专题03 等比数列七大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题03 等比数列七大常考题型 题型一：等比中项的应用 题型二：等比数列子数列性质及应用 题型三：等比数列指数函数特征 题型四：等比数列前n项和基本量求算 题型五：等比数列片段和求算 题型六：等比数列奇偶性考点 题型七：证明等比数列 题型一：等比中项的应用 1．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 【答案】AC 【分析】利用等差数列性质判断A，利用等比中项性质并结合题意建立方程求解参数判断B，利用等差数列前项和的性质判断C，逐步求出等差数列的前项，再求和判断D即可. 【详解】对于A，由等差数列性质得， 解得，故A正确； 对于B，因为，，成等比数列，所以， 可得， 解得或，故B错误； 对于C，由等差数列性质得，， 则，所以数列中最小的项为，故C正确； 对于D，因为为等差数列，且，， 所以，，则. 则 ，故D错误. 故选：AC 2．等比数列的公比为q，前n项积为，且满足，，，以下四个命题中正确的命题为（   ） A． B． C．为的最大值 D．使成立的最大的正整数4031 【答案】BC 【分析】利用等比数列的性质可知，，得出，进而判断即可. 【详解】等比数列的公比为，且满足，，， ∴，，则，A错误； 由，B正确； 由，，，，所以的最大值为，C正确； ， 所以成立的最大正整数为4030，D错误. 故选：BC 3．若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若均为整数，则一定为整数 D．若均为整数，则一定为整数 【答案】ABC 【分析】利用等差中项和等比中项的性质逐项计算并判断即可. 【详解】对于A，由题意，正数成等比数列，则有，即，故A正确； 对于B，由题意，正数成等差数列，所以，若，则， 又，即，故B正确； 对于C，由，可得，若均为整数，则也一定是整数，即一定为整数，故C正确； 对于D，由上可知，， 若均为整数，则一定是整数，但不一定是整数，所以不一定为整数，故D错误. 故选：ABC. 4．已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．为递增数列 D．取得最大值当且仅当 【答案】BC 【分析】根据已知条件结合即可求得，即可判断选项A；结合对数运算及等比数列的定义即可判断选项B；结合指数函数的单调性和单调性的性质即可判断选项C；设，假设数列的第项最大，解不等式组即可判断选项D. 【详解】设，则，且数列既是等差数列，又是等比数列. 设等差数列的公差为，则，. 因为数列也是等比数列，所以，即，解得，所以. 显然数列既是等差数列，又是等比数列，符合题意，于是有， 当时，，两式相减得， 即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，即， 显然也符合，因此，故选项A不正确； 所以，即数列是不为零的常数列，所以数列是等比数列，故选项B正确； 因为，所以.由指数函数的单调性和单调性的性质可以判断数列为递增数列，故选项C正确； 设，假设数列的第项最大， 则，即，解得. 因为，所以或，即取得最大值当且仅当或，故选项D不正确. 故选：BC. 5．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为20 B．成等比数列 C．数列为单调递减数列 D．数列为单调递增数列 【答案】ABC 【分析】由二次函数的性质即可判断A；由求得通项公式，进而得出的值，即可判断B；根据增减数列的定义即可判断CD． 【详解】对于A，，当或5时，的最大值为20，故A正确； 对于B，，当时，， 所以也符合，所以数列的通项公式为， 所以，，所以成等比数列，故B正确； 对于C，，为等差数列，且， 所以数列为单调递减数列，故C正确； 对于D，，因为函数在上单调递减， 所以数列为单调递减数列，故D错误； 故选：ABC． 6．已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为 C． D． 【答案】BC 【分析】结合等比中项，根据等差数列通项公式基本量的运算求得，即可求出等差数列通项公式判断AB，根据等差数列求和公式求解和判断CD. 【详解】由题意，设等差数列的公差为，， 由得，即，① 由，，成等比数列，得，即即，② 由①②可得，，因此的通项公式为， 故选项A错误，选项B正确； ，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC 7．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（   ） A．当时， B． C．当时，为等差数列 D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的前n项积为，结合已知等式可得的值，利用等比数列通项公式、等比数列的性质、等差数列的定义、基本不等式逐项判断即可得结论. 【详解】公比为q的等比数列的前n项积为， 由可得，则，故B正确； 当时，，所以，故或，故A不正确； ， 当时，，则不为常数，故不为等差数列，故C不正确； ，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 8．已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 【答案】BCD 【分析】由等比数列、等差数列的性质逐个判断即可. 【详解】对于A：由，可知，故错误； 对于B：，正确； 对于C：，又等比数列偶数项同号，所以8，正确； 对于D：，所以，正确； 故选：BCD 题型二：等比数列子数列性质及应用 9．下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】根据等比数列的定义和通项公式结合与的关系一一判断即可. 【详解】对于A,当且时,数列也是递增数列,故A错误; 对于B,当时,数列是常数列,不是递增数列或递减数列,故B错误; 对于C,因为,即,整理得且,所以,则,所以数列是递减数列,故C正确; 对于D,令且,则,,,,,此时成立,但数列不是递增数列,故D错误. 故选:ABD. 10．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 【答案】BD 【分析】根据比数列的定义，逐一判断选项. 【详解】设等比数列的公比为， A.由等比数列的性质知，，当时，，故A错误； B.可知数列，，每项都不为0，且，故B正确． C.当数列为1，，1，，1……时，，故C错误； D.数列，，的每一项都不为0，且，故D正确. 故选：BD 11．下列结论成立的有（    ） A．若两个等差数列、的前项和为、且，则 B．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和 C．若数列的通项公式为，则数列中最大项的值为 D．若数列为等比数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等比数列 【答案】CD 【分析】对于A：利用等差数列的性质，把转化为，代入求解，即可判断； 对于B：利用裂项相消法直接求和，即可判断； 对于C：设第k项最大，由，解不等式组求出最大项，即可判断； 对于D：利用定义证明其为等比数列，即可判断. 【详解】对于A：因为，所以. 因为、均为等差数列，所以，故A错误； 对于B：因为数列的通项公式为， 所以该数列的前100项和，故B错误； 对于C：数列的通项公式为.设第k项最大，则： ，即，解得：. 所以，故C正确； 对于D：设该数列为，数列的公比为，为常数，即数列为等比数列，故D正确. 故选：CD 12．等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据等比数列性质即可求出公比. 【详解】因为数列为等比数列，则， 即，解得. 故选：D. 13．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，解得， 所以． 故选：C． 14．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】已知条件作商可求得，然后根据等比数列性质可得. 【详解】因为，，所以，解得，则． 故选：B 15．在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 【答案】D 【分析】由等比数列的性质求解 【详解】数列是等比数列，则，， 而，故． 故选：D 16．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 【答案】A 【分析】由等比数列的性质有，结合已知求出基本量，再由即可得答案. 【详解】因为，，且q为整数， 所以，，即q=2. 所以. 故选：A 题型三：等比数列指数函数特征 17．若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 18．设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的定义判断． 【详解】充分性：， 例如，则，在时，取最大值，因此是不充分的， 必要性：当时，对任意的无穷等比数列， 若，必存在正整数，使得时，，时，，所以时，最大（若，则是最大值）， 若，则是中的最大值，若，只要比较前后的正项的大小即可得（注意中正负项是两项两项间隔的） 若，则，是递减数列，中第一个正项即为最大值， 因此是必要的， 所以应为必要不充分条件， 故选：B． 19．已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得到，从而有时， ，时， ，即可求解. 【详解】因为，公比 ，则， 所以当时，；当时，， 又是数列的前项积，则当时， 取得最大值， 故选：B. 20．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 【答案】C 【分析】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，而生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨，通过数据比较可得结果. 【详解】从2023年起第年处理生活垃圾的量为，显然单调递增， 而，生活垃圾堆积量平均每年增加8万吨， 则从第6年起处理生活垃圾的量超过每年增加的量， 故该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是. 故选：C. 21．已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先通过求出，则可得数列的通项公式，代入可求得. 【详解】由已知， 则，解得， 故选：A. 22．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】取特殊值易证不具有充分性，由，及得，判断的符号可得具有必要性. 【详解】，，当时，，所以不具有充分性； ，所以， 又，则，所以， 所以，不妨设 因为数列为正项数列，所以设公比为，则， ， 当时，，，所以，， 当时，，； 当时，，，所以，， 所以，所以具有必要性， 综上，是的必要不充分条件. 故选：A. 23．已知数列满足，且，则中整数项的个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】C 【分析】由题设得，即是等比数列，进而写出通项公式，根据所得通项公式讨论确定中整数项的个数. 【详解】由题意得：，， ∴， 若显然与矛盾，故是公比为的等比数列， ∴，可得， ∴， 综上，且. 当为奇数且时，为整数；当为偶数且时，为整数， ∴中整数项的个数为22. 故选：C. 24．已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知条件可得，再由，即可得结果. 【详解】由题设，，则且q＝2，则， 而. 故选：B 题型四：等比数列前n项和基本量求算 25．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 【答案】ACD 【分析】本题可根据等比数列的通项公式及前项和公式，结合等差数列的性质来逐一分析选项. 【详解】选项A：设等比数列的公比为（）， 由成等差数列，则，即， 因为，所以. 令，方程变为，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确； 选项B：若，则，故选项B错误； 选项C：等比数列前项和公式为且， ，， 因为，， 所以，故成等差数列，选项C正确； 选项D：若，由得. 等比数列的项为： ，，， …… 可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小， 即，因此数列的最大项为，故选项D正确. 故选：ACD 26．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 【答案】AC 【分析】设的公比为，根据题意求出基本量，进而逐项验证即可求解. 【详解】设的公比为，则由，单调递增，得， 因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，.故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，， 所以是首项为3，公比为的等比数列，故D错误. 故选：AC. 27．等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 【答案】ABD 【分析】根据等比数列前项和公式，结合求出公比及通项，再逐项求解判断. 【详解】由等比数列的前项和，得， ， 对于A，等比数列的公比，A正确； 对于B，由，得，即，解得，B正确； 对于C，，则，C错误； 对于D，， 当或时，取得最小值 又函数单调递增，因此当或时，取得最小值，D正确. 故选：ABD 28．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 【答案】ACD 【分析】根据等比数列的公式和性质，求公比和通项公式，结合选项，即可判断. 【详解】设的公比为，则由，递增，得，因为，所以，解得或（舍去）， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，，故C正确； 对于D，，，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确. 故选：ACD 29．设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为常数 【答案】ACD 【分析】设等比数列的公比为，由题干所给条件求出，，求出，逐个选项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 所以，则， 又因为，则，， . ，故A选项正确； ，故B选项错误； ，所以为等差数列，故C选项正确； ，故D选项正确； 故选：ACD. 30．记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C．若，则取得最小值时 D．若，则 【答案】AD 【分析】根据已知条件求得等比数列的首项和公比，得到其通项公式、前项和与前项积，然后逐项判断即可. 【详解】设等比数列的公比为. 由题可知：， 化简得：，解得或. 所以或. 选项A：，所以选项A正确； 选项B：当时，数列为递减数列； 当时，数列为递增数列，所以选项B错误； 选项C：若，则，所以， 所以，. 所以. 当或时，取得最小值，最小值为.所以选项C错误； 选项D：若，则，所以， 所以，. 所以. 因为，所以，所以，所以选项D正确. 故选：AD. 31．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（    ） A．或 B．或 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据等比数列通项公式计算得出通项，再分类讨论应用通项公式及求和公式计算求解判断各个选项. 【详解】等比数列中，，，设为数列的公比． 所以，所以或. 当时，； 当时，，所以A选项正确，B选项错误； 若，则，则，C选项正确； 若，则当，则，D选项错误； 故选：AC. 32．公比为的等比数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等比数列的通项公式列方程，解方程可得首项与公比，进而判断选项. 【详解】由已知等比数列的公比为，且， 则，解得，所以， 故选：AB 题型五：等比数列片段和求算 33．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 【答案】AC 【分析】根据等差数列的性质及求和公式计算判断A；先求出，再当时求出，判断当时有，判断B；根据等比数列的性质计算求值判断C；由题意得，可判断D. 【详解】对于A，由，正确； 对于B，数列的前项和，当时，， 当时，， 当时，，错误； 对于C，因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以，正确； 对于D，由，，则，所以， 若时，由，可得， 所以，与已知条件矛盾，所以，错误. 故选：AC 34．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 【答案】AB 【分析】对A，利用，求出，再利用等比数列的定义求出的值，即可判断A；对B，根据条件，利用等比数列的性质，即可求解；对C，通过举例即可说明；对D，结合条件，利用等差数列的性质得，进而可得，，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，， ，由，得到，解得，故A正确， 对于B，由，得到，所以，故B正确， 对于C，取，显然有数列为等比数列，当为偶数时，， 此时不成等比数列，故C错误， 对于D，因为等差数列的前项和有最大值，故可得， 因为，故可得，即， 所以，可得， 又，故可得， 所以前项和在时取得最大值，且， 又因为，， 故取得最小正值时，所以D错误. 故选：AB. 35．（1）已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值； （2）已知在等比数列中，，，求的值； （3）已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 【答案】（1）8；（2）1024；（3）或． 【分析】（1）利用等差数列和等比数列的性质即可求解； （2）利用等比数列的通项公式将已知条件和所求均用和来表示即可求解. （3）利用等比数列的前项和的性质进行求解即可. 【详解】（1）数列为等比数列，， ，，， 为等差数列，． （2）在等比数列中，设公比为， ①， ②， 则②①得，则， ； （3）由题意可知，其后项为，则， 由等比数列的性质知，，成等比数列， 即，解得或． 当时，，，，是首项为2，公比为的等比数列， 则， 所要求的和为． 当时，，，，是首项为2，公比为的等比数列， 则， ． 故所求的和为或． 36．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】21 【分析】根据等比数列的性质进行计算求值. 【详解】因为数列是等比数列，所以，，成等比数列， 因为，，所以，所以， 所以. 故答案为：21 37．下列说法中错误的是（   ） A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 【答案】ACD 【分析】由等差等比数列的概念及性质逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，，此时不是等差数列，所以A错误； 对于B，，符合等比数列的形式，所以B正确； 对于C，应把改为，C错误； 对于D，当公比为时，，D错误， 故选ACD． 38．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 【答案】BD 【分析】当时，A选项不成立；根据数列的单调性判断B选项；C选项，解一元二次不等式求得的范围；D选项，利用并项求和计算. 【详解】A选项，若，当为偶数时，，此时，不是等比数列，A错误； B选项，， 时，，随着的增大而减小，当时，，随着的增大而减小， 所以取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8，B正确； C选项，由得，所以使的最小正整数为，C错误； D选项，，所以，D正确. 故选：BD. 39．记是等比数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列片断和性质列式求解. 【详解】在等比数列中，，而成等比数列， 因此，所以. 故选：B 40．设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（   ） A．243 B．216 C．81 D．27 【答案】A 【分析】根据等比数列的前项和的片段和性质及等比中项的性质即可求解. 【详解】设数列的公比为，因为，且，所以，否则， 所以，，成等比数列且公比为，即， 即，解得或， 当时，由，，成等比数列，其公比为，舍去 所以，所以， 所以. 故选：A 题型六：等比数列奇偶性考点 41．已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得，后分奇偶情况可得； （2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案. 【详解】（1），. ，，. 又，，，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列. 当时，；当时，. 综上，， （2）方法一：， . ，. 方法二：， ， ， ， ∴时，为递增数列， 时，为递减数列， 若，都有成立，只需使，则且，则. 42．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数  在上单调递增，即可得出结论． 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围. 43．已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为 ． 【答案】/0.75 【分析】由题意可求得，分为奇数、偶数讨论的单调性并求出其最大、小值即可. 【详解】解：设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q， 则解得或, 又因为的各项均不相等，所以， 则． 当n为奇数时，，易知单调递减，最大值为，且； 当n为偶数时，，易知单调递增，最小值为，且． 所以的最大值为，最小值为， 所以的最大值与最小值之差为． 故答案为：. 44．在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】由题知当为奇数时，；当为偶数时，，前n项和为满足 ，，进而分为奇数和为偶数讨论求解即可. 【详解】解：由题意得，，，即， 所以当为奇数时，；当为偶数时，； 设的前n项和为，则，. 若为奇数，则为3的倍数，不是的倍数，不合题意； 当为偶数，则 ，即，所以. 故选：B 45．在数列中，，，且. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由递推关系得，结合已知及等比数列定义即可证结论. （2）由（1）得，当n为奇数，应用累加法求，当n为偶数，结合求，即可确定的通项公式. 【详解】（1）由得：，且， 则，又， 所以数列是首项为3，公比为4的等比数列. （2）由（1）知：，又，则， 当n为奇数时，， 当n为偶数时，· 综上，· 46．已知等比数列的公比，且，则 . 【答案】120 【分析】在等比数列中，若项数为，则，结合所求，化简计算，即可得答案. 【详解】因为在等比数列中，若项数为，则， 所以 . 故答案为：120 47．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 【答案】 【分析】由等比数列的通项公式与性质求解即可 【详解】∵等比数列{an}的公比为， 则. 故答案为： 48．在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 【答案】450 【分析】利用等比数列的前100项中的所有偶数项和与所有奇数项和的关系即可计算得解. 【详解】在等比数列中，公比，则有， 而，于是得， 所以数列的前100项和． 故答案为：450 题型七：证明等比数列 49．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)的最小值为，无最大值 【分析】（1）已知，要求，可直接令，代入等式求解. （2）要证明数列是等比数列，可先根据与的关系，用表示出，再通过变形得到与的关系，根据等比数列的定义进行证明. （3）先根据（2）求出的的通项公式，再结合求出的表达式，最后通过分析的单调性来确定其最值. 【详解】（1）已知，则当时，有. ，，即，解得． （2）由可得，当时，. 得. ，，即，进一步变形可得. 当时，. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）可知，则，即. ，，则. 由于，所以是递增数列，的最小值为，无最大值. 50．已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】根据递推公式构造得，则由等比数列定义得证； 【详解】由题意，数列中，，， 当时，， 即， 即，． ∴是以为首项，以为公比的等比数列． 51．已知数列的前项和为，数列与满足关系，对于有，．求证：是等比数列． 【答案】证明见解析 【分析】根据与的关系式求出数列的递推关系式，再得，根据等比数列的定义得证. 【详解】由，知． 那么，即， 又， 故， 由，可得，即， 故，即对均成立． 因此是等比数列． 52．已知数列的首项，，． (1)若，求的通项公式； (2)若对一切都成立，求的取值范围． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由递推公式可得，从而得所以为等比数列，即可求解； （2）由（1）可得，从而由，可得，从而可求解. 【详解】（1）因为，所以， 进而得， 所以是首项为、公比为的等比数列， ，则得. 故的通项公式为. （2）由（1）可得， 因为且，所以， 因为，所以，即， 所以，所以，解得. 故的取值范围为. 53．已知在数列中，，． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据数列为等比数列，可以设其公比为，从而用待定系数法解得和的值，并借助的通项得到数列的通项． （2）由（1）可得，从而可求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为． 因为，所以． 又因为，所以， 可得解得所以. 因为，所以为等比数列，. 故当，使得为等比数列. （2）由（1）可知，，可得，所以. 故数列的通项公式为. 54．已知数列的首项，，.求证：数列是等比数列； 【答案】证明见解析； 【分析】由已知递推关系和等比数列的定义，即可证明. 【详解】证明：， ， 所以， 所以是首项为，公比为的等比数列. 55．已知数列的首项为，且满足．求证：是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】由递推公式变形得，利用等比数列的定义即可证明是等比数列. 【详解】数列满足，即， ，又， ， 数列表示首项为，公比为的等比数列． 56．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，进一步有，结合恒成立，可得恒成立，从而即可得解. 【详解】由题意，所以，解得， 而， 从而，所以， 所以是以为首项、2为公比的等比数列， 所以，解得， 所以， 若数列是递增数列，则当且仅当恒成立， 所以恒成立， 所以恒成立，所以， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 等比数列七大常考题型 题型一：等比中项的应用 题型二：等比数列子数列性质及应用 题型三：等比数列指数函数特征 题型四：等比数列前n项和基本量求算 题型五：等比数列片段和求算 题型六：等比数列奇偶性考点 题型七：证明等比数列 题型一：等比中项的应用 1．已知公差为的等差数列，为其前项和，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，成等比数列，则 C．若，，数列中最小的项为 D．若，，则 2．等比数列的公比为q，前n项积为，且满足，，，以下四个命题中正确的命题为（   ） A． B． C．为的最大值 D．使成立的最大的正整数4031 3．若正数满足成等差数列，成等比数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若均为整数，则一定为整数 D．若均为整数，则一定为整数 4．已知为数列的前项和，，若数列既是等差数列，又是等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等比数列 C．为递增数列 D．取得最大值当且仅当 5．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值为20 B．成等比数列 C．数列为单调递减数列 D．数列为单调递增数列 6．已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（    ） A．数列的通项公式为 B．数列的通项公式为 C． D． 7．设公比为q的等比数列的前n项积为，若，则（   ） A．当时， B． C．当时，为等差数列 D． 8．已知数列中，，，下列说法正确的是（   ） A．若是等比数列，则 B．若是等差数列，则 C．若是等比数列，则、的等比中项为8 D．若是等差数列，则、的等差中项为17 题型二：等比数列子数列性质及应用 9．下列关于等比数列单调性的结论不正确的是（    ） A．若数列是递增数列,则公比 B．若公比,则数列一定是递增数列或递减数列 C．若,则数列是递减数列 D．若,则数列是递增数列 10．已知数列为等比数列，则（    ） A．数列，，成等比数列 B．数列，，成等比数列 C．数列，，成等比数列 D．数列，，成等比数列 11．下列结论成立的有（    ） A．若两个等差数列、的前项和为、且，则 B．若数列的通项公式为，则该数列的前100项和 C．若数列的通项公式为，则数列中最大项的值为 D．若数列为等比数列，则依次取出该数列中所有序号为7的倍数的项，组成的新数列一定是等比数列 12．等比数列中，若，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 13．在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．32 D．64 14．在等比数列中，，，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 15．在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．144 D．192 16．已知等比数列的公比q为整数，且，，则（    ） A．2 B．3 C．-2 D．-3 题型三：等比数列指数函数特征 17．若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 18．设无穷等比数列的公比为，前项积为，则“有最大值”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 19．已知数列为等比数列，，公比，则数列的前项积最大时，（   ） A． B． C． D． 20．我们在享受经济增长带来的喜悦时，也无法忽视垃圾增长引发的烦恼．某区至2022年底生活垃圾堆积量达100万吨，估计今后平均每年增加8万吨．在实施《生活垃圾管理例》之后，清运公司处理垃圾的效能得到明显改观，预估2023年能处理垃圾5万吨，今后每年还需提高10%的处理能力，则该区生活垃圾堆积量达到最大的年份是（    ） A．2026年 B．2027年 C．2028年 D．2029年 21．已知数列满足：，点在函数的图象上．则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 22．已知数列为正项等比数列，且，则“”是“”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知数列满足，且，则中整数项的个数为（    ） A．20 B．21 C．22 D．23 24．已知等比数列中，公比q＝2，若，则等于（    ） A． B． C． D． 题型四：等比数列前n项和基本量求算 25．已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．成等差数列 D．若，则数列的最大项为 26．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（    ） A． B． C． D．不是等比数列 27．等比数列的前项和，前项积记为，则（    ） A．公比为2 B． C． D．有最小值 28．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则（    ） A． B． C． D．是等比数列 29．设是公比为正数的等比数列的前n项和，若，，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为常数 30．记分别为等比数列的前项和与前项积，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列为递增数列 C．若，则取得最小值时 D．若，则 31．已知等比数列中，，，为数列的前项和．下列说法正确的是（    ） A．或 B．或 C．若，则 D．若，则 32．公比为的等比数列的前项和为，若，则（　　） A． B． C． D． 题型五：等比数列片段和求算 33．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（    ） A．若数列为等差数列，且，则 B．若数列的前项和为，且，则是等差数列. C．若数列为等比数列，为前项和，，，则 D．若数列为等比数列，且，则 34．关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（   ） A．若数列为等比数列，且其前项的和，则 B．若数列为等比数列，且，则 C．若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列 D．若数列为等差数列，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为 35．（1）已知在等比数列中，，数列是等差数列，且，求的值； （2）已知在等比数列中，，，求的值； （3）已知等比数列的前项和为2，其后项的和为12，求再后面项的和． 36．已知等比数列的前项和为，若，，则 . 37．下列说法中错误的是（   ） A．若数列满足，其中是关于n的一次函数，则数列一定是等差数列 B．若数列的前n项和，则数列一定是等比数列 C．若数列是等差数列，为数列的前项和，则数列，，一定是等差数列 D．若数列是等比数列，为数列的前n项和，则数列，，一定是等比数列 38．下列命题正确的有（   ） A．若数列为等比数列，为其前项和，则，，，…成等比数列； B．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是7，取到最大值时的值是8； C．已知数列的前项和为，则使的最小正整数为12； D．已知数列满足，设的前项和为，则． 39．记是等比数列的前项和，已知，则（    ） A． B． C． D． 40．设公比小于零的等比数列的前项和为，，且，则（   ） A．243 B．216 C．81 D．27 题型六：等比数列奇偶性考点 41．已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 42．已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 43．已知首项均为的等差数列与等比数列满足，，且的各项均不相等，设为数列的前n项和，则的最大值与最小值之差为 ． 44．在数列中，，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 45．在数列中，，，且. (1)证明：是等比数列； (2)求数列的通项公式. 46．已知等比数列的公比，且，则 . 47．已知等比数列{an}的公比为，则的值是________. 48．在等比数列中，若，且公比，则数列的前100项和为 ． 题型七：证明等比数列 49．记为数列的前项和，已知． (1)求； (2)证明：数列是等比数列； (3)求的最值． 50．已知在数列中，，．当时，．求证：为等比数列； 51．已知数列的前项和为，数列与满足关系，对于有，．求证：是等比数列． 52．已知数列的首项，，． (1)若，求的通项公式； (2)若对一切都成立，求的取值范围． 53．已知在数列中，，． (1)求实数，使得为等比数列； (2)求数列的通项公式． 54．已知数列的首项，，.求证：数列是等比数列； 55．已知数列的首项为，且满足．求证：是等比数列； 56．已知数列的前项和为，且，设，，若数列是递增数列，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $