专题06 平面向量（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第6个专题，内容为平面向量。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题06 平面向量 一、课标解读 · 1.向量的定义 · 2.向量的有关概念 · 3.向量的线性运算及共线向量定理 · 4.平面向量的坐标运算 · 5.平面向量的数量积及运算律 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 选择题 7 平面向量数量积 5 （1）题型：选择题、解答题。 （2）内容及分值：平面向量的线性运算、平面向量的数量积及应用;分值一般在13分左右。 解答题 20 平面向量数量积及应用 8 2022 选择题 5 平面向量数量积的应用 5 填空题 20 平面向量数量积及应用 8 2023 选择题 5 平面向量数量积 5 解答题 20 平面向量数量积及应用 8 2024 选择题 8 平面向量的模长 5 解答题 20 平面向量数量积及应用 8 2025 选择题 4 平面向量的线性运算 5 填空题 20 平面向量数量积及应用 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有2道题目对平面向量的线性运算、平面向量的数量积及其应用进行考查，题型设置为单选题、解答题，分值在13左右。 具体考点可能涉及如下内容： · 平面向量的线性坐标运算 · 平面向量的数量积及其应用 四、知识梳理 1．向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)，记作||. 2．向量的有关概念： 名称 定义 备注 平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 3.向量的线性运算： 向量 运算 定　义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝b＋a. (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 4.共线向量定理： 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. （1）平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 6．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 7．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 五、10分钟小测验 一、单选题 1．化简（    ） A．0 B． C． D． 2．正方形 ABCD 的边长为2，则（    ） A．2 B．1 C． D． 3．如图，四边形是平行四边形，则（    ）    A． B． C． D． 4．向量，，若，则（    ） A．5 B． C．或2 D．5或 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 7．已知向量与向量垂直，则 . 8．在三角形ABC中，若，且，则 . 9．已知向量与的夹角为，且，那么的值为 . 三、解答题 10．已知，，向量与的夹角为，求： (1)； (2). 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．B 【分析】根据向量的加法运算法则即可求解. 【详解】. 故选：B. 2．C 【分析】根据向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】由减法法则可知， 由正方形可知对角线的长度为; 所以. 故选：C. 3．D 【分析】根据平面向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】解：由图可知，， ∴． 故选：D. 4．D 【分析】由平面向量共线的充要条件即可求解. 【详解】， 所以， 解得，. 故选：D. 5．B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 6．A 【分析】根据向量的内积的运算律计算即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 7．3 【分析】由两向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】因为向量与向量垂直， 所以，解得. 故答案为：3. 8．24 【分析】由向量内积的定义结合三角形中的条件直接计算即可. 【详解】由向量内积的定义可得，. 故答案为：24. 9． 【分析】根据向量的内积定义和运算律求解. 【详解】因为向量与的夹角为，， 即， 故答案为：. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据内积的定义求解； （2）根据向量内积的运算律计算可求解. 【详解】（1）因为，，向量与的夹角为， 所以； （2）由（1）知 . 六、经典例题解析 【例1】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知向量，若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算的坐标表示求出，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故选：B. 【例2】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知向量，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解 【详解】选项A，，∴两向量不平行，故错误. 选项B，，∴两向量的模不相等，故错误. 选项C，，∴，即垂直，故正确. 选项D，，故错误. 故选：D. 【例3】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，，且与垂直，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先求出的坐标，再根据向量垂直的坐标表示求解的值即可. 【详解】因为， ∴， ∵与垂直， ∴， ∴. 故选：A. 【例4】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，，，则（    ） A．3 B． C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 【例5】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）已知向量，向量与的夹角为. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 【详解】（1）向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. （2）因为，且， 则，故 则，解得. 【例6】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）已知向量满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据向量模的坐标运算及向量内积的定义即可求解. （2）根据共线向量模的关系即可得解. 【详解】（1）由，得，又， 则． （2）由，得，则． 所以． 【例7】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知 (1)若，求 (2)若，且方向相反，求 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由所给向量计算模长，再根据所给角度，运用向量的内积计算即可. （2）因为向量平行，且方向相反，由此列式计算即可. 【详解】（1）已知， 所以， 若， . （2）因为，且方向相反， 所以， 因为 ， 所以. 【例8】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）平面内给定三个向量，，，且． (1)求满足条件的实数m，n的值； (2)若满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. （2）由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 【例9】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量与平行． (1)求角A的大小； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. （2）由三角形面积公式直接求解即可. 【详解】（1）因为向量与平行， 所以有，即， 由正弦定理得, 又，， 从而, 由于， 所以. （2）因为，， 由（1）知，. 所以三角形的面积为. 【例10】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知平面向量，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）运用向量垂直的坐标表示列式计算即可得解. （2）运用向量平行的坐标表示求得的值，再结合向量线性运算及模的坐标公式即可得解. 【详解】（1）因为，，， 所以. 整理得，解得或. 故的值为或. （2）因为，，， 则，即，解得或， 当时，，，所以，则； 当时，，， 所以，则； 综上，的值为或. 七、专题归纳小结 1. 解决与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，以及两个向量相等必须满足：①模相等；②方向相同． 2. 在进行向量线性运算时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，利用三角形中位线，相似三角形对应边成比例得平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解． 3. 平行向量定理的条件和结论是充要条件关系，既可以证明向量共线，也可以由向量共线求参数．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点． 4. 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的． 5. 利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组)进行求解；在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标． 6. 向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值． 7. 在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求距离常用的公式． 8. 已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $