第四章 数列（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

第四章 数列 教学目标 1.能从具体实例中归纳、概括出数列的表示方法（表格、图象、递推关系和通项公式）． 2.能根据数列的通项公式，写出任意项．能理解递推公式中体现的是项与项之间的迭代关系,并能根据递推公式选择恰当的方法求出数列通项公式． 3.能理解数列的前n项和公式的定义,并会根据数列的前n项和公式求出数列的通项公式 4.会类比函数的“定义—表示方法—性质“的研究路径来研究数列，会用函数思想解决数列问题． 5.会从具体的情景中抽象出数列模型，进而应用数学知识解决实际问题． 6.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数． 7.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．体会等差数列与一元一次函数的关系． 8.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系． 9.了解数学归纳法的原理及其过程。 教学重难点 1.重点 利用递推关系求通项公式；数列求和.数列的情境问题，数学归纳法，数列与其它模块知识交汇问题. 2.难点 数学归纳法，数列与其它模块知识交汇问题. 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照_________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用_________表示．其中第1项也叫做_________． 注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的_________ 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 【即学即练】 1．数列 1，2，3，4 和数列 1，3，2，4 （是/不是）同一数列. 2．设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 知识点02 数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】 1．已知数列中，，，则的前12项和为（   ） A．12 B．15 C．18 D．20 2．给出以下数列：①、、、、；②、、、、、；③、、、、；④、、、、、.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；常数列为 .（填序号） 知识点03 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的_________的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的_________，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个_________来表示，那么这个_________就叫做这个数列的_________． 【即学即练】 1．数列满足，，则 . 2．若数列满足，，则（   ） A． B． C．4 D． 知识点04 数列的前n项和Sn与an的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn＝_________. 2．数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝_________，则不需要分段． 【即学即练】 1．已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则 . 知识点05 数列的性质 （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则_________若an最小，则_________ （2） 数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 【即学即练】 1．已知数列满足则（   ） A． B． C． D． 2．下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 知识点06 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝__________________， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为_________，在y轴上的截距为_________ ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加_________. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 【即学即练】 1．设等差数列满足，，则的首项为 . 2．已知数列满足，，则 ． 知识点07 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是_________; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 【即学即练】 1．记为数列的前项之积，已知，则 . 2．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 知识点08 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是_________ （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 【即学即练】 1．已知等差数列中，，则（ ） A．3 B．6 C．9 D． 2．若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 知识点09 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 【即学即练】 1．设数列满足且，是前项和，且，，则（    ） A． B． C．1012 D．1011 2．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 知识点10 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为_________； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,__________________ （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 【即学即练】 1．等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 知识点11 等差数列的前n项和的最值 (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值． 在等差数列{an}中， 当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)； 若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取_________，当，时，满足的项数使得取_________. (2)利用等差数列的前n项和：Sn＝n2＋n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解. 【即学即练】 1．记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 2．在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何． 知识点12 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用_________的性质来研究等比数列． 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 【即学即练】 1．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项之积. 2．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 知识点13 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 【即学即练】 1．记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 2．已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点14 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝_________(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 【即学即练】 1．在数列中，若，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 2．已知各项为正的数列的前n项和为，且，则（  ） A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D．数列中不存在小于的项 知识点15 等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （2）在等比数列中，对任意，，_________； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则__________________，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. （6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （7）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 【即学即练】 1．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 2．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 知识点16 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：（1）等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． （2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中_________，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个 （3）注意求和公式中是_________，通项公式中是_________不要混淆； （4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. （5）等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. （Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.） 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 【即学即练】 1．在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（    ）． A．2048 B．2047 C．1024 D．1023 2．已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 知识点17 等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，_________仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). _________ 【即学即练】 1．已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 2．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 知识点18 等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 【即学即练】 1．某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 题型01 等差等比定义求通项 【典例1】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】已知数列的前项和为，满足，则（  ） A． B． C． D． 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 【变式1】已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 【变式2】已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 题型02 利用与的关系 【典例1】已知数列的前项和为，且，则 ． 【典例2】数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写 【变式1】若数列的前项和，则 ． 【变式2】数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 题型03 累加法与累乘法求通项 【典例1】在数列中，，则 . 【典例2】已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． （1）累加法：形如的解析式 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 【变式1】已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【变式2】已知数列满足，且对任意，有，则 . 题型04 构造法求通项 【典例1】已知数列，则数列的通项公式 ． 【典例2】数列中，，，则是这个数列的第几项（    ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 (1)形如型的递推式： ①待定系数法：（其中均为常数，） 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解. ②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解. ③待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. ④待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. (2)形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【变式1】设为数列的前项和，，则 【变式2】已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 题型05 分式型求通项 【典例1】已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 【典例2】数列中，，求. 取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 【变式1】已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【变式2】由，给出的数列的第34项是（   ） A． B． C． D． 题型06 分组转化法求和 【典例1】已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和． (1)求通项公式及； (2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和． 【典例2】已知数列满足，且，则其前2023项之和＝ . 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． 注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【变式1】在等差数列中，，在等比数列中，，公比. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式2】等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 题型07 倒序相加法求和 【典例1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【典例2】已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 【变式1】已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【变式2】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 题型08 裂项相消法求和 【典例1】已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【典例2】已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 常见的裂项技巧 ①等差型 （1）（2）（3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10） ②根式型 （1）（2） （3）（4） （5） ③指数型 （1）（2） （3） （4）（5） （6），设，易得，于是 （7） 【变式1】已知数列中，为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式. (2)若，记数列的前项和，证明＜1. 【变式2】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 题型09 错位相减法求和 【典例1】在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【典例2】已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【变式1】在数列中，. (1)求，，； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【变式2】数列满足，且时，有． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，试求． 1．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 2．若等比数列满足已知，，则的公比为（   ） A． B．2 C． D．4 3．记为等差数列的前项和，已知，则（   ） A．22 B．24 C．28 D．36 4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 5．记为等差数列的前项和，若，，则 （    ） A． B． C． D． 6．在等差数列中，，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 7．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 . 8．已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 9．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 10．设公比为的等比数列的前项和为，若，则 . 11．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 12．已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 13．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，若，求n的值． 14．已知数列的前项和为，解决下列问题. (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； 15．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 数列 教学目标 1.能从具体实例中归纳、概括出数列的表示方法（表格、图象、递推关系和通项公式）． 2.能根据数列的通项公式，写出任意项．能理解递推公式中体现的是项与项之间的迭代关系,并能根据递推公式选择恰当的方法求出数列通项公式． 3.能理解数列的前n项和公式的定义,并会根据数列的前n项和公式求出数列的通项公式 4.会类比函数的“定义—表示方法—性质“的研究路径来研究数列，会用函数思想解决数列问题． 5.会从具体的情景中抽象出数列模型，进而应用数学知识解决实际问题． 6.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数． 7.通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题．体会等差数列与一元一次函数的关系． 8.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义．探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．体会等比数列与指数函数的关系． 9.了解数学归纳法的原理及其过程。 教学重难点 1.重点 利用递推关系求通项公式；数列求和.数列的情境问题，数学归纳法，数列与其它模块知识交汇问题. 2.难点 数学归纳法，数列与其它模块知识交汇问题. 知识点01 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 注：数列的第n项与项数n：数列{an}的第n项为an，an在数列{an}中的项数为n 2.数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 3.对数列概念的理解 （1）数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． （2）数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． （3）数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 【即学即练】 1．数列 1，2，3，4 和数列 1，3，2，4 （是/不是）同一数列. 【答案】不是 【分析】根据数列的定义判断. 【详解】因为第二，第三项不同， 所以数列是两个不同的数列， 故答案为：不是 2．设、、、是1、2、3、4、5、6、7、8的一个排列，，则集合中所有元素的和为 ． 【答案】 【分析】设，，，，分析可得出的最大值为16，最小值为，列表分析能取到区间内的所有偶数，即可得出集合中所有元素之和. 【详解】对于集合中的元素，不妨设，，，， 则 为偶数， 根据题意可知，，，，， 则， 不妨取，此时，取最小值， 当取最小值时，最大，且的最小值为， 则的最大值为，接下来验证可取内的所有偶数， 对取特殊值进行验证，列表如下： 因此，集合的所有元素之和为. 故答案为： . 知识点02 数列的分类 分类标准 类型 含义 按项数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，即恒有an＋1>an(n∈N*) 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列，即恒有an＋1<an(n∈N*) 常数列 各项都相等的数列，即恒有an＋1＝an(n∈N*) 按其他 标准 周期数列 一般地，对于数列{an}，若存在一个固定的正整数T，使得an＋T＝an恒成立，则称{an}是周期为T的周期数列 按其他 标准 有界(无界)数列 任一项的绝对值都小于某一正数的数列称为有界数列，即∃M∈R，|an|≤M，否则称为无界数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】 1．已知数列中，，，则的前12项和为（   ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据已知条件，将数列的前12项和进行分组，然后计算每组的和，最后求出总和. 【详解】数列的前12项和. 根据，可将上式分组为. 由可知，每组的和都为. 一共有组，每组和为，所以. 故选：C. 2．给出以下数列：①、、、、；②、、、、、；③、、、、；④、、、、、.其中，有穷数列为 ；无穷数列为 ；递增数列为 ；递减数列为 ；常数列为 .（填序号） 【答案】 ②④ ①③ ② ④ ③ 【分析】利用数列的概念、单调性判断即可. 【详解】有穷数列为②④；无穷数列为①③；递增数列为②；递减数列为④；常数列为③. 故答案为：②④；①③；②；④；③. 知识点03 数列的表示方法 1．列表法 列出表格来表示数列{an}的第n项与序号n之间的关系．见下表： 序号n 1 2 3 … n … 项an a1 a2 a3 … an … 2．图象法 在平面直角坐标系中，数列的图象是一系列横坐标为正整数的孤立的点(n，an)． 3．通项公式法 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数的表达式． 注：通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 4．递推公式法 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 【即学即练】 1．数列满足，，则 . 【答案】 【分析】根据递推公式，代入即可求得. 【详解】由题意， 故答案为：. 2．若数列满足，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用递推公式求数列的前几项，观察可得数列的周期性，可得. 【详解】因为，，， ，… 所以数列是以3为周期的周期数列. 所以. 故选：C 知识点04 数列的前n项和Sn与an的关系 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即 Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．数列的前项和和通项的关系：则 特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段． 【即学即练】 1．已知数列的前n项和满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据求解，再结合求解通项公式，根据选项即可判断. 【详解】因为，时，， 又，也适合，所以， 故AC正确；BD错误. 故选：AC 2．已知数列满足，则 . 【答案】4100626 【分析】由题意，利用直接求解即可. 【详解】因为， 所以， ∴. 故答案为：. 知识点05 数列的性质 （1）数列的单调性----递增数列、递减数列或是常数列； 在数列{an}中，若an最大，则若an最小，则 （2） 数列的周期性. 根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前n项的和． 【即学即练】 1．已知数列满足则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A，直接代入即可判断；对B，化简得，再结合对勾函数的单调性即可判断数列单调性；对C，利用裂项求和法即可判断；对D，利用不等式性质进行放缩即可. 【详解】对A，，令得，即，解得，故A正确； 对B，，，由，可得，则，根据对勾函数性质知在上单调递增， 且，当且仅当时等号成立， 则在上单调递减，则为递减数列，从而，故B正确； 对C，由得， ，故C正确； 对D，因为，且，， ，结合，则，故D不正确， 故选：ABC． 2．下列数列的通项公式中，是递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据数列单调性定义，验证的正负即可． 【详解】对于A，，数列为递减数列，故A错误； 对于B，，数列为递增数列，故B正确； 对于C，，数列为递增数列，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：BCD． 知识点06 等差数列的有关概念 1.等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：；⇒当d≠0时，an是关于n的一次函数模型． 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 其中，①的几何意义是点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上． ②可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1. ③可用来由等差数列任两项求公差． 3.从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 4.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 【即学即练】 1．设等差数列满足，，则的首项为 . 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及通项公式列式计算. 【详解】. 故答案为：18 2．已知数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】由得数列是以2为公差，首项为1的等差数列，进而求解. 【详解】由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 知识点07 等差数列的四种判断方法 (1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； (2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; (3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; (4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; (5)是等差数列⇔是等差数列. 【即学即练】 1．记为数列的前项之积，已知，则 . 【答案】 【分析】分析可知数列是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，整理可得， 可知数列是首项为3，公差为2的等差数列， 则，即， 所以. 故答案为：. 2．已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一：分析可知数列是首项为，公差为1的等差数列，结合等差数列运算求解；方法二：根据递推公式求，发现规律，结合选项可得结果. 【详解】方法一：由题意可得：，则， 可得，即， 可知数列是首项为，公差为1的等差数列， 则，即，所以； 方法二：因为，， 可得，，， 据此可以发现规律，所以． 故选：C． 知识点08 等差数列的性质 （1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，； （2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)； （4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列 （5）若数列是等差数列,则仍为等差数列． （6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 【即学即练】 1．已知等差数列中，，则（ ） A．3 B．6 C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式把已知条件转化为关于首项和公差的关系式，再利用该关系式结合等差数列的性质求解． 【详解】数列是等差数列，设首项是，公差是，则， 又， ， ． 故选：C． 2．若等差数列的前三项和为7，且，则该等差数列的公差为 ． 【答案】3 【分析】由题意，求出和的值，进而可求得公差d. 【详解】设公差为d，由题意，所以， 又，所以， 所以，则该等差数列的公差为3. 故答案为：3 知识点09 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． 【即学即练】 1．设数列满足且，是前项和，且，，则（    ） A． B． C．1012 D．1011 【答案】B 【分析】依题意可得数列为等差数列，设公差为，即可求出、，再由等差数列求和公式得到，进而求解即可. 【详解】因为，所以数列为等差数列，设公差为， 因为，， 所以，解得， 所以，则， 所以，则. 故选：B 2．已知数列都是等差数列，且，，，则数列的前10项的和为（   ） A．550 B．450 C．1100 D．900 【答案】A 【分析】由等差数列的下标和性质和前项和公式求解即可. 【详解】由等差数列的性质知：， 所以数列的前10项的和为: . 故选：A. 知识点10 等差数列前n项和的性质 （1）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列，公差为n2d； （2）设数列是等差数列，且公差为， （Ⅰ）若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；＝； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；(中间项)；②. （3） 等差数列中，,则,. （4）若与为等差数列，且前项和分别为与，则. （5）若{an}是等差数列，则也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的； 【即学即练】 1．等差数列前项和为，，，则（   ） A．数列的公差为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列通项公式和求和公式逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， 对于A选项，数列的公差为，A对； 对于B选项，，，则，B对； 对于C选项，， ，，故，C错； 对于D选项，，所以，D错. 故选：AB. 2．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：D 知识点11 等差数列的前n项和的最值 (1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值． 在等差数列{an}中， 当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)； 若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值. (2)利用等差数列的前n项和：Sn＝n2＋n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值．当n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值,通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前n项和最值问题转化为二次函数的最值的方法求解. 【即学即练】 1．记为数列的前n项和，已知，，，若，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】由等差数列定义数列为等差数列，求出，利用求出，则等价于，再利用配方法求出取得最大值可得答案． 【分析】由知， 所以数列为等差数列， 又，， 则等差数列的公差， 所以，，则， 故， 经检验，满足该通项公式.故， 则等价于， 故当时，取得最大值1，故的最小值为1． 故选：A. 2．在等差数列中，，数列的前项和为，求数列的最小项，并指出其值为何． 【答案】最小，－66． 【分析】计算等差数列的基本量，进而得，利用等差数列前项和得，最后利用二次函数即可求解. 【详解】设公差为，由题意有， 所以， 则， 由对称轴为，又，所以当时，即最小，最小值为－66． 知识点12 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 【即学即练】 1．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出首项和公差即可得解； （2）根据等差数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，成等比数列， 得，解得（舍去）， 所以； （2）由（1）得， 设数列的前n项之积为， 则. 2．在等比数列中，是方程的两个根，则（    ） A． B．6 C．36 D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理及等比数列的性质求解. 【详解】∵是方程的两个根， ∴， 由， ∴由. 故选：D. 知识点13 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 1．当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n)． 2．任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为ka，公比为a. 【即学即练】 1．记等比数列的公比为，前项和为，已知，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等比数列 C．若，则数列的前n项和为 D．若，则存在正整数M，使得当时， 【答案】CD 【分析】根据等差中项和等比数列的通项公式求公比，可判断A；当时，，可判断B；先求数列的通项公式，再利用对数运算得数列的通项公式，判断为等差数列，利用前n项公式即可判断C；由指数函数与一次函数增长速度可判断D. 【详解】对于A，由题意，，又，则，解得或，故A错误； 对于B，当时，，则，，成等比数列不成立，故B错误； 对于C，由题意，，则，则， 所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以前n项和为，故C正确； 对于D，由题意，，则，， 因为呈指数增长，呈线性增长， 因此当足够大时，必有，故D正确. 故选：CD. 2．已知等比数列是递减数列，是其公比，则下列说法一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据等比数列的单调性求解判断. 【详解】，为递减数列， 则或. 故BD正确. 故选：BD. 知识点14 等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1．定义法：＝q(n∈N*且n≥2，q为不为0的常数)； 2．等比中项法：a＝an－1an＋1(n∈N*且n≥2)； 3．通项公式法：an＝a1qn－1. 【即学即练】 1．在数列中，若，则下列结论正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C．是等差数列 D．是等差数列 【答案】ABD 【分析】利用等比数列和等差数列的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，因为，所以是等比数列，故A正确； 对于B，因为，所以是等比数列，故B正确； 对于C，因为不为常数，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，因为， 所以是等差数列，故D正确. 故选：ABD. 2．已知各项为正的数列的前n项和为，且，则（  ） A． B．数列是等比数列 C．数列是递减数列 D．数列中不存在小于的项 【答案】AC 【分析】由时，，即可计算判断A；根据递推关系计算出，再结合数列是等比数列得，再将其代入检验即可得判断B；根据为单调递增数列得，进而根据并结合单调性判断C；随着增大，递减且趋近于 0，即可判断D. 【详解】对于A，因为各项为正的数列的前n项和为，且， 所以，当时，， 因为，所以，，故A正确； 对于B，当时，，即， 因为数列的各项为正，所以， 当时，，即 若数列是等比数列，则，得， 代入，不满足， 所以数列是等比数列不成立，故B错误； 对于C，因为数列的各项为正， 所以为单调递增数列，且，即， 所以，所以， 由得， 所以，即， 所以数列是递减数列，故C正确； 对于D，由C选项知，数列是递减数列，为单调递增数列， 所以，随着增大，递减且趋近于 0，必然存在小于​的项，故D错误. 故选：AC 知识点15 等比数列的性质 （1） 在等比数列中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列， 如：，，，，……；，，，，……； （2）在等比数列中，对任意，，； （3）在等比数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等比中项. 也就是：，如图所示：. （4）若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． （5）在等比数列{an}中按序号从小到大取出若干项：若k1，k2，k3，…，kn，…成等差数列，那么是等比数列. （6）公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即，，，…成等比数列，且公比为. （7）等比数列的单调性 当或时，为递增数列，当或时，为递减数列． 【即学即练】 1．已知数列是各项为正数的等比数列，其前项和为，且与的等差中项为4，则公比为 ． 【答案】2 【分析】根据条件得，再由，得，解方程即可,注意公比为正数的取舍问题. 【详解】因为与的等差中项为4，所以，又，各项为正数,所以公比为正数， 所以，解得:或(舍). 故答案为：2 2．已知等差数列的前n项和为，等比数列的前n项积为，，，则（    ） A．32 B．34 C．65 D．67 【答案】C 【分析】由等差数列和等比数列的性质与求和、求积，可得所求和． 【详解】等差数列的前项和为，等比数列的前项积为， 且，， 则． 故选：C． 知识点16 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：（1）等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． （2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个 （3）注意求和公式中是，通项公式中是不要混淆； （4）应用求和公式时，必要时应讨论的情况.在应用公式求和时，应注意到Sn＝的使用条件为q≠1，而当q＝1时应按常数列求和，即Sn＝na1. （5）等比数列前n项和公式的函数特征 当公比q≠1时，设A＝，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).即Sn是n的指数型函数. （Sn＝＝－qn＋，设A＝－，则Sn＝Aqn－A.） 当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数. 【即学即练】 1．在数列中，，若数列是公比为2的等比数列，则（    ）． A．2048 B．2047 C．1024 D．1023 【答案】D 【分析】根据等比数列定义得数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列，再应用等比数列前n项和公式求解即可． 【详解】数列是公比为2的等比数列，则有，所以， 因此数列的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以. 故选：D 2．已知正项数列满足， (1)若是等比数列，求的通项公式 (2)若，求数列的前2n项的和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列通项公式列式求得，进而求出通项公式； （2）由题目递推式得，则有，因此数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可． 【详解】（1）因为数列是等比数列，设公比为， 所以， 所以，所以； （2）因为，，所以， 因为，所以，所以， 所以， 则． 知识点17 等比数列前n项和的性质 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即Sn≠0. 2．{an}为等比数列，若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列． 3．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)⇔qn＝(q为公比)． 4．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： （1）在其前2n项中，＝q； （2）在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1). S奇＝a1＋qS偶． 【即学即练】 1．已知等比数列的首项为，前项和为．若，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】由和两类情况，结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】由，可得， 当时，，所以， 当时，，所以. 故答案为： 2．已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 知识点18 等比数列前n项和的实际应用 1．解应用问题的核心是建立数学模型． 2．一般步骤：审题、抓住数量关系、建立数学模型． 3．注意问题是求什么(n，an，Sn)． 【即学即练】 1．某人工智能模型在语言训练时，每轮训练的模型参数的数量会发生变化．记第一轮训练的模型参数的数量为，若从第二轮开始，每一轮与它前一轮相比较，训练的模型参数增加的数量可以看成一个以为首项，公比为3的等比数列，则第五轮训练的模型参数的数量为 ．（用含的式子表示） 【答案】41t 【分析】由题意求等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设表示该模型第轮比第轮参数增加的数量， 则，， 所以是首项为，公比为3的等比数列，通项公式为：， 所以，第一轮参数为， 第二轮参数增加的数量为， 第三轮参数增加的数量为， 第四轮参数增加的数量为， 第五轮参数增加的数量为， 所以第五轮训练的模型参数的数量为. 故答案为： 2．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤.问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第 5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤.问原来持金多少?”.记这个人原来持金为斤，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算每关收税金，由5关所收税金之和为1斤，列出方程，求出的值. 【详解】由题意知：这个人原来持金为斤， 第1关收税金为：斤； 第2关收税金为斤； 第3关收税金为斤， 以此类推可得的，第4关收税金为斤，第5关收税金为斤， 所以， 即，解得. 故选：C. 题型01 等差等比定义求通项 【典例1】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 【典例2】已知数列的前项和为，满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与的关系，得出数列的递推公式，从而利用构造法求得数列的通项公式.进而求得. 【详解】因为，所以当时， ，所以. 当时，， 所以， 化简得. 所以. 因为，所以是首项为4，公比为2的等比数列. 所以. 所以. 故. 故选：B. 等差数列判定： ①定义法：“欲证等差，直接作差”，即证an＋1－an＝定值； ②等差中项法：即证2an＋1＝an＋an＋2； ③函数结论法：即an为一次函数或Sn为无常数项的二次函数. 等比数列的判定方法： (1)定义法：“欲证等比，直接作比”，即证＝q(q≠0的常数)⇔数列{an}是等比数列； (2)等比中项法：即证a＝an·an＋2(anan＋1an＋2≠0，n∈N*)⇔数列{an}是等比数列． 【变式1】已知数列的前项和为，，且，则（   ）． A．不是等比数列 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】当时，可求出的值；当时，由得，两式作差可得出，可求出数列的通项公式，逐项判断即可. 【详解】因为数列的前项和为，，且， 当时，， 当时，由得， 上述两个等式作差得，可得，但， 所以数列从第二项开始成公比为的等比数列， 故当时，，所以， 对于A选项，数列不是等比数列，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 【变式2】已知首项为1的数列，其前n项积是公差为3的等差数列，则＝（   ） A．4 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据数列的前n项积为等差数列，得等差数列的通项，进而得所求项. 【详解】因为数列的首项为1，且其前n项积是公差为3的等差数列. 所以，令，得. 所以数列是公差为3，首项为1的等差数列. 故，即. 所以. 故选：C. 题型02 利用与的关系 【典例1】已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】利用条件先计算，再求，作差即可. 【详解】由题意可知. 故答案为： 【典例2】数列的前n项和，则（    ） A．140 B．120 C．40 D．52 【答案】D 【分析】利用与的关系即可求解. 【详解】由，得. 故选：D 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写 【变式1】若数列的前项和，则 ． 【答案】7 【分析】由求解即可. 【详解】由与的关系可知． 故答案为：7. 【变式2】数列的前n项和记为，已知，（），求证：数列是等比数列； 【答案】证明见解析 【分析】由化简已知条件，得到，从而证得数列是等比数列. 【详解】证明：∵，， ∴. 即，∴，而， 故是以2为公比的等比数列. 题型03 累加法与累乘法求通项 【典例1】在数列中，，则 . 【答案】 【分析】由裂项法即可求解. 【详解】 . 故答案为：. 【典例2】已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. （1）累加法：形如的解析式 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 【变式1】已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【变式2】已知数列满足，且对任意，有，则 . 【答案】 【分析】利用累加法求得. 【详解】依题意， ， ， ， ， …… ， ， 上述个式子相加得. 故答案为： 题型04 构造法求通项 【典例1】已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 【典例2】数列中，，，则是这个数列的第几项（    ） A．100项 B．101项 C．102项 D．103项 【答案】A 【解析】由条件可得，则，进而可求出数列的通项公式，令，求出值即可. 【详解】解：由，得， 则， ， 令，得. 故选：A. (1)形如型的递推式： ①待定系数法：（其中均为常数，） 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解. ②待定系数法： （其中均为常数，）.（或其中均为常数）. 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第①种情况求解. ③待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. ④待定系数法： 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列. (2)形如型的递推式： 用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型． 【变式1】设为数列的前项和，，则 【答案】15 【分析】利用及给定递推公式变形，构造常数数列求出，再利用对数运算法则及等差数列前项和公式求解. 【详解】在数列中，，当时，， 两式相减得，即，则， 因此数列是常数列，，则， 由，得，当时，， 令，则， 因此，所以. 故答案为：15 【变式2】已知为数列的前项和，若，则等于（   ） A．2026 B．2025 C．0 D．1013 【答案】D 【分析】根据，结合已知条件，得到数列的递推关系.利用累乘法求得，代入2027求得；或先求出，再求得. 【详解】因为，所以 即. 所以. 因为，所以. 所以……. 由累乘法得：. 所以，，， 所以. 方法二： 因为，所以. 两式相减，得，即. 由，得. 所以. 所以. 故选：D. 题型05 分式型求通项 【典例1】已知数列满足，则下列结论正确的是（    ） A．为等比数列 B． C．的前项和 D．的前项和 【答案】ACD 【分析】根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式，判断数列单调性，根据分组求和法，裂项求和法，求出数列前项和；逐一判断各选项正误，求出结果. 【详解】由得，化简得，即， 所以，因为，所以是以2为首项，以2为公比的等比数列，A正确； 由是以2为首项，以2为公比的等比数列，可得， 求得，， 可知恒正，且随着的增大而增大，所以随着的增大而减小，所以B错误； 由可得，所以C正确； 由， 得， 所以D正确； 故选：ACD. 【典例2】数列中，，求. 【答案】 【分析】根据条件，化简整理可得为等差数列，根据公式，可得，代入数据，即可得答案. 【详解】因为， 所以，即， 又，则， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以， 所以，所以. 取倒数法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求； 还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 【变式1】已知数列的首项，且，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】根据递推数列得数列是首项为1，公比为的等比数列即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以数列是首项为1，公比为的等比数列， 所以，即． 故答案为：. 【变式2】由，给出的数列的第34项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对两边取倒数,变形得,由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】对已知递推式两边取倒数，得，即． 这说明数列是以为首项，3为公差的等差数列， 从而有， 即， 故选:B． 题型06 分组转化法求和 【典例1】已知是首项为，公差为的等差数列，为的前项和． (1)求通项公式及； (2)设是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式及其前项和． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）根据等差数列通项公式，代入，求得通项公式，再根据等差数列前项和公式求得. （2）由等比数列通项公式求出的表达式，结合第（1）问中通项公式得到的通项公式，即可得的公式，构造和分别处理两个求和部分，再通过错位相减、化简即可得到结果. 【详解】（1）由已知得，，则， 所以. （2）由已知得，，又由（1）得， 所以， 则. 令， 则， 所以， 即； 令，则， 所以. 【典例2】已知数列满足，且，则其前2023项之和＝ . 【答案】3034 【分析】利用分组求和并结合等差数列求和公式可得答案. 【详解】由题意得 . 故答案为：3034 有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 分组转化法求和的常见类型 (1)若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组转化法求{an}的前n项和． 注：①形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ②形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 ③形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加减 (2)通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组转化法求和． 注：（1）分奇偶各自新数列求和（2）要注意处理好奇偶数列对应的项： ①可构建新数列；②可“跳项”求和 (3)正负相间求和： ①奇偶项正负相间型求和，可以两项结合构成“常数数列”。 ②如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【变式1】在等差数列中，，在等比数列中，，公比. (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用等差数列性质求出公差，进而求出通项公式；直接求出等比数列通项公式. （2）利用分组求和法及等差数列、等比数列前项和求解. 【详解】（1）在等差数列中，，则公差，； 在等比数列中，，公比，则， 所以数列和的通项公式分别为，. （2）由（1）得， 所以数列的前项和 . 【变式2】等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D. 【详解】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 题型07 倒序相加法求和 【典例1】已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前n项和的方法探求：若，则 ． 【答案】4050 【分析】根据可得，结合函数得到当时，，进而结合倒序相加法求解即可. 【详解】正数数列是公比不等于1的等比数列，， 则， 由，当时，， 于是， 令， 则， 因此， 所以. 故答案为：4050. 【典例2】已知，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倒序相加法即可求解 【详解】因， 且① 则，② 由①+②可得：， 故. 故选：C. 如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前n项和公式的推导便使用了此法. 用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽. 【变式1】已知函数，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）应用倒序相加结合正弦函数的奇偶性计算求解得出通项公式； （2）应用裂项相消计算即可证明. 【详解】（1）因为， 所以． 当时，， 所以， 所以，即当时，． 又当时，，所以数列的通项公式为． （2）， 所以． 所以． 【变式2】高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称.小学进行的求和运算时，他这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试根据提示探求：若，则 . 【答案】1012 【分析】利用高斯算法可推出，再利用等比数列性质即可类比得出. 【详解】根据可得， 所以； 由等比数列性质可得， 因此可得. 故答案为： 题型08 裂项相消法求和 【典例1】已知数列的前项和为，且． (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)记，记数列的前项和为． ①求；②对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)①；②． 【分析】（1）根据给定的递推公式，结合及等比数列定义推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得；②按奇偶求出的最小值即可. 【详解】（1）在数列中，，当时，， 两式相减得，整理得，即， 而，即，则， 所以数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，， 经检验当也符合. （2）①由（1）知，，， 所以 . ②由①知，，， ， 由数列单调递增，得，因此， 由对，，得， 所以的取值范围是． 【典例2】已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且 成等差数列. (1)求数列的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设出公比，根据等差中项得到方程，求出公比，求出通项公式； （2）分组求和，利用错位相减法和裂项相消法分别求出奇数项和偶数项之和，相加即可. 【详解】（1）设公比为，， 即，故， 故，所以，解得， 又，所以； （2）， 当时，， 故 ， 设①，则②， 式子①-②得 ， 故， 所以 常见的裂项技巧 ①等差型 （1）（2）（3） （4）（5） （6） （7） （8） （9） （10） ②根式型 （1）（2） （3）（4） （5） ③指数型 （1）（2） （3） （4）（5） （6），设，易得，于是 （7） 【变式1】已知数列中，为数列的前项和，是首项为1，公差为1的等差数列. (1)求数列的通项公式. (2)若，记数列的前项和，证明＜1. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据的条件求出，再根据求出的通项公式； （2）使用裂项相消法求出，再根据表达式可判断出的范围． 【详解】（1）由已知有，所以，解得， 当时，， 又满足上式，所以． （2） ， 所以， 因为，所以， 【变式2】已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前n项和的最大值； (3)求数列前n项和． 【答案】(1)；(2)49；(3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，进而求得其通项公式. （2）由以及等差数列的单调性求得数列前项和的最大值. （3）由（1）的结论，利用裂项相消法求和. 【详解】（1）在等差数列中，由，得数列的公差， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，数列是递减数列，由，得， 因此等差数列的前项均为正数，从第项起均为负数， 所以当时，数列前项和取得最大值. （3）由（1）知， 所以. 题型09 错位相减法求和 【典例1】在等差数列中，；记为数列的前项和，且. (1)分别求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1), (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，利用的关系可得为等比数列求解， （2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）解：设数列的首项为，公差为d， ，则， 所以数列的通项公式为． 因为，所以当时，，则． 当时，，则， 所以是以首项为，公比为2的等比数列，所以． （2）因为，设数列的前项和为， ① ② ①-②得 ∴ ， 则． 【典例2】已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，根据与关系求出；将看作数列的前项和，同理可求； （2）由错位相减法求和. 【详解】（1）对于数列，当时，，解得； 当时，，与原式作差可得（）， 所以是以为首项，2为公比的等比数列，所以； 对于数列，当时，，解得， 时，， 与原式作差可得，因为，所以， 所以是以为首项，1为公差的等差数列，所以． （2）由（1）可知， 所以， 所以， 两式作差可得， 所以． 【变式1】在数列中，. (1)求，，； (2)求的通项公式； (3)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件得到，确定是首项为，公差为的等差数列，求得，即可求解； （2）由（1）即可求解； （3）由（1）得到，再由错位相减法即可求解. 【详解】（1）由， 可得：， 即， 又， 所以是首项为，公差为的等差数列， 所以，即， 所以； （2）由（1）知； （3）由（2）可得： 所以， 即， ， 所以 ， 所以. 故. 【变式2】数列满足，且时，有． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，试求． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）利用递推公式结合等差数列的判定计算即可； （2）利用错位相减法计算即可. 【详解】（1）依题意，显然，当时，有， 即，， 故构成了以1为首项，2为公差的等差数列， 且，则， 符合上式， 故； （2）记，则， 且①， ② 则②①，可得 即. 1．记是公差不为0的等差数列的前n项和，若． (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出公差后，借助等差数列求和公式与基本量计算即可得； （2）借助等差数列求和公式与作差法计算即可得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，有，即， 由，有，将代入得， 则或，又数列的公差不为， 故，则， 故数列的通项公式； （2）， 则，又，故使成立的的最大值为. 2．若等比数列满足已知，，则的公比为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】设出公比后借助等比数列性质计算即可得. 【详解】设数列的公比为，则有，， 则，即. 故选：A. 3．记为等差数列的前项和，已知，则（   ） A．22 B．24 C．28 D．36 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解. 【详解】由可得， 解得， 故， 故选：C 4．已知依次成等差数列，依次成等比数列，则的最小值是（　　） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据条件，利用等差、等比数列的性质得，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【详解】成等差数列，成等比数列， 所以，且，则， 当且仅当时取等号， 故选：A. 5．记为等差数列的前项和，若，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出公差后借助等差数列前项和公式计算即可得. 【详解】设等差数列的公差为， 则有，解得， 则. 故选：C. 6．在等差数列中，，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】由等差数列求和公式得到，再结合通项公式即可求解. 【详解】设公差为，， 即， 故， 所以. 故选：C 7．已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，利用等比中项的性质及等差数列基本量运算求得，即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 由，且，，成等比数列，知，化简得， 所以或（舍去），则. 故答案为： 8．已知均为等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中条件，即可求解公差，进而根据等差通项公式即可求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）由题意可得． 则的首项为3、公差为2，的首项为1、公差为2． 故． （2）由（1）得． 故． 则． 9．某学校为了庆祝建校60周年，计划对学校校门的梯形花坛进行美化.计划第一排摆放12个花盆，从第二排开始每排比前一排多摆放6个花盆，梯形花坛最多摆放10排，则该校花坛铺满一共需要的花盆数是（   ） A．380 B．390 C．400 D．600 【答案】B 【分析】根据题意将每排摆放花的盆数理解为等差数列，然后根据等差数列前项和进行求解即可. 【详解】记每排摆放的花盆数为，数列的前项和为. 由题意可知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故将该花坛铺满一共需要盆花. 故选：B 10．设公比为的等比数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【分析】根据等比数列的前n项和与项之间的关系，结合等比数列的性质，即可求得答案. 【详解】因为是公比为的等比数列， 故， 所以，故. 故答案为： 11．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号分析最值. 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 12．已知等比数列的各项均为正数，，为其前项和，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解出即可得解； （2）根据等比数列求和公式列方程求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由，得， 整理得， 即. 又，则，解得或. 由题知，所以， 所以数列的通项公式. （2）由题知， 令，得， 故. 13．已知是公差为2的等差数列，是公比为2的等比数列，满足． (1)求数列，的通项公式； (2)记，的前n项和分别为，若，求n的值． 【答案】(1)； (2)15 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质，列出方程组，求出参数，写出通项公式即可； （2）根据等差数列和等比数列的前项和公式，写出前项和，列出方程，求出结果即可. 【详解】（1）由题意得，， 又因为， 则，又 解得，可得， 因此，. （2）由（1）得，， 由，得，即，解得． 14．已知数列的前项和为，解决下列问题. (1)若通项公式为，求其前项和； (2)若前项和，求其通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用前项和的定义即可求解； （2）利用即可求解. 【详解】（1）由题意有：； （2）当时，，即， 当时，由； 当时，不满足上式. 所以通项公式为. 15．记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用与的关系消去，化成关于的递推式，利用等比数列的定义判断并求得通项公式； （2）化简所求数列通项，利用裂项相消法即可求得. 【详解】（1）因为①，当时，，解得． 当时，②，①－②得， 即，数列是以2为首项，4为公比的等比数列， 故． （2）由（1）得， 则 ，即． 76 / 76 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $