专题08 角相关解答题（期末真题汇编，重庆专用）七年级数学上学期

专题08 角相关解答题 5大高频考点概览 考点01 角平分线相关求解 考点02 三角板相关求解 考点03 探究角的数量关系 考点04 余角和补角相关求解 考点05 角相关运动问题 地 城 考点01 角平分线相关求解 1．（24-25七上·重庆南川·期末）已知直线上有一点，在直线上方作，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)若设，请直接写出用含的式子表示的大小的关系式． 2．（24-25七上·重庆荣昌·期末）已知，，，为锐角，射线分别是和的平分线． (1)如图1，在外部，当时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当为小于的锐角时，请直接写出的度数（用含的代数式表示，不写探究过程）． 3．（24-25七上·重庆渝中·期末）已知，，，平分，平分．    (1)如图1，与重合，在的外部，求的度数； (2)如图2，在的内部，求的度数； (3)将图1中的绕点逆时针转动，，当时，直接写出的值． 4．（24-25七上·重庆巴南·期末）如图，已知，是的角平分线，且． (1)求和的度数； (2)在内作射线，使得，求的度数． 5．（24-25七上·重庆四川外国语附中·期末）如图，点在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，，求的度数； (2)如图2，若，，试判断与的数量关系，并说明理由． 6．（24-25七上·重庆忠县·期末）如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 7．（24-25七上·重庆永川·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．地 城 考点02 三角板相关求解 (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 8．（24-25七上·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 9．（24-25七上·重庆开州·期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数． 10．（24-25七上·重庆九龙坡重庆实验外国语·期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线． (1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为 ； (2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为 ； (3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数． 11．（24-25七上·重庆开县·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 12．（24-25七上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 13．（24-25七上·重庆长寿区·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．地 城 考点03 探究角的数量关系 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 14．（24-25七上·重庆酉阳·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 15．（24-25七上·重庆大渡口·期末）如图，已知，，、分别平分、． (1)如图1，若、重合时，则__________°； (2)如图2，从（1）问的位置开始绕点O逆时针旋转，求：的度数； (3)从（1）问的位置开始绕点O顺针旋转，用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案． 16．（24-25七上·重庆大足·期末）已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将旋转至如图2的位置，若平分，，求的度数； (3)将旋转至如图3位置，若平分，直接写出、与的数量关系． 17．（24-25七上·重庆潼南·期末）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 18．（24-25七上·重庆渝中区·期末）如图，P为直线上一点，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数；（用含的式子表示） (3)若是的三等分线，直接写出与的数量关系． 19．（24-25七上·重庆南开中学·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．地 城 考点04 余角和补角相关求解 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 20．（24-25七上·重庆南川·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 21．（24-25七上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 22．（24-25七上·重庆忠县·期末）过直线上的点O引如图所示的射线、、、，满足，，平分，平分．    (1)求的大小； (2)判断点C、O、E是否在同一直线上； (3)在图②中，过点O作，延长至点H，说明． 23．（24-25七上·重庆万州·期末）如图，已知，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 24．（24-25七上·重庆合川·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，，射线平分． (1)写出图中的补角和余角； (2)若，求和的度数． 25．（24-25七上·重庆梁平·期末）如图1，点是直线上一点，三角板其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．地 城 考点05 角相关运动问题 (1)若秒时， 度； (2)当在的左侧且平分时，求的值； (3)如图，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 26．（24-25七上·重庆江北·期末）已知：． (1)如图1，射线在的内部 ①若平分，求的度数； ②若，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若将绕点以15度/秒的速度逆时针旋转，得到，同时以10度/秒的速度绕点顺时针旋转，得到，当射线和重合时停止运动．设运动时间为，当射线平分时，求对应的值． 27．（24-25七上·重庆忠县·期末）探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 28．（24-25七上·重庆一中寄宿学校·期末）已知射线在的内部，射线在射线的左侧，满足，射线平分，． (1)求的度数； (2)如图2，射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度逆时针运动，当射线运动到射线处，则反向顺时针运动，并保持速度不变，回到射线停止运动；射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度顺时针运动，当射线运动到射线处，则反向逆时针运动，并保持速度不变，回到射线停止运动．其中射线同时出发，运动时间为t秒（）． ①在射线都到达射线后反向运动的过程中，请你猜想与的数量关系，并说明理由； ②射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度逆时针运动，射线与射线同时出发，当射线中有一个停止运动时，射线也马上停止运动．在整个运动过程中，当时，请直接写出所有符合条件的t的值． 29．（24-25七上·重庆巴蜀中学·期末）如图1，，OM、ON分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当OC与OA重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，OC旋转后的对应射线记为，OD旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为OP．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 30．（24-25七上·重庆北碚兼善中学·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 角相关解答题 5大高频考点概览 考点01 角平分线相关求解 考点02 三角板相关求解 考点03 探究角的数量关系 考点04 余角和补角相关求解 考点05 角相关运动问题 地 城 考点01 角平分线相关求解 1．（24-25七上·重庆南川·期末）已知直线上有一点，在直线上方作，射线平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)若设，请直接写出用含的式子表示的大小的关系式． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】重庆市南川区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据邻补角和角平分线的定义，结合角的和差进行分析计算； （2）根据邻补角和角平分线的定义，结合角的和差进行分析计算； （3）根据邻补角和角平分线的定义，结合角的和差分类讨论进行分析计算； 【详解】（1）解：如图， ∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图， ∵，，射线平分， ∴， ∴； （3）解：①当位于外部时，如图： 设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； ②当位于内部时，如图： 设，则， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴； 综上，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，角的计算．灵活应用角平分线的定义是解题的关键． 2．（24-25七上·重庆荣昌·期末）已知，，，为锐角，射线分别是和的平分线． (1)如图1，在外部，当时，求的度数； (2)如图2，当时，求的度数； (3)当为小于的锐角时，请直接写出的度数（用含的代数式表示，不写探究过程）． 【答案】(1)47.5° (2)37.5° (3)37.5°+α或37.5°﹣α 【来源】重庆市荣昌区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，再利用角的和差即可求解； （2）利用角平分线的定义求得，再利用余角的性质求得，利用角的和差即可求解； （3）分当在外部和在内部时，两种情况讨论即可求解． 本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是：熟练掌握角平分线的相关计算． 【详解】（1）解：∵，，射线分别是和的平分线， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵，是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：当在外部时， ∵，， ∴； 当在内部时，如图， ∵，， ∴， 综上，的度数为或． 3．（24-25七上·重庆渝中·期末）已知，，，平分，平分．    (1)如图1，与重合，在的外部，求的度数； (2)如图2，在的内部，求的度数； (3)将图1中的绕点逆时针转动，，当时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)的值为或． 【来源】重庆市渝中区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】此题主要考查利用角平分线的定义求角的度数，一元一次方程的应用． （1）利用角平分线的定义求得和的度数，即可求解； （2）同（1）求得和的度数，根据，即可求解； （3）分三种情况讨论，根据题意列得关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分，，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ； （3）解：当时，如图，    ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，如图， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 解得； 当时，如图，    ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， 解得(舍去)； 综上，的值为或． 4．（24-25七上·重庆巴南·期末）如图，已知，是的角平分线，且． (1)求和的度数； (2)在内作射线，使得，求的度数． 【答案】(1)； (2) 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了角的计算，解题的关键是理解角平分线的定义． （1）由平分，根据角平分线的定义易求得，根据进而可求； （2）先求出，由，求出，然后根据即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴． ∵， ∴． ∴． 5．（24-25七上·重庆四川外国语附中·期末）如图，点在直线上，点A、B与点C、D分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，，求的度数； (2)如图2，若，，试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)． 【来源】重庆市四川外国语大学附属外国语学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，整式加减的应用． （1）利用角平分线的定义求得，再利用比例分成求解即可； （2）设，求得，，，根据周角为，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25七上·重庆忠县·期末）如图所示，，，射线平分． (1)当时，求的大小； (2)若射线是射线的反向延长线，当时，求的大小． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市忠县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查角平分线的定义，几何中角度的和差计算，理解图示，掌握角度和差的计算方法，互余、互补的概念及计算是解题的关键． （1）根据题意可得，由角平分线的定义得到，由即可求解； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，列式计算得，根据互补的关系有，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， 则， ∴， ∴． 7．（24-25七上·重庆永川·期末）三角尺的直角顶点P在直线上，点A，B在直线的同侧．地 城 考点02 三角板相关求解 (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知． ∴， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七上·重庆梁平·期末）如图1，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在直线上，且，与相交于点G，其中，，，，．    (1)______度； (2)若三角板绕F点按顺时针方向旋转，如图2，当时，此时的度数； (3)在（2）的前提下，三角板绕F点按逆时针方向以每秒的速度旋转，设旋转的时间为t秒，当时，在这个旋转过程中，是否还存在三角板的某一条边与平行的情况？若存在，请在备用图上画出大致图形，并求出所有满足题意的t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在；画图见解析；15秒或45秒或60秒 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了平行线的性质、一元一次方程的应用等知识点， （1）过G作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （2）过F作，由平行线的性质得出，，再由计算即可得出答案； （3）分三种情况：当时，当时，当时，过F作，分别利用平行线的性质建立方程，解方程即可得出答案； 熟练掌握平行线的性质，合理作出辅助线是解此题的关键． 【详解】（1）如图1，过G作，    ∴，， ∴， 故答案：； （2）如图2，过F作，    ∵， ∴． ∴，， ∴； （3）如图3，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：，    如图4，当时， ∵，， ∴， ∴，解得：，    如图5，当时，过F作． ∵，， ∴． ∴，， ∴，解得：，    综上，三角板旋转的时间为15秒或45秒或60秒时，存在三角板的某一条边与平行的情况． 9．（24-25七上·重庆开州·期末）已知为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点处．射线平分．    (1)如图1，若，求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的直角三角板绕顶点顺时针旋转至图2的位置，当时，求的度数． 【答案】(1)20° (2) (3)144° 【来源】重庆市开州区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （3）设，依次表示出，，，，最后根据列方程即可得到结论． 【详解】（1）因为为直线上一点，且， 所以， 因为射线平分 所以 因为 所以    （2）因为为直线上一点，且， 所以， 因为射线平分 所以 因为 所以 （3）设，则，， 因为 所以 因为 所以解得 因为 所以. 10．（24-25七上·重庆九龙坡重庆实验外国语·期末）如图1，将一副三角板的两个锐角顶点放到一块，，，，分别是，的角平分线． (1)当绕着点逆时针旋转至射线与重合时（如图2），则的大小为 ； (2)如图3，在（1）的条件下，继续绕着点逆时针旋转，当时，则的大小为 ； (3)在绕点顺时针旋转到内部时，请你画出图形，的度数是否发生变化，若变化请说明理由，若不变请求出的度数． 【答案】(1) (2) (3)的度数不变，为，图形见解析 【来源】重庆市九龙坡区重庆实验外国语学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）利用角平分线的定义得到即可求解； （2）通过角的转化得到即可求解； （3）通过角的转化得到即可求解． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴ （2）∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴ ； （3）的度数不变，为，作图见下图． ∵，分别是，的角平分线， ∴， ∴ ； ∴的度数不变，为． 11．（24-25七上·重庆开县·期末）如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆开县2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试卷 【分析】本题主要考查了平面内角的计算，正确理解题意是解题关键． （1）利用，直接求出即可； （2）首先求出，进一步利用余角的意义解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， 又∵， ∴． 12．（24-25七上·重庆江津·期末）如图，直角三角板的直角顶点在直线上，平分． (1)比较和的大小，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【来源】重庆市江津区2024-2025学年上学期期末监测七年级数学试卷 【分析】本题主要考查了角的比较大小和角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，解决此题的关键是熟练运用角平分线的定义及角的和差列出方程式． （1）先说明，再说明，从而得出，再根据，即可得到； （2）根据，设，，则，列方程即可求得． 【详解】（1）解： ；理由如下： ， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：， 设，， ， ， ， ． 13．（24-25七上·重庆长寿区·期末）【问题背景】已知是内部的一条射线，且．地 城 考点03 探究角的数量关系 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 14．（24-25七上·重庆酉阳·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 15．（24-25七上·重庆大渡口·期末）如图，已知，，、分别平分、． (1)如图1，若、重合时，则__________°； (2)如图2，从（1）问的位置开始绕点O逆时针旋转，求：的度数； (3)从（1）问的位置开始绕点O顺针旋转，用等式表示与之间的数量关系，并直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市大渡口区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差． （1）由角平分线的定义得，，然后根据即可求解； （2）由角平分线的定义得，，进而可求出的值； （3）由角平分线的定义得，，求出，，从而可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵、分别平分、， ∴，， ∴． 故答案为：； （2）解：∵平分， ． ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图， ∵平分， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ， ∴． 16．（24-25七上·重庆大足·期末）已知，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)将旋转至如图2的位置，若平分，，求的度数； (3)将旋转至如图3位置，若平分，直接写出、与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市大足区2024-2025学年七年级上学期期末质量监测数学试题 【分析】本题考查了角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，结合图形正确利用角的和差计算是解题的关键． （1）由题意得，得出，再根据角平分线的定义得到，即可求解； （2）由，可设，则，利用角的和差表示出，利用列出方程求出的值，再利用角的和差即可求出的度数； （3）由平分，设，利用角的和差表示出、，再结合的度数，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 的度数为． （2）解：， 设，则， ， 平分， ， ， ， ， 解得：， ，， 平分， ， ， 的度数为． （3）解：平分， 设， ，， 平分， ， ， ， ． 17．（24-25七上·重庆潼南·期末）如图，点O在直线上，与互余，射线平分． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)请你猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【来源】重庆市潼南区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了与角平分线有关的计算、互余，熟练掌握互余的定义是解题关键． （1）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （2）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义求解即可得； （3）先根据互余的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平角的定义即可得． 【详解】（1）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （2）解：与互余， ． ， ． 射线平分， ， ． （3）解：．理由如下： 与互余， ， ． 射线平分， ， ． 即． 18．（24-25七上·重庆渝中区·期末）如图，P为直线上一点，与互为余角，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数；（用含的式子表示） (3)若是的三等分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【来源】重庆市渝中区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，余角的定义： （1）先由角平分线的定义得到，再由平角的定义得到，最后根据度数之和为90度的两个角互为余角即可得到答案； （2）先由余角和平角的定义得到，，则，再由角平分线的定义得到，则； （3）设，由（2）得，则，再分当靠近时，当靠近时，两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵与互为余角， ∴； （2）解；∵，与互为余角， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解；设，则由（2）得， 如图所示，当靠近时， ∴， ∴； 如图所示，当靠近时， ∴， ∴； 综上所述，或． 19．（24-25七上·重庆南开中学·期末）已知点O为直线上一点，，在内部作射线，且恰好平分．地 城 考点04 余角和补角相关求解 (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：如图： ， ， 平分， ， ； （2）解：，平分， ， ， ， ， ， ． 20．（24-25七上·重庆南川·期末）如图，为直线上一点，，平分，． (1)求出的度数； (2)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1) (2)平分，理由见解析 【详解】（1）解：，平分， ， ． （2）解：平分． 理由如下： ，， ． 又， ，即平分． 21．（24-25七上·重庆巴南·期末）如图，直线与相交于点，平分，且，射线在内部． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【来源】重庆市巴南区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了余角的定义，邻角互补，角的倍数的运算，掌握邻角互补是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知的度数，再利用邻角互补即可得到的度数； （2）根据角的倍数即可得到的度数，再利用余角的定义即可求得的度数． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴ 即的度数为； （2）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（24-25七上·重庆忠县·期末）过直线上的点O引如图所示的射线、、、，满足，，平分，平分．    (1)求的大小； (2)判断点C、O、E是否在同一直线上； (3)在图②中，过点O作，延长至点H，说明． 【答案】(1) (2)点C、O、E 不在同一直线上； (3)见解析 【来源】重庆市忠县2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了角的有关计算，角平分线定义，余角定义，平角定义，解题关键是熟练掌握相关基本性质． （1）根据角的和差关系，角平分线的定义，即可求出． （2）根据平角的定义判定三点是否共线． （3）由余角的定义求出的度数，的度数，再由平角求出的度数，进而得出． 【详解】（1）解：由题意得， 即， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：由（1）得，而， ∴， 即点C、O、E 不在同一直线上； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（24-25七上·重庆万州·期末）如图，已知，平分，平分． (1)求的度数； (2)如果，那么是多少度？ (3)如果，那么是多少度？（用含的式子表示） 【答案】(1) (2) (3) 【来源】重庆市万州区2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】本题考查了角的计算、余角和补角、角平分线的定义，根据题目的已知条件并 图形进行分析是解此题的关键． （1）利用角平分线的定义可得，，然后利用角的和差关系进行计算即可得出答案； （2）利用角的和差关系求得，从而可得，最后利用角平分线的定义进行计算即可； （3）利用（2）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ； （2）解：，， ， ； 平分， ； （3）解：， ， ， 平分， ． 24．（24-25七上·重庆合川·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，，射线平分． (1)写出图中的补角和余角； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)的补角为 的余角为 (2)； 【来源】重庆市合川区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查余角、补角和角平分线的定义以及度分秒的换算，熟练掌握定义以及度分秒的换算是解题的关键． （1）根据余角和补角的定义解答即可； （2）根据余角的定义求出，由角平分线的定义分别求出和，再由补角的定义求出，并根据求出． 【详解】（1）解：点A，O，B在同一直线上， ， ， 的补角为； ， ， 的余角为； （2）解：，， ． 射线平分， ． ． A，O，B在同一直线上，所以． ． ． 25．（24-25七上·重庆梁平·期末）如图1，点是直线上一点，三角板其中的边与射线重合，将它绕点以每秒顺时针方向旋转到边与重合；同时射线从与重合的位置开始绕点以每秒逆时针方向旋转至，两者哪个先到终线则同时停止运动，设运动时间为秒．地 城 考点05 角相关运动问题 (1)若秒时， 度； (2)当在的左侧且平分时，求的值； (3)如图，在运动过程中，射线始终平分．当射线，，中，其中一条是另两条射线所形成夹角的平分线时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或 【来源】重庆市梁平区2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据题意，当秒时，由代值求解即可得到答案； （2）根据题意，分别表示出当在的左侧且平分，则，建立方程，解方程，即可求解； （3）根据题意，分三种情况：当是的角平分线时；当是的角平分线时；当是的角平分线时；作出图形，数形结合由角度之间的关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当秒时， ， ， ； 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ∵当在的左侧且平分， ∴ ∴ 解得： （3）解：根据题意，分三种情况： 当是的角平分线时，如图所示： ， ， 又始终平分， ， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， 此时射线与重合， ， ，解得； 当是的角平分线时，如图所示： ， 又始终平分， ， ， 又， ，解得； 故答案为：12或30或48． 26．（24-25七上·重庆江北·期末）已知：． (1)如图1，射线在的内部 ①若平分，求的度数； ②若，求的度数； (2)如图2，射线与重合，若将绕点以15度/秒的速度逆时针旋转，得到，同时以10度/秒的速度绕点顺时针旋转，得到，当射线和重合时停止运动．设运动时间为，当射线平分时，求对应的值． 【答案】(1)①，② (2)或 【来源】重庆市江北区2024-2025学年七年级上学期期末学业质量抽样检测（第一次）数学试题 【分析】此题主要考查角的计算，角平分线的定义，以及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系求解． （1）①求解，从而可得答案；②求解，结合，从而可得答案； （2）分两种情况讨论：如图，证明，当，，当，，再建立方程求解即可. 【详解】（1）解：①∵平分，， ∴， ∵， ∴． ②∵，， ∴，即， ∵， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵最长旋转时间为（秒）， 如图， ∵射线平分， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 如图， ∵，， ∴， 解得：， 综上：或. 27．（24-25七上·重庆忠县·期末）探究与实践 将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知，，按如图1所示摆放，将、边重合在直线上，、边在直线的两侧： 【问题发现】 （1）保持三角板不动，将三角板绕点O旋转至如图2所示的位置，则 ①__________； ②__________． 【问题探究】 （2）若三角板按每分钟的速度绕点O逆时针方向旋转，三角板按每分钟的速度也绕点O逆时针方向旋转，旋转到射线上时都停止运动，设旋转t分钟，计算（用含t的代数式表示）． 【问题解决】 （3）保持三角板不动，将三角板绕点O逆时针方向旋转，若射线平分，射线平分，求的大小． 【答案】（1）①；②；（2）；（3）或 【详解】解：（1）① ， ② ； （2）设旋转时间为t秒，则，， 当与相遇时，， 解得：， 如图， ， ∴； （3）设绕点O逆时针旋转， ①时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴ ∴， ∴； ②时，如图， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，平分， ∴， ∴． 综上，或． 28．（24-25七上·重庆一中寄宿学校·期末）已知射线在的内部，射线在射线的左侧，满足，射线平分，． (1)求的度数； (2)如图2，射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度逆时针运动，当射线运动到射线处，则反向顺时针运动，并保持速度不变，回到射线停止运动；射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度顺时针运动，当射线运动到射线处，则反向逆时针运动，并保持速度不变，回到射线停止运动．其中射线同时出发，运动时间为t秒（）． ①在射线都到达射线后反向运动的过程中，请你猜想与的数量关系，并说明理由； ②射线从射线开始，绕着点O以每秒的速度逆时针运动，射线与射线同时出发，当射线中有一个停止运动时，射线也马上停止运动．在整个运动过程中，当时，请直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1) (2)①或，理由见解析；②或21或31 【来源】重庆一中寄宿学校2024-2025学年七年级上学期期末考试数学试题 【分析】本题主要考查角度的和差运算，涉及一元一次方程的应用，角平分线问题，在解题过程中根据角度的变化进行恰当的分类讨论是解题关键． （1）设，则，，， 由列方程求得x值即可； （2）①分两种情况：当点射线到达射线前和当点射线到达射线后两种情况，分别画出草图，利用数形结合可得到角度间的关系； ②分三种情况：当点射线、相遇前，当射线运动到射线前时；；当点射线、相遇后，射线运动到射线前时：当点射线、相遇后，当射线运动到射线后返回时，分别画出对应草图，利用图形找到角之间的关系，结合已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：由于，故设，则， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； （2）解：①猜想：或．理由： 由（1）知，，，， 根据题意，射线运动到射线处时的时间为（秒）， 射线运动到射线处的时间为（秒）， 说明射线和射线运动同时射线处， 设在射线都到达射线后反向运动的过程中，运动时间为x秒， 分两种情况： 当点射线到达射线前，如图， 则，， ∴， ∴； 当点射线到达射线后，如图， 则， ∴， 综上，满足或； ②分三种情况： 当点射线、相遇前，射线运动到射线前时，如图， 则，，， ∴，， 由得， 解得； 当点射线、相遇后，射线运动到射线前时，如图， 则，， 由得， 解得； 当点射线、相遇后，当射线运动到射线后返回时，如图， 则，，， ∴，， 由得， 解得， 综上，满足条件的t值为或21或31． 29．（24-25七上·重庆巴蜀中学·期末）如图1，，OM、ON分别为和的角平分线． (1)若，则 °； (2)如图2，从第（1）问中的位置出发，绕点O逆时针以每秒的速度旋转；当OC与OA重合时，立即反向绕点O顺时针以每秒的速度旋转，直到OC与OA互为反向延长线时停止运动．整个运动过程中，的大小不变，OC旋转后的对应射线记为，OD旋转后的对应射线记为，的角平分线记为，的角平分线记为OP．设运动时间为t秒． ①当平分时，求出对应的t的值； ②请问在整个运动过程中，是否存在某个时间段使得的值不变？若存在，请直接写出这个定值及其对应的t的取值范围（包含运动的起止时间）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)①5或30；②存在且定值为，或或 【来源】重庆市巴蜀中学校2024-2025学年七年级上学期期末数学试题 【分析】（1）根据角平分线的定义结合图形根据已知条件求角的大小即可； （2）①分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，列出等量关系式求出t；②分类讨论顺时针、逆时针转两种情况，当在B下方时，当在B上方时，根据角平分线的定义用t表示出角的度数，求在某个时间段使得的值不变，求出这个定值及其对应的t的取值范围． 【详解】（1）解：∵OM为的角平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵ON为的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）如图3，逆时针旋转时， 当在B上方时，根据题意可知，， ， ∵平分， ∴，即， 解得：s， 当在B下方时，此时也在下方，此时不存在平分． 顺时针旋转时，如图4， 同理，当在B下方时，此时也在下方，此时不存在平分． 当在B上方时，即与OB重合， 由题意可求与OB重合用的时间 s， ∴与OB重合之后，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得：s， 综上所述，当平分时，t的值为5或30； ②逆时针旋转时：当在B上方时，如图， ∵ ∴ 当OP与OB重合时， 解得 时，的值不变，是40° 当射线OP返回时与OB重合时．时间 当运动到射线OD与OA共线时， 解得t=40， 观察图象可知，时，的值不变，是40°． 当射线OD运动到与射线OB共线时， ，解得 当时，如图中，同法可得， 综上所述，满足条件的t的值为：或或 30．（24-25七上·重庆北碚兼善中学·期末）刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知，射线，分别是和的角平分线． (1)如图1，若射线在的内部，且，求的度数； (2)如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数 (3)若射线在的外部绕点旋转（旋转中，均指小于的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解： 是 的平分线，， 是 的平分线， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解： 是 的平分线，是 的平分线， ，， ①延长至点，当在 的内部， ； ②延长至点，延长至点，当在内部， ， ； ③延长至点，当在 内部， ， ， ， 综上，度数为 或． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $