，线段为中边上的高．    （2）证明：， 在和中， ， ≌ ． 31．（24-25八上·重庆渝北·期末）如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：． 证明：（2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴________①________ 又∵是的平分线， ∴________②________ 在与中， ， ∴（________④________） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】重庆市渝北区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据作已知线段的垂线的作法画出图形，即可求解； （2）根据角平分线的性质定理，可得，再利用证明，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的平分线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 故答案为：；；； 32．（24-25八上·重庆万州·期末）如图，在中，于． (1)用尺规作图：过点作交于点．（保留作图痕迹，不写作法和结论） (2)在（1）的作法下，求证． 证明：∵， ∴①______________________， 在和中，， ∴， ∴③______________________， ∵， ∴④______________________， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【来源】重庆市万州区2024-2025学年八年级上学期期末数学试题 【详解】（1）解：尺规作图如下； （2）在（1）的作法下，求证． 证明：∵， ∴①， 在和中，， ∴， ∴③， ∵， ∴④， ∴． 故答案为：①；②；③；④． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03尺规作图 ☆4大高频考点概览 考点01作已知角相等的角 考点02作角平分线 考点03作垂直平分线 考点04作垂直 目目 考点01 作已知角相等的角 1.(24-25八上重庆江北期末)如图，在ABC中，AC=BC,∠BCA=90°，点D为线段AB上的一点， 过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E, (I)基本尺规作图：作∠CAF=∠BCE,交线段CE于点F(不写作法，保留作图痕迹)； (2)求证：AF=BE+EF. 证明：BE⊥CD, .∠BEC=① :∠BCA=90°， ∴.LBCE+∠CBE=LBCE+∠ACF, .∠CBE= ② ∠CBE=∠ACF 在△BCE和CAF中 ③ ∠BCE=∠CAF ·.△BCE≌△CAF(ASA), :BE= ④，AF=CE, :CE=CF +EF .AF BE EF 2.(24-25八上重庆巴蜀中学期末)小明在学习八年级上册第七章《平行线的证明》的过程中，遇到如下 图的一个图形，其中AD∥BC，∠2=∠3，现要求自己添加一些线条，并探究其产生的几何结论.下列是 1/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 小明的操作和猜想，请按照他的思路作图，并填空 3 B (1)用尺规作AF交CB的延长线与点F,使得∠BAF=∠1； (2)求证：AF∥BD. ① ∠1=∠C. ∠BAF=∠1， ②. 又： ③， ∠BAF+∠2=∠C+∠3. 而∠AFB=180°-（∠BAF+∠2）， ∠DBC=180°-（∠C+∠3）， ④， .AF∥BD 3.(2425八上·重庆沙坪坝期末)如图，CD是ABC的角平分线，请完成以下作图与填空： (I)用尺规在AD右侧作∠ADE,使得∠ADE=∠B,射线DE交AC于点E,(不写作法，保留作图痕迹) (2)在ABC中，∠A=78°，∠B=62°，CD是ABC的角平分线，∠ADE=∠B.求LCDE的度数， 解：：在ABC中，∠A+∠B+∠ACB= ①°， .∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-62°=40°. :CD是ABC的角平分线， ∠BCD=I 1 (② =二×40°=20°. 2/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠ADE=∠B, ③ :∠CDE=∠BCD=20°. 4.(24-25八上·重庆北碚期末)已知：∠A0D, (1)尺规作图：以OD为边，在LAOD的外部作∠DOC=∠AOD(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，OB是LA0D内部的一条射线，若∠A0B=40°，∠BOC=70°，求LB0D的度数.补 全解题过程. D 解：：∠A0B=40°，∠B0C=70°， .∠A0C=LA0B+LB0C=o. :0D平分∠AOC, :∠A0D=∠A0C ()(填写推理依据) ∴.∠AOD= 0 :∠B0D=LAOD-L .∠BOD= 5.(24-25八上重庆南开中学期末)如图，点0为直线AB上一点，射线0C与点E在直线AB的同一侧， 且点E在∠BOC内部. E -B 0 (I)请按要求进行尺规作图：作射线OE,并在∠BOC内部作LCOD,使得LCOD=∠AOC(不写作法和结 论，只保留作图痕迹)· (2)小南发现，若OE为∠BOD的角平分线，则LC0E的大小始终为90°.请根据他的思路，补全下列解题过 程. 解：：∠A0C=∠C0D, .∠AOD=∠AOC+∠COD=2∠C0D, .∠C0D=① 3/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∵② ·∠DOE= ∠BOD. 2 又：∠A0D+∠B0D=180°， :③=∠C0D+∠D0E=∠AOD+1∠B0D=④ 6.(24-25八上重庆开州云枫初中教育集团期末)如图，在ABC中，点D为BC边上的中点，连接AD. B (I)尺规作图：在BC下方作BF,使得LCBF=∠C,且射线BF交AD的延长线于点E(不要求写作法，保 留作图痕迹)； (2)在(1)所作的图中，连接CE,求证：AB∥CE.(请补全下面的证明过程) 证明：：点D为BC边上的中点， :① 在△ADC和△EDB中， ∠ACD=∠EBD DC=DB ∠ADC=∠EDB .△ADC≌△EDB(②) AD=(③)， 在△ADB和△EDC中， DB=DC ∠ADB=∠EDC AD=ED .△ADB≌△EDC(④) .∠ABD=∠ECD, :AB∥CE(⑤). 7.(24-25八上·重庆巴蜀中学期末)在四边形ABCD中，AB∥CD,BD为对角线. 4/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)尺规作图：在线段BD上找一点E,使得LDCE=LADB;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)条件下，若BD=CD,求证：AD=CE. 8.(24-25八上·重庆八中期末)如图.AB∥CD,连接AC点E在上AC上，连接ED,EF平分∠AED. B y E (I)用尺规完成下列基本作图：以点E为顶点，ED为一边.在∠AED内作∠DEG,使它等于∠D(保留作 图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若∠A=30°，∠D=70°，求∠FEG的度数. 目目 考点02 作角平分线 9.(24-25八上重庆大渡口期末)小明非常喜欢钻研数学，学了多边形的相关知识后，他想探究：如果一 个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么另一组对角的角平分线有怎样的位置关系？请完成 以下作图和填空： 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，DE平分∠ADC. E (I)尺规作图：作∠ABC的角平分线，交AD于点F,(只保留作图痕迹) (2)探究：DE与BF的位置关系.将下面的过程补充完整. 解：：∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°且LA=∠C=90°， ①_， 5/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE平分∠ADC,BF平分∠ABC, ·.∠EDC= )∠ADC,∠FBC=1 ∠FBC+∠EDC=∠ABC+∠ADC)E90 :在△EDC中，∠C=90°， .∠DEC+∠EDC=90°. ②_ ③ 通过推理论证，小新得到命题：如果一个四边形（轴对称图形除外）的一组对角都为90°，那么④_ 10.(24-25八上，重庆丰都期末)我们知道：在一个三角形中，等边对等角；等角对等边.小丽同学提出 问题：一个三角形中，不相等的边和角有没有什么对应关系呢？学习了角平分线后，小丽进行了如下探究.请 根据她的思路，完成以下作图与填空： 己知：如图，ABC中，AB>AC. 求证：LC>∠B. B (I)尺规作图：作∠A的角平分线AD,交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连接DE.(保留作图痕迹) (2)证明：：AD平分线∠BAC, ·① AE=AC 在△EAD和△CAD中， ∠EAD=∠CAD ② .△EAD≌△CAD(SAS). :LC=③ ∠AED>④ .∠C>∠B. 通过探究可以得出结论：在同一个三角形中，⑤ 11.(24-25八上·重庆渝北区第二实验中学期末)如图，已知在ABC中，点D在边AC上，且AB=AD. 6/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B (1)用尺规作图法，作∠BAC的平分线AP,交BC于点P;(保留作图痕迹，不要求写作法) (2)在(1)的条件下，连接PD、求证：PD=PB 12.(24-25八上重庆K12期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°. (I)尺规作图：在斜边AB上找一点D,使AD=AC,作∠BAC的平分线，交BC于点E,连接DE;(不写作 法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，求证：△BDE是直角三角形. 证明：：AE平分∠BAC, ∴-=- 在△ACE和ADE中， =∠ AE=AE .△ACE≌△ADE, .∠ACB=90°， ∴=∠ACB=90°， ∴.LBDE=90°，△BDE是直角三角形 13.(24-25八上·重庆两江育才中学期末)尺规作图并完成证明：如图，点C是BD上一点，AB=CD, BC=DE,∠BAE=∠DEA. B (I)用直尺和圆规，作∠ACE的平分线CF,交AE于点F.(只保留作图痕迹) 7/20 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)证明：AC=CE. 证明： :∠BAE=∠DEA(己知) ∴①_（②_） ∠B=∠D(③_) 在ABC和aCDE中， AB=CD :{∠B=∠D BC=DE .△ABC≌△CDE(④_) ⑤. 14.(24-25八上·重庆渝中期末)我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等.那么，不相等的边所 对的角之间的大小关系怎样呢？如图，通过直观观察发现：在ABC中，AB大于AC,AB边所对的∠C大 于AC边所对的∠B.为了证明这一发现，解决思路是构造全等三角形将∠C转化为一个三角形的外角，利 用三角形的外角大于不相邻的内角使问题得以证明. 请根据以上思路，完成以下作图与填空： 已知：如图，ABC中，AB>AC. 求证：∠C>∠B, (I)尺规作图：作∠A的平分线AP,交BC于点D,在AB上截取AE=AC,连接DE.(保留作图痕迹) (2)证明：：AP平分线∠BAC, ① 在△EAD和△CAD中， AE=AC ∠EAD=∠CAD, ② △EAD≌△CAD(SAS). LC=③ :∠AED>④， ∠C>∠B. 8/20 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 15.(24-25八上·重庆高新区第二联盟体期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D. D (1)尺规作图：作∠CBA的角平分线，交CD于点P,交AC于点Q(保留作图痕迹，不写做法)； (2)若LBAC=46°，求∠CP2的度数 16.(24-25八上·重庆西南大学附中期末)如图，已知ABC中，∠C=2∠B. (I)请用基本尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点D,在AB上取一点E,使AE=AC,连接DE.(不写 作法，不下结论，保留作图痕迹)； B (2)在(1)所作的图形中，求证：AB=AC+CD.请完成下面的证明过程： 证明：：AD平分∠BAC, .∠DAC=, 在△EAD与△CAD中 AE=AC ∠EAD=∠DAC AD=AD △EAD≌△CAD(SAS, ·=LC,DE=CD,AE=AC, :∠AED=∠BDE+,且∠C=2∠B, .∠B=∠BDE,∴.BE=DE, 9/20 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 :BE= AB=AE+BE,..AB=AC+CD 目目 考点03 作垂直平分线 17.(24-25八上重庆渝北期末)数学课上，老师布置如下任务：如图，在ABC中，BD平分∠ABC交 AC于点D. (I)用尺规完成以下基本作图：作线段BD的垂直平分线，分别交AB,BD,BC于点E,O,F,连接DE ；(不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹〉 (②)求证：DE=BF,请根据下列证明思路完成填空： 证明：：一 ∠ABD=∠CBD. :EF是线段BD的垂直平分线， ∠B0E=LD0E=90°，-， ·-(_) ∴.在△BEO和△BFO中， ∠ABD=∠CBD OB=OB ∠BOE=∠BOF .△BEO≌△BFO(ASA). - .DE=BF. 18.(2425八上重庆两江育才中学期末)如图，在ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D. 10/20