专题02 圆中热考题型（压轴题专项训练）数学沪科版九年级下册

专题02 圆中热考题型 目录 1 类型一、利用垂径定理解决实际问题 1 类型二、利用圆周角定理及推论求解 8 类型三、利用弧、弦、圆心角关系求解 15 类型四、利用圆内接四边形的性质求解 21 类型五、正多边形与圆 31 类型六、与弧长、扇形面积、圆锥有关的计算 36 类型七、计算不规则图形的面积 44 类型八、点、直线与圆的位置关系 53 类型九、切线的判定与性质综合 62 类型十、切线长定理应用 69 75 类型一、利用垂径定理解决实际问题 垂径定理是解决圆中计算、证明问题最常用的定理，一般涉及与半径、弦心距、弦长、弓形的高有关的问题时，往往利用垂径定理的基本图形构建一个直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解.解题时，注意垂径定理的推论“知二推三”的应用. 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．    2．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【详解】（1）解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； （2）解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1) (2)不需要采取紧急措施，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． （1）设桥拱的半径是，由垂径定理求出，而，由勾股定理得到，求出； （2）由垂径定理求出的长，由勾股定理求出的长，即可求出的长即可得解． 【详解】（1）解：如图半径，， 设桥拱的半径是， ， ， 拱高为， ， ， ， ， 桥拱的半径是； （2）解：不需要采取紧急措施，理由如下： 如图，连接， ， ， ， ， ， 不需要采取紧急措施． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 类型二、利用圆周角定理及推论求解 5．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，点为圆心，点，均在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为 【分析】（1）连接，则，所以，由是的直径，得，由切线的性质推导出，由，，得，所以； （2）设交于点，由，得，所以垂直平分，则，，由，且，，，得，则，所以，再证明，得，则，所以． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 是的直径， ， 与相切于点，交的延长线于点， 于点， ， ，， ， ． （2）解：设交于点， ， ， 垂直平分， ，， ，且，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 8．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的直径，垂直平分，交于点，交于点，，连接，． (1)求证：为等边三角形； (2)作，垂足为点，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理得，可得为等腰三角形，再证明，即可证明为等边三角形． （2）连接，得出，，，根据勾股定理得出和即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的直径且， ． ， 为等腰三角形． 垂直平分， ． 在中， ， ． 又， ， ， 为等边三角形． （2）解：如图，连接， 为的直径， ， ． ， ， ． ， ， ． 在中， ， ， ， ． 在中，， ． 在中， 【点睛】本题考查的知识点是垂径定理、圆周角定理、垂直平分线的性质、锐角三角函数、等边三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理并能灵活运用特殊三角函数值． 类型三、利用弧、弦、圆心角关系求解 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等，其余的各组量也分别相等，简称“知一推二”. 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）连接，由垂径定理得到，再利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理得到，进而得到即可求解； （2）由（1）易得，利用含角直角三角形的性质得到的长度，进而求解； （3）由（2）可得到的长度，，利用含角直角三角形的性质得到，再结合，利用勾股定理求出，的长度，进而求出的值． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ，． 又， ， 即， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 又， ， ， ． （3）解：由（2）得 ，, . ，， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理，含角直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 10．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为 ； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ． 【答案】 6 【分析】（1）连接，证明和都是等腰直角三角形即可； （2）延长交于点，连接，则是的中位线，可以求出，然后根据垂直证明，根据圆周角相等则所对的弦相等得到． 【详解】解：（1）如图，连接， 是弦的弦心距， ， 和都是等腰直角三角形， ∵， ， 故答案为：； （2）如图，延长交于点，连接， 由，得是的中位线， ， 在中，， 由勾股定理得 ， ， ∵是的直径， ∴， ， ∵ ∴， ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查垂径定理及其推论，圆周角定理，圆心角与弧、弦的关系，三角形的中位线定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知是的直径，是弦，垂足为点，点是弧的中点，连接 (1)当时，求的度数； (2)当时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，圆内接四边形性质，垂径定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）证明 ，，可得， 则，可求得答案； （2）根据题意利用勾股定理及相似三角形判定与性质求解即可得答案． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴ ， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ， 在同一个圆上， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得：， ∴； （2）连接、交于点H， ∵，， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得， 设半径为 r，则， 在中，， 由勾股定理得，即， 解之得：， ∴， ∵， ∴ ， ∴，即， ∴． 类型四、利用圆内接四边形的性质求解 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时，往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)是等腰直角三角形，证明详见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是： （1）根据圆周角定理得到，进一步推出，再利用等腰直角三角形的判定解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，过作于，过作于，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明过程如下： 为的直径， ， ， ， ， 又， 是等腰直角三角形； （2）在中，， ， 在中，，， ， 过作于，过作于， 则和是等腰直角三角形， ，， ， ， ．    13．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，掌握圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系及全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键． （1）连接，根据圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理证明，根据圆的内接四边形的性质得，根据平角的定义得，从而得，由等腰三角形的性质得，证明，根据全等三角形的判定与性质得； （2）由（1）求出，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， 在中利用勾股定理，得． 14．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接． (1)若点为的中点，，求的度数； (2)若点是的中点，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理，相似三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质： （1）利用圆周角定理得到，由点为的中点，得到，推出，再根据圆的内接四边形的性质求出，利用三角形外角的性质即可求求解； （2）连接交与点F，易证，，推出，证明，得到，求出，进而求出，再证明，得到，求出，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得是的直径， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， 四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交与点F， ∵点是的中点，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． （1）由四边形为圆内接四边形，得到，进而可得，再根据同弧(或等弧)所对圆周角相等得出，由对顶角相等可得，进而证明结论； （2）过点作于点，连接，根据垂径定理可知点O在上，，由求出，设，则．根据在中， ，列方程即可求解． 【详解】（1）证明：点均在上， 四边形为圆内接四边形， ． 又． ∴， ， 又， （2）如图，过点作于点． 为的垂直平分线， 点在上， ． ，即， ，解得． 设，则． 在中，由勾股定理得， 即，解得， 的半径为5． 16．（2023·安徽淮北·二模）如图1，圆内接四边形的对角线与交于点E，． (1)求证：平分； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，若平分，，求证：是圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）同弧所对的圆周角相等，得到，进而推出即可； （2）先证明，推出是正三角形，进而推出，得到是圆的直径，取中点O，连接，易得是正三角形，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ． ， ， 平分． （2）解：平分， ． ，， ． ． 是正三角形． ． 为圆内接四边形， ． ． ． 是圆的直径． ， 取中点O，连接， ， 是正三角形． ，则， ． ． ． 为的切线． 17．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析； (2)5． 【分析】（1）如答图，连接并延长交于点M，连接；利用圆周角定理以及等量代换可得，依据是的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”进行等量代换可求得，即可证明； （2）如答图，连接并延长交于点N，连接；根据邻补角和四边形内对角互补得，根据三角形内角和得；是的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”在中，解三角形即可． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点M，连接． ∵， ∴． 又∵，， ∴． ∵是的直径， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴是的切线． （2）如图，连接并延长交于点N，连接． ∵， ， ， ∴． ． ∴． ∵是的直径， ∴． 在中， ， ∴． ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质等；解题的关键是适当添加辅助线利用相关性质求解． 类型五、正多边形与圆 18．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、垂径定理、勾股定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握正六边形的性质，证明三角形是等边三角形和运用垂径定理求出是解决问题的关键． 由圆的面积求出，证明是等边三角形，得到，由垂径定理得到，再由勾股定理求出即可． 【详解】解：∵的周长为， ∴ ∵六边形为正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：A． 19．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正六边形的性质得到，，再由等腰三角形性质得到，，在中，利用含的直角三角形性质及勾股定理求线段长即可得到答案． 【详解】解：过点作于，如图所示： 在正六边形中，，， 由等腰三角形三线合一性质得到是的中线及角平分线， ，， 在中，，，则， 由勾股定理可得， ， 故选：C． 【点睛】本题考查圆中正多边形求线段长，涉及正六边形性质、等腰三角形判定与性质、含的直角三角形性质及勾股定理求线段长等知识，熟练掌握含的直角三角形性质及勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和弧长、轨迹，根据弧长公式先求一段弧的长，再根据滚动一周等于一段弧长乘以即可得中心点所经过的路径长．解题的关键是掌握正六边形的性质． 【详解】解：如图， ∵正六边形的内角为， ∴， 又∵边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， ∴， ∴，， ∴， ∴边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周， 则它的中心点所经过的路径长为：． 故选：B． 21．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 【答案】C 【分析】本题考查多边形面积．根据题意将正八边形对角线依次连接后再连接，先求出中间正方形面积，再求出周边四个三角形面积后相加即可得到本题答案． 【详解】解：将正八边形对角线依次连接后再连接，使与交点为，如下图：    ∵的半径为，正八边形每个内角为，即， ∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中应用勾股定理：， ∴， ∵四边形是正方形， ∴四边形的面积为：， ∴， ∴面积为：， ∴， 故选：C． 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（n为1~12的整数），过点作的切线交弦延长线于点P． (1)通过计算比较直径和劣弧哪个更长； (2)求切线长的值． 【答案】(1)比直径长 (2) 【分析】（1）利用弧长公式求解即可． （2）解直角三角形求出即可． 【详解】（1）解：连接， 由题意，， 的长， 比直径长． （2）解：连接， 是的切线， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型． 类型六、与弧长、扇形面积、圆锥有关的计算 23．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】(1)，， (2)约为 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面展开图、弧长公式等知识点，掌握相关性质定理和的定义是解本题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质和等腰三角形的性质进行计算即可； （2）先根据圆锥的侧面展开图的知识和扇形的弧长公式计算，可求扇形的圆心角；再根据的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1， 由，得， ∴， 如图2， ∵， ∴作于D，则，， ∴，则， ∴ ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，； （2）解：∵圆锥的底面直径， ∴圆锥的底面周长为，即侧面展开图扇形的弧长为， 设扇形的圆心角为， 则，解得， ， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 【答案】 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图中扇形的圆心角度数，勾股定理，设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为，先利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长列出方程求解即可． 【详解】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 25．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为…．弧，弧，弧，弧…的圆心依次按点A，B，C，D循环，请回答下列问题： (1)直接写出弧的半径． (2)直接写出弧的半径． 【答案】(1)4 (2)弧的半径为 【分析】（1）根据题意，依次推导即可求解． （2）根据题意可得后一段弧的半径总比前一段弧的半径长1，又因为的半径为，可知任何一段弧的弧长都是1的倍数，根据圆心以A，B，C，D四次一个循环，可得的半径为． 【详解】（1）根据题意，得： 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， （2）由（1）知：的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为， … 以此类推可知，弧的半径为， 【点睛】本题主要考查了图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律是解决本题的关键． 26．（2021·湖南邵阳·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 【答案】（1）=90°；（2）S阴影=（100-）cm2． 【分析】（1）设ED=x，则AD=2x，根据圆的周长求 弧长，利用弧长公式求即可； （2）由，=90°，可得△ABC为等腰直角三角形，由可求BD=CD=AD=10cm， 利用三角形面积公式求S△BAC=，利用扇形面积公式求，利用面积差求S阴影即可． 【详解】解：（1）设ED=x，则AD=2x， ∴弧长， ∴， ∴=90°； （2）∵ED=5cm， ∴AD=2ED=10cm， ∵，=90°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∵， ∴BD=CD=AD=10cm， ∴BC=BD+CD=20cm， ∴S△BAC=cm2， ∴ ， ∴S阴影= S△BAC-=（100-）cm2． 【点睛】本题考查圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积，掌握圆锥，侧面展开图，扇形面积公式，等腰直角三角形判定与性质，利用割补法求阴影面积是解题关键． 27．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)该图中弧所在圆的圆心D的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①圆D的半径______（结果保留根号）； ②点在圆D______（填“上”、“内”或“外”）； ③求的长． 【答案】(1)； (2)①；②外；③． 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、勾股定理、垂径定理及点与圆的位置关系，熟知垂径定理及勾股定理是解题的关键． （1）根据圆中任意一条弦的垂直平分线经过圆心，可找出圆心D的位置，进而求出点D坐标． （2）①利用勾股定理即可解决问题． ②求出点与圆心D之间的距离即可解决问题． ③连接，，求出，利用弧长公式即可解决问题． 【详解】（1）解：因为圆中任意一条弦的垂直平分线经过圆心，如图所示， 点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：①由题知，点A的坐标为，圆心D的坐标为，则，， 所以． 故答案为：． ②由题知，点到圆心D的距离为：， 因为，所以点在圆D外． 故答案为：外． ③连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：． 28．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 【答案】(1)被剪掉的阴影部分的面积 (2)圆锥的底面圆的半径是 (3)圆锥的全面积是 【分析】本题需灵活掌握扇形的面积公式，结合勾股定理即可解决问题． （1）因为扇形的圆心角是，所以为的直径，是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出即扇形的半径，然后利用扇形面积=，再求出圆的面积即可求出答案； （2）利用扇形的底面圆的周长=展开图的弧长即可求解； （3）利用（2）的所求，圆锥的全面积=展开图中扇形的面积+底面圆的面积． 【详解】（1）解：连接， ， 为的直径． 在中，，且， ， ， ； 答：被剪掉的阴影部分的面积； （2）解：设圆锥底面半径为，则长为， ， ； 答：圆锥的底面圆的半径是； （3）解：． 答：圆锥的全面积是． 29．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1) (2)216度 【分析】本题考查了圆锥的计算，勾股定理，关键是扇形弧长公式的应用． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出n即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 类型七、计算不规则图形的面积 不规则图形的面积计算可以通过割补法、等积变换法和容斥原理法等方法实现.割补法将图形分割成简单几何形状，分别计算面积后求和.等积变换法通过几何变换，如旋转、翻转，将图形转换为规则形状以便计算面积.容斥原理法先计算各单独形状的面积，再根据形状间的重叠情况进行加减，得出整体面积. 30．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查了圆周角定理，含角度直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理，垂径定理，扇形面积公式，扇形的面积公式和弧长公式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据圆周角定理可得，再根据三角形中位线定理可得，，从而求得的值，最后根据垂径定理即可得出； （2）①根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，再根据垂径定理即可求得的长； ②连接，圆周角定理可得，从而可得，再根据含角度直角三角形和勾股定理可得的长，最后根据扇形的面积公式和弧长公式即可解题； 【详解】（1）解：为的直径， ， 为中点，为中点， 且 ， ， ， ∵弦于点， ， ； （2）①∵弦于点， ，， ，， ，， ． 故答案为： ②连接， ，， ， , 在中， ，，， ，， 的长， 阴影部分的周长， 阴影部分的面积； 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作的切线交于点，交延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、扇形面积计算等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）如图：连接，先根据切线的性质、等腰三角形的性质证明，再根据平行线的性质即可证明结论； （2）如图，连接，设的半径为，根据勾股定理求出，再说明是的中位线可得；再根据圆周角定理、直角三角形的性质求得；最后根据阴影部分的面积=四边形的面积-扇形的面积并代入数值即可解答． 【详解】（1）证明：如图：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，设的半径为， 在中，，， ， ， ， ， ， ∵，为的中点， 是的中位线， 是中点， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积. 32．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)已知图中阴影部分面积为6π． 求的半径；直接写出图中阴影部分的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 的半径是6； 【分析】（1）根据切线的性质得出，求出，再根据平行线的判定得出即可； （2）求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，，根据全等三角形的判定得出，求出，求出阴影部分的面积扇形的面积,再求出半径即可；解直角三角形求出，根据垂径定理求出，根据弧长公式求出弧的长，再求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， 是的直径，，为的中点， ， ， ， ， ； （2）解： ， 是等边三角形， ， 在和中， ， （AAS）， ， 阴影部分的面积扇形的面积, 图中阴影部分面积为6π, ， 解得：， 即的半径是6； ， ， ， ，过， ， ， 的长是， ， 阴影部分的周长是的长． 【点睛】本题考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定，弧长的计算，扇形的面积计算，勾股定理，垂径定理，等边三角形的性质和判定等知识，能熟记圆的切线垂直于过切点的半径是解此题的关键． 33．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，可得，然后根据是的外接圆，可得，从而得到，即可求证； （2）连接，设交于点F，根据垂径定理和圆周角定理可得，，从而得到，再根据图中阴影部分面积为，即可求解； （3）过点M作于点H，证明，可得，可证明，从而得到，然后在中，解直角三角形可得，，从而得到，再利用勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是的外接圆， ∴垂直平分， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接，设交于点F， 由（1）得：是等边三角形，， ∴， ∵E是中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：如图，过点M作于点H， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的综合题，涉及了切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握切线的判定，圆内接四边形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 类型八、点、直线与圆的位置关系 34．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，是由小正方形构成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图（保留作图痕迹）． (1)作出该圆的圆心O； (2)作出格点E，使直线EA与相切； (3)如图2，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，请判断点、点关于点A的对称点，与的位置关系，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点在圆上，点在圆内，理由见解析 【分析】（1）由90度的圆周角，所对弦为直径即可求解； （2）将直径绕点A旋转90度，经过的格点即为要找的点E； （3）先求出点P、Q关于点A对称点的坐标，再由坐标画出点，然后由图判定即可． 【详解】（1）解：连接，的中点O即为所求； （2）解：取格点E，如图： （3）解：点、点关于点A的对称点，的坐标为：，，如图， ∴点在圆上，点在圆内． 【点睛】本题考查圆周角定理的指论，切线的判定与性质，求关于中心对称点的坐标，熟练掌握圆周角定理的推论和切线的判定与性质是解题的关键． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ． (2)这个圆的半径为 ． (3)直接判断点与的位置关系，点在 填“内”“外”或“上”． (4)在网格中过点作的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)外 (4)，，， 【分析】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形性质，垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆的切线等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）作出线段，的垂直平分线的交点M，根据点M的位置写出坐标即可； （2）根据勾股定理求出半径即可； （3）求出的长与半径比较即可得出结论； （4）作出圆的切线即可判断出经过平面内的点． 【详解】（1）解：如图，圆心M的坐标， 故答案为：； （2）解：的半径为， 故答案为：； （3）解：, 因此，点D在外； 故答案为：外； （4）解：如图，为过点的的切线，过点，，，． 36．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据三角形的三边关系即可判断求解； （）根据两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小，利用勾股定理求出，进而即可求解； （）由可知点在以点为圆心、的长为半径的圆上，作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，同理（）知，当三点共线时，取最小值，利用勾股定理求出的值进而即可求解． 【详解】解：（），理由如下： 在中，， 即， ∵， ∴； （）如图，由两点之间线段最短可知，当点和半圆的圆心共线时，最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即线段长度的最小值为； （）由折叠可得，， ∴点在以点为圆心、的长为半径的圆上， 作矩形关于直线的对称矩形及点关于直线的对称点，如图， 同理（）知，当三点共线时，取最小值， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴的最小值为， ∵， ∴的最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，两点之间线段最短，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，点和圆的位置关系，轴对称的性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 37．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： (1)观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； (2)如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） (3)在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 【答案】(1)③④； (2)； (3)． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，直线与圆的位置关系——相切，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． （1）根据直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可判断； （2）过点C作出三角形的一条高，然后利用直角三角形的边角关系以及锐角三角函数即可解决； （3）根据直线与相切时有唯一公共点可知：高，利用面积法即可解答． 【详解】（1）解：图①已知一个角及它所对的边，而另外两个角可以任意变动，故图①不能求出其余未知元素； 图②已知三个角，而三个边可以任意变动，故图②不能求出其余未知元素； 图③已知两个角及其夹边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图③其余未知元素； 图④已知两角及其中一个角的对边，那么第三个角是固定的，然后作出三角形的一条高，即可求出图④其余未知元素； 故答案为：③④； （2）解：如图1，过点C作于点D， 中，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，过点B作于E，过点C作于点D， 当与直线相切时，与所在的直线有唯一的公共点， 此时， ， ， ， 故答案为： 38．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【发现结论】 一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根． 【探究思考】 （1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：______．同理可得：______． 所以为方程的两个实数根． 【灵活运用】 （2）如图2，为方程______的两个实数根． （3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点． （4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）见详解；（4）与轴相切 【分析】（1）仿照已知中的推理过程即可得到，从而问题解决； （2）根据题干即可求得． （3）以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所求的点； （4）由题意得有两个相等的实数根，从而可得与轴只有一个交点，即与轴相切； 【详解】解：（1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：， 同理可得：． 所以为方程的两个实数根． （2）解：从图2可得点、， ∴， ∴为方程的两个实数根． （3）解：以及两点为端点的线段为对角线画正方形，连接交于，再以为圆心，为半径画圆，圆与轴的交点的横坐标即为方程的两个根，两交点、即为所画的点，如图所示； （4）解：与轴相切； 理由如下： ∵点、， 结合题意可得与轴两个交点的横坐标为方程的两个根， ， ∴方程有两个相等的实数根， 对应地，与轴只有一个交点，即与轴相切． 【点睛】本题是材料问题，考查了勾股定理、一元二次方程解的概念、正方形的性质、直线与圆的位置关系，代数式的变形等知识，关键是读懂题中材料提供的方法，并能加以灵活运用，体现了数形结合思想． 类型九、切线的判定与性质综合 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 39．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据角平分线定义，得，可得，得，得，即得； （2）连接交于，根据垂径定理推论得，，根据，，得，，得，，根据，得，即得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 为半径， 是的切线； （2）解：如图2，连接交于， ， ， 是劣弧的中点， ，，， ∵，， ， ， ， 由（1）知， ， ，即， 解得，； ，，， ∴， ， ； 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆与三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，等腰三角形性质，平行线判定和性质，切线判定和性质，垂径定理推论等边三角形判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，全等三角形判定和性质，扇形面积公式，是解题的关键． 40．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）作，垂足为点H，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，然后根据角平分线的性质，即可求证； （2）根据勾股定理求出的长，可得，设的半径为r，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，作，垂足为点H，连接，    ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 即是的平分线， ∵点O在上，与相切于点E， ∴，且是的半径， ∴，是的半径， ∴是的切线； （2）解：在中，， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 设的半径为r，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． ∴的半径长为3． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理等知识是解题的关键． 41．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点； （2）由（1）可得结论； （3）设的半径为，过点作于点，则四边形是矩形，利用勾股定理构建方程求解． 【详解】（1）解：如图，连接并延长交于点，以为圆心为半径作弧交于点，连接，延长交的延长线于点，连接、、， ∴， ∵线段、与相切，切点分别为、，， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴是的直径，即点在上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴与相切于点， 则即为所作； （2）证明：由（1）知：即，且点在上， ∴与相切； （3）解：设的半径为， 过点作于点，则， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵、、都是的切线， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，切线的判定和性质，切线长定理，正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 42．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，过作于点，首先得到平分，由切线得到，然后得出，即可证明是的切线； （2）过点作，垂足为，得四边形为矩形，且，然后得到为等边三角形，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：连接，过作于点 且为的中点 平分 与相切于点 是的切线； （2）解：过点作，垂足为． 得四边形为矩形，且 ， 又 为等边三角形 为等边三角形 ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定和性质是解答此题的关键． 类型十、切线长定理应用 切线长定理包含两个结论：一是从圆外一点引的两条切线的切线长相等；二是圆外这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.利用切线长相等可以判定两条线段相等，利用圆外这点和圆心的连线平分夹角可以证明两角相等、求角的度数. 43．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理； （1）根据切线长定理可得，，根据，由线段的差相等，即可求解； （2）设，则，根据，即可求解． 【详解】（1）∵为内切圆，、、为切点， ∴， ∵， ∴即 ∴ （2）设， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴，解得， ∴ 44．（18-19九年级上·北京昌平·期末）有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.   小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，，   设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 【答案】（1）35；（2） 【分析】（1）模仿例题求解即可解决问题; （2）探究规律，利用规律即可解决问题． 【详解】（Ⅰ）如图，令    设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，，， 据勾股定理得， 整理，得 所以 （Ⅱ）由（1）可知： 【点睛】本题考查了三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 45．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【详解】（1）证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 46．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)②正确，理由见解析 【分析】（1）首先证明，易得，由切线长定理可知，，进而证明，然后由勾股定理求解即可； （2）首先根据勾股定理可得，再由（1）知，进而可得，由切线长定理可知，易得，然后证明结论； （3）延长至，使得，连接，首先证明，易得，再证明，易得，即可证明． 【详解】（1）解： 是直径，、是切线， ∴， ， 由切线长定理可知，， ， ， ， ； （2）证明： 是直径， 、 是切线， ， ， 由 （1）知 ， ， 由切线长定理可知 ， ， ， 即 ， ； （3）我认为正确，理由如下： 如下图，延长至，使得，连接， 由垂径定理知，垂直平分， ， ， 在四边形中，， 又 ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、垂径定理等知识，综合性质强，综合运用相关知识是解题关键． 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等等： （1）先证明，再由，即可证明； （2）证明，得到四点共圆，则，设，则，进而得到，，则，即可证明； （3）先证明，求出，则，利用勾股定理得到，解直角三角形得到，再解得到，则，即可求出；设，则，证明，求出，则，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； （3）∴， ∴四点共圆， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）； ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 解得， ∴． 48．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（）连接，由是的中点，可推导出垂直平分，进而得到，由得到，又根据三角形外角性质可得，结合平分即可得到，即可求证； （）由垂直平分得到，，利用勾股定理求出，得到的长，再利用勾股定理即可求出的长； （）连接，由点为的内心，得到，，进而得到，，利用角的关系可得到，即可得到． 【详解】（1）解：连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ， ， ， ∴， ∴直线是的切线； （2）解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接， ∵点为的内心， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，线段垂直平分线的判定和性质，弧、弦、圆心角之间的关系，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，勾股定理，掌握这些性质定理是解题的关键． 49．（23-24九年级上·江苏·期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点O为圆心、为半径作辅助圆，是⊙O的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．    ②如图2，点P为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：∵，，∴点P在以为直径的圆上 设圆心为点O，则O、P、A三点共线时最小，最小值为______． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为______． ②如图4，中，，，，D为上一动点，以为直径的交于E，求线段的最小值．    （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，x轴上有一动点P，当最大时，直接写出点P的坐标______． 【答案】（1）①；②；（2）①；②；（3） 【分析】（1）①根据同弧所对的圆心角是圆周角的一半，进行作答即可； ②根据圆周角为所对的弦是直径，即点P在以为直径的圆上，作图，当O、P、A三点共线时最小，即点的位置，结合勾股定理进行列式，即可作答； （2）①依题意，作图，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，结合，得，通过勾股定理求出的值，当A、Q、C三点共线时，即点的位置，线段取最小值； ②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，作图，当点，，三点共线时，即点的位置，线段取最小值，结合勾股定理求出的值，即可作答； （3）依题意，过A、B、P三点的圆中，的长为定长，结合三角形的外角性质，当圆相切时，弧AB的度数最大，即可作答． 【详解】解：①依题意，以点O为圆心、为半径作辅助圆，如图所示：    ∵是⊙O的圆心角， ∴是圆周角， ∵ ∴； ②依题意，∵，， ∴点P在以为直径的圆上， 设圆心为点O，连接交圆上于一点，连接，，，如图所示：    因为是正方形， 所以 则， 此时 则O、P、A三点共线时最小，即点与点重合， 即， 此时的最小值为； （2）①依题意，以点A为圆心，以为半径，点Q也在圆上，连接，，过点A作交于点H，如图：    ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴ 则 ∵为半径， ∴ 则 当A、Q、C三点共线时，即点Q与点的位置重合， 此时， 故线段的最小值为； ②依题意，E点的轨迹以为直径的圆上，记其圆心为点，连接，，且交上于一点，即点，连接，，，如图：    ∵D为上一动点，以为直径的交于E ∴， ， ∵，，， ∴， 则 那么 当点C、F、E三点共线时，即取最小值，即点与点重合， 此时， 所以的最小值为； （3）过A、B、P三点的圆中，圆心为点M，的长为定长，连接，，记交圆M于点N， 当圆M与x轴相切时，这时为点，此时的度数最大，即，连接，，，如图所示，    则， 那么 当点与点重合时，，此时的度数最大，即为的度数, 设点， 因为 所以 ∵ ∴ 整理得 解得（舍去），， 即点的坐标为 所以当最大时，点P的坐标为 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外角性质，圆的基本性质，圆周角定理，三角形三边关系，外接圆的性质等，综合性强，难度较大，对学生作辅助线的能力是有较高的要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 50．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知在中，是的直径，是弦，且于点，过点作的切线，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，过点作于点．若平分，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的性质得到，求得，于是得到； （2）连接，根据角平分线的性质得到，求得，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）如图，连接， 平分， ， 是的直径，于点D， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 51．（2025·安徽·模拟预测）如图，内接于是的中点，连接，过点作于，交于，过点作于． (1)若，求的大小． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查圆周角定理、直角三角形的两个锐角互余、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等知识，推导出及是解题的关键． （1）由，，求得； （2）由是的中点，得，由于，于点，得，则，推导出，由，得，再证明，由，得，求得，则． 【详解】（1）解：，， ， 的度数是． （2）解：是的中点， ， 于，于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 整理得， 或（不符合题意，舍去）， ， 的值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆中热考题型 目录 1 类型一、利用垂径定理解决实际问题 1 类型二、利用圆周角定理及推论求解 3 类型三、利用弧、弦、圆心角关系求解 4 类型四、利用圆内接四边形的性质求解 5 类型五、正多边形与圆 7 类型六、与弧长、扇形面积、圆锥有关的计算 9 类型七、计算不规则图形的面积 11 类型八、点、直线与圆的位置关系 13 类型九、切线的判定与性质综合 15 类型十、切线长定理应用 17 19 类型一、利用垂径定理解决实际问题 垂径定理是解决圆中计算、证明问题最常用的定理，一般涉及与半径、弦心距、弦长、弓形的高有关的问题时，往往利用垂径定理的基本图形构建一个直角三角形，运用勾股定理求解，即用“垂径定理+勾股定理”求解.解题时，注意垂径定理的推论“知二推三”的应用. 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 2．（2024九年级·河北·学业考试）日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． (1)求的半径； (2)求图中阴影部分的面积． 3．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽为，拱高为． (1)求桥拱的半径； (2)此桥的安全限度是拱顶点距离水面不得小于，若大雨过后，洪水泛滥到水面宽度为时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 4．（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 类型二、利用圆周角定理及推论求解 5．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，是半圆的直径，点为圆心，点，均在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点． (1)证明：； (2)若，，，求的长． 7．（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 8．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）如图，是的直径，垂直平分，交于点，交于点，，连接，． (1)求证：为等边三角形； (2)作，垂足为点，连接，若，求的长． 类型三、利用弧、弦、圆心角关系求解 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦这三组量中有一组量相等，其余的各组量也分别相等，简称“知一推二”. 9．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知是的直径，弦与弦交于点，且，垂足为点，若． (1)求的度数； (2)若，求的值； (3)在（2）的基础上求的值． 10．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，已知，垂足为E，弦的弦心距为． （1）若，则的度数为 ； （2）若⊙O的半径为5，，则的长为 ． 11．（2024·安徽合肥·二模）如图，已知是的直径，是弦，垂足为点，点是弧的中点，连接 (1)当时，求的度数； (2)当时，求的长． 类型四、利用圆内接四边形的性质求解 圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时，往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系. 12．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，为的直径，．    (1)试判断的形状，并给出证明； (2)若，，求的长度． 13．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形内接于，对角线为的直径，，在的延长线上取一点E，连接，使． (1)求证：． (2)若，求的长． 14．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，四边形内接于，为的直径，的延长线交于点，连接． (1)若点为的中点，，求的度数； (2)若点是的中点，，求的长． 15．（24-25九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在⊙O中，是上的点（不与点重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． (1)求证：． (2)若的面积为27，求的半径． 16．（2023·安徽淮北·二模）如图1，圆内接四边形的对角线与交于点E，． (1)求证：平分； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，若平分，，求证：是圆的切线． 17．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 类型五、正多边形与圆 18．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，正六边形内接于，的周长为，则边心距的长为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，正六边形的边长为为正六边形的外接圆，连接，则的长为（   ） A．12 B． C． D． 20．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，边长为的正六边形在足够长的桌面上滚动（没有滑动）一周，则它的中心点所经过的路径长为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（    ）    A．8 B． C． D．16 22．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图，的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为（n为1~12的整数），过点作的切线交弦延长线于点P． (1)通过计算比较直径和劣弧哪个更长； (2)求切线长的值． 类型六、与弧长、扇形面积、圆锥有关的计算 23．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，等腰三角形ABC中，当顶角的大小确定时，它的对边（即底边）与邻边（即腰或）的比值他就确定了，我们把这个比值记作，即，当时，如． (1)__________，__________，的取值范围是__________； (2)如图2，圆锥的母线长为18，底面直径，一只蚂蚁从点P沿着圆锥的侧面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路径长．（精确到0.1，参考数据：，，） 24．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 25．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，四边形是边长为1的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为；弧的圆心为，半径为…．弧，弧，弧，弧…的圆心依次按点A，B，C，D循环，请回答下列问题： (1)直接写出弧的半径． (2)直接写出弧的半径． 26．（2021·湖南邵阳·中考真题）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径与母线长之比为．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中，．将扇形围成圆锥时，，恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角的大小 （2）若圆锥底面圆的直径为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留） 27．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，网格纸中每个小正方形的边长为1，一段圆弧经过格点A、B、C． (1)该图中弧所在圆的圆心D的坐标为______； (2)根据（1）中的条件填空： ①圆D的半径______（结果保留根号）； ②点在圆D______（填“上”、“内”或“外”）； ③求的长． 28．（24-25九年级上·山东烟台·期末）有一直径为的圆形纸片，要从中剪出一个最大的圆心角是的扇形（如图）． (1)求被剪掉的阴影部分的面积； (2)用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？ (3)求圆锥的全面积． 29．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)计算这顶锥形草帽的侧面积．（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 类型七、计算不规则图形的面积 不规则图形的面积计算可以通过割补法、等积变换法和容斥原理法等方法实现.割补法将图形分割成简单几何形状，分别计算面积后求和.等积变换法通过几何变换，如旋转、翻转，将图形转换为规则形状以便计算面积.容斥原理法先计算各单独形状的面积，再根据形状间的重叠情况进行加减，得出整体面积. 30．（23-24九年级上·河北沧州·期中）如图，为的直径，弦于点，连接，，，为中点，且． (1)求的长； (2)当时， ①　　　； ②求阴影部分的周长和面积． 31．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知等腰，，以为直径作交于点，过作的切线交于点，交延长线于点． (1)求证：． (2)若，，求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 32．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，是直径，点是上一点，且，过点作的切线交延长线于点，为弧的中点，连接，与交于点． (1)求证：； (2)已知图中阴影部分面积为6π． 求的半径；直接写出图中阴影部分的周长． 33．（2025·江苏泰州·三模）如图1，在菱形中，，是的外接圆，E是上一动点，连接并延长交于M，连接并延长交于N， (1)求证：是的切线； (2)如图2，当E是中点时，求图中阴影部分面积； (3)当时，求的长． 类型八、点、直线与圆的位置关系 34．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，是由小正方形构成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图（保留作图痕迹）． (1)作出该圆的圆心O； (2)作出格点E，使直线EA与相切； (3)如图2，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，请判断点、点关于点A的对称点，与的位置关系，并简要说明理由． 35．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，． (1)经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为 ． (2)这个圆的半径为 ． (3)直接判断点与的位置关系，点在 填“内”“外”或“上”． (4)在网格中过点作的切线，求切线经过的图中所有格点的坐标． 36．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）【初步探究】（）如图，为的直径，点在的延长线上，在上任取一点（不与两点重合），连接，．判断与的大小关系，并说明理由； 【直接运用】（）如图，在中，，，以为直径的半圆交于点，是上的一个动点，连接，求线段长度的最小值； 【构造运用】（）如图，矩形中，，，分别是直线上的两个动点，，沿翻折形成，连接，则的最小值为________． 37．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）在直角三角形中，除直角外的5个元素中，已知2个元素（其中至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素，对于任意三角形，我们需要知道几个元素就可以求出其余的未知元素呢？思考并解答下列问题： (1)观察图①图④，根据图中三角形的已知元素，可以求出其余未知元素的序号是______； (2)如图⑤，在中，已知，，，能否求出的长度？如果能，请求出的长度；如果不能，请说明理由；（参考数据：，） (3)在（2）的条件下，若以点B为圆心，r为半径的与所在的直线有唯一的公共点，则r的值为______． 38．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）【发现结论】 一元二次方程的几何解法最早可以追溯到古希腊，小聪同学在了解到英格兰著名文学家卡莱尔给出的几何解法后，也有了他自己的新发现：如图1，在平面直角坐标系中，已知点、，以为直径作．若与轴交于点、，则为关于的方程的两个实数根． 【探究思考】 （1）由题意得：，，，． 在中，由得：． 化简得：______．同理可得：______． 所以为方程的两个实数根． 【灵活运用】 （2）如图2，为方程______的两个实数根． （3）在图3中所给网格图的轴上画出以方程两根为横坐标的点． （4）已知点、，以为直径作．根据小聪的发现判断与轴的位置关系，并说明理由． 类型九、切线的判定与性质综合 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 39．（24-25九年级下·安徽芜湖·期中）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 40．（22-23九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，．      (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径长．   41．（24-25九年级上·广东广州·期末）已知线段、与相切，切点分别为、，，． (1)过点作的切线（在线段的上方）与的延长线交于点，切点为点．（要求：尺规作图、保留作图痕迹、不写作法）． (2)求证：与相切． (3)若，，求的半径． 42．（24-25九年级上·湖北恩施·期末）如图，在中，，是的中点，与相切于点，与 交于点是的直径，弦的延长线交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 类型十、切线长定理应用 切线长定理包含两个结论：一是从圆外一点引的两条切线的切线长相等；二是圆外这点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.利用切线长相等可以判定两条线段相等，利用圆外这点和圆心的连线平分夹角可以证明两角相等、求角的度数. 43．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，为边上一点，为内切圆，、、为切点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 44．有这样一个问题： 如图，的内切圆与斜边相切于点，，，求的面积（用含的式子表示）.   小冬根据学习几何的经验，先从特殊情况开始探究： 解：如图，令，，   设的内切圆分别与相切于点，的长为 根据切线长定理，得，， 根据勾股定理得， 整理，得 所以 请你参考小冬的做法. 解决以下问题： （1）当时，求的面积； （2）当时，直接写出的面积（用含的式子表示）为 . 45．（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，与交于点，若，求证：． 46．（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图1，是的直径，和是它的两条切线，点是右侧半圆上不同于的一个动点，过点作的切线与分别相交于两点，连接． (1)若，求的长； (2)求证：； (3)如图2，连接，与相交于点，延长交于点，过点作于点．则以下关于线段的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 47．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，，D为边上一点，过点D作于点E，连接相交于点F，已知． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的长度． 48．（22-23九年级上·安徽·阶段练习）如图，为的外接圆，C是的中点，连接交于点D，延长至点E，使得平分． (1)求证：直线是的切线． (2)若的半径为5，，求的长． (3)在（2）的前提下，点F在上，的内心G在边上，求的长． 49．（23-24九年级上·江苏·期中）（1）【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”． ①已知：如图1，，若，求的度数． 解：若以点O为圆心、为半径作辅助圆，是⊙O的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．    ②如图2，点P为正方形内一点，且，若，求的最小值． 解：∵，，∴点P在以为直径的圆上 设圆心为点O，则O、P、A三点共线时最小，最小值为______． （2）【问题解决】 ①如图3，在平行四边形中，已知，，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点Q，则线段的最小值为______． ②如图4，中，，，，D为上一动点，以为直径的交于E，求线段的最小值．    （3）【问题拓展】 如图5，在平面直角坐标系中，已知两点，，x轴上有一动点P，当最大时，直接写出点P的坐标______． 50．（24-25九年级下·安徽安庆·阶段练习）已知在中，是的直径，是弦，且于点，过点作的切线，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，过点作于点．若平分，，，求的长． 51．（2025·安徽·模拟预测）如图，内接于是的中点，连接，过点作于，交于，过点作于． (1)若，求的大小． (2)若，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $