专题07 复数（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第7个专题，内容为复数。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题07 复数 一、课标解读 · 1.复数的有关概念 · 2.复数的几何意义 · 3.复数的运算 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2025 选择题 5 复数的运算 5 由于复数是2025年新增考点，因此该年是第一次在高考中对复数知识点进行考查，考查内容为复数的运算，分值5分。 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有1道题目对复数的几何意义或复数的运算进行考查，题型为单选题，分值为5分。 具体考点可能涉及如下内容： · 对复数相关概念的理解集合的应用 · 复数的几何意义 · 复数的四则运算 · 复数范围内实系数一元二次方程（根的求解、根与系数关系等） 四、知识梳理 1．复数的有关概念 (1)复数的概念： ①虚数单位i: i2＝－1； ②形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数． (2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (4)复数的模：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝. 2．复数的几何意义 (1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量. 3．复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i； ③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)． (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．复数在复平面内对应的点是（    ） A． B． C． D． 2．下列各数是纯虚数的是（    ） A． B．10 C． D． 3．如果复数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，则（    ） A． B．7 C．1 D．5 5．已知复数，则（   ） A． ．14 C． D． 6．设，则（    ） A． B． C． D． 7．若复数，则（    ） A． B． C． D．0 8．已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．复数z的实部为3 B．复数z的虚部为 C．复数z的模为1 D．复数z的共轭复数为 9．一元二次方程的解为（   ） A．4或2 B． C． D． 10．一元二次方程，有（   ） A．两个不相等的实数根 B．一个实数根，一个虚数根 C．一对共轭虚根 D．两个相等实根 1.【答案】C 【分析】根据复数的标准形式，确定其对应复平面的点的坐标即可. 【详解】复数， 即其在复平面内对应的点是. 故选：C 2.【答案】D 【分析】根据纯虚数的概念求解即可. 【详解】纯虚数是实部为0，虚部不为0的复数， ，实部为，虚部为，不符合纯虚数的定义，故错误； ，实部为，虚部为，不符合纯虚数的定义，故错误； ，实部为，虚部为，不符合纯虚数的定义，故错误； ，实部为，虚部为，符合纯虚数的定义，故正确； 故选：D. 3.【答案】A 【分析】根据复数相等的定义，即可解答. 【详解】已知复数， 则， 故选：A. 4.【答案】D 【分析】根据复数模的计算公式求解即可. 【详解】已知复数， 则， 故选：D. 5.【答案】B 【分析】由复数的混合运算即可得解. 【详解】因为复数， 所以. 故选：B. 6.【答案】C 【分析】根据题意设出，结合复数的运算及复数的相等即可得解. 【详解】设，，则， 则由， 得， 得， 得，得 即， 故选：. 7.【答案】C 【分析】利用复数的四则运算与模的公式依次计算即可得解. 【详解】因为， 所以，， 则. 故选：C. 8.【答案】D 【分析】先利用复数的四则运算化简，再利用复数的实部、虚部、模与共轭复数的定义逐一判断各选项即可得解. 【详解】因为， 则复数z的实部为，故A错误；虚部为，故B错误； 模为，故C错误；共轭复数为，故D正确. 故选：D. 9.【答案】C 【分析】根据题意，结合实系数一元二次方程在复数范围内的根，即可求解. 【详解】因为， 所以． 所以方程的解为． 故选：C. 10.【答案】D 【分析】根据题意，结合实系数一元二次方程在复数范围内根的情况，即可判断求解. 【详解】因为， 所以． 所以该一元二次方程有两个相等的实根． 故选：D. 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】. 故选：B. 【例2】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）在复平面内，对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】由复数的乘除运算及几何意义即可得解. 【详解】. 在复平面对应点的坐标为,位于第一象限. 故选:. 【例3】（24-25高三下·山东·职教高考）已知复数为纯虚数，则实数的值是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据纯虚数的定义列式求解即可. 【详解】∵复数为纯虚数， ∴，解得， ∴实数的值是1. 故选：B. 【例4】（20-21高三下·河南·职教高考）已知与是共轭复数，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的定义列方程求解即可. 【详解】已知为实数，与是共轭复数， 可得， 所以. 故选：C. 【例5】（24-25高三下·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共轭复数的概念及复数的乘法法则即可计算． 【详解】∵， ∴， 故选：C． 【例6】（21-22高三·辽宁盘锦·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的乘法运算可解. 【详解】设复数，； 则； 则，解得，； 故选：C. 【例7】（21-22高三·辽宁盘锦·模拟预测）复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则进行计算，再由共轭复数的概念求值即可. 【详解】由可得， ， 所以. 故选：B. 【例8】（24-25高三下·湖南湘潭·三模）设复数满足，则 . 【答案】 【分析】原问题等价于平面向量满足，，求．根据求解. 【详解】原问题等价于平面向量满足，，求. 由， 可得，即， 故，即. 故答案为：. 【例9】（25-26高三上·江苏南通·一模）已知复数，则 . 【答案】2 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 所以， 故答案为：. 【例10】（24-25高三下·江西·三模）已知复数，分别对应复平面内的点，，若，则实数 ． 【答案】 【分析】由复数的几何意义和向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】由题意得，， 又因为，所以， 即，即，解得. 故答案为：. 七、专题归纳小结 1. 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算及性质． 2. 复数的代数形式的运算主要有加法、减法、乘法、除法，除法实际上是分母实数化的过程． 3. 根据复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $