28.2.1 解直角三角形（教学设计）数学人教版九年级下册

28.2.1 解直角三角形 教学设计 一、内容和内容解析 1.内容 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级下册第二十八章 锐角三角函数 28.2解直角三角形及其应用，内容包括：解直角三角形. 2.内容解析 本节课的内容是在学生学习了锐角三角函数的概念之后，进一步利用三角函数解直角三角形进行深入探究。在这一节中，我们将学习如何利用勾股定理来解直角三角形，包括求解三角形的边长和角度。这些知识不仅能够帮助我们解决实际问题，还能为后续学习打下坚实的基础。教学内容与学生已有知识的联系非常紧密。在此之前，我们已经学习了勾股定 理的发现和证明，以及直角三角形的性质。这些知识为本节课的学习提供了必要的背景和基础。通过本节课的学习，学生将能够将已有的知识运用到实际问题中，进一步巩固和拓展他们的数学思维。 基于以上分析，本节课的教学重点是: 掌握解直角三角形的概念，理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形。 二、目标和目标解析 1.目标 （1） 掌握解直角三角形的概念，理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，能运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数解直角三角形； （2） 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力； （3） 在解直角三角形的过程中，渗透转化和数形结合的数学思想，促进数学思维的发展. 2.目标解析 （1）教材由提问引入，并引导学生通过观察、推导等方法，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣； （2）培养学生对解直角三角形的理解和运用能力，对不同类型的解直角三角形的方法形成正确的认识； （3）鼓励学生在实践中探索，培养实验探究能力和解决问题的能力，激发学生对数学学习的兴趣，培养学生认真、严谨的学习态度和责任感，为后续数学学习打下坚实基础. 三、教学问题诊断分析 在进入“解直角三角形”这一章节之前，九年级的学生已经具备了一定的几何知识和三角函数的基础。从知识层面来看，学生们对直角三角形的基本性质有一定了解，能够识别和描述直角三角形的特点。在能力方面，学生们的几何推理能力和代数运算能力正在逐步提升，但仍有待加强。在学生层次上，班级中存在着不同水平的学生。部分学生能够迅速掌握新知识，并能独立解决一些较为复杂的几何问题；而另一部分学生可能对几何概念的理解较为吃力，需要更多的指导和练习。在素质方面，学生的合作意识和问题解决能力有所体现，但在面对复杂问题时，部分学生可能会表现出焦虑和挫败感。行为习惯上，学生们在课堂上通常能够保持一定的专注度，但在长时间的学习过程中，可能会出现注意力分散的情况。此外，部分学生在完成作业时，可能会出现粗心大意、计算错误等问题。这些学情特点对课程学习有着直接的影响。首先，教师在教学中需要考虑到学生的个体差异，提供分层教学，以满足不同学生的学习需求。其次，教师应注重培养学生的逻辑思维和问题解决能力，通过设计多样化的教学活动，激发学生的学习兴趣。此外，教师还需关注学生的心理状态，及时给予鼓励和帮助，帮助学生克服学习中的困难，建立自信。 基于以上分析，本节课的教学难点为: 通过综合运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力。 四、教学过程设计 （一）回顾旧知 问1.任意的一个三角形有几个元素? 答：三条边和三个角,共六个元素. 问2.任意的一个三角形至少要给出几个元素能唯一确定? 至少三个元素. SSS,SAS,AAS，ASA. 问3.直角三角形,除了直角外还需要几个元素能唯一确定? 两条边、一边一角 【设计意图】通过回顾旧知提问引入，易于学生掌握建立新旧知识的联系. （二）新知探究 问4.直角三角形中，各元素之间有怎样的关系? 在直角三角形中,各元素之间的关系 (1)三边之间的关系：（勾股定理） (2)锐角之间的关系: (3)边角之间的关系:锐角三角函数 ，， 归纳：在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素,其中至少有一个是边，就可以求出其余三个元素. 由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形. 【设计意图】通过探究解直角三角形的条件，培养学生观察、分析、归纳和概括的能力，发展学生的逻辑思维和抽象思维能力,从中获得成功的体验，激发学习激情. （三）典例讲解 例1(1)已知中，，，解这个直角三角形 解法一、∵在中， , ∴ ∵, ∴, 解法二、∵在中， , ∴,∴ 在中，, ∴,解得： ∴ 求解边的问题，既可以用三角函数也可以用勾股定理 例1(2)已知中，，解这个直角三角形 解:∵在中，， ∴ ∵， ∴， ∵, ∴. 例1.(3)在中,分别是C的对边已知，，解这个直角三角形. 解:∵在中, 又∵， ∴，解得： ， ∵ ∴. 【思考】 能用勾股定理求的值吗？ 解:∵在中, ， ∴ ∴,即 ∵ ∴, 即. 【方法点拨】有弦（斜边）用弦，边长是无理数，三角胜勾股 例1.(4)在中,分别是的对边已知解这个直角三角形. 解:∵在中, ∴，即 ∵ ∴， 【总结】 无弦（斜边）用切，边长是无理数，三角胜勾股 解直角三角形常见类型 解决方法： 先由勾股定理求第三边，再由两边中一直角边所对的角与这两边的关系，求出这个角，最后由两锐角互余求出第三个角． 解决方法： (1)在直角三角形中，若已知一个锐角和斜边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用三角函数(正弦、余弦)求出两条直角边； (2)若已知一个直角三角形的一个锐角和一条直角边，则可由两锐角互余求出另一个锐角，然后利用余弦或正弦求出其斜边，利用正切求出其另一条直角边． 【设计意图】通过例题讲解让学生熟练掌握解直角三角形的方法，并能利用解直角三角形解决比较简单的问题. （四）变式训练 1.在中，，，的平分线 ，解此直角三角形。 解：在中，， ， ,则， ∵为的平分线， ∴， ∵ ∴ 在中，, ∴ ， ∵，即 ∴ 2.如图在中,，为上的一点，，6，求的长 解：在中， ∴. 在中， ， ∴. ∵ ∴ ∴. 3.如图，在中，，求的长． 解:作于点，设， ，， ， ，． ． ． ． ． 4.如图，在中，已知，,求的长 解：如图，过作于， 在中，°，∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴ ， ∴. 【设计意图】类比解直角三角形的方法，迁移解决解非直角三角形，学会通过作辅助线构造直角三角形解决问题. （五）拓展探究 1.已知等腰三角形一条腰上的高与腰之比为，求这个等腰三角形的顶角 ①当腰上的高在三角形内部时， 如图，, 在直角三角形中， , ∴顶角; ②当腰上的高在三角形外部时， 如图，, 在直角三角形中， , ∴ ∴顶角; 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或. 2.在中，，，，求边的长． 解：在中，， ， 在中，，，， ， 分两种情况讨论： ①，令，如图所示： 在中，，， ， 则， 在中，，，， 则， ； ②，令，如图所示： 在中，，， ， 则， 在中，，， ， 则， ； 综上所述，的长为或 【设计意图】通过此题练习培养学生分析问题，发现问题和解决问题的综合能力. （六）当堂巩固 1.在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2. 在中,,，则的长为( D ) A. B. C. D. 3.在中，，则 ， ． 4. 如图，已知中，斜边上的高，，则的长为 3.75 . 5.如图，在△ABC中，cosB=，sinC=，AC=10，则△ABC的面积是_42___ 6. 如图所示，某公路检测中心在一事故多发地带安装了一个测速仪，检测点设在距离公路10m的处，测得一辆汽车从处行驶到处所用的时间为.已知，，求这辆汽车速度（参考数据：，） 解：如图，过点A作于点D， 根据题意，得，，， ∴，， 解得， ∵汽车从处行驶到处所用的时间为， ∴ 7. 在四边形中,,，，，，求的长. 解：延长AD与BC相交于点E， 在中,, ∴° ∴， 在中，， 在中，， ∴cm， ∴. 【设计意图】通过此题练习巩固学生对本节课所学知识的掌握和理解，并利用所学知识解决问题. （七）小结梳理 【设计意图】通过课堂小结，使学生对本节课的知识有一个系统地回顾和认识，进而形成一个清晰的脉络，加深学生对本节课知识的理解与掌握. （八）布置作业 P74 练习1、2题. 五、教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $