专题4.2.2 等差数列前n项和公式（高效培优讲义）数学人教A版2019高二选择性必修第二册

专题4.2.2 等差数列前n项和公式 教学目标 1.掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 2.会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 3.能处理与等差数列相关的综合问题。 教学重难点 1.重点 等差数列前项和的性质，等差数列前项和的最值问题，等差数列的奇数项与偶数项和. 2.难点 求数列的前项和、等差数列前项和的比值问题. 知识点01 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式：1.2, 证明：将代入可得： ①___________是数列求和的重要方法之一． ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意__________，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练】 1．已知一个多边形的周长为，所有各边的长度成等差数列，最大的边长为，公差为3，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知等差数列中，，则数列的前10项和为 . 知识点02 等差数列的前项和的有关性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是__________,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练】 1．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 知识点03 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的__________（或常数函数） 等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列；②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的__________（或一次函数） 由，令，，则：（，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值②当时，有最大值 1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数． 2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件． 3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数． 4、（其中，为常数）是数列成等差数列的__________． 【即学即练】 1．已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若，且时最小，则 B．若，，则的最大值为56 C．若，则的最大值为 D．若，且最小，则 2．已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．1是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 知识点04 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有__________，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有__________；当时，有__________．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【即学即练】 1．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 2．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 题型01 等差数列前项和的有关计算 【典例1】记等差数列的前项和为，若，则 . 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【变式1】已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 【变式2】已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【变式3】等差数列的前n项和为，则 ． 题型02 等差数列前项和的比值问题 【典例1】等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 设，的前项和为，，则． 【变式1】已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【变式3】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 题型03 等差数列前项和的性质 【典例1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　　　　 【变式1】设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【变式2】记为等差数列的前项和，若，，则 . 【变式3】已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 题型04 等差数列前项和的最值问题 【典例1】记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．取最小值时 C．是等差数列 D． （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． ②运用二次函数求最值． 【变式1】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【变式2】已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【变式3】已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 题型05 求数列的前项和 【典例1】在数列中，，则数列的前32项和为（   ） A．625 B．646 C．674 D．992 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【变式1】已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【变式3】设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 题型06 等差数列片段和的性质 【典例1】已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【变式1】已知等差数列的前项和为.若，则 . 【变式2】在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 【变式3】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 题型07 等差数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【变式1】已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【变式2】等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 1．一个饼（厚度不计），用刀切5次，最多能将其切成（   ） A．10块 B．11块 C．15块 D．16块 2．已知正项数列的前项积为，若，则（   ） A．4051 B．4050 C．2026 D．2025 3．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“为d的整数倍”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等差数列和的公差分别为，，的前n项和为，下列说法正确的有（    ）． A．是关于n的二次函数 B．是关于n的二次函数 C．数列是等差数列 D．若数列是等差数列，则 5．等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 6．已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．1024是三角形数 D． 8．设等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．已知函数，（    ） A． B． C． D． 10．年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（    ）． A． B． C． D． 11．等差数列的前n项和为，若则的值为（   ） A．30 B．60 C．45 D．15 12．等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 13．记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 14．记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 15．怡海中学高三年级甲、乙、丙、丁四位同学玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则下列说法正确的有 ①．是乙报的   ②．是丁报的 ③．甲共报了轮     ④．甲在前四轮所报数字之和大于 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.2 等差数列前n项和公式 教学目标 1.掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项。 2.会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值。 3.能处理与等差数列相关的综合问题。 教学重难点 1.重点 等差数列前项和的性质，等差数列前项和的最值问题，等差数列的奇数项与偶数项和. 2.难点 求数列的前项和、等差数列前项和的比值问题. 知识点01 等差数列的前项和公式 等差数列的前项和公式：1.2, 证明：将代入可得： ①倒序相加是数列求和的重要方法之一． ②上面两个公式均为等差数列的求和公式，共涉及、、、、五个量，已知其中任意三个量，通过解方程组，便可求出其余两个量． 【即学即练】 1．已知一个多边形的周长为，所有各边的长度成等差数列，最大的边长为，公差为3，则这个多边形的边数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】设这个多边形的最小边长为，根据等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】设这个多边形的最小边长为， 因为多边形的周长为，且最大的边长为，公差为， 可得 ，解得，即这个多边形的边数是. 故选：B. 2．已知等差数列中，，则数列的前10项和为 . 【答案】10 【分析】先根据条件求出首项与公差，再根据等差数列通项公式得，最后利用分组求和法得结果. 【详解】设等差数列的公差为. ，， ，解得 ，则， 所以数列的前10项的和为 . 故答案为：10 知识点02 等差数列的前项和的有关性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 【即学即练】 1．若成等差数列，奇数项的和为75，偶数项的和为60，则该数列的项数为（   ） A．4 B．5 C．9 D．11 【答案】C 【分析】利用奇偶数项的和及等差数列的性质有，即可求项数. 【详解】由题设，则，显然， 所以，可得，则共有项. 故选：C 2．已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得成等差数列，进而列方程求解即可. 【详解】由题知成等差数列， 即成等差数列， 即，解得. 故选：D. 知识点03 等差数列中的函数关系 等差数列的通项公式是关于的一次函数（或常数函数） 等差数列中，，令，则：（，是常数且为公差） （1）当时，为常数函数，为常数列；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． （2）当时，是的一次函数；它的图象是在直线上均匀排列的一群孤立的点． ①当时，一次函数单调增，为递增数列；②当时，一次函数单调减，为递减数列． 等差数列的前项和公式是关于的一个常数项为零的二次函数（或一次函数） 由，令，，则：（，是常数） （1）当即时，，是关于的一个一次函数；它的图象是在直线上的一群孤立的点． （2）当即时，是关于的一个常数项为零的二次函数；它的图象是在抛物线上的一群孤立的点． ①当时有最小值②当时，有最大值 1、公差不为0的等差数列的通项公式是关于n的一次函数． 2、（，是常数）是数列成等差数列的充要条件． 3、公差不为0的等差数列的前项和公式是关于n的一个常数项为零的二次函数． 4、（其中，为常数）是数列成等差数列的充要条件． 【即学即练】 1．已知数列是等差数列，前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．若，且时最小，则 B．若，，则的最大值为56 C．若，则的最大值为 D．若，且最小，则 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式，逐项计算分析即可. 【详解】对于A，因为时最小，所以，即，所以，故A错误； 对于B，设的公差为，则由得，由得， 所以，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 把该式看作关于的一元二次方程，则， 解得，所以，故C正确； 对于D，由题意得，故，因为最小，所以，即，故D正确． 故选：BCD． 2．已知等差数列的前项和为，，公差，则下列说法正确的是（   ） A．是递增数列 B．1是数列中的项 C．数列中的最小项为 D．数列是等差数列 【答案】AD 【分析】根据题意，由等差数列的通项公式以及性质即可判断AB，由等差数列前项和公式以及性质即可判断CD. 【详解】对于A，因为，公差，则， 所以是递增数列，故A正确； 对于B，令，解得，故1不是数列中的项， 故B错误； 对于C，令，解得，即， 所以数列中的最小项为或，故C错误； 对于D，因为，则， 所以数列是等差数列，故D正确； 故选：AD 知识点04 等差数列前项和的最值 （1）在等差数列中， 当，时，有最大值，使取得最值的可由不等式组确定；当，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定． （2），若，则从二次函数的角度看：当时，有最小值；当时，有最大值．当取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 【即学即练】 1．记为等差数列的前项和，已知，． (1)求的通项公式； (2)求，并求的最小值． 【答案】(1) (2)，的最小值为 【分析】（1）根据等差数列性质可得，进而可得公差和通项公式； （2）根据等差数列求和公式求，再根据的符号性分析最值. 【详解】（1）因为为等差数列的前项和，且，， 则，即，可得公差， 所以数列的通项公式为. （2）因为，则， 令，解得， 可知当时，；当时，； 所以的最小值为. 2．已知为等差数列，其前项和为，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．当且仅当时，最大 D．满足的最大整数n为14 【答案】AB 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用等差数列求和公式计算即可得B；利用等差数列性质及等差数列求和公式计算可得C、D. 【详解】对A：，故，故A正确； 对B：，故的公差为， 故， 则，故B正确； 对C：由，故，当时，，当时，， 故当或时，最大，故C错误； 对D：当时，，当时，， 又，故， 则当时，，当时，， 故满足的最大整数为，故D错误. 故选：AB. 题型01 等差数列前项和的有关计算 【典例1】记等差数列的前项和为，若，则 . 【答案】9 【分析】根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为： 等差数列中的基本计算 （1）利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量和，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． （2）结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用． 【变式1】已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A．13 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【分析】由，及即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， ， 所以， ， 故选：A 【变式2】已知数列是首项为3公差为2的等差数列，则 ． 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】. 故答案为：48. 【变式3】等差数列的前n项和为，则 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 所以， 故答案为： 题型02 等差数列前项和的比值问题 【典例1】等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用等差数列求和公式结合项的性质计算求解. 【详解】等差数列与的前n项和分别为和，因为， 所以. 故选：A. 设，的前项和为，，则． 【变式1】已知等差数列 的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的前项和公式求解即可得. 【详解】由题设，条件可化为， 设，， 则， ， 则. 故选：A. 【变式2】设等差数列的前项和分别为．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】先对目标式合理变形得到，再结合题意求值即可. 【详解】由题意得， 因为，所以，故A正确. 故选：A 【变式3】设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 题型03 等差数列前项和的性质 【典例1】已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由条件结合等差数列通项公式和前项和公式可得，，解方程求，，再求可得结论. 【详解】设等差数列的公差为，则，， 所以，，， 因为，， 所以，， 化简可得，， 所以，， 所以， 故选：A. 利用等差数列前n项和的性质简化计算 （1）在解决等差数列问题时，先利用已知求出和，再求所求，是基本解法，有时运算量大些； （2）等差数列前项和的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果． （3）设而不求，整体代换也是很好的解题方法．　　　　 【变式1】设是等差数列的前项和，若，，则（  ） A． B． C．当取得最大值时， D．使成立的最大整数为13 【答案】AC 【分析】根据等差数列的前项和公式，结合等差数列的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是等差数列的前项和， 所以由， 由，而，所以， 因为数列是等差数列，所以等差数列的公差，因此本选项说法正确； B：由上可知：，且，所以，且，所以本选项说法不正确； C：由上可知：，，因此数列的前项都是正数，从第项起每项都是负数， 所以当时，取得最大值，因此本选项说法正确； D：因为， 所以，又， 所以使成立的最大整数为，因此本选项说法不正确， 故选：AC 【变式2】记为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列通项公式基本量的运算和前n项和的基本量运算列式求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故答案为： 【变式3】已知为等差数列的前项和，若且则（    ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】B 【分析】利用等差数列前项和公式，求解即可. 【详解】由题意可得，，化简， 所以，. 故选：B. 题型04 等差数列前项和的最值问题 【典例1】记为数列的前项和，已知，，则（    ） A． B．取最小值时 C．是等差数列 D． 【答案】CD 【分析】利用条件等式可计算A，由等差数列的定义先证明为等差数列，求出后结合二次函数的性质可判定B，由的关系得出结合等差数列的定义可判定C，由裂项相消法可判定D. 【详解】对于A，由， 可得，即，故A错误； 对于B，条件变形有， 所以是以为首项为公差的等差数列，则， 所以， 由二次函数的对称性可知或时取最小值，故B错误； 对于C，由作差得， 而，符合上式，所以，即是等差数列，公差为，故C正确； 对于D，由上可知， 所以，故D正确. 故选：CD （1）等差数列前项和最大（小）值的情形 ①若，，则存在最大值，即所有非负项之和．②若，，则存在最小值，即所有非正项之和． （2）求等差数列前项和最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用或来寻找． ②运用二次函数求最值． 【变式1】已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．数列是递减数列 B．当时，最大 C．使得成立的最小自然数 D．中的最小项为 【答案】AB 【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质，结合已知条件，分析数列的单调性、前项和的最值、时的最小值以及的最小项即可. 【详解】对于：因为，所以， 因为，所以，所以， 且0，所以数列是递减的等差数列， 且， 则当时，最大，故正确； 对于C:由上述分析可知，当时，递减， 且， 所以使得成立的最小自然数，故错误； 对于：因为当时，，所以； 当时，，，所以； 当时，，所以； 且， 则有， 所以，即， 所以中的最小项为，故D错误. 故选：AB. 【变式2】已知为数列的前n项和，，是公差为1的等差数列，则（    ） A． B．当且仅当时，取得最小值 C． D．数列中第5项的值最大 【答案】ACD 【分析】根据等差数列的通项公式、与的关系，结合二次函数的性质逐一判断即可. 【详解】A：因为是公差为1的等差数列， 所以， 因此，所以本选项正确； B：由上可知：， 因为，所以当或时，取得最小值，因此本选项不正确； C：由上可知：， 于是当时，， 显然，符合，所以本选项正确； D：由上可知：， 令， 显然当时，因为， 所以，而， 显然数列中第5项的值最大，因此本选项正确， 故选：ACD 【变式3】已知是等差数列的前项和，，则下列说法正确的是（    ） A．的公差为 B． C．数列为递增数列 D．当且仅当时，取得最大值 【答案】AB 【分析】A选项，设出公差，根据得到方程，求出公差；B选项，利用等差数列通项公式进行求解；C选项，计算出，得到单调性；D选项，在C基础上，由二次函数的性质可知，D错误. 【详解】A选项，设等差数列的公差为，由，得， 即，解得，A正确； B选项，，B正确； C选项，由上可知，所以， 根据一次函数的性质可知，数列为递减数列，C错误； D选项，由二次函数的性质可知，其对称轴方程为， 又，所以当或时，取得最大值，D错误． 故选：AB 题型05 求数列的前项和 【典例1】在数列中，，则数列的前32项和为（   ） A．625 B．646 C．674 D．992 【答案】C 【分析】由题设易得，数列的前项和为，进而结合各项的正负情况求解即可. 【详解】由，得， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 则， 数列的前项和为， 当时，，当时，， 则数列的前32项和为 . 故选：C 已知等差数列，求绝对值数列的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”． 【变式1】已知数列的前项和满足，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，先求出数列的通项公式，即可判断各项的正负，然后再直接求解数列的前项的和即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，， 又时，也满足上式， 所以， 所以当时，，当时，， 所以 . 故选：C 【变式2】已知数列的前项和为，且满足，. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知等式变形得出，结合等差数列的定义可证得结论成立； （2）求出数列的通项公式，化简的表达式，结合等差数列的求和公式可求出数列的前项和. 【详解】（1）因为， 所以，即. 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. （2）由（1）知， 可知，当时，，， 当时，，， 所以数列的前项和为 . 【变式3】设是公差不为零的等差数列，是的前n项和，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先将用公式求出的值，将整理得到，从而得到的值，再求出公差，利用代入和求出； （2）先由求出和，再按照和（）分情况讨论求出即可. 【详解】（1），，，，，，，，，，，，，，. （2），，， 当且时，， 当且时，， 当且时， ； 当且时， ， . 题型06 等差数列片段和的性质 【典例1】已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：D 连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 【变式1】已知等差数列的前项和为.若，则 . 【答案】12 【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解. 【详解】在等差数列中，成等差数列，即成等差数列，所以，解得. 故答案为：12 【变式2】在等差数列中，，且是其前项和，则（    ） A．都小于都大于0 B．都小于都大于0 C．都小于都大于0 D．都小于都大于0 【答案】B 【分析】利用等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】等差数列中，，故，又，故， 所以,， 结合，可知都小于,都大于0. 故选：B 【变式3】已知等差数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质可知、、成等差数列可求得的值. 【详解】由题意可得，， 因为等差数列的前项和为， 由等差数列片断和的性质可知、、成等差数列， 所以，所以. 故选：A. 题型07 等差数列的奇数项与偶数项和 【典例1】已知数列是等差数列． (1)若前四项和为21，末四项和为67，且前项和为286，求； (2)若，，求； (3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数． 【答案】(1) (2) (3)中间项为，项数为7项 【分析】（1）利用即可求解； （2）根据等差数列的前项和的性质：，，成等差数列即可求解； （3）设项数为，分别表示出奇数项和偶数项的和，即可求解项数和中间项. 【详解】（1）依题意知， ， 所以， 所以．因为，所以． （2）因为，，成等差数列， 所以 即． （3）设项数为，则奇数项有项，偶数项有项，中间项为， 则，， 所以．所以，中间项为，项数为7项． （1）若项数为，则，， （2）若项数为，则，，，， 【变式1】已知一个项数为的等差数列，设其前项和为，其所有奇数项的和为480，所有偶数项的和为360，公差，则当为偶数时，此数列首尾两项之和为 ． 【答案】56 【分析】只需根据等差数列前项和性质求得的值，再结合等差数列性质即可求解. 【详解】当为偶数时，由题意可知， 所以，所以， 此时，解得， ，解得， 则． 故答案为：56. 【变式2】等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 【变式3】已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.则此数列的项数为（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【分析】设等差数列的项数为，利用等差数列的性质，求出所有奇数和与所有偶数和的比与的关系，求出，即可求出项数. 【详解】设等差数列的项数为， 设所有的奇数项和为，则， 设所有的偶数项和为，则， 由，解得， 项数. 故选：C. 1．一个饼（厚度不计），用刀切5次，最多能将其切成（   ） A．10块 B．11块 C．15块 D．16块 【答案】D 【分析】由数列的相关知识发现递推规律，再结合等差数列求和公式即可得解. 【详解】设n刀最多能将饼切成块，前刀我们已经得到块，对于第n刀，要使切出的块数最多， 则这一刀的刀痕必须与前刀的刀痕都相交，在此刀痕上有个交点， 则最多增加n块，从而得到递推公式为， 显然，从而累加得到．当时，． 故选：D. 2．已知正项数列的前项积为，若，则（   ） A．4051 B．4050 C．2026 D．2025 【答案】A 【分析】根据，得数列为等差数列进行求解． 【详解】依题意，当时，，因为是正项数列，所以． 当时，，所以，所以， 所以数列是公差为2，首项为3的等差数列， 所以． 故选：A 3．在无穷等差数列中，公差为d，则“存在，使得”是“为d的整数倍”的（    ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用等差数列的通项公式、前n项和求法，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若时成立，则，有，不满足为d的整数倍，充分性不成立， 若为d的整数倍，当且，显然不存在使成立，必要性不成立. 故选：D 4．已知等差数列和的公差分别为，，的前n项和为，下列说法正确的有（    ）． A．是关于n的二次函数 B．是关于n的二次函数 C．数列是等差数列 D．若数列是等差数列，则 【答案】CD 【分析】由等差数列定义、通项公式、及求和公式逐项判断即可. 【详解】对于A：因为是等差数列，所以是关于n的一次函数，A错； 对于B：当公差时，不是关于n的二次函数，故B错； 对于C：因为， 且为常数，所以数列是等差数列，C对； 对于D：因为数列是等差数列，所以， 所以， 即 化简得，D对． 故选：CD 5．等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．当或13时，取得最大值 D．若．则数列的前36项和 【答案】BCD 【分析】利用等差数列的性质求得判断A；求出通项公式可判断B；由通项公式可得各项的符号判断C；利用并项求和法可得判断D. 【详解】在等差数列中，有，所以， 又因为，可得，所以，所以， 所以，所以，所以，故A不正确； 所以等差数列的公差， 所以等差数列的通项公式为，故B正确． 当时，；当时，； 当时，，故当或13时，取得最大值， 故C正确， 因为，，所以， 则，故D正确． 故选：BCD. 6．已知数列是等差数列，其前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，且时，恒成立，试求实数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式及求和公式基本量运算求解； （2）把恒成立问题转化为最值，再作商得出数列单调性即可求值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以公差，， 故； （2）因为，且时，恒成立， 所以， 因为时，，所以，所以， 所以，所以实数的最小值为. 7．在古希腊，毕达哥拉斯学派把，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成正三角形（如图所示）．设第个三角形数为，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C．1024是三角形数 D． 【答案】BC 【分析】先通过观察三角形数的相邻项差归纳规律，推导通项公式，再分别验证各选项的正确性. 【详解】对于A，根据题意，数列满足 由此归纳可得：，故A正确； 对于B，由，则， 故，故B错误； 对于C，若1024是三角形数，则方程有正整数解， 变形可得，此方程无正整数解，故C错误； 对于D，，， 故 ，故D正确. 故选：. 8．设等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质和通项公式、前项和公式进行求解即可. 【详解】由题意得， . 两式相减得， 解得. 因为，化简得 因为，所以由方程②可得，代入方程①可得， 因为，化简得， 解得. 故选：D. 9．已知函数，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定，通过倒序相加即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 令， ， 所以， 即， 故选：A 10．年疫情期间，某医院天每天因患新冠肺炎而入院就诊的人数依次构成数列，已知，，且满足，则该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系可知数列的奇数项成等差数列，偶数项为常数列，结合等差数列求和公式可求得结果. 【详解】当为奇数时，， ； 当为偶数时，， ； 该医院天内因患新冠肺炎就诊的人数共有人. 故选：B. 11．等差数列的前n项和为，若则的值为（   ） A．30 B．60 C．45 D．15 【答案】A 【分析】设基本量，再结合等差数列的性质与求和公式求解即可. 【详解】在等差数列中，设首项为，公差为， 因为，所以， 则，即. 所以. 故选：A 12．等差数列前n项和为，设p：“且”，q：“是的最小值”，则（   ） A．p是q的充分不必要条件 B．p是q的必要不充分条件 C．p是q的充要条件 D．p是q的既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等差数列的单调性，根据充分、必要条件的判断方法进行判断. 【详解】等差数列中，设公差为. 若且，则，所以，，所以. ， ，则当，时，取得最小值. 因为，且，，， 所以当时，取得最小值. 所以能推出. 若是的最小值， 因为等差数列的前n项和有最小值，所以公差大于零，等差数列是递增数列. 因为是的最小值，所以“”，或“且”，或“且”. 所以推不出. 因此，p是q的充分不必要条件. 故选：A. 13．记为数列的前项和，已知. (1)求，并求的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由题可得当，可得，当时可得，，再结合题意可得，即可求解； （2）由（1）求出当、时的相应式子，即可求解. 【详解】（1）当时，. 当时，，， 两式相减得， 经检验，当时，，符合上式，所以. （2）由（1）可得数列为等差数列.当时，，，.. 此时， 当时，，，.. 所以. 综上，. 14．记为数列的前项和，已知． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）首先利用数列与的关系式，转化为数列的递推关系式，再通过构造求数列的通项公式； （2）由（1）可知，分和两段，集合数列的特征，和数列的前项和，分别求数列的和. 【详解】（1）由可得， 两式相减，得，即， 当时，，则． 当时，，即， 于是由递推关系得，得， 而，满足上式， 故数列的通项公式为． （2）由得， 当时，，则， 所以； 当时，，注意到， 故． 综上，． 15．怡海中学高三年级甲、乙、丙、丁四位同学玩报数游戏：第一轮，甲报数字，乙报数字，，丙报数字，，，丁报数字，，，；第二轮，甲报数字，，，，，依次循环，直到报出数字，游戏结束，则下列说法正确的有 ①．是乙报的   ②．是丁报的 ③．甲共报了轮     ④．甲在前四轮所报数字之和大于 【答案】②③ 【分析】由条件可得甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，，计算前，轮所报数字的个数和，判断①，③，计算前，轮所报数字个数和判断②，计算前四轮甲所报数值的和判断④. 【详解】甲、乙、丙、丁第轮的报数个数分别为，，，， 前轮共报数个数为. 当时，； 当时，； 且，故是甲报出的，且甲报了轮，①错误，③正确； 对于②，当时，； 当时，，故在第轮报数中，， 故数字是丁报的，②正确； 对于④，甲在前四轮所报数字之和为，④错误. 故答案为：②③. 2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $