专题3.5 实数（章节复习）（知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题）-2025-2026学年浙教版数学七年级上册同步培优讲练

专题3.5 实数（章节复习） （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：方根和立方根 2 知识点梳理02：实数 2 优选题型 考点讲练 4 考点1：求一个数的算术平方根 4 考点2：利用算术平方根的非负性解题 4 考点3：估计算术平方根的取值范围 4 考点4：算术平方根的实际应用 4 考点5：平方根概念理解 5 考点6：与算术平方根有关的规律探索题 5 考点7：求一个数的平方根 5 考点8：平方根的应用 5 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 6 考点10：无理数 6 考点11：无理数的大小估算 6 考点12：无理数整数部分的有关计算 6 考点13：实数的分类 7 考点14：实数的性质 7 考点15：实数与数轴 7 考点16：实数的大小比较 8 考点17：立方根概念理解 8 考点18：求一个数的立方根 8 考点19：已知一个数的立方根，求这个数 8 考点20：立方根的实际应用 9 考点21：与立方根有关的规律探索 9 考点22：算术平方根和立方根的综合应用 10 考点23：实数的混合运算 10 考点24：实数运算的实际应用 10 中考真题 实战演练 11 难度分层 拔尖冲刺 12 基础夯实 12 培优拔高 12 知识点梳理01：方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数． 1.实数的分类 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　非负数具有以下性质： 　（1）非负数有最小值零； 　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·江西赣州·期中）下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【变式训练】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 考点4：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．    考点5：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为 ． 考点6：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·云南·期中）由，得，则 ． 考点7：求一个数的平方根 【典例精讲】（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 考点8：平方根的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（23-24七年级下·广东惠州·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【变式训练】（2025·宁夏·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 考点10：无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）下列各数中，哪个是无理数（    ） A． B．…（相邻两个1之间有1个0） C．3.97 D．0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成） 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下面各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 考点11：无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）比较大小： ， 1． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 考点12：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的小数部分为 ． 【变式训练】（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为a．若的整数部分和小数部分分别是x，y，则 ． 考点13：实数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）把下列各数填入相应的集合内 ，，32，0.1，0， 整数集合：｛                                  …｝； 非负数集合：｛                                …｝； 负分数集合：｛                                …｝． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）在数，0，，2.010010001…中，非正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点14：实数的性质 【典例精讲】（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习） ． 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 考点15：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，点在数轴上处，直径为1的圆从点出发，沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数是 ． 考点16：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）请写出两个比大的无理数： ． 【变式训练】（25-26七年级上·北京·阶段练习）把、、、四个数按照从小到大的顺序排列 ． 考点17：立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①负数没有立方根；②；③两个无理数的和还是无理数；④无理数都是无限不循环小数；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点18：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）下列各数：，无理数的个数是 个． 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）一个数的立方等于它本身，则这个数是（    ） A．0，1 B． C．，0 D．0， 考点19：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知的立方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 考点20：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 考点21：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 考点22：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 考点23：实数的混合运算 【典例精讲】（22-23七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 考点24：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    1．（2024·全国·中考真题）比较大小： ； ； 2． 2．（2024·广东中山·中考真题）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 3．（2024·河南南阳·中考真题）已知与是正数的平方根，则的值是 ． 4．（2024·广东广州·中考真题）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 5．（2024·四川泸州·中考真题）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的值． 基础夯实 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各数中，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习），括号内应填写 ． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 5．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 整数集合{          …} 正有理数集合{          …} 非负整数集合{          …} 培优拔高 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；②实数包括无理数和有理数；③的算术平方根是；④的平方根是．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（    ） A．A，B之间的整数有三个 B． C． D．A，B之间最小的无理数是 8．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 9．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 10．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？请说明理由． (2)求阴影部分的面积． (3)求最大长方形的周长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 实数（章节复习） （知识梳理+24个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共63题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：方根和立方根 2 知识点梳理02：实数 2 优选题型 考点讲练 3 考点1：求一个数的算术平方根 3 考点2：利用算术平方根的非负性解题 4 考点3：估计算术平方根的取值范围 5 考点4：算术平方根的实际应用 6 考点5：平方根概念理解 7 考点6：与算术平方根有关的规律探索题 7 考点7：求一个数的平方根 8 考点8：平方根的应用 9 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 10 考点10：无理数 11 考点11：无理数的大小估算 11 考点12：无理数整数部分的有关计算 12 考点13：实数的分类 13 考点14：实数的性质 14 考点15：实数与数轴 14 考点16：实数的大小比较 15 考点17：立方根概念理解 16 考点18：求一个数的立方根 17 考点19：已知一个数的立方根，求这个数 17 考点20：立方根的实际应用 18 考点21：与立方根有关的规律探索 19 考点22：算术平方根和立方根的综合应用 20 考点23：实数的混合运算 21 考点24：实数运算的实际应用 22 中考真题 实战演练 23 难度分层 拔尖冲刺 26 基础夯实 26 培优拔高 28 知识点梳理01：方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 知识点梳理02：实数 有理数和无理数统称为实数． 1.实数的分类 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　在实数范围内，正数和零统称为非负数．我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　非负数具有以下性质： 　（1）非负数有最小值零； 　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点1：求一个数的算术平方根 【典例精讲】（24-25七年级上·江西赣州·期中）下列等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键．对各项正确计算后可以作出选择． 【规范解答】解：A、因为，所以错误； B、因为，所以错误； C、因为，所以正确； D、因为，所以错误； 故选：C． 【变式训练】（24-25七年级上·全国·单元测试）的平方根是 ，的算术平方根是 ，16的算术平方根的平方根是 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的平方根和求一个数的算术平方根，解题的关键是掌握求平方根和算术平方根的法则． 利用求一个数的平方根和求一个数的算术平方根的法则进行求解即可． 【规范解答】解：； ； ， ； 故答案为：，，． 考点2：利用算术平方根的非负性解题 【典例精讲】（24-25八年级下·广东汕头·期中）已知，为实数，且，则 ． 【答案】9 【思路点拨】本题考查了二次根式的非负性质，求算术平方根等知识，由二次根式的非负性求出x与y的值是解题的关键；由二次根式的非负性可求得x与y的值，再代入计算算术平方根即可． 【规范解答】解：由题意得：，解得：， 当时，； ∴； 故答案为：9． 【变式训练】（24-25七年级下·云南大理·期末）若，则的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性．根据非负性求出的值，进而求出的值即可． 【规范解答】解：∵， ∴，， ∴，， ∴； 故选：B． 考点3：估计算术平方根的取值范围 【典例精讲】（24-25七年级下·河南商丘·阶段练习）兴华小学有一块面积为的正方形菜地供学生进行种植活动，估计这块菜地的边长在（    ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】C 【思路点拨】本题考查了算术平方根的估算，先求出这块菜地的边长为，再进行估算即可得解． 【规范解答】解：∵小丽家有一块的正方形菜地， ∴这块菜地的边长为， ∵， ∴，即， ∴估计这块菜地的边长在之间， 故选：C． 【变式训练】（24-25八年级上·河北石家庄·期中）已知实数满足，若为正整数，当b取最大值时， ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握算术平方根的相关知识．由，a，b均为正整数，可知当b取最大值时，即，由此求解即可． 【规范解答】解：∵，a，b均为正整数， ∴ ∴当b取最大值时，即时，， ∴， 解得， 故答案为：4． 考点4：算术平方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·陕西西安·期末）用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满，每块地砖的边长是 厘米． 【答案】30 【思路点拨】本题考查了算术平方根的应用． 先求出每块地砖的面积，在计算算术平方根即可． 【规范解答】解：∵用500块相同的正方形防滑地砖将面积为45平方米的学校走廊铺满， ∴每块地砖的面积为（平方米）， 则每块地砖的边长是（米）（厘米）， 故答案为：30． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南娄底·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【思路点拨】先求出两个小正方形的边长，，再计算大正方形的边长，用大正方形的面积减去小正方形的面积即可得到阴影的面积． 本题考查了正方形的面积与算术平方根，熟练掌握算术平方根的计算是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得两个小正方形的边长，， 故大正方形的边长， 故阴影面积为：， 故答案为：． 考点5：平方根概念理解 【典例精讲】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）下列各式无意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查平方根，根据平方根的定义，在实数范围内，被开方数必须是非负数，否则无意义．逐一分析各选项的被开方数即可判断． 【规范解答】选项A：，被开方数为，是负数，故无意义． 选项B：，被开方数为，有意义． 选项C：，被开方数为，非负，有意义． 选项D：，被开方数为，非负，有意义． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级下·广东汕头·期末）已知一个正数x的两个平方根分别为3和，则a的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了平方根，掌握正数的两个平方根互为相反数是解题的关键． 由题意得，然后求解即可． 【规范解答】解：正数的两个平方根分别为3和 解得： 故答案为：． 考点6：与算术平方根有关的规律探索题 【典例精讲】（24-25七年级上·全国·单元测试）如果一个自然数的算术平方根是n，则下一个自然数的算术平方根是（   ） A．n+1 B．+1 C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了算术平方根的定义．注意一个正数的正的平方根，是这个数的算术平方根；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根． 首先根据算术平方根的概念先求得这个自然数为，再根据算术平方根的定义即可求得与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根． 【规范解答】解：∵一个自然数的算术平方根是n， ∴这个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数为， ∴与这个自然数相邻的下一个自然数的算术平方根是． 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·云南·期中）由，得，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查算术平方根的性质，根据被开方数的小数点每向右移动2位，算术平方根的小数点向右移动1位，进行求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 故答案为：． 考点7：求一个数的平方根 【典例精讲】（22-23八年级上·陕西西安·期中）16的平方根是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查求一个数的平方根．根据平方根的定义进行解答即可． 【规范解答】解：∵ ∴16的平方根是． 故答案为：． 【变式训练】（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列结论中，正确的是（    ） A．1的算术平方根是1 B．的平方根是 C．的平方根是 D．0没有平方根 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平方根与算术平方根的定义，依据平方根和算术平方根的性质求解即可． 【规范解答】解：A. 1的算术平方根是1，故该选项正确，符合题意；     B. 没有平方根，故该选项不正确，不符合题意； C. ，的平方根是，故该选项不正确，不符合题意；     D. 的平方根是，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 考点8：平方根的应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知正方形中阴影面积为8，则正方形的边长为 ． 【答案】4 【思路点拨】本题主要考查了平方根以及图形的割补思想，熟练掌握平方根运算和通过割补转化图形面积关系是解题的关键．利用平方根和三角形的面积关系，通过图形的割补，得出阴影部分面积与正方形面积的联系，进而求解边长． 【规范解答】解：通过观察图形，将阴影部分进行割补，可发现阴影部分的面积恰好是正方形面积的一半． 设正方形的边长为，则正方形的面积为． 阴影面积为，且阴影面积是正方形面积的一半 解得（边长不能为负，舍去 ） 故答案为： ． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·周测）如下图，将一个棱长为的正方体容器装满水，然后将水全部倒入一个长为、宽是高的2倍的长方体容器里．求长方体容器的高． 【答案】长方体容器的高为 【思路点拨】本题考查了平方根的应用．设长方体容器的高为，则宽为，依题意列方程，求解即可． 【规范解答】解：设长方体容器的高为，则宽为． 依题意，得， 解得． 故长方体容器的高为． 考点9：已知一个数的平方根，求这个数 【典例精讲】（23-24七年级下·广东惠州·阶段练习）一个正数x的两个不同的平方根分别是和． (1)求a和x的值． (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)5 【思路点拨】本题主要考查平方根及算术平方根，熟练掌握平方根及算术平方根的意义是解题的关键； （1）根据平方根的意义可得，则可求出a的值，进而得出x的值即可； （2）把（1）中a、x的值代入进行求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ， ， ； 即a的值为，x的值为49； （2）解：由（1）可知：，， ， 的算术平方根为5． 【变式训练】（2025·宁夏·二模）若一个正数的平方根是与，则这个正数是 【答案】4 【思路点拨】本题考查了已知一个数的平方根，求这个数．先由一个正数的两个平方根分别是与，得出，解得，再代入得，即可作答． 【规范解答】解：∵一个正数的两个平方根分别是与， ， ， ， 则， 故答案为：4． 考点10：无理数 【典例精讲】（25-26八年级上·山西太原·开学考试）下列各数中，哪个是无理数（    ） A． B．…（相邻两个1之间有1个0） C．3.97 D．0.12345678910111213…（小数部分由相继的正整数组成） 【答案】D 【思路点拨】本题考查了无理数，无限不循环小数叫无理数，熟记定义是解题关键． 根据无理数的定义求解即可． 【规范解答】解：A、是分数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； B、…（相邻两个1之间有1个0）是无限循环小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； C、3.97是有限小数，属于有理数，不是无理数，不符合题意； D、0.12345678910111213…（小数部分由连续的正整数组成）是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 故选：D． 【变式训练】（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）下面各数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查的是无理数的识别，掌握无理数的定义是关键．根据无理数是无限不循环小数解答即可． 【规范解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 考点11：无理数的大小估算 【典例精讲】（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）比较大小： ， 1． 【答案】 【思路点拨】本题考查了不等式的性质，无理数的估算，以及实数比较大小．先结合，得，即；因为，则，即． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式训练】（24-25七年级下·湖南永州·期中）下列实数比较大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查实数大小比较，根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【规范解答】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，则，故C选项错误； ，则，故D选项正确； 故选：D． 考点12：无理数整数部分的有关计算 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·随堂练习）的小数部分为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了无理数的估算，计算可得，估算出即可得出，从而即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：， ∵， ∴，即， ∴， ∴的小数部分为， 答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）如图，网格中小正方形的边长均为1，把阴影部分剪拼成一个正方形，正方形的边长为a．若的整数部分和小数部分分别是x，y，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的算术平方根，网格中求三角形面积，无理数的估算，根据网格的特点可求出正方形的面积，进而得到的值，估算出a的取值范围，进而得到的范围，据此确定x的值，进而可得y的值． 【规范解答】解：由网格的特点可得，剪拼成的正方形面积为， ∴该正方形的边长为，即， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的整数部分和小数部分分别是x，y， ∴， ∴， 故答案为：． 考点13：实数的分类 【典例精讲】（25-26七年级上·内蒙古兴安盟·期中）把下列各数填入相应的集合内 ，，32，0.1，0， 整数集合：｛                                  …｝； 非负数集合：｛                                …｝； 负分数集合：｛                                …｝． 【答案】见解析 【思路点拨】此题主要考查实数的分类．根据实数的分类即可求解． 【规范解答】解：整数集合：｛32，0，…｝； 非负数集合：｛32，0.1，0，，…｝； 负分数集合：｛，，…｝． 【变式训练】（25-26七年级上·全国·期中）在数，0，，2.010010001…中，非正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了实数的分类，根据非正数定义（非正数是指负数和零），逐个分析判断，即可解题． 【规范解答】解：在数，0，，2.010010001…中，非正数有，0，共3个， 故选：C． 考点14：实数的性质 【典例精讲】（22-23七年级下·广西柳州·阶段练习） ． 【答案】 【思路点拨】此题考查了实数的绝对值，根据和正数的绝对值是它本身进行解答即可． 【规范解答】解： 故答案为： 【变式训练】（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相反数的求解，解题的关键是熟练掌握相反数的定义． 根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【规范解答】解：的相反数是， 故选：B． 考点15：实数与数轴 【典例精讲】（25-26七年级上·江苏·阶段练习）如果数轴上点A表示，则A点与原点距离为 ． 【答案】 【思路点拨】此题重点考查学生对数轴上的点的认识，把握点到原点的距离是解题的关键． 先估计的大小，再求A到原点的距离． 【规范解答】因为，， 所以A点与原点距离为， 故答案为：． 【变式训练】（25-26七年级上·甘肃定西·阶段练习）如图，点在数轴上处，直径为1的圆从点出发，沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数是 ． 【答案】/ 【规范解答】解：∵圆的直径为1， ∴圆的周长为， ∴点从数轴上处沿数轴向右滚动一周，到达处，点表示的数为． 故答案为： 考点16：实数的大小比较 【典例精讲】（24-25七年级下·全国·单元测试）请写出两个比大的无理数： ． 【答案】，（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了无理数，实数的大小比较，写出两个比大的无理数即可得解，熟练掌握无理数的定义是解此题的关键． 【规范解答】解：写出两个比大的无理数：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 【变式训练】（25-26七年级上·北京·阶段练习）把、、、四个数按照从小到大的顺序排列 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了实数大小的比较方法，四舍五入求近似值的应用； 首先把、、都保留四位小数，把化成小数，然后根据小数比较大小的方法排序即可． 【规范解答】解：∵，，，， ∴． 故答案为：． 考点17：立方根概念理解 【典例精讲】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中正确的是（    ） A．27的立方根是 B．没有立方根 C．立方根是它本身的数是1 D．平方根是它本身的数是0 【答案】D 【思路点拨】本题考查了立方根和平方根的概念理解，解题的关键是正确理解一个正数有一个正的立方根、0的立方根是0，一个负数有一个负的立方根；一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据立方根和平方根的概念求解即可． 【规范解答】解：A、27的立方根是，原说法错误，不符合题意； B、有立方根，且为，原说法错误，不符合题意； C、立方根是它本身的数是，原说法错误，不符合题意； D、平方根是它本身的数是0，正确，符合题意， 故选：D． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·单元测试）下列说法：①负数没有立方根；②；③两个无理数的和还是无理数；④无理数都是无限不循环小数；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了立方根的性质、实数的运算、无理数的定义和性质.结合实数的相关性质分别分析题目的说法即可解答. 【规范解答】解：负数有立方根，故①错误，不符合题意； ，故②错误，不符合题意； 两个无理数的和不一定是无理数，故③错误，不符合题意； 无理数是无限不循环小数，则无理数都是无限不循环小数，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的只有④，共1个. 故选A. 考点18：求一个数的立方根 【典例精讲】（24-25七年级上·山东东营·期中）下列各数：，无理数的个数是 个． 【答案】2 【思路点拨】本题考查了立方根，无理数的定义，根据无限不循环小数即为无理数进行分析，即可作答． 【规范解答】解：， 都不是无理数； 都是无理数； ∴无理数的个数是个， 故答案为：2 【变式训练】（25-26七年级上·湖北武汉·阶段练习）一个数的立方等于它本身，则这个数是（    ） A．0，1 B． C．，0 D．0， 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了求一个数的立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴一个数的立方等于它本身，则这个数是0或， 故选：D． 考点19：已知一个数的立方根，求这个数 【典例精讲】（24-25七年级下·广东珠海·期末）已知的平方根是，的立方根是3，m是的算术平方根． (1)填空： ， ， ； (2)若m的整数部分是x，小数部分是y，求的值． 【答案】(1)5；2； (2) 【思路点拨】本题主要考查了根据平方根和立方根求原数，无理数的估算，求一个数的算术平方根，熟知立方根和平方根的定义是解题的关键． （1）对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求出a、b的值，再根据算术平方根的定义求出m的值即可； （2）根据无理数的估算方法估算出m的取值范围，进而确定x、y的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵的平方根是，的立方根是3， ∴，， ∴， ∵m是的算术平方根， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴m的整数部分为2，小数部分为，即， ∴． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·阶段练习）已知的立方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【思路点拨】本题考查了平方根、立方根的定义及无理数的估算能力，熟练掌握平方根、立方根的定义以及灵活应用“夹逼法”进行估算是解题的关键．根据平方根与立方根的概念可得与的值，进而可得、的值；接着估计的大小，可得的值；进而可得，根据平方根的求法可得答案． 【规范解答】解：由题得，得， ，得， ∵， ∴， ∴． 考点20：立方根的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级下·河南濮阳·期末）如图是一个正方体的魔方，它由27个大小完全相同的小正方体组成．魔方的体积是，则一个小正方体的棱长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查立方根的应用，先求出一个小立方体的体积，再求出棱长即可． 【规范解答】解：一个小正方体的体积为：， 所以，小立方体的棱长为， 故选：B． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是一种圆柱形升降阻车桩，它的体积为，高h等于底面半径r的5.48倍，底面半径r是多少厘米？（取3.14，结果保留小数点后两位．） 【答案】10.95厘米 【思路点拨】本题考查了立方根的应用，解题的关键是根据圆柱体积公式，结合已知条件列出关于底面半径r的方程并求解． 根据圆柱体积公式，代入数据计算即可．由题意得 【规范解答】 （厘米） 答：底面半径约是10.95厘米． 考点21：与立方根有关的规律探索 【典例精讲】（24-25七年级下·河南许昌·期末）已知，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点移动规律是解题的关键．根据立方根的小数点就向左移动一位，其被开方数小数点向左移动三位即可求出的值． 【规范解答】解：∵，， ， 故答案为：． 【变式训练】（24-25七年级下·全国·假期作业）（1）填表： a 1 1000 1000000 （2）根据你发现的规律填空： ①，则______，______； ②已知，则______． 【答案】（1），，1 ，10 ，100（2）①，， ② 【思路点拨】本题主要考查了立方根的性质，依据被开方数小数点向左或向右移动3位对应的立方根的小数点向左或向右移动1位求解即可，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键． （1）利用立方根的性质求解即可； （2）①利用立方根的性质求解即可； ②利用立方根的性质求解即可． 【规范解答】解：（1）； ； ； ； ； 故答案为：，，1 ，10 ，100； （2）①； ； 故答案为：，； ② 故答案为：． 考点22：算术平方根和立方根的综合应用 【典例精讲】（24-25七年级下·江西赣州·期末）已知的平方根是的立方根是2． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【思路点拨】本题考查了平方根和算术平方根，代数式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先求出的值，然后根据算术平方根的定义求解． 【规范解答】（1）解：的平方根是， 解得：， 的立方根是2， ． 解得：； （2）解：把代入中得：， 的算术平方根为3． 【变式训练】（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）已知的算术平方根是2，的立方根是0，则的平方根为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根以及立方根的性质．根据算术平方根以及立方根的性质，先求出a和b的值，再计算的值，最后求其平方根，即可． 【规范解答】解：∵的算术方根是2，的立方根是0， ∴，， ∴， ∴的平方根为0． 故选：B 考点23：实数的混合运算 【典例精讲】（22-23七年级下·陕西安康·期末）计算：． 【答案】1 【思路点拨】本题主要考查了算术平方根和立方根，正确计算是解题的关键．先计算算术平方根和立方根，再计算加减法即可． 【规范解答】解：原式 ． 【变式训练】（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了有理数的混合运算，求一个数的立方根，化简绝对值，求一个数的平方根．熟练掌握求一个数的立方根和平方根的方法是解题的关键． （1）先计算乘方，再根据有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）先计算立方根，平方根，化简绝对值，再根据混合运算法则进行计算即可． 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ． 考点24：实数运算的实际应用 【典例精讲】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）若x为实数，在“”的“□”中添上一种运算符号（在“，，，”中选择）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查实数的运算，根据实数的相关运算法则即可求得答案，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据选项代入判断即可． 【规范解答】A．与4，无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； B．，均为有理数，故本选项不符合题意； C．，为有理数，故本选项不符合题意； D．，均为有理数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【变式训练】（24-25七年级上·福建福州·期中）如图，小正方形的一条边恰好在大正方形的一条边上，若小正方形的面积为1，大正方形的面积为5，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【思路点拨】根据题意可知阴影部分可看作高为1，底为的三角形，求解即可； 【规范解答】解：大正方形的边长为：，小正方形的边长为：1； 阴影部分的面积为：； 故答案为：. 1．（2024·全国·中考真题）比较大小： ； ； 2． 【答案】 【思路点拨】通过将数进行平方运算，比较平方后的结果大小，从而得出原数的大小关系．本题主要考查了实数的大小比较，熟练掌握利用平方比较实数大小的方法是解题的关键． 【规范解答】解：∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为：；；． 2．（2024·广东中山·中考真题）已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【思路点拨】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【规范解答】（1）解：由题意可得，， 解得，， ∵，c是的整数部分， ∴， 即，，； （2）解：当，，时，， ∵11的平方根为， ∴的平方根为． 3．（2024·河南南阳·中考真题）已知与是正数的平方根，则的值是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查了平方根，由平方根的性质可得与相等或互为相反数，分别求出的值进而即可求解，掌握平方根的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵与是正数的平方根， ∴与相等或互为相反数， ∴或， 解得或， 当时，， ∴； 当时，， ∴， 故答案为：或． 4．（2024·广东广州·中考真题）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道后，将空地分割成两个花坛，花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为．花坛1的边长与花坛2的长相等，花坛的总面积为1200平方米．请问宽度为2.5米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？（参考数据：） 【答案】(1)160米 (2)不能，理由见解析 【思路点拨】本题考查了长方形和正方形的面积、周长计算，以及利用比例关系建立方程求解的能力，解题的关键是根据长宽比例设未知数，结合面积公式列方程求出边长，再通过边长关系计算走道宽度，判断车辆能否通行． （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1200平方米列式，利用平方根的性质求出y，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【规范解答】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：，即， ∴（负值已舍去）， ∴， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：，， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为米，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车不能在走道上正常通行． 5．（2024·四川泸州·中考真题）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的值． 【答案】． 【思路点拨】本题考查了立方根，算术平方根概念，无理数估算，根据立方根，算术平方根概念，无理数估算求出，，的值，然后代入计算即可得出答案，熟练掌握立方根，算术平方根概念，无理数估算及运算是解题的关键． 【规范解答】解：∵的立方根是， ∴，解得， ∵的算术平方根是， ∴，即，解得， ∵， ∴，即， ∴的值为， ∵，，， ∴， ∴的值为． 基础夯实 1．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式中，计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查平方根和立方根的概念及计算，注意被开方数的取值范围和根式的性质是解题的关键； 直接分析计算每个选项即可判断． 【规范解答】A、∵ 被开方数不能为负数，∴ 无意义，故此选项错误； B、∵ 表示25的算术平方根，∴ ，故此选项正确； C、∵ ，∴ ，故此选项错误； D、∵ ，∴ ，故此选项错误； 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）下列各数中，，，，，（相邻两个1之间依次多一个0），无理数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【思路点拨】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（相邻两个1之间依次多1个0）等形式． 【规范解答】解：， 则，（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数，共2个． 故选：A． 3．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习），括号内应填写 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查平方根定义，熟记平方根定义是解决问题的关键． 根据平方根的定义，一个数的平方等于9，则这个数是9的平方根，即． 【规范解答】解：设括号内的数为， 则， 由平方根定义可得， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）计算： ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，化简绝对值，先分别求出算术平方根，立方根，再化简绝对值，最后运算加减法，即可作答． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·湖北恩施·期中）把下列各数填到相应的集合中． 1，，，，0，，，，，，（每两个1之间依次多1个0） 整数集合{          …} 正有理数集合{          …} 非负整数集合{          …} 【答案】整数集合：{1，，0，，}；正有理数集合：{1，，，，}；非负整数集合：{1，，0} 【思路点拨】本题考查了实数的分类，掌握实数的有关定义是解题的关键；根据正有理数、非负整数、整数的定义即可求解． 【规范解答】解：． 整数集合：{1，，0，，…}； 正有理数集合：{1，，，，…}； 非负整数集合：{1，，0…} 培优拔高 6．（24-25七年级上·山东烟台·期末）下列判断：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0或1；②实数包括无理数和有理数；③的算术平方根是；④的平方根是．其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查了实数，平方根，算术平方根，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据平方根、算术平方根、实数的分类分别判断即可． 【规范解答】解：①一个数的平方根等于它本身，这个数是0，原说法错误； ②实数包括无理数和有理数，正确； ③，8的算术平方根是，正确； ④，9平方根是，原说法错误； 所以正确的有2个， 故选：B． 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）已知，，它们在数轴上的位置对应点A，B（如图），下列说法错误的是（    ） A．A，B之间的整数有三个 B． C． D．A，B之间最小的无理数是 【答案】D 【思路点拨】本题考查了实数的绝对值性质、平方比较法的应用、数轴上整数的识别及无理数的基本特征，解题的关键是通过平方运算比较无理数绝对值的大小，结合整数范围和无理数的无限性逐一验证选项． 先明确、，利用“若正数，则”推导、的取值范围；选项A通过确定和所在的整数区间，找出两点间的整数；选项B计算和，直接比较大小；选项C根据（正数）、（负数），结合正数大于负数判断；选项D依据无理数的无限性，说明A、B之间不存在最小无理数． 【规范解答】解：已知，． A、因，且，故； 又，，故． 因此A、B之间的整数为，共三个，此选项符合题意； B、因，，故，此选项符合题意； C、（正数），（负数），正数大于负数，故，此选项符合题意； D、A、B之间的无理数有无数个（如，满足），不存在最小的无理数，此选项不符合题意； 故选：D． 8．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）比较大小： （填“”或“”或“”）．比较大小： ．（填写“”，“”或“”） 【答案】 【思路点拨】本题考查了比较实数的大小，根据具体情况适当转化形式再比较．当一个是带根号形式另一个是分数形式时，可同时平方，比较平方后的大小，它们的大小关系一致；当一个是立方根形式另一个是平方根形式时，可以找一个中间的整数作为桥梁，再比较大小即可． 【规范解答】解：①，， ， ②，， ， 故答案为：①，②． 9．（24-25七年级下·福建莆田·阶段练习）若，则立方根为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了算术平方根的非负性，平方的非负性，以及立方根，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先根据非负性列式求出的值，进而得到的值，再利用立方根定义求解，即可解题． 【规范解答】解：∵， 且， 解得：，， 则， 则的立方根为； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·山东临沂·阶段练习）如图，长方形内两个相邻正方形的面积分别为6和9． (1)小正方形的边长在哪两个连续的整数之间？请说明理由． (2)求阴影部分的面积． (3)求最大长方形的周长． 【答案】(1)在2和3之间，理由见解析 (2) (3) 【思路点拨】本题考查了算术平方根的应用，无理数的大小估算，实数的运算，根据算术平方根的定义求正方形的边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式得到小正方形的边长，然后估算即可； （2）根据正方形的面积公式得到大正方形的边长等于3，阴影部分的面积等于边长分别为和的长方形的面积； （3）最大长方形的周长等于边长分别为和3的长方形的周长． 【规范解答】（1）解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵， ∴， ∴小正方形的边长在2和3之间． （2）解：∵大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为3， ∴阴影部分的面积． （3）解：最大长方形的周长． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $