专题01 旋转（压轴题专项训练）数学沪科版九年级下册

专题01 旋转 目录 1 类型一、利用旋转的性质求解 1 类型二、图形的旋转与全等三角形综合 8 类型三、构造手拉手模型 19 类型四、费马点模型 35 类型五、旋转与函数综合 47 类型六、旋转与分类讨论问题 53 类型七、旋转与规律探究问题 61 类型八、旋律与新定义问题 67 77 类型一、利用旋转的性质求解 旋转前后两个图形的大小、形状均不变，所以在利用旋转解决问题时要注意： 1）找准旋转中的“变”与“不变”； 2）找准旋转前后的“对应关系”； 3）充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. 1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是证明． （1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的性质可得，再根据证明即可； （2）证明是等边三角形，再由全等三角形的性质可得 ，，再由勾股定理的逆定理可得，再求解可得结论． 【详解】（1）证明： 绕点B逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形． ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据勾股定理求出，然后证明出， ，然后证明出，得到； （2）根据直角三角形斜边中线的性质得到，得到，然后结合等边对等角和全等三角形的性质得到，即可得到； （3）首先证明出，得到，代数求出，然后求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】解：（1）∵，，． ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴； （2）∵，是的中线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴； （3）由（2）得，， ∴， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据含的直角三角形的性质，得到，证明为等边三角形，为等边三角形，即可证明； （2）过点A作于点D．求出，根据为等边三角形，解直角三角形即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，， ∴为等边三角形，为等边三角形． ∴，， ∴． （2）解：如图，过点A作于点D．    ∵， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴点A到直线的距离为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 【答案】（1）详见解析； （2）依然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形，旋转等．熟练掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质，是解题的关键． （1）①根据，，，可证得 ；②根据①结论得到，根据 F为的中点，得到，根据，，得到 ，得到，即得． （2）延长，得到四边形为平行四边形，得到，，根据，，得到 ，得到，，得到，得到，即得． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ， ，， 在与中，    ，          ； 结论：，， 理由： ， ，， F为的中点， ， ， ， ， ∴． （2）旋转一个锐角后，关系依然成立． 理由：如图，延长， 又，四边形AMEC为平行四边形， ， ， ∵， ∴， 与中， ， ， ，， ， ， 即． 类型二、图形的旋转与全等三角形综合 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则，证明，则，设，得到，则，故，同理可求，则，因此． 【详解】解：过点F作延长线的垂线，垂足为点H，则， 由旋转得， ∵四边形是正方形， ∴，，，设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，设， 则， ∴， ∴，而， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可求， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，旋转的性质，正确添加辅助线，构造“一线三等角全等”是解题的关键． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图连接，根据得到，再结合面积公式求解即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质及三角形全等的判定与性质，解题的关键是得到． 7．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接．设，，y与x的函数关系式是 ． 【答案】 【分析】延长到M，使，连接，根据勾股定理和直角三角形的性质，求出，，证明，得出， 最后求出y与x的函数关系式即可． 【详解】解：延长到M，使，连接，如图所示： ∵中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， 根据旋转可知，，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 8．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】以为边作等边，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理可求 ，由等边三角形的性质可证，可得，根据三角形的三边关系，可得当点，点，点三点共线时，值最小，即值最小，则可求线段的最小值． 【详解】解：如图，以为边作等边，连接，，，    ∵是等边三角形，点是中点， ∴， ∴ ， ∵将线段绕点顺时针旋转得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形 ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵≥， ∴当点，点，点三点共线时，值最小，即值最小， ∴最小值 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键． 9．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，等边三角形的性质，证明，即可得证； （2）连接，易得是等边三角形，推出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：连接，如图， ∵，由（1）可知， ∴； 由旋转可知：，， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴ ∴． 10．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．       (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质、等边对等角以及全等三角形的判定和性质， （1）由题意得，由旋转得，可得．即可求得旋转角； （2）过点D作于点M，延长交于点N，由旋转得和．进一步求得和，可证，则有，结合面积公式即可求得相等． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，． ∴． ∵点B，D，E在同一条直线上， ∴， ∴旋转角． （2）． 理由：过点D作于点M，延长交于点N，如图，      ∵是由绕点C旋转得到， ∴，． 由（1）可得， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 11．（22-23九年级上·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．    (1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）； (2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质及三角形的内角和定理即可解答； （2）根据旋转的性质及等腰直角三角形的性质即可解答； （3）根据旋转的性质及等边三角形的性质得到，再利用勾股定理及全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图1中， ∵将绕点按逆时针方向旋转角得到， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：．理由如下： 如图2中，∵将绕点按逆时针方向旋转角90°得到， ∴， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图3中，过点作于点．    ∵， ∴，都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，，共线， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 类型三、构造手拉手模型 12．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图1，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：如图2，已知在等腰直角三角形中，，若点Q为的布洛卡点，即，，则 ． 【答案】 【分析】将绕点D顺时针旋转得，根据全等三角形的性质得到，由，推出，得到是等腰直角三角形，求得，由勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：将绕点D顺时针旋转得，如图： ， ∴， ， ∵， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 由勾股定理，得， 又∵， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 13．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，证明，可得，由条件可得，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵正方形中，，O是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段OF长的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，以及三角形三条边的关系．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 14．（2025·安徽池州·三模）如图，在等边三角形中，，P为边上一动点，连接，M为的中点，连接，将线段以M点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．则线段的长最小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 取的中点D，以为边作等边三角形，连接，，，证明，而可得，则当时，最小，过点作于点，记与交于点，根据平行线间的距离处处相等可得，再解，求出即可． 【详解】解析：如图，取的中点D，以为边作等边三角形，连接，，． ∵等边， ∴， ∵M为的中点，D为的中点， ∴， ∴， ∵等边， ∴，， ∴， ∴点三点共线， ∵绕点M旋转， ∴，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，当时，最小， 过点作于点，记与交于点， ∴， 在等边中，， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 同理可求， ∴此时， ∴最小为， 故选：A． 15．（2025·安徽宣城·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与点重合），将线段绕点E顺时针旋转一定的角度后，得到线段，连接，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，连接． （1）当时，的度数为 ． （2）若，则线段的长的最小值为 ． 【答案】 /度 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据旋转的性质可得，在上，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，则，根据，即可得出； （2）连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于，证明，得出，，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，即， ∴，， ∴， ∴在上， ∵将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴； （2）解：连接，将绕点逆时针旋转得，连接，，作于， 由旋转可得：，，， ，， ，， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 的最小值为4， 故答案为：，． 16．（2025·安徽滁州·二模）如图，在四边形中，，．将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，得到，分别与，相交于点，． （1）如图1，当时， ＝ ． （2）如图2，当时，若，，则线段的长是 ． 【答案】 /60度 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边对等角结合旋转的性质可得，由三角形内角和定理可得，由题意知，由全等三角形的性质可得，求出，即可得解； （2）连接．由题意知，由全等三角形的性质可得，，，当时，，，求出，得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：（1）， ， 由题意，知， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，连接． 由题意，知， ，，， ，即 当时，，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 17．（18-19九年级上·福建·期中）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质及等边三角形的判定及性质得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质得出，，然后利用勾股定理的逆定理得出，最后根据角的和差即可得出答案； （2）把绕点逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质得出，，，，，再利用证明，然后根据全等三角形的性质及勾股定理即可得证； （3）根据勾股定理求出的值，将绕点顺时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质得出，，，，，即可得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质结合角的和差得出、、、四点共线，然后根据勾股定理及等量代换即可得出答案． 【详解】（1）解： ， ，，，， 为等边三角形， ， 即， ， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ； 故答案为：； （2）证明：如图，把绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质得，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即； （3）解：在中，，，， ， ， 如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ，，，，， 是等边三角形， ，， ， ， 、、、四点共线， 在中， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合题，涉及到全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 18．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知为等边三角形．    (1)如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； (3)如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，再利用即可证明； （）由为等腰直角三角形可得，，进而得到，又根据为的中点，可得，即可得，在上取一点，使，可得是等边三角形，得到，故得，再证明，得到，即可求证； （）把绕点逆时针旋转得到，由旋转可得为等边三角形，得到点的轨迹是射线，作点关于直线的对称点，连接，则有，根据即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，，， ∴ ∴， ∴； （2）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴平分， ∴， ∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形，    ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）解：把绕点逆时针旋转得到，则，    ∵，， ∴， ∴， ∴三点共线， 又由旋转可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，四边形的内角和，轴对称的性质，旋转的性质，三角形的三边性质，正确作出辅助线是解题的关键． 19．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    【答案】【尝试解决】直角，；【类比探究】；【联想拓展】 【分析】尝试解决：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等边三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 类比探究：将绕点A逆时针旋转，得到，连接，根据旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，进而得到，，再利用勾股定理的逆定理，证明为直角三角形，得到，即可求出的度数； 联想拓展：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，，先证明，得出，进而证明，得到，然后利用特殊角的三角函数值，分别求出，，再利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，得到，即可求出的度数． 【详解】尝试解决：解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ，，， 为等边三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ， 的度数为， 故答案为：直角，； 类比探究：解：如图，将绕点A逆时针旋转，得到，连接， 由旋转的性质可知，，，， 是等腰直角三角形， ，， ， ，， ， 为直角三角形， ， ；    联想拓展：解：如图，以为直角边构造直角三角形，使得，， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ， ．    【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 类型四、费马点模型 运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 【答案】背景资料：等边；两点之间，线段最短；；知识生成：（）；（）；问题解决：（）证明见解析；（）；学以致用： 【分析】背景资料：根据等边三角形的判定、两点之间线段最短及周角的定义解答即可； 知识生成：（）由旋转可得，进而得到，，，，即可得为等边三角形，得到，，进而由勾股的逆定理得为直角三角形，得到，即得到，即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，将逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，即得，即得到，进而由得到，再根据勾股定理即可求证； 问题解决：（）在上取一点，使得，连接，可证为等边三角形，得到，，再证明，得到，进而得到，即可求证； （）由直角三角形的性质得，由勾股定理得，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由点为的费马点，，利用勾股定理求出即可求解； 学以致用：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于，由旋转的性质可得，，，，，即得和均为等边三角形，得到，，，进而得到，又由是等腰直角三角形，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：背景资料：当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故，由两点之间，线段最短可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”， 则，， ∴， ∴， 故答案为：等边；两点之间，线段最短；； 知识生成：（1）由旋转可得，， ∴，，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）在中，∵，， ∴， 如图，将逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 问题解决：（）证明：如图，在上取一点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的费马点； （）在中，∵，，， ∴， ∴， 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得，，，，， ∴为等边三角形，， ∴， ∵点为的费马点， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴的值是， 故答案为：； 学以致用：如图，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，作交的延长线于， 由旋转的性质可得，，，，， ∴和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短，直角三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 21．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读理解 阅读材料：费马被誉为业余数学家之王．年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题，后来人们把这个距离之和最小的点称为“费马点”．问题解决： (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，与交于点．求证：； (2)如图②，在中，，，．点是内一点，求点到三个顶点的距离和的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1），，得出是等边三角形，得出，则，即可证得结论； （2）如图，将绕点逆时针旋转，得到，易知为等边三角形，继而得到点到三顶点的距离为：，由此可以发现当点、、、在同一条直线上时，有最小，此时，，过作交的延长线于，利用勾股定理进行求解即可得． 【详解】（1）解：证明∶如图，在上截取， 由旋转可得，，，，， ∴即， 在和中， ∴， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∴； （2）解：如图，将绕点逆时针旋转，得到， 由旋转得，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点到三顶点的距离为：， ∴当点、、、在同一条直线上时，有最小， 此时，， 过作交的延长线于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴点到三个顶点的距离和的最小值为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，最短路径问题，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形等知识，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线是解题的关键． 22．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值    【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，将原式转化为，构造直角三角形，，，以为坐标原点构造直角坐标系，设为，进而得到，，，将绕点点逆时针旋转得到，并做，根据旋转的性质，含30度角的性质，求出的长，根据，进行求解即可． 【详解】解：原式 可看做下图中的，其中为 则，， 将绕点点逆时针旋转得到，并做 ，，，，， ，为等边三角形， ，，， 又 ， ∵， ∴， ∴的最小值为； 的最小值为．    23．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 【答案】（1）等边；两点之间线段最短 （2）5 （3） 【分析】（1）根据推论过程填写根据即可；（2）根据（1）的方法将绕点顺时针旋转得到△，即可得出可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为，再根据可证明，根据勾股定理即可求出；（3）根据总铺设成本，将绕点顺时针旋转得到△，得到等腰△，推出，即可得出当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为的长，然后根据已知条件和旋转的性质求出即可． 【详解】（1），， 为等边三角形， 由几何公理：两点之间线段最短可得：， 当，，，在同一条直线上时，取最小值． 故答案为：等边，两点之间线段最短． （2）如图4，将绕点顺时针旋转得到△，连接， 由（1）可知当、、、在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ， ， 又， ， 根据旋转的性质可知：， ， 即的最小值为5； （3）总铺设成本万元， 当最小时，总铺设成本最低， 将绕点顺时针旋转得到△，连接，，过点作于，过点作于，如图： 由旋转性质可知：，，，， 在中， ， ， 当、、、在同一条直线上时，取最小值，即取最小值，其最小值为的长度， ，， ， ， ， ， 的最小值为， 总铺设成本最小值为：（元． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，勾股定理及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题． 类型五、旋转与函数综合 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，绕点A逆时针旋转（）得到，与分别交于点D，E．设，的面积为y，则y与x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查动点问题的函数图象，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，易得，那么，可得到，进而可得，则，那么，即可判断出的长度，易得中边上的高，根据三角形的面积公式可得相应的函数解析式，得到用表示的代数式是解决本题的关键． 【详解】解：由题意得：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， ， ，边上的高为， ，边上的高为， ， ． 故选：C． 25．（2022·湖北黄冈·模拟预测）如图，的直角边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，，将绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上，若函数的图象经过点的对应点，则的值为（      ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作轴于点，如图，先利用旋转的性质得，，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到，，则，，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征求的值． 【详解】解：作轴于点，如图， ， ， 绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上， ，， 在中，，， ， ，， 函数的图象经过点的对应点， ． 故选：C．    【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：比例函数为常数，的图象是双曲线，①图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．解决本题的关键是确定点坐标． 26．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线与轴交于两点且，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点，连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． 【答案】(1)抛物线的对称轴为，抛物线的解析式为； (2)点坐标为或． 【分析】（1）根据点C的坐标得到 c的值，再求出对称轴和点A和点B的坐标，求出a的值，即可得到函数解析式； （2）设，过作轴于，过作于，求出点的横坐标为，纵坐标为，得到，把代入中求出m的值，即可得到答案； 此题考查二次函数的图象和性质、全等三角形的判定和性质、旋转的性质等知识，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的对称轴为， 把代入得：，解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：设， 如图，过作轴于，过作于， 又连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上， ， ， 在和中， ， 点的横坐标为，纵坐标为， ， 把代入中， 得：， 解得：， 点坐标为或． 27．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)点E坐标为． 【分析】本题考查反比例函数性质，一元二次方程的解法，熟知求解反比例函数解析式是解题的关键． （1）由平移的性质可得点B的坐标为，结合点、B都在反比例函数图象上，可得，再进一步求解即可； （2）先设出点的坐标，再利用旋转的性质结合全等三角形的性质得出点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意点B的坐标为， ∵点、B都在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：设点E的坐标为， 过点A作y轴的平行线l，分别过点E和点F作l的垂线，垂足分别为M和N， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∵点A坐标为，点E坐标为， ∴，， ∴点F的坐标为． ∵点F在函数图象上， ∴， 解得，， 因为点A坐标为， 所以舍去，所以点E坐标为． 类型六、旋转与分类讨论问题 28．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求 °； （2）当为等腰三角形时，的度数为 ． 【答案】 64 或或 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （2）分三种情况：时，时，时，分别根据等腰三角形的性质，列出方程，解方程即可． 【详解】解析：（1）连接，如图所示： 在中，，是的中点 ， ， 又， ， ， 又绕着点逆时针旋转角度， ， ， ； 故答案为：64； （2）由（1）得：， ， ， 为等腰三角形，所以有三种情况： ①时， ， ， ； ②时， ， ， ； ③时， ， ， ； 综上所述当为等腰三角形时，的度数为，或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 29．（2025·安徽·二模）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，． （1）的度数为 ； （2）若是直角三角形，则的长为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质． （1）由菱形的性质可得，，证明为等边三角形，得出，从而可得，求出，由旋转的性质可得，证明，得出，从而得出； （2）由（1）知，若是直角三角形，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形， ， ， ， 即是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 将线段绕点逆时针旋转到， ． ， ， 又， ， ， ， 故答案为：． （2）由（1）知，若是直角三角形，可分以下两种情况： ①当时，， 则， ； ②当时， ， 则， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 30．（2023·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 在中，，则，根据垂直平分线的性质得出，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的性质得出，进而在中，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵的垂直平分线交于，交于点， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， ∵由线段绕点顺时针旋转得到， ∴， 在中，， 当为直角边时，， 当为斜边时，， 故答案为：2或． 31．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．    【答案】或 【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可． 【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图，    ∵， ∴， ∵菱形中，， ∴， 延长交x轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F，   ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键． 32．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先求得，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，分别画出图形，根据勾股定理以及旋转的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵等腰，，． ∴， ∴，, ∴， 如图所示，当以点为旋转中心逆时针旋转，过点作交于点，        ∵， ∴，， 在中，，， ∵等腰，，． ∴， ∵以点为旋转中心逆时针旋转， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴， 如图所示，当以点为旋转中心顺时针旋转，过点作交于点，    在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 综上所述，的长度为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键． 类型七、旋转与规律探究问题 33．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 34．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到．依此类推，则旋转第2021次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，在Rt中，可以计算出点的坐标为（1，），由旋转的性质可知，点的横坐标，纵坐标为，点的横坐标为，纵坐标为，由图形规律，依次类推，可以得出点的横坐标为，纵坐标为，计算即可得出结果． 【详解】解：在Rt中，，， ∴AB=4，， 过点作轴， ∵到轴距离为， ∴， ∴， ∴点的坐标为 根据旋转的性质可以得出点的横坐标，纵坐标为， 由图形规律可得，点的横坐标为，纵坐标为， ……， 依次类推，可得点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，旋转的性质，坐标点在图形规律中的应用，掌握坐标在图形中的规律问题是解题的关键．, 35．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标旋转中的规律探究，过点作轴，根据斜边上的中线，得到，进而得到，根据变化规则，得到，，， ，进而得到，， 推出，根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴， ∵为斜边为1的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是由先向右平移1个单位，再绕原点按顺时针方向旋转，即根据平移后的点关于原点对称得到的， ∴， 同理：，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：． 36．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转，再根据A、、、、的坐标找到规律即可． 【详解】解：∵，且为A点绕B点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕O点顺时针旋转所得， ∴， 又∵为点绕C点顺时针旋转所得， ∴， 由此可得出规律：为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转，且半径为1、2、3、、n，每次增加1， 又∵， 故为以点C为圆心，半径为2022的 顺时针旋转所得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点坐标规律探索问题，通过点的变化，结合画弧的方法以及部分点的坐标探索出坐标变化的规律是解题的关键． 37．（2023·山东济南·一模）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：根据题意得：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， ……， 由此发现，点P的位置4次一个循环，且经过每一个循环横坐标增加， ∵， 的纵坐标与相同为1，横坐标为， ∴正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标、图形旋转的知识；解题的关键是熟练掌握坐标的性质和图形旋转规律，从而完成求解． 38．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 【答案】(1) (2)①；；；② 【分析】本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）设，利用中点坐标公式分别计算出x和y的值即可； （2）①利用中心对称的性质画图可得到点，从而得到它们的坐标． ②观察点坐标的递变规律，可得出点与点的坐标相同． 【详解】（1）设， ∵点的对称中心是点A， ∴A点坐标为， 故答案为：； （2）①点的坐标分别为．（见下图） 故答案为：． ②点关于点C的对称点，与点重合，依次类推，点与点重合，点与点重合……， 探索规律可知：设n为正整数，则点与点重合，点与点重合，点与点重合， ∵， ∴点与点的坐标相同，即， 故答案为： 类型八、旋律与新定义问题 39．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，      ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 40．（2025九年级下·山东泰安·专题练习）我们定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转并缩短一半得到，把绕点逆时针旋转并缩短一半得到，连接，当时，我们称是的“旋半三角形”，边上的中线叫做的“旋半中线”，点叫做“旋半中心”．在平面直角坐标系中，的坐标分别是，，，是的“旋半三角形”，是的“旋半中线”，连接，则的最大值和当最大时点的坐标分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】延长到，使得，连接，，根据新定义可证四边形是平行四边形，结合，得到，进而证明，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到，可知在以为圆心，以1为半径的圆上，从而确定当运动到直线与半圆相交时最大，求此时的长并确定其坐标． 【详解】解：如图1，延长到，使得，连接，， ∵是的“旋半三角形”，是的“旋半中线”， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 如图2， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴点在以为圆心，以1为半径的圆上， ∴当点运动到直线与半圆相交时最大， 此时，即的最大值是， 过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义“旋半三角形”和“旋半中线”、平行四边形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、坐标与图形等知识，解题的关键是确定点的运动路径． 41．（2023九年级下·浙江·竞赛）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 【答案】5，45，135，175 【分析】本题主要考查的是新定义、角度计算等知识点，根据题意构建方程是解题的关键． 根据新定义角的内半角定义，分情况讨论三角板在运动过程中形成的内半角，得出时间t即可． 【详解】解：设t秒时，射线构成内半角，分情况讨论． 如图①：当 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：； 如图②：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图③：当, 由旋转的性质可得：， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图④：当, 由旋转的性质可得：， ∴， ∵， ∴，解得：． 综上，旋转时间为5，45，135，175． 故答案是：5，45，135，175． 42．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程． 先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解. 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， ∴当旋转后的图象顶点纵坐标为， 设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为 即旋转后的图象解析式为， ∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上， ∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点， ∴关于x的方程有两个相等的根， ∴有两个相等的根， ∴， 解得，， 即旋转后的图象顶点坐标为， ∴点的坐标为，即 故答案为：． 43．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转 得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当 时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②4；（2），见解析；（3）存在，见解析；． 【分析】（1）①首先证明是含有是直角三角形，可得即可解决问题；②首先证明，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：．如图1中，延长到，使得，连接，，首先证明四边形是平行四边形，再证明，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线．连接交于．想办法证明，，再证明即可． 【详解】（1）解：①如图2中，   是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为． ②如图3中，   ，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为9． （2）结论：． 理由：如图1中，延长到，使得，连接，， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， ． （3）解：存在．理由： 如图4中，延长交的延长线于，作于，作线段的垂直平分线交于，交于，连接、、，作的中线． 连接交于．   ， ， 在中，，，， ，，， 在中，，，， ， ， ∵ ， ， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 是的“旋补三角形”， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 44．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3）的长为或. 【分析】（1）根据菱形的性质证明为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； （2）如图，把绕顺时针旋转得到，证明为等边三角形，可得，，求解，，，可得，进一步可得结论； （3）如图，当在线段上，记与交于点，证明，可得，设，则，可得，证明，再进一步解答即可；如图，当在线段上时，延长交于，同理可得： ，设，而，则，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】解：（1）∵在菱形中， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点与线段的中点重合， ∴，； （2）如图，把绕顺时针旋转得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵点在线段上，且， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，当在线段上，记与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 如图，当在线段上时，延长交于， 同理可得：，， ∴， 设，而，则， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴， 综上：的长为或. 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，菱形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，含30角的直角三角形的性质，本题的难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键. 45．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，以A为直角顶点，为腰作等腰直角，恰好C点落在抛物线上． （1）直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式； 【初步探索】 （2）如图2所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 【探度探究】 如图2所示，连接交于点E，在满足（2）最值的条件下，求． 【答案】（1），抛物线解析式为 （2） （3） 【分析】（1）令，则，得到，如图所示，过点作轴于点，证明，得到，，则，把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明，得，，则，由此即可求解； （3）由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，，，，，，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点， 令，则， ∴， ∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入抛物线中得， ， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小， ∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动， ∴当时，的值最小， ∵，点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴当点于点重合时，的值最小，最小值为； （3）根据上述计算可得，， 由（2）可得，是等腰直角三角形，，则， ∴， 如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解题的关键． 46．（2025·安徽淮北·二模）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处，如图3．延长交于点，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，得到，，设抛物线的解析式为，代入计算即可； （2）先确定平移后的解析式为，再计算直线的解析式和直线的解析式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，确定范围即可． （3）延长，交于点，延长，交于点．由旋转的性质得，，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：，杯子的高度（即，之间的距离）为． ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴平移后的解析式为． ∴此时抛物线的对称轴为直线，， ∴的对称点为，平移后． 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴． 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴． 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， ∴． （3）解：如图，延长，交于点，延长，交于点． 由题意得，，． ∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，求二次函数，特殊角的三角函数值，旋转的性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，求二次函数是解题的关键． 47．（22-23九年级下·河南新乡·阶段练习）在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)不发生变化，理由见解析 (3)或 【分析】（1）当时，，可得，由，得出，可得，推出，即可得出答案； （2）通过证明，可得，即可求解； （3）分两种情况讨论，由勾股定理可求解． 【详解】（1）当时，， ， ， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，理由如下： 当时，， 则， ，， 由勾股定理可得：， ， ， ，， ， 由旋转得：， 即， ， ， ， ； （3），， ，， 由勾股定理可得：，， 绕点顺时针旋转至，，三点共线， ，， ， ， 当旋转至直线上方时，如图， 则； 当旋转至直线下方时，如图， 则； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 48．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．    (1)求抛物线的表达式； (2)求周长的最小值； (3)将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为和 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）因为BC为定值，所以当最小时，PBC的周长最小．如图1所示，连接交l于点P，由轴对称性质可知，此点P即为所求； （3）分点Q在直线l的左侧和右侧，构造全等三角形即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知：， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）， ． 的周长为：，是定值， 当最小时，的周长最小．    如图所示，点、关于对称轴对称，连接交于点，则点为所求的点． ， 周长的最小值是：． ，，， ，． 周长的最小值是：； （3）如图，当点在直线左侧时，   抛物线与轴交于，两点， 对称轴为直线， 将线段绕点旋转，得到线段， ，， 与关于直线对称， ， ， ， ； 如图，当点在直线的右侧时，    过点作于，于， 由旋转知，，， ， ， ， ， ，， 设，则， 点的坐标为， 代入中， 解得，或舍， 的坐标为， 综上，点的坐标为和． 【点睛】本题是二次函数压轴题，综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、图形周长计算、轴对称最短路线等知识点，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 旋转 目录 1 类型一、利用旋转的性质求解 1 类型二、图形的旋转与全等三角形综合 3 类型三、构造手拉手模型 6 类型四、费马点模型 9 类型五、旋转与函数综合 12 类型六、旋转与分类讨论问题 14 类型七、旋转与规律探究问题 15 类型八、旋律与新定义问题 17 19 类型一、利用旋转的性质求解 旋转前后两个图形的大小、形状均不变，所以在利用旋转解决问题时要注意： 1）找准旋转中的“变”与“不变”； 2）找准旋转前后的“对应关系”； 3）充分挖掘旋转过程中线段之间的关系. 1．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，． (1)求证：； (2)若，，，请直接写出的度数． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）综合实践课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接、，在纸片绕点旋转过程中，求的值． 【尝试证明】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，求证：． 【深入探究】 （3）如图3，在（2）的条件下，延长交于点，求． 3．（23-24九年级上·安徽·期末）如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点，若点恰好落在边上． (1)连接，求证：． (2)若，求点A到直线的距离． 4．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）阅读与理解： 如图是腰长不同的两个等腰直角三角形纸片叠放在一起的图形（和重合），其中且． 操作与证明： （1）如图，连结，点是的中点，连接，解决下列问题： ①证明：； ②判断与的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 猜想与探索： （2）如图，固定不动，与此同时将绕点顺时针旋转角，其中，即，点是的中点，其他条件不变．判断与的关系是否不变？若不变，请说明理由；若改变，请求出相应的正确结论． 类型二、图形的旋转与全等三角形综合 5．（2024·重庆·中考真题）如图，在正方形的边上有一点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接并延长与的延长线交于点．则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，边长为的正方形绕点顺时针旋转到正方形，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如图，中，，，，P为线段上一动点，连接，绕点B顺时针旋转到，连接．设，，y与x的函数关系式是 ． 8．（22-23八年级下·陕西西安·期末）如图，等边中，，为的中点，为内一动点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得，连接，则线段的最小值为 ．    9．（22-23九年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．       (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 11．（22-23九年级上·河南信阳·期末）在中，，，为内一点，将绕点按逆时针方向旋转角得到，点的对应点分别为点．    (1)如图1，若三点在同一直线上，则_________（用含的代数式表示）； (2)如图2，若三点在同一直线上，，过点作于点，探究线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，连接，若，，，将绕点旋转一周，当时，____________． 类型三、构造手拉手模型 12．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图1，若内一点P满足，则点P为的布洛卡点，三角形的布洛卡点是法国数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．问题：如图2，已知在等腰直角三角形中，，若点Q为的布洛卡点，即，，则 ． 13．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接，则线段长的最小值为 ． 14．（2025·安徽池州·三模）如图，在等边三角形中，，P为边上一动点，连接，M为的中点，连接，将线段以M点为中心逆时针旋转，得到线段，连接．则线段的长最小为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·安徽宣城·二模）如图，在正方形中，E是边上的一点（不与点重合），将线段绕点E顺时针旋转一定的角度后，得到线段，连接，将线段绕点C逆时针旋转后，得到线段，连接． （1）当时，的度数为 ． （2）若，则线段的长的最小值为 ． 16．（2025·安徽滁州·二模）如图，在四边形中，，．将绕点顺时针旋转，使得点与点重合，得到，分别与，相交于点，． （1）如图1，当时， ＝ ． （2）如图2，当时，若，，则线段的长是 ． 17．（18-19九年级上·福建·期中）阅读下面材料，并解决问题： (1)如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为8，15，17，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出 ； (2)基本运用 请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题 已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：； (3)能力提升 如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值． 18．（23-24九年级下·安徽·开学考试）已知为等边三角形．    (1)如图，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：； (3)如图，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 19．（2023·山东济南·模拟预测）（问题提出）如图1，在等边内部有一点P，，，，求的度数． （数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题． 【尝试解决】将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．，又，，，为 三角形，的度数为 ． 【类比探究】如图2，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数． 【联想拓展】如图3，在中，，，其内部有一点P，若，，，求的度数．    类型四、费马点模型 运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短，得出最短长度. 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【背景资料】在已知所在平面上求一点，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小．这个问题是法国数学家费马在年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题． 下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数） 当的三个内角均小于时，如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为①______三角形，故，又，故，由②______可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有③______； 【知识生成】由此我们可以发现，通过旋转变换我们可以解决一些问题： （）如图，等边内有一点，若点到顶点的距离分别为，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出______； （）如图，中，，，为上的点，且，判断之间的数量关系为______； 【问题解决】怎样找三个内角均小于的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边为边在外侧作等边三角形并连接等边三角形的顶点与的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点．请同学们探索以下问题． （）如图，三个内角均小于，在外侧作等边三角形，连接，在上取点，使，连接， 求证：点是的费马点． （）如图，在中，，，，点为的费马点，连接，则的值为______． 【学以致用】如图所示是一个三角形公园，其中顶点为公园的出入口，，，，工人师傅准备在公园内修建一凉亭，使该凉亭到三个出入口的距离和最小，则的最小值是______． 21．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读理解 阅读材料：费马被誉为业余数学家之王．年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题，后来人们把这个距离之和最小的点称为“费马点”．问题解决： (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，与交于点．求证：； (2)如图②，在中，，，．点是内一点，求点到三个顶点的距离和的最小值． 22．（2024·湖北·模拟预测）阅读以下材料并完成问题 材料一：数形结合是一种重要的数学思想如可看做是图一中的长，可看做是的长． 材料二：费马点问题是一个古老的数学问题．费马点即在中有一点使得的值最小．著名法学家费马给出的证明方法如下： 将绕点向外旋转得到，并连接易得是等边三角形、，则，则，所以的值最小为． 请结合以上两材料求出的最小值      23．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题背景 如图1，P为内部一点，连接，将绕，点C顺时针旋转得到，连接， 由，，可知为___________三角形，故，又，故，由___________可知，当在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”． （2）问题解决 如图3，在中，三个内角均小于，且，，，求的最小值； （3）问题应用 如图4，设村庄的连线构成一个三角形，且，，．现欲在内部建一中转站P沿直线向三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄的铺设成本分别为元，元，万元，是否存在合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低，若存在请求出成本的最小值． 类型五、旋转与函数综合 24．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，绕点A逆时针旋转（）得到，与分别交于点D，E．设，的面积为y，则y与x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 25．（2022·湖北黄冈·模拟预测）如图，的直角边，分别在轴正半轴和轴正半轴上，，将绕点顺时针旋转，使的对应边恰好落在轴上，若函数的图象经过点的对应点，则的值为（      ）    A． B． C． D． 26．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，抛物线与轴交于两点且，与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和解析式； (2)抛物线的对称轴上有一点，连接，以为旋转中心顺时针旋转后，点的对应点恰好落在抛物线上，求点坐标． 27．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点在反比例函数的图象上，把点A向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到点B，点B仍然在这个反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)点E是反比例函数图象上点A右侧一点，连接，将线段AE绕点A顺时针旋转，点E的对应点F恰好也落在这个反比例函数的图象上，求点E的坐标． 类型六、旋转与分类讨论问题 28．（24-25九年级下·安徽亳州·开学考试）如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求 °； （2）当为等腰三角形时，的度数为 ． 29．（2025·安徽·二模）如图，在菱形中，，对角线，交于点，是上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到，且，连接，． （1）的度数为 ； （2）若是直角三角形，则的长为 ． 30．（2023·河南濮阳·二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于E，交于点D，将线段绕点D顺时针旋转，点的对应点为点，连接．当为直角三角形时，的长为 ． 31．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是 ．    32．（2023·黑龙江绥化·中考真题）已知等腰，，．现将以点为旋转中心旋转，得到，延长交直线于点D．则的长度为 ． 类型七、旋转与规律探究问题 33．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 34．（22-23九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，，是直角三角形，且，，到轴距离为，把绕点顺时针旋转，得到；把绕点顺时针旋转，得到．依此类推，则旋转第2021次后，得到的直角三角形的直角顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 35．（2025·四川达州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，一个图形向右平移a个单位长度，再绕原点按顺时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换，现将斜边为1的等腰直角三角形放置在如图的平面直角坐标系中，经变换后得为第一次变换，经变换得为第二次变换，…，经变换得，则点的坐标是 ． 36．（2023·湖南张家界·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，是以点B为圆心，为半径的圆弧；是以点O为圆心，为半径的圆弧，是以点C为圆心，为半径的圆弧，是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心按上述作法得到的曲线称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是 ．    37．（2023·山东济南·一模）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置，…，则正方形铁片连续旋转2023次后，点P的坐标为 ． 38．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称． 观察应用： (1)如图，若点，的对称中心是点，则点的坐标为 ． (2)在（1）的基础上另取两点，．有一电子青蛙从点处开始依次关于点，，作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，… ①则点，，的坐标分别为 ， ， ． ②点的坐标为 ． 类型八、旋律与新定义问题 39．（2024·四川泸州·中考真题）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为 ． 40．（2025九年级下·山东泰安·专题练习）我们定义：如图，在中，把绕点顺时针旋转并缩短一半得到，把绕点逆时针旋转并缩短一半得到，连接，当时，我们称是的“旋半三角形”，边上的中线叫做的“旋半中线”，点叫做“旋半中心”．在平面直角坐标系中，的坐标分别是，，，是的“旋半三角形”，是的“旋半中线”，连接，则的最大值和当最大时点的坐标分别为(　　) A．， B．， C．， D．， 41．（2023九年级下·浙江·竞赛）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．已知，把一块含有角的三角板如图1叠放，将三角板绕顶点O以2度/秒的速度按顺时针方向旋转（如图2），射线构成内半角，则旋转时间为 秒． 42．（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为 ． 43．（2025·江苏宿迁·二模）我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转 得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当 时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，是的“旋补中心”，是的“旋补中心”． ①如图2，当为等边三角形时，与的数量关系为 ； ②如图3，当时，则长为_____________． 猜想论证： （2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明． 拓展应用： （3）如图4，在四边形中，，．在四边形内部是否存在点，使是的“旋补中心”？若存在，给予证明，并求的“旋补中心”长；若不存在，说明理由． 44．（2025·贵州·中考真题）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 （1）如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ； 【问题探究】 （2）如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 45．（2025·广东珠海·一模）【问题背景】 如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，于y轴交于B点，以A为直角顶点，为腰作等腰直角，恰好C点落在抛物线上． （1）直接写出点B坐标，并求抛物线的函数表达式； 【初步探索】 （2）如图2所示，点D为线段的中点，点M为线段上一动点（点M不与点B，C重合），连接，以A为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值； 【探度探究】 如图2所示，连接交于点E，在满足（2）最值的条件下，求． 46．（2025·安徽淮北·二模）如图1是一个高脚杯的截面图，杯体呈抛物线形（杯体厚度不计），点是抛物线的顶点，杯底，点是的中点，且，，杯子的高度（即，之间的距离）为．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示）． (1)求杯体所在抛物线的解析式； (2)将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点，如图2，过点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点，设吸管所在直线的解析式为，求的取值范围； (3)将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转，液面恰好到达点处，如图3．延长交于点，求的长． 47．（22-23九年级下·河南新乡·阶段练习）在中，，，P为上的一点（不与端点重合），过点P作交于点M，得到． (1)【问题发现】如图1，当时，P为的中点时，与的数量关系为 ； (2)【类比探究】如图2，当时，绕点A顺时针旋转，连接，，则在旋转过程中与之间的数量关系是否发生变化？请说明理由； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，已知，，当绕点A顺时针旋转至B，P，M三点共线时，请直接写出线段的长． 48．（2023·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴为直线，点是直线上一点．    (1)求抛物线的表达式； (2)求周长的最小值； (3)将线段绕点旋转，得到线段，点的对应点为点，当点在抛物线上时，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $