专题05 数列求和的六大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题05 数列求和的六大常考题型 题型一：错位相减求和 题型二：裂项相消法求和 题型三：分组求和 题型四：倒序相加法求和 题型五：含绝对值数列求和 题型六：含（-1）n数列求和 题型一：错位相减求和 1．记为递增数列的前n项和，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 2．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 3．已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 4．把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 5．已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 6．已知数列满足，且. (1)求证：为等差数列； (2)求数列的前项和. 7．已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），. (1)求常数的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 8．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 9．已知在数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 10．已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 题型二：裂项相消法求和 11．已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 12．已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 13．已知正项数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)若求证：; (3)若，数列{}的前n项和为，对任意，不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 14．在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 15．已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和 16．等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 17．已知数列的前n项和 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 18．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 19．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求前项和. 20．已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 题型三：分组求和 21．已知等比数列 的前 项和为，，且，，成等差数列. (1)求 ； (2)设，是数列 的前 项和，求； (3)设，是 的前 项的积，求证: 时，. 22．记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 23．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 24．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 25．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 26．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 27．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 28．已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 29．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 30．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 题型四：倒序相加法求和 31．已知函数，（    ） A． B． C． D． 32．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 33．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 34．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 35．若，已知数列中，首项，，，则 . 36．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 37．已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 38．已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 39．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 40．已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 题型五：含绝对值数列求和 41．已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 42．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 43．设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 44．记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 45．在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 46．在数列中，，，则等于（   ） A．630 B．648 C．660 D．675 47．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 48．记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 49．已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 50．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．取最小值时 C．数列是等差数列 D． 题型六：含（-1）n数列求和 51．记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 52．已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 53．设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； (3)设，求数列的前项和. 54．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 55．已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 56．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 57．已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 58．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ． 59．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 60．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列求和的六大常考题型 题型一：错位相减求和 题型二：裂项相消法求和 题型三：分组求和 题型四：倒序相加法求和 题型五：含绝对值数列求和 题型六：含（-1）n数列求和 题型一：错位相减求和 1．记为递增数列的前n项和，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由得，两式相减，根据与的关系构造关于的关系，结合已知条件即可求出为等差数列，根据等差数列的通项公式即可求得答案； （2）利用错位相减法即可求解； （3）当时，利用，放缩后再裂项相消即可得证． 【详解】（1）∵，∴， 两式相减得， 即，即， 当时，有，解得， 又∵数列单调递增，故， 故只能有， 由等差数列的定义可知是首项和公差均为1的等差数列，故． （2）， 记数列前n项和为， 则， 则， 两式相减，得． （3）由题，， 当时，，不等式成立； 当时， 故， ． 综上所述，原不等式得证． 2．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得； （3）利用（1）中结果得，再由裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，可得，可得①， 由，可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以. （2）因为，则， 所以③， ④， ③④得 ， 所以. （3）由（1）知，所以， 则. 3．已知正项数列满足：. (1)证明是等比数列，并求通项； (2)若，求数列的前项和的表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据递推关系即可证明等比数列，进而求得通项公式； （2）根据错位相减法直接求数列的前项和. 【详解】（1）由，得， 因为是正项数列，所以，即，又， 所以是公比为的等比数列，又，得， 所以，即. （2）由（1）知，所以. 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 4．把多项式（其中）的展开式中的一次项的系数记为，数列的前项和记作. (1)写出数列的前2项；并求其通项公式； (2)求. 【答案】(1)，，． (2) 【分析】（1）先求出展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求得，然后写出数列的前2项即可； （2）利用错位相减法即可求出. 【详解】（1）二项式展开式的通项为， 分别令可得项分别为，， 所以的展开式中含的项为， 所以的系数为． 所以，. （2）， 则， ， 两式相减得 ， 则. 5．已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据题干构造出是以为首项，为公比的等比数列，进而求出数列{}的通项公式； （2）由（1）可知数列{}的通项公式为等差乘等比，利用错位相减求出前n项和即可. 【详解】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 6．已知数列满足，且. (1)求证：为等差数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由条件可得，根据等差数列定义证明结论； （2）由（1）可得，所以，设，利用错位相减法求，由此可得结论. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，即， 又，故， 所以数列为首项为，公差为的等差数列， （2）由（1）， 所以， 所以， 所以， 设， 所以， 所以， 所以， 所以. 7．已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），. (1)求常数的值及数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设数列公比为，进而待定系数得再根据等比数列的通项公式求解即可得的通项公式； （2）结合（1）得，再根据分组求和与错位相减法求解即可. 【详解】（1）解：因为数列为等比数列（为常数），设公比为， 所以，当时，，即， 因为，时，， 所以,解得 所以，， 又，， 所以是等比数列，公比为，首项为， 所以，即 （2）解：由（1）知， 令的前项和为， 则 ， 两式相减得：， 所以 所以数列的前项和. 8．设数列的前项和为，且． (1)证明：为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【详解】（1）由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3的等比数列； （2）由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 9．已知在数列中，． (1)证明：数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助等差数列定义计算即可得； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 故，又， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，即； （2）， 则， 则， 故 ， 故. 10．已知数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系即可作差得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）由可得, 相减可得，故， 又，故， 因此对任意的，都有，故为等比数列，且公比为2， 故， （2）， ， 相减可得 故， 故 题型二：裂项相消法求和 11．已知函数且的图象经过点，记数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）问题转化为根据数列的前项和公式求数列的通项公式. （2）利用裂项求和法求，即可证明. 【详解】（1）由题意. 所以数列，其前项和为. 当时，； 当时，. 时，上式亦成立. 所以，. （2）， 所以. 12．已知数列的首项，且满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最大整数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：利用累乘法求解； 解法二：利用构造法求解； （2）利用裂项相消法求出，进而可得答案． 【详解】（1）解法一：累乘法 依题意：， 当时，； 当时，符合，故. 解法二：构造法 依题意：，则数列为常数数列， 则. （2）， 故， 由题意，， 故满足条件的最大整数的值为8. 13．已知正项数列的前n项和为，满足. (1)求和； (2)若求证：; (3)若，数列{}的前n项和为，对任意，不等式恒成立，求实数λ的取值范围. 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3). 【分析】升次作差得，再利用等差数列通项公式和求和公式即可得到答案； （2）化简得，再利用裂项求和法即可证明； （3）利用错位相减法得，再分奇偶数讨论并分离参数，最后根据作商法即可求出答案. 【详解】（1），①， ，②， 由②－①得， 即． 又． 又，解得或0（舍）， 故． （2）由（1）可知，则 于是有： . （3）由（1）可知：， ① ② 由①－②得 ， ， 当为奇数时，； 当为偶数时，， 令，则， 由，得， 当为奇数时，则有 则； 当为偶数时， 则， 综上：实数的取值范围为． 14．在数列中，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】代入计算求解判断A，B，应用作差法计算判断C，应用裂项相消法计算求和判断D. 【详解】当时，，得，当时，，得，A错误. 由①， 当时，②， 得， 得， 得，则.又，所以，B正确. 当时，由，得，又，所以，C正确. 当时，由， 得，得， 所以 （当时，也成立），D正确. 故选：BCD. 15．已知正项数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)记，求的前项和 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据已知条件求出，再通过与的关系推出数列，进而求出其通项公式. （2）将数列裂项，根据裂项相消法求其前项和. 【详解】（1）当时，，解得. 当时，，. 两式相减得:. 整理得到:. . 数列是首项为1，公差为2的等差数列. . （2）由（1）得. 则 . 16．等比数列中，，且数列单调递增. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用等比数列的定义与性质列方程计算即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 由题意得，解得， 因为单调递增，所以，                       所以的通项公式为， 即； （2）因为，所以，                                            记，则，                            所以， 即， 综上所述. 17．已知数列的前n项和 (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，是否存在正整数k，使得对于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由和的关系即可求解； （2）由裂项相消法求得，确定最值，结合一元二次函数最值即可求解. 【详解】（1）依题意， 当时，，                 … 当时，， 当时上式也符合，所以. （2）， ， 由通项公式可知是单调递增数列，，则， 所以，           函数的对称轴为， ， 当时，单调递增. 所以使成立的正整数的最小值为 18．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，利用等差数列通项的基本量运算列方程组，求出，即得数列通项公式； （2）利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由① 由， 即② 联立①②，解得， 则的通项公式为； （2）， 则 . 19．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （2）由（1）可知， 则，， 可得， 故 . 20．已知数列满足，，设.若对于任意且，都有. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. (3)求证：. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）由递推式求得，进而由题意得到关于的方程，再检验得到的的值; （2）利用构造法证得为等差数列，从而得解； （3）利用（2）中结论求得，再利用分组求和法与裂项求和法即可得证. 【详解】（1）由题知数列是等差数列，则， ，，，， 由可得：，，， ，解得：. （2）由（1）知：，，， 则等差数列公差为， 数列是以为首项，为公差的等差数列， ， ； （3）证明：由（1）、（2）知 ， ，，. 题型三：分组求和 21．已知等比数列 的前 项和为，，且，，成等差数列. (1)求 ； (2)设，是数列 的前 项和，求； (3)设，是 的前 项的积，求证: 时，. 【答案】(1)(2)(3)证明见解析 【分析】（1）利用推导公比，结合即可得通项. （2）将数列拆分为偶数项的等差数列和奇数项的等比数列，分组求和后合并即可. （3）将化简后取对数，构造函数证明，进而通过放缩求和，证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得，即，即得，则， 则等比数列的公比，又，故. （2）由（1）得，则， 则 . 故. （3）由题意知，则， 故， 则欲证，即证，即证， 设，，则， 当时，，则在上单调递减，故， 所以，. 当时，； 当时，，则， 即， 故 时，. 22．记为数列的前项和．已知． (1)求的通项公式； (2)记为在区间上的项的个数，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用变形，再利用等差数列定义求出通项公式. （2）求出，再利用分组求和法及等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）当时，由，得，则， 又，因此数列是以1为公差，2为首项的等差数列， . （2）由（1）知，且，而区间内有个整数，则， 因此 ， 所以数列的前项和. 23．已知等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)设等比数列的前项和为，且.令，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由等差数列通项公式建立方程组，解得首项和公差，即可写出数列通项公式； （2）结合题中条件和等比数列通项公式建立方程组，解得首项和公比，即可求得通项公式，从而求得数列通项公式，利用等比数列和等差数列前项和公式即可求得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则解得， 所以的通项公式为. （2）设等比数列的公比是， 由，得，解得， 所以的通项公式为，此时，， 满足，故. 结合（1）知， 所以数列的前项和. 24．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析(2)．(3)． 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）根据（1）的结论，结合等差数列的通项公式进行求解即可； （3）利用分组求和法，结合等差数列和等比数列的前项和进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以数列是首项是，公差为1的等差数列． （2）由（1）可得， 则，故． （3）由（2）可得， 则 ． 25．已知等差数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设等差数列的公差为， 由 ，令，可得，解得，从而可得结果； （2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，可得，结合（1）可得，利用等差数列与等比数列的求和公式，根据分组求和法可得数列的前项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为， 则，即，解得 ， 所以. 则 数列的通项公式为： （2）因为数列是首项为1，公比为2的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 所以数列的前项和为 26．设等差数列的前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. （2）由（1）可知，则， 故 . 27．在数列中，，． (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析(2)（）(3)（） 【分析】（1）首先对等式进行等价变形可得：，然后再根据等比数列的定义进行证明即可； （2）由（1）可知为等比数列，先求解的通项公式，进而求解数列的通项公式； （3）首先根据（2）的结果求解的通项公式，然后再根据分组求和和错位相减的方法进行求和即可. 【详解】（1）已知，两边同时取倒数得：， 两边同时加可得：， 由此可得：，当时，， 因此得证：为等比数列，其首项为，公比. （2）由（1）可得：为等比数列，其首项为，公比. 因此可得：，得： （） （3）由（2）可知：（），可得：（） 设（1） （2） 由（1）（2）得： ， 解得：. （）. 28．已知数列的首项，且满足（）. (1)证明：数列为等比数列； (2)若（），求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将递推公式配凑成，即可； （2）由（1）求得，由分组求和、错位相减法求和即可. 【详解】（1）证明：由， 得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， （2）由（1）知数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 故， 所以 ， 设① 所以② ①－②得：. 所以，又， 所以. 29．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式进行求解即可. （2）根据等比数列和等差数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为等比数列满足， 则，两式相除可得，解得. 所以的通项公式为. （2）. 所以 30．已知等差数列的前项和为，，． (1)求的通项公式； (2)若数列是公比为3的等比数列，且，求的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量结合题设求出，进而求解即可； （2）由题意易得，进而利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意，得，解得， 则. （2）由（1）知，， 因为数列是公比为3的等比数列，其首项为， 则，则， 所以. 题型四：倒序相加法求和 31．已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 32．已知函数，数列满足. (1)求证：为定值，并求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析 【分析】（1）计算为定值2，用倒序相加法求得通项公式； （2）由（1）得到，裂项相消求和得，进而结合单调性证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得 ， 则， 得到， 两式相加得，即. （2）由题意得， 则， 而，而，可得当时，， 令，因为反比例函数在上单调递减， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故得证. 33．德国大数学家高斯，被誉为数学界的王子，在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律性，因此，此方法也称之为高斯算法．现有函数（），则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由题意得，设， ， 设， 倒序得， 两式相加得到，解得，故只有A正确. 故选：A 34．若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【分析】由表达式及得到，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则. 因为 令，得 ； ； ； ………… 又. 故 故选：B 35．若，已知数列中，首项，，，则 . 【答案】 【分析】根据函数解析式得，应用作差法及已知得，则，最后利用对称性及倒序相加求和即可. 【详解】， ，即， ， 时，，两式相减得， 时，，故数列为常数列， 因为，故， 又时也符合上式，故， ， ． 记， 则， 两式相加得，，即，则． 故答案为： 36．已知函数，数列为等比数列，，且，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，则 . 【答案】4034 【分析】倒序相加法求和. 【详解】令① 则也有② 由， ，即有， 可得：， 于是由①②两式相加得， 所以. 37．已知函数. (1)若为奇函数，求； (2)求. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意，得到，由为奇函数，结合，即可求解； （2）根据指数幂的运算法则，求得，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）解：由函数， 可得， 因为为奇函数，则满足，解得， 当时，可得，其定义域为关于原点对称， 且，所以为奇函数，满足题意， 所以实数的值为. （2）解：由函数，可得， 所以， 设， 则 两式相加得 因为，所以，可得，所以. 38．已知数列的前项和为，且，设函数，则 . 【答案】 【分析】当时，求出的值，当且时，由可得，两式作差可得出的表达式，进而由与的关系可求出数列的通项公式，求出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】因为数列的前项和为，且， 当时，则，所以， 当且时，由可得， 上述两个等式作差得， 所以，满足， 故对任意的，， 当且时，，也满足， 故对任意的，， 因为， 记， 则， 所以， ， 故. 故答案为：. 39．若等差数列满足，则（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案. 【详解】由等差数列满足， 则对于，当时，， 则， 设，则， 两式相加可得，解得. 故选：C. 40．已知，若等比数列满足，则（   ） A． B．1013 C．2025 D．2026 【答案】D 【分析】由等比数列的性质可得，再计算，再利用倒序相加计算结果． 【详解】因，数列是等比数列，有， 因为，所以， 故有 设， 则， 则， 则. 故选：D. 题型五：含绝对值数列求和 41．已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前项的和即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 又时，也满足上式， 所以， 所以当时，，当时，， 所以 . 故选：C 42．已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 43．设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）先将用公式求出的值，将整理得到，从而得到的值，再求出公差，利用代入和求出； （2）先由求出和，再按照和（）分情况讨论求出即可. 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 44．记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)．(2) 【分析】（1）首先利用数列与的关系式，转化为数列的递推关系式，再通过构造求数列的通项公式； （2）由（1）可知，分和两段，集合数列的特征，和数列的前项和，分别求数列的和. 【详解】（1）由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 45．在等差数列中，，，记数列的前项和为，则（   ） A． B．取最小值时， C．数列是递增数列 D．数列的前10项和为50 【答案】ACD 【分析】A选项，设出公差，根据条件得到方程，求出公差，进而求出首项；B选项，表示出，求出时，取得最小值，B错误；C选项，求出，故，C正确；D选项，求出通项公式，当时，，当时，，从而利用求出的前10项和. 【详解】A选项，设的公差为，则， 即，解得， 故，所以，A正确； B选项，， 当时，取得最小值，B错误； C选项，，故， 所以为递增数列，C正确； D选项，， 当时，，当时，， 的前10项和为，D正确. 故选：ACD 46．在数列中，，，则等于（   ） A．630 B．648 C．660 D．675 【答案】C 【分析】根据题意可得数列是首项为，公差为的等差数列，去绝对值后利用分组求和的方法即可求出结果. 【详解】依题意，由，得，数列是首项，公差的等差数列， 则，当时，，当时，， 所以 . 故选：C 47．在等差数列中，，，的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出等差数列的公差和首项，即可求得通项公式； （2）判断数列的项的正负情况，讨论的取值，结合等差数列的前项和公式，即可求得答案． 【详解】（1）由题意知在等差数列中，，，设公差为， 则，则， 故，故通项公式． （2），由，得， 即时有，时有， 若，， 若时， ， 综合上述，． 48．记数列的前n项和为，已知，． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前n项和； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）将题干式子变形得，利用与的关系化简可得，根据等差数列通项公式计算即可； （2）求得的通项公式，分类讨论求和即可； （3）由题意得，利用裂项相消求和即可. 【详解】（1），得， 当时，有， 得， 化简可得， 因为，所以，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以； （2）由（1）可得， 当时，， 当时，， 综上，； （3）由（1）可得， 则. 49．已知是数列的前项和，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，当时，可得，两式相减得到，再求得，结合等比数列的定义，即可得证； （2）由（1）得到，求得则，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】（1）解：由数列满足，当时，可得， 两式相减，可得，即，即， 当时，，即，解得， 所以数列是首项为，公比的等比数列. （2）解：由（1）可得数列的通项公式为， 则， 令，可得数列的前项和为， 当时，可得； 当时，可得 ， 所以数列的前项和. 50．已知数列的前项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．取最小值时 C．数列是等差数列 D． 【答案】ACD 【分析】根据给定的前项和公式，结合等差数列逐项分析求解. 【详解】对于A，当时，， 而满足上式，因此，A正确； 对于B，由选项A知，数列单调递增，由，得，即数列前5项均为负数， 第6项为0，从第7项起为正数，取最小值时或，B错误； 对于C，，数列是等差数列，C正确； 对于D， ，D正确. 故选：ACD 题型六：含（-1）n数列求和 51．记数列的前n项和为，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由化简条件可得数列是公差为3的等差数列，利用等差数列通项公式求解即可. （2）利用分组求和裂项相消求和即可. 【详解】（1）由已知，，即，即，所以数列是公差为3的等差数列 因为，则 因为，所以的通项公式是. （2）因为，则 因为，则 所以. 52．已知为等差数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前100项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）由已知条件求出等差数列的首项和公差，进而求得的通项公式； （2）将的通项公式代入，得数列的通项公式，根据等比数列的求和公式求前10项的和，用并项求和的方法求第11项到第100项的和，即可求出数列的前100项和. 【详解】（1）设数列的公差为，由，得，即， 由，得，解得，， 所以的通项公式是. （2）由（1）知， ， 则 所以. 53．设是等差数列，是等比数列，且. (1)求与的通项公式； (2)设的前项和为，求证：； (3)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解； （2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证； （3）由并项求和可得，再结合错位相减法可得解. 【详解】（1）设公差为d，公比为，则， 由可得（舍去）， 所以； （2）因为，所以要证， 即证，即证， 即证， 而显然成立，所以； （3）因为 ， 所以 所以， 则， 作差得 ， 所以， 54．已知等比数列的各项均为正数，，，成等差数列，且满足，数列的前n项和，，且. (1)求数列和的通项公式； (2)设，求的前项和； 【答案】(1)，(2) 【分析】（1）由等差数列定义和等比数列通项公式可构造方程求得公比，进而得到，由等比数列通项公式可求得；利用可得到，利用累乘法可求得； （2）由（1）可得，进而整理得到，将相邻两项看作一组，采用分组求和的方式，分别根据等差数列求和公式和错位相减法求得两个部分的和，由此可得. 【详解】（1）设等比数列的公比为， ，，成等差数列，，即，，，解得：或（舍）； ，，即，解得：，； 当时，，整理可得：， ； 经检验，当时，满足， 综上所述：. （2）由（1）得：， ， 令，则其前项和； 令， 则其前项和， ， ，， . 55．已知等差数列的公差为，且，设为的前项和，数列满足 (1)若，，且，求； (2)若数列也是公差为的等差数列 ①求数列的通项公式； ②求数列的前项和. 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）由及，即可求； （2）①设及求出，确定；②分为奇偶讨论求和. 【详解】（1）， 所以， 因为，所以，即， 解得，又，所以. （2）①因为， 所以， 因为是公差为的等差数列，所以可设为， 所以， 所以，又，所以解得 所以； ②， 当时， ； 当时， ； 综上，，即. 56．已知等差数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的值. 【答案】(1)；(2)100或97 【分析】（1）设出公差，利用等差数列通项公式和求和公式得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）得到，分为偶数和奇数两种情况，分组求和，进而分为奇数和偶数，求出答案. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以的通项公式为； （2）， ， 若为偶数，则， 若为奇数，则， ，若为偶数，则，解得， 若为奇数，则，解得， 综上，或97 57．已知是各项均为正数的数列，为前n项和，且，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)求证：； (3)已知，求数列的前项和. 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【分析】（1）根据的关系可证明为等差数列，即可求解， （2）利用放缩法可得，即可由裂项相消法求和得解， （3）对分奇偶，即可利用平方差公式，结合等差数列求和公式即可求解. 【详解】（1）由，，成等差数列，得，① 当时，， ∴，得（舍去）， 当时，，② ①-②得，， ∴， 又，∴， ∴是首项为2，公差为1的等差数列， ∴，故； （2）， 故 （3）由（1）知， 当是奇数时， ， 当是偶数时， ， 综上. 58．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，记，则数列的前2024项和是 ． 【答案】 【分析】解法1观察数列得：当为偶数时，，当为奇数时，，进而得，最后利用等差数列前项求和公式即可求解； 解法2由数列的前10项推出数列的前10项，观察得，，最后利用等差数列前项求和公式即可求解. 【详解】解法1： 可知，当为偶数时，，当为奇数时，， 因为， 所以数列的前2024项和为 ． 故答案为：. 解法2： 已知该数列的前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50， 则数列的前10项依次是0，2，，所以， ，， 可得数列的前2024项和为． 故答案为: . 59．已知数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）令求得；当时，由求解，再检验适合，即可得解； （2）采用分组求和的方式，分为偶数和为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别求和. 【详解】（1）因为数列的前项和，，所以； 当时，， 又适合上式，所以； （2）， 所以数列的前项和， 当为偶数时，， 当为奇数时， . 综上，. 60．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）先求解的表达式，再利用求解间关系，最后化简得到的通项公式； （2）先写出的通项公式，求和写成分组求和的形式，再分别求两组数列的和，最后相加得到的前项和； 【详解】（1）因为，所以， 则， 故． （2）由（1）知，从而， 所以 ， 又因为， 且 ， 所以． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $