专题04 求数列通项公式八大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题04 求数列通项公式八大常考题型 题型一：知差求和求通项 题型二：知商求积求通项 题型三：an与Sn的关系求通项 题型四：连续求和求通项 题型五：常规递推关系利用构造求通项 题型六：含指数递推关系利用构造求通项 题型七：观察法求通项 题型八：连续三项递推关系求通项 题型一：知差求和求通项 1．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 2．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 3．在图中，第1个图案包含3粒点子．对任意正整数，第个图案由第个图案加上粒点子组成．求第7个图案的点子数目．（　　）    A．17 B．23 C．33 D．45 4．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 5．在数列中，，，求数列的通项公式. 6．若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 7．已知数列满足，，则 ． 8．已知数列满足，，求数列的通项． 题型二：知商求积求通项 9．已知数列满足，，则数列的通项公式是 10．已知，，求数列的通项． 11．已知，，求数列的通项． 12．已知，，求数列的通项． 13．数列中，若,，则 . 14．记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 15．已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 16．已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 题型三：an与Sn的关系求通项 17．已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 18．已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 19．已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 20．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 21．对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 22．已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 23．已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 24．已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 题型四：连续求和求通项 25．已知对任意正整数n都有，则 . 26．数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 27．若数列满足，则数列的通项公式 . 28．已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 29．已知数列满足，则 ． 30．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 31．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 32．已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 题型五：常规递推关系利用构造求通项 33．已知数列满足，其中，则 . 34．无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 35．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 36．已知数列满足．且，若，则 ． 37．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 . 38．数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 . 39．已知数列满足，． (1)试写出该数列的前5项； (2)若，写出的通项公式； (3)根据（2）写出的通项公式． 40．已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式． 题型六：含指数递推关系利用构造求通项 41．已知数列的前n项和为，且满足，数列的通项，则使得恒成立的最小的k值最接近（    ） A． B． C． D．1 42．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 43．已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 44．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 45．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 46．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 47．已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 48．设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 题型七：观察法求通项 49．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 50．下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 51．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 52．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 53．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 54．求之和． 55．数列，，，，，的第8项是（   ）． A． B． C． D． 56．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 题型八：连续三项递推关系求通项 57．已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 58．已知数列中，，求． 59．设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 60．已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 61．设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 62．已知数列满足，，，则（    ） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 63．在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 64．已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 求数列通项公式八大常考题型 题型一：知差求和求通项 题型二：知商求积求通项 题型三：an与Sn的关系求通项 题型四：连续求和求通项 题型五：常规递推关系利用构造求通项 题型六：含指数递推关系利用构造求通项 题型七：观察法求通项 题型八：连续三项递推关系求通项 题型一：知差求和求通项 1．如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，则第30层小球的个数为（ ） A．462 B．465 C．468 D．475 【答案】B 【分析】归纳出递推公式，再累加求通项即可. 【详解】记第层有个球，则，，，，， ，，，， 则第30层的小球个数为， . 故选：B 2．记为数列的前项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用累加法求得，再由求解即可. 【详解】由题意， 所以当时，， 累加得当时，， 又当时，也满足，所以， 所以. 故选：C 3．在图中，第1个图案包含3粒点子．对任意正整数，第个图案由第个图案加上粒点子组成．求第7个图案的点子数目．（　　）    A．17 B．23 C．33 D．45 【答案】D 【分析】利用累加法结合题意求出通项公式，进而求出第7个图案的点子数目即可. 【详解】设第个图案的点子数目为， 由题意得，，， 则，，， 可得， 则，即，得到，故D正确. 故选：D 4．数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由累加法可得，从而可得的值. 【详解】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 5．在数列中，，，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解. 【详解】，， 当时， ， 当时，，与相符， 数列的通项公式为. 6．若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 【答案】B 【分析】利用放缩法进行放缩即可求解． 【详解】 ， 又 ， 所以，则的整数部分为， 故选：B． 7．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式，再赋值计算即得. 【详解】因为，所以， 所以时，， 则 ， 故. 故答案为：. 8．已知数列满足，，求数列的通项． 【答案】 【分析】累加法来求解数列的通项公式，即通过将从到的式子累加，消去中间项，从而得到与的关系，进而求出. 【详解】， ， ， ， … ， 累加得： ， 所以． 题型二：知商求积求通项 9．已知数列满足，，则数列的通项公式是 【答案】 【分析】根据题意可得，再利用累乘法求解． 【详解】，，即， ， 满足上式，所以. 故答案为：． 10．已知，，求数列的通项． 【答案】． 【分析】利用累乘法来求通项公式，即的关系，逐步化简得出通项公式. 【详解】当时，， ， ， 所以当时，． 经检验，也满足上式， 所以. 11．已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】通过累乘法来求数列的通项公式. 【详解】已知， 则， ， 已知，由， 故数列的通项为：. 12．已知，，求数列的通项． 【答案】 【分析】，累乘法进行求解. 【详解】因为， 所以， 故， 13．数列中，若,，则 . 【答案】 【分析】先由题意结合累乘法求出数列的通项公式即可计算求解. 【详解】若，，则且， 所以， 所以. 故答案为：. 14．记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据与的关系可得，利用累乘法计算得出即可求解. 【详解】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 15．已知为数列的前项和，若，，则的值为（   ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】利用递推公式求出，然后利用累乘法求解即可. 【详解】当时，， 由， 由，得， 两式相减得，， 所以， 故选：B 16．已知数列满足，，则（   ） A．， B．， C．，为完全立方数 D．，数列的前项和 【答案】ABD 【分析】先利用累乘法求出数列的通项公式，作差判断A，根据数列的增减性判断B，利用判断C，利用数学归纳法，假设数列的前项和成立判断D. 【详解】由题意可得，， 所以当时，，…，，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即，将代入解得， 当时满足，所以数列的通项公式为， 因为对恒成立， 所以对恒成立，A说法正确； 易知数列是递增数列，且，，所以，，B说法正确； 因为，所以不存在使得为完全立方数，C说法错误； 下证，数列的前项和， 当时，成立， 假设当时，成立， 则当时， 成立， 所以，数列的前项和，D说法正确； 故选：ABD 题型三：an与Sn的关系求通项 17．已知数列的前n项和为，，且，则（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】根据数列前项和与数列通项之间的关系，求出数列递推公式，进而求出数列前6项，求出结果. 【详解】由可得，即，得， 由可得，，， 故是周期为3的周期数列，且，故. 故选：A. 18．已知数列的前项和为，，且，则（   ） A．1012 B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】根据的关系可得，即可通过列举发现周期性，进而可求解. 【详解】由可得，故， 由可得 故是周期为3的周期数列，且， 故， 故选：C 19．已知数列满足，，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据与的关系，先得到数列的递推关系式，再根据累加法求的值. 【详解】由， 得， 所以， 所以， ，…， ， 各式两端相加得， 故． 故选：C. 20．已知数列满足，设数列满足，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的关系可求，继而得到，利用裂项相消可求得，整理不等式得，根据恒成立转化为求最值即可. 【详解】数列满足，① 当时，，② ①－②得，，，经检验，，满足． 数列满足， 可得， 由于恒成立，即，整理得，， 因为在上单调递减， 故当时，，所以， 故选：C． 21．对于正项数列，定义，若，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】先把条件化成这样的形式，再利用与的关系，作差即可得到答案. 【详解】由，得， 当时，， 由得，所以， 又时，由得，也满足上式 所以. 故答案为： 22．已知数列的前项和为，解决下列问题． (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； (3)若前项和，求其通项公式； (4)已知，求其通项公式． 【答案】(1)．(2)(3)(4) 【分析】由求解即可. 【详解】（1）由数列的前项和的定义可知． （2）当时，；当时，不满足上式． 所以通项公式为 （3）当时，；当时，，不满足上式． 因此通项公式为. （4）由题意知，当时，， 两式相减可得， 则，当时，，不满足上式． 故通项公式为. 23．已知在数列中，，前项和为，若，求数列的通项． 【答案】 【分析】利用将已知条件进行转化，得到与的关系式，再通过变形得到的表达式，然后利用累乘法求出的表达式，最后根据求出数列的通项公式，并且要单独验证时的情况. 【详解】由，当时，，得， 化简得：， 当时，， 因为，所以，那么， 当，， 当时，，满足， 数列的通项为. 24．已知数列各项均为正数，其前项和满足．则下列结论正确的有（    ） A．的第2项小于 B． C．为递减数列 D．中存在小于的项． 【答案】ACD 【分析】求得，即可判断A；由已知可得，结合，可判断B；由，可判断C；利用反证法可得中存在小于的项，可判断D． 【详解】对于A，当时，，所以，因为数列各项均为正数，解得， 当时，，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，故，故A正确； 对于B，由，得，当时，可得， 两式相减得，所以，所以， 解得， 因为数列各项均为正数，所以， 又，由选项可得：显然无意义，故B错误； 对于C，因为，则得， 所以为递减数列，故C正确； 对于D，假设对，都有，则， 所以，与已知矛盾，即假设不成立， 所以数列中存在小于的项，故D正确． 故选：ACD． 题型四：连续求和求通项 25．已知对任意正整数n都有，则 . 【答案】/ 【分析】先根据数列的前项和求数列的通项公式，再利用裂项求和法求和. 【详解】当时， 当时，，， 两式相减得： 时，上式也成立， 所以，. 所以. 当时， 所以 . 故答案为：. 26．数列满足，则数列的前9项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件求出数列的通项公式，再得到数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出其前项和. 【详解】数列满足①, 当时，； 当时，②， ①②得，， 又因为，不满足上式， 故， 当时，， 设数列的前9项和为, 则 ， 故选：. 27．若数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】利用和的关系，降标作差即可求出. 【详解】因，则， 两式相减得， 当时，，不符合上式， 故. 故答案为： 28．已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 29．已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】根据可求. 【详解】时，，与原式相减得 ，则， 经检验，时也成立， 故，即． 故答案为：. 30．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解. 【详解】， ， 两式相减得，所以. 故选：D. 31．已知数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】，当时，，两式相减即可得解，注意验证是否成立即可. 【详解】由题意， 当时，，两式相减得， ，解得， 在中，令，可得，故也满足， 综上所述，所求即为. 故答案为：. 32．已知是等差数列，，数列的前项和为且满足. (1)求数列和的通项公式； (2)设，当取得最大值时，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分与两类讨论，易得不合题意，当时，结合裂项相消求和，得出，即可解得，从而得解通项公式；利用关系式即可求得的通项公式； （2）由（1）得出数列的通项公式，得出的单调性情况，从而可以根据单调性求出最大项. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 当时，则，与矛盾，不合题意； 当时， ， 解得，所以， 即. 当时，，得， 当时，  ①，   ②， ①-②得，即，即， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. 即； （2），则， 所以， 令，则， ， 则 所以，得出 即， 所以数列中，最大，故. 题型五：常规递推关系利用构造求通项 33．已知数列满足，其中，则 . 【答案】 【分析】先由已知递推关系变形后得到数列是首项为，公比为2的等比数列，再代入后计算可得. 【详解】由已知得， 又，所以数列是首项为，公比为2的等比数列， 则， 所以，又，解得. 故答案为：. 34．无穷数列满足，，则数列的所有项和 . 【答案】 【分析】根据递推公式，得到，结合即可求出数列的各项值，进而得到数列的各项值，由此即可求数列的所有项和. 【详解】因为，所以有：， 因为，由此可得，所以， 所以数列为各项均为的无穷数列， 由此可得：. 故答案为： 35．设数列满足，，若且数列的前项和为，则 ． 【答案】 【分析】由可化为，由，可得，可求得，再将的通项展开裂项，利用裂项求和方法计算即得. 【详解】因，设①，展开整理得：， 对照，可得：，解得， 故①式为：， 因时，， 即数列为常数列，故， ， 数列的前项和为：， ． 故答案为：． 36．已知数列满足．且，若，则 ． 【答案】2024 【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解. 【详解】因为，所以， 又，则， 所以 ， 故，则， 所以， 则的各项分别为， 所以 . 故答案为：2024 37．已知数列{}满足，若对任意正整数都有恒成立，则k的取值范围是 . 【答案】 【分析】先通过构造得到数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列，再求的通项公式，代入到不等式可得，利用作差法可判断的最大值，则答案可求. 【详解】由可得，又因为，所以， 即数列是一个以3为首项，3为公比的等比数列， 所以， 对任意正整数都有，则，即， 设，则， 当时，，当时，， 即，所以， 所以 故答案为：. 38．数列满足，，写出一个符合上述条件的数列的通项公式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可. 【详解】由得：， 则当时，，，故满足递推关系， 又，满足， 满足条件的数列的一个通项公式为：. 故答案为：（答案不唯一）. 39．已知数列满足，． (1)试写出该数列的前5项； (2)若，写出的通项公式； (3)根据（2）写出的通项公式． 【答案】(1)，，，， (2) (3) 【分析】（1）由递推公式直接计算即可； （2）构造法证明为等比数列，从而写出通项公式即可； （3）由（2）可知，即可求得. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，. （2）因为，所以两边同时加得： ， 所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以. （3）由（2）可知：. 所以，所以. 40．已知数列，，且对于时恒有，求数列的通项公式． 【答案】． 【分析】将递推关系变形为，结合即可求解. 【详解】因为，所以，又因为， 所以数列是常数列0，所以，所以 ． 题型六：含指数递推关系利用构造求通项 41．已知数列的前n项和为，且满足，数列的通项，则使得恒成立的最小的k值最接近（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由数列的递推式可得，求得，再由等差数列的求和公式和定义，即可得到，再利用放缩法，结合数列的裂项相消求和和不等式的性质，即可得解． 【详解】解：因为，， 可得， 由，可得，即， ， 则， 所以， 可得， 又，恒成立． 故选：B. 42．已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】取特殊值即可求解. 【详解】当时，，显然AC不正确， 当时，，显然B不符合，D符合 故选：D 43．已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式； （2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可. 【详解】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 44．已知数列的前项和为，且满足，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．数列的前20项的和为250 【答案】ACD 【分析】由和的关系可得，进而可得，将代入可得，计算可判断ABC，求得，分和求解即可判断D. 【详解】已知数列的前项和为，且满足 时，，， 时，， 由得， 化简得， 两边同除以，得， 因此，数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即， 代入得 对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：数列中，所以， 令，得，则前项和需分和讨论： 当时，，则前5项和为； 当时，，则前项和为： ，故D正确. 故选：ACD 45．在下列条件下，求数列的通项公式： (1)若，，求； (2)若，，求； (3)若，，求； (4)若，，求； (5)若，，求； (6)若，，求； (7)若，，求； (8)若，，求； (9)若，，求； (10)若，，求； (11)若，，求； (12)若，，求； (13)若，，求； (14)若，，求； (15)若，，求． 【答案】(1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)(8)(9) (10)(11)(12) (13)(14)(15) 【分析】根据已知条件应用累加法计算或构造等差数列或构造等比数列求解通项公式. 【详解】（1）型． 递推累加，等差数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （2）型． 递推累加，等比数列求和： ； ； ； ． 上述个式子累加得，即． （3）型． 同除转化为等差数列：，令，则，转化为等差数列． 本小题中，同除转化为等差数列， 由得， 令，则，， 得，即，． （4）型． 直接待定系数：． 本小题中，， 令， 则，， 得，即，即． （5）型． 直接待定系数：， 其中，． 本小题中，由，得， 令，则，， 得，即， 故． 直接待定系数时必须是完整的关于的一次函数． （6）型． 直接待定系数：， 其中，，． 本小题中，由， 得， 同（5）方法可得． （7）型． 先待定系数配制掉多项式部分，再同除转化为等差数列． ， ，令，则，转化为等差数列． 本小题中，由， 得， 同除得， 同（3）方法可得， 故． （8）型． 先同除转化为等差数列，再待定系数转化为等比数列． ， 令，则， ， 再令，则．以下步骤略． 本小题中，由得， ， 可得， 故． 变式： ． 本小题中，， ， 故． （9）先同除转化为（1）类求解． 由得， 再令，得．最终得． （10）型． 先待定系数转化为（8）类求解： ， ， 令，则， ． 或直接待定系数转化为等比数列： ． 本小题中，直接待定系数得， 得， 故． （11）先待定系数转化为（9）类求解． 由题意得， 令，则．最终得． （12）型． 直接待定系数求解： ． 本小题中，， 最终得． （13）， ， 最终得． （14）由得， ， 最终得． （15）由得， ， 最终得． 46．已知首项为2数列的前项和为，且．若，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】根据给定条件，利用构造法求出，作差构造新数列，探讨单调性求出的最小值. 【详解】由，得， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以，即，故， 令，则， 所以数列是递增数列， 因为，， 所以当时，，即， 当时，，即， 所以的最小值为6． 故答案为：6 47．已知数列满足， (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为． ①求； ②若，成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用构造法求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用错位相减法求出前项和；②由①的结论，结合已知分离参数，构造新数列，利用不等式确定最大项即可. 【详解】（1）由，得， 因此数列是以为首项，3为公差的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由（1）得，， ， 于是， 则， ， 所以. ②由，，得， 令，不妨设的第项取得最大值， 由，解得，即数列的最大值为， 所以，即的取值范围是. 48．设数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，可求出的值，当时，由可得，两式作差可判断出数列是等差数列，确定该数列的首项和公差，可求出数列的通项公式，即可得出的表达式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，， 当时，，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，整理可得， 等式两边同时除以可得， 所以，数列是首项为，公差为的等差数列， 故，所以， 故，，故，A错B对； 由题意可得， 所以，CD都错. 故选：B. 题型七：观察法求通项 49．已知数列的前4项分别为，，，，则数列的一个通项公式可以为 ． 【答案】 【分析】分别观察分子和分母的规律可得通项. 【详解】由前四项可知，其分子为奇数， 其分母后一项是前一项的二倍， 所以数列的通项公式为. 故答案为： 50．下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 【答案】BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 51．数列的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将代入选项中的通项公式，看得到的数列是否与已知数列一致即可. 【详解】对于，符合题意，故A正确； 对于，符合题意，故B正确； 对于，不符合题意，故C错误； 对于，符合题意，故D正确. 故选：ABD. 52．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式 . 【答案】/ 【分析】观察图形的点数，找出规律进行归纳总结即可. 【详解】，，，，， 归纳得. 故答案为：. 53．写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)，，，； (2)，，，； (3)，，，； (4)，，，． 【答案】(1) (2) (3)． (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）根据前四项数列形式，总结规律即可得到其通项. 【详解】（1）从数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式是． （2）从数列的前4项，，，中发现规律，其每一项的符号按照的规律变化， 并且每一项的绝对值都比前一项大6， 因此该数列的通项公式为． （3）从该数列的前4项，，，中发现规律， 由，，，，， 可以联想常见数列，，，，， 它的通项公式为， 因此该数列的通项公式为． （4）从该数列的前4项，，，中发现规律， 其通项公式为． 54．求之和． 【答案】 【分析】求出的表达式，然后利用分组求和进行求解即可. 【详解】由， 得： . 即：. 55．数列，，，，，的第8项是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用观察法分别写出分子和分母的通项公式． 【详解】重写数列的前5项，，，，， 通过观察得该数列的通项公式为，， 所以第8项为． 故选：B． 56．数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的规律性进行判断即可. 【详解】根据数列的规律，奇数项为负数，偶数项为正数，第项的数字是，结合正负性， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：D. 题型八：连续三项递推关系求通项 57．已知数列满足． (1)若，求数列的通项公式； (2)在（1）的条件下，是否存在，使得成等比数列？ 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）由题可得数列是以为首项，为公差的等差数列，则，然后由累加法可得答案； （2）原题等价于有解，然后由判别式可判断是否存在k. 【详解】（1）由得，． 于是数列是以为首项，为公差的等差数列． 所以， 当时，有． 于是，，，…，，， 叠加得，， 又当时，也适合． 所以，． （2）假设存在，使成等比数列，由（1）知，， 由得，， 整理得，． 由可知， 当时，，又当时，，当时，， 当时，，所以，当时，存在，使成等比数列． 58．已知数列中，，求． 【答案】 【分析】由已知可得，令，可得，从而得数列是等比数列，求得，即有，即可得是等比数列，求出其首项和公比，可得，即可得． 【详解】解：因为， 所以， 令， 则， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 所以，， 所以， 所以数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 所以， 即， 所以． 59．设为数列的前n项和，当时，，已知，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变为，则，整理得，利用等比数列的概念证明即可. （2）根据等比数列通项公式求得，变形为，然后根据等差数列的定义及通项公式求解即可. （3）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，， 即， 则，而，则， 于是时，，整理得， 又， 所以数列是首项和公比都是2的等比数列． （2）由（1）知，数列是首项和公比都是2的等比数列， 则，因此， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，， 所以数列的通项公式． （3）由（2）知，， ， 两式相减得，， 则． 60．已知数列满足，且，，数列的前n项和为，则（   ） A． B．是等比数列 C．时， D．不存在，使得为整数 【答案】ABD 【分析】根据递推公式求出即可判断A；根据递推公式可得即可判断B；利用构造法求出数列的通项，再利用错位相减法求出，再利用作差法即可判断C；化简即可判断D. 【详解】对于A，，，故A正确； 对于B，由，得， 又， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 对于C，由B选项知， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 则， ， 两式相减得 ， 所以， ， 因为，所以， 所以当时， ， 所以当时，，故C错误； 对于D， ， 因为不同时为整数， 所以，故D正确． 故选：ABD． 61．设为数列的前n项和，． (1)求； (2)证明： （i）； （ii）； (3)求的通项公式． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）根据递推公式代入数据可得结果. （2）（i）根据递推公式及可证明结论. （ii）根据递推公式及可证明结论. （3）设，根据条件求，利用的取值及等比数列的通项公式可得结果. 【详解】（1）由题意得，，，，， ，，. （2）（i） . （ii） . （3）设，对比得，， 解得或. 当时， ∴①， 当时，同理可得②， ②－①得，. 62．已知数列满足，，，则（    ） A．的个位数为 B．的个位数为 C．对任意实数，数列都不是等比数列 D．的前项和大于数列的前项 【答案】AB 【分析】利用构造法求出数列的通项公式，结合数列个位数的周期性可判断AB选项；取，结合等比数列的定义可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】因为数列满足，，， 则，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，①， 又因为，且， 所以，数列是每项的值都为的常数列，故②， 联立①②可得， 设数列的个位数字构成数列，则，，，，， 以此类推可知，， 所以，的个位数为，A对； 的个位数为，B对； 当时，，此时，， 故当时，数列是公比为的等比数列，C错； 的前项和为， 数列数列的前项为， 因为，故D错. 故选：AB. 63．在数列中，，且对任意的，都有，求数列的通项公式； 【答案】 【分析】根据题意，由构造法可得首项为，公比为的等比数列，再由累加法，即可得到结果. 【详解】由，可得 又，， 所以． 所以首项为，公比为的等比数列． 所以． 所以． 又满足上式，所以 64．已知数列满足，且，.求数列的通项公式； 【答案】 【分析】构造法得到新数列为等比数列，求出通项公式，再得到原数列通项公式. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，，① 又因为，所以，数列为常数列， 故，② ②①可得，所以，， 所以，对任意的，. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $