分式方程：行程问题、工程问题、经济问题、差倍分问题专项训练-2025-2026学年 人教版八年级数学上册

分式方程：行程问题、工程问题、经济问题、差倍分问题专项训练 分式方程：行程问题、工程问题、经济问题、差倍分问题专项训练 考点目录 行程问题 工程问题 经济问题 差倍分问题 考点一 行程问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 例2．（2024·广东·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 例3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． (1)直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； (2)求汽车实际走完全程所用的时间． 例4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 变式2．（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 变式3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，比无风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）所用时间会多一些”．琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．已知家到书店的路程是，无风时琪琪骑自行车的速度是．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速） (1)若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ (2)设风速为． ①若有风往返一趟的时间为，无风往返一趟的时间为，请分别列式表示和（不用化简）； ②请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 变式4．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 考点二 工程问题 例1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 例2．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 例3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 例4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 变式1．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 变式2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 变式3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 变式4．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 考点三 经济问题 例1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 例2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 例3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 例4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 变式1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 变式2．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了、两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 变式3．（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 变式4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 考点四 差倍分问题 例1．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 例2．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 例3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 例4．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 变式1．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 变式3．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 变式4．（2025·重庆巴南·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $分式方程：行程问题、工程问题、经济问题、差倍分问题专项训练 分式方程：行程问题、工程问题、经济问题、差倍分问题专项训练 考点目录 行程问题 工程问题 经济问题 差倍分问题 考点一 行程问题 例1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）磁悬浮列车是一种靠磁悬浮力来推动的列车，磁悬浮列车的建设是中国交通发展史上的一次精彩跨越．A，B两站之间的距离为，其间运行的磁悬浮列车的平均速度是地铁的平均速度的10倍，且乘坐磁悬浮列车所用时间比乘坐地铁所用时间少小时．求地铁的平均速度． 【答案】地铁的平均速度为40千米/时 【详解】解：设地铁的平均速度为x千米/时，则磁悬浮列车的平均速度为千米/时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：地铁的平均速度为40千米/时． 例2．（2024·广东·模拟预测）某校为了让更多师生了解“一带一路”的相关知识，开展了“幸福友谊路，点亮科技梦”的创客活动．某创客小组用电脑编程控制小型小车进行比赛的活动，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差． 已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快． 求“创新号”的平均速度． 【答案】“创新号”的平均速度为． 【详解】解：设“创新号”的平均速度为，则“梦想号”的平均速度为， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合实际意义， 答：“创新号”的平均速度为． 例3．（24-25九年级下·贵州贵阳·阶段练习）一辆汽车开往距离出发地的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达目的地，设第一小时内行驶的速度为． (1)直接用含x的式子表示提速后走完剩余路程所用的时间为_________h； (2)求汽车实际走完全程所用的时间． 【答案】(1)（或） (2)汽车实际走完全程所用的时间为 【详解】（1）解：剩余路程所用的时间为：（或）， 故答案为：（或）； （2）解：，根据题意得， ， 解得，经检验，是该分式方程的解， ∴汽车实际走完全程所用的时间为． 例4．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行路程为16千米．若采用传统车辆匀速配送，配送路程为30千米，且配送速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多6分钟． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若要求无人机在15分钟以内（含15分钟）从物流基地匀速飞行到达该医院，则无人机的速度至少还要增加多少千米/时，才能完成此次配送任务？ 【答案】(1)无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时 (2)无人机的速度还要至少增加千米/时 【详解】（1）解：设无人机的配送速度分别是千米/时，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义； （千米/时）， 答：无人机配送速度是千米/时，传统车辆配送速度是千米/时； （2）解：设无人机的速度还要增加千米/时，由题意得 ， 解得：， 答：无人机的速度还要至少增加千米/时． 变式2．（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表： 起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点 电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲 求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值． 【答案】的值为． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：的值为． 变式3．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）周日琪琪要骑车从家去书店买书，一出家门，遇到了邻居亮亮，亮亮说：“今天有风，而且去时逆风，比无风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）所用时间会多一些”．琪琪回答说：“去时逆风，回来时顺风，和无风往返一趟所用时间相同”．已知家到书店的路程是，无风时琪琪骑自行车的速度是．（顺风速度＝无风时骑车速度＋风速，逆风速度＝无风时骑车速度－风速） (1)若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍，求风速是多少？ (2)设风速为． ①若有风往返一趟的时间为，无风往返一趟的时间为，请分别列式表示和（不用化简）； ②请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对． 【答案】(1) (2)①，；②亮亮说得对 【详解】（1）解：设风速为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答：风速为； （2）解：①由题意可知，，； ②亮亮说得对，理由如下： 由①可知，，， ， 又， ， 即， ∴有风往返一趟的时间大于无风往返一趟的时间， ∴亮亮说得对． 变式4．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）A、B两城间的铁路路程为1800千米．为了缩短从A城到B城的行驶时间，列车实施提速，提速后速度比提速前速度每小时增加20千米，如果提速后从A城到B城的行驶时间减少3小时，且这条铁路规定：列车安全行驶速度不超过每小时140千米．问列车提速后速度是否符合规定？请说明理由 【答案】符合规定，理由见解析 【详解】解：列车提速后速度符合规定．理由： 设列车提速前速度是每小时x千米， 则， 解得，或 (舍去）， ∴提速后的速度为， 经检验，是原方程的解， 又因速度不能为负， 故舍去， ∴提速后的速度为， 故符合规定符合规定． 考点二 工程问题 例1．（24-25八年级上·河北承德·阶段练习）某建设单位在小区建设中计划安排甲、乙两个工程队完成小区绿化工作，已知甲工程队每天能完成的绿化面积是乙工程队每天能完成的绿化面积的1.5倍，甲工程队单独完成的绿化面积所用天数比乙工程队单独完成的绿化面积所用天数少1天． (1)求甲、乙两个工程队每天能完成的绿化面积分别是多少？ (2)该小区需要绿化的面积为，建设单位需付给甲工程队每天绿化费为0.35万元，付给乙工程队每天绿化费为0.3万元，若要使这次的绿化总费用不超过11万元，则至少应安排甲工程队工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是 (2)至少应安排甲工程队工作10天 【详解】（1）解：（1）设乙工程队每天能完成的绿化面积是，则甲工程队每天能完成的绿化面积是． 根据题意得：． 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合实际． 答：甲工程队每天能完成的绿化面积是，乙工程队每天能完成的绿化面积是． （2）设应安排甲工程队工作天， 则应安排乙工程队工作天 根据题意得： 解得：． 的最小值是10． 答：至少应安排甲工程队工作10天． 例2．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 例3．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）赤壁青砖茶拥有多年的历史，其制作工艺复杂，色泽青褐，内质香气纯正，滋味醇和，汤色橙红明亮，口感风味独特．茶厂计划制作个“青砖茶”摆件进行网上销售，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的倍，结果提前天完成任务，问原计划平均每天制作多少个“青砖茶”摆件？ 【答案】原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 【详解】解：设原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划平均每天制作个“青砖茶”摆件． 例4．（24-25八年级下·云南丽江·期末）某村计划修复一条连接活动场地的公路，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙工程队平均每天修复公路的长度比甲工程队多2千米，且甲工程队单独修复20千米公路所需要的时间与乙工程队单独修复30千米公路所需要的时间相等．甲、乙两个工程队分别平均每天修复公路多少千米？ 【答案】甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米 【详解】解：设甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米， 由题意得，， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ， 则乙工程队平均每天修复公路千米， 答：甲工程队平均每天修复公路千米，则乙工程队平均每天修复公路千米． 变式1．（2025·江苏扬州·三模）宇树公司设计的人形机器人亮相2025年春节联欢晚会后爆火，并带动整个人形机器人行业的畅销．某快递公司采用A、B两种型号的数控机器人分拣快递．已知A型数控机器人每小时分拣快递件数是B型数控机器人每小时分拣快递件数的1.5倍．一项分拣600件快递的任务中，一台B型数控机器人分拣了420件后，由一台A型数控机器人接力分拣，该任务共花费9小时完成．两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？ 【答案】A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 【详解】解：设一台B型数控机器人每小时分拣x件快递，则一台A型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意，得 ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴． 答：A型数控机器人每小时分拣快递90件，B型数控机器人每小时分拣快递60件． 变式2．（25-26九年级上·重庆·开学考试）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”10000套，安排甲、乙两车间完成任务，乙车间生产“穿楼积木”的数量比甲车间生产“穿楼积木”的数量的2倍少2000套． (1)求甲、乙两车间各生产多少套“穿楼积木”？ (2)在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的1.2倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】(1)甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套 (2)甲车间每天生产套“穿楼积木” 【详解】（1）解：设甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套， ∴， 解得，， ∴（套）， ∴甲车间生产“穿楼积木”的数量为套，则乙车间生产“穿楼积木”的数量为套； （2）解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴甲车间每天生产套“穿楼积木”． 变式3．（24-25八年级上·贵州黔东南·期末） 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 【答案】消毒工作的规定时间是 小时 【详解】解：设规定时间为小时，则甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意得， 方程化简为： 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：消毒工作的规定时间是 小时． 变式4．（24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利．某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等．求A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 【答案】A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地 【详解】解：设A型号无人机平均每小时喷洒a公顷地，则B型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：A型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，B型号无人机平均每小时喷洒10公顷地． 考点三 经济问题 例1．（25-26八年级上·河北唐山·期中）山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场；某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价格比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少． (1)求今年A型车每辆售价多少元？ (2)该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，A，B两种型号车的进货和销售价格如下表，要使这批车获利不少于33000元，A型车至多进多少辆？ A型车 B型车 进货价格（元） 1100 1400 销售价格（元） 今年的销售价格 2000 【答案】(1)1600元 (2)30辆 【详解】（1）解：设今年售价为元，则去年售价为元，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， ∴今年A型车每辆售价为1600元； （2）解：设A型车进了辆，则B型车进了辆，根据题意得， ， 解得， ∴A型车至多进30辆． 例2．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【答案】(1)款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元 (2) 【详解】（1）解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以， 答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元． （2）解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆， 则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆， 由题意得：， 解得， 答：的值为20． 例3．（25-26八年级上·河北石家庄·阶段练习）某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如下表． 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：元/个 单价：元/个 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价不变，如果此次加购政府预备支出不超过37000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个 (2)政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个 【详解】（1）解：根据题意可得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， (元)， ∴单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个； （2）解：∵单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了， 则现在单枪新能源充电桩的单价为(元/个)， 设再次购进单枪新能源充电桩a个，则购进双枪新能源充电桩个， 总花费为元， ∵此次加购政府预备支出不超过37000元， ∴， 解得， ∴a的最小值为4， 则政府最少需要购买单枪新能源充电桩4个． 例4．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】(1)一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 (2)一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【详解】（1）解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． （2）解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 变式1．（24-25八年级上·湖南永州·期末）年月日，中国春节被列入世界非物质文化遗产，春节贴春联是中华民族的传统习俗．某商店为了满足人们的需求，计划在春节前购进甲、乙两种春联进行销售．经了解，每副乙种春联的进价比每副甲种春联的进价多元，用元购进甲种春联的数量与用元购进乙种春联的数量相同． (1)甲、乙两种春联每副的进价分别是多少元？ (2)该商家计划购进这两种春联共副（两种都有），其中甲、乙两种春联的售价分别为元/副、元/副，若两种春联全部售完时获得的利润不低于元，问商家最多可以购进多少副甲种春联？ 【答案】(1)每副甲种春联的进价为元，每副乙种春联的进价为元； (2)商家最多可以购买副甲种春联． 【详解】（1）解：设每副甲种春联的进价为x元，则每副乙种春联的进价为元， 根据题意得：，解得， 经检验，是原方程的根，此时， 答：每副甲种春联的进价为6元，每副乙种春联的进价为8元； （2）解：设购进甲种春联m副，则购进乙种春联副， 根据题意得：， 解得， 又∵m为正整数， ∴m可以取的最大值为150． 答：商家最多可以购买150副甲种春联． 变式2．（25-26八年级上·广西来宾·阶段练习）某校积极响应国家“科教兴园”战略．开设智能机器人编程的校本课程，学校购买了、两种型号的机器人模型，型机器人模型单价比型机器人模型单价多元，用元购买型机器人模型和用元购买型机器人模型的数量相同． (1)求型、型机器人模型的单价分别是多少元？ (2)学校准备再次购买型和型机器人模型共台，购买型机器人模型的数量不超过型机器人模型数量的倍，问购买A型机器人模型至少为多少台？ 【答案】(1)型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元 (2)购买A型机器人模型至少为台 【详解】（1）解：设型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴（元）， 答：型机器人模型的单价是元，型机器人模型的单价是元； （2）设型机器人模型购买（为正整数）台，则型机器人模型购买台， 依题意得：， 解得：， ∴（为正整数）， ∴购买A型机器人模型至少为台． 变式3．（2024·广东汕头·一模）数学源于生活，寓于生活，用于生活．在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用．为了激发学生学习数学的兴趣，某校计划购进《什么是数学》和《古今数学思想》若干套，已知5000元可购买《什么是数学》的数量比《古今数学思想》多60套，且《古今数学思想》的单价是《什么是数学》单价的倍． (1)求每套《什么是数学》的价格； (2)学校计划用不超过4000元购进这两套书共70套，此时正赶上书城8折销售所有书籍，求《古今数学思想》最多能买几套？ 【答案】(1)50元 (2)《古今数学思想》最多能买20套 【详解】（1）解：设每套《什么是数学》的价格是x元，则每套《古今数学思想》的价格是元， 根据题意得：60， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每套《什么是数学》的价格是50元； （2）解：由（1）可得：每套《古今数学思想》的价格是2．5×50＝125（元）， 设可以购进m套《古今数学思想》，则购进套《什么是数学》， 根据题意得：， 解得， ∴m的最大值为20． 答：《古今数学思想》最多能买20套． 变式4．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 考点四 差倍分问题 例1．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 例2．（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）某工厂准备生产和两种防疫用品，已知种防疫用品每箱成本比种防疫用品每箱成本多500元．经计算，用6000元生产种防疫用品的箱数与用4500元生产种防疫用品的箱数相等．请解答下列问题： (1)求，两种防疫用品每箱的成本； (2)该工厂计划用不超过90000元同时生产和两种防疫用品共50箱，且B种防疫用品不超过25箱，该工厂有几种生产方案？并计算出最省钱方案的费用． 【答案】(1)种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元 (2)共有6种方案；87500元 【详解】（1）解：设种防疫用品成本元，种防疫用品成本元， 依题意，得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， （元）； 答：种防疫用品成本为2000元，种防疫用品成本为1500元； （2）解：设种防疫用品生产箱，种防疫用品生产箱， 则有：， 解得：， ∵种防疫用品不超过25箱， ∴， ∵为正整数， ∴，，，，，，共6种方案； 设生产和两种防疫用品费用为元， 则有：，其中， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，此时元； 答：共有6种方案，最省钱方案的费用为87500元． 例3．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 例4．（2025·广东韶关·二模）习近平总书记指出：“植树造林是实现天蓝地绿、水净的重要途径，是最普惠的民生工程．”据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶 一年的平均滞尘量的倍少毫克． (1)若一年滞尘毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘毫克所需的国槐树叶的片数相同，分别求一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量． (2)某公园打算种一批国槐树和银杏树共棵，据估计这批树中，一棵国槐树约有片树叶，一棵银杏树约有片树叶，如果想让这批树一年的滞尘总量至少为千克，那么最多种植多少棵国槐树？千克毫克 【答案】(1)一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22毫克和40毫克 (2)最多种植棵国槐树 【详解】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克． 由题意，得 解得： 经检验，是该分式方程的解，且符合题意 ∴(毫克) 答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为毫克和毫克 （2）毫克千克，毫克千克 设种植棵国槐树，则种植银杏树棵 由题意，得 解得 ∵为正整数， ∴最大取． 答：最多种植棵国槐树． 变式1．（24-25八年级下·河北保定·期末）利用分式方程和不等式解决实际问题 小卓和小越一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的单价比文学书高出一半，他们所买的科普书比所买的文学书少一本． (1)求这种科普书和这种文学书的单价分别是多少元？ 根据题意，小卓和小越分别列出如下方程： 小卓：；小越：． 则小卓所列方程中的所表示的含义为______； 则小越所列方程中的所表示的含义为______； 请你选择上面两个方程中的一个进行解答． (2)若小明所在的学校图书室计划用不超过1200元的资金购进两种书共200本，最多购进科普书多少本？ 【答案】(1)文学书的价格，文学书数量，这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； (2)最多购进科普书80本 【详解】（1）解：小卓：设文学书的价格为元，则科普书的价格为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小卓所列方程中的所表示的含义为文学书的价格； 小越：设文学书买了本，则科普书买了本， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 答：这种科普书和这种文学书的单价各是7.5元和5元； ∴小越所列方程中的所表示的含义为购买文学书的数量； 故答案为：文学书的单价；购买文学书的数量； （2）解：设购进科普书本，则购买本文学书， 依题意得：， 解得：． 答：最多购进科普书80本． 变式2．（24-25八年级下·陕西西安·期末）某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【答案】(1)甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品 (2)需要甲种货车8辆，乙种货车7辆 【详解】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 变式3．（2025·广东广州·三模）2025年春晚《秧》的精彩呈现，是一系列关键技术的突破与创新．机器人采用了先进的驱动全身运动控制技术，某科技公司计生产和两款机器人，每款机器人主要控制芯片和传感器两种核心零件．月日，公司采购部门调研市场后得知，花费元购买的主控芯片比花元购买的传感器模块数量少8片，主控芯片的单价是传感器模块的倍．另一部分人对机器人进行研究后发现：用个主控芯片、个传感器模块恰好能制作个机器人和个机器人，制作个机器人所需主控芯片、传感器模块数量之比是，制作个机器人需要的主控芯片、传感器模块数量之比是． (1)求主控芯片、传感器模块每个单价分别多少元？ (2)求制作一个机器人和一个机器人分别需要主控芯片、传感器模块多少个？ (3)市场优惠促销，购买个主控芯片赠送个传感器模块．该公司发放活动经费元，采购部门向市场采购主控芯片、传感器模块采用来制作、机器人，由于市场库存数量有限，主控芯片仅剩个．如果一个和一个机器人配成一套，请问最多可以生产多少套机器人？ 【答案】(1)主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； (2)制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个 (3)最多可生产85套机器人 【详解】（1）解：设传感器模块单价为元，则主控芯片单价为元，根据题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴主控芯片单价为（元） 答：主控芯片单价为元，传感器模块单价为元； （2）解：设制作一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，则一个机器人需要主控芯片个，传感器模块个，分别根据题意得， 解得：， 故制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个， 答：制作一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块21个，则一个机器人需要主控芯片3个，传感器模块27个； （3）解：采购515个主控芯片，花费5150元，赠送171个传感器模块．需要额外购买3970个传感器模块， 主控芯片可制作85套，传感器可制作86套，最多可生产85套机器人． 答：最多可生产85套机器人． 变式4．（2025·重庆巴南·二模）某食品加工厂根据订单的需求会不定期采购A，B两种食材（单位：件），而两种食材的单价会根据市场变化波动． (1)第一周，该食品加工厂花费6650元一次性采购A，B两种食材共100件，此时A，B两种食材的单价分别是50元、80元，求食品加工厂采购了A，B两种食材各多少件？ (2)第二周，由于采购价格发生了变化，食品加工厂分别花费1800元、3600元一次性购买A，B两种食材，已知采购B种食材的数量是A种食材数量的1.5倍，每件A种食材的单价比每件B种食材的单价少20元，求食品加工厂第二周采购A种食材多少件？ 【答案】(1)食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件 (2)食品加工厂第二周采购A种食材30件 【详解】（1）解：设食品加工厂采购了A种食材x件，B种食材y件 解得： 答：食品加工厂采购了A种食材45件，B种食材55件． （2）解：设食品加工厂第二周采购A种食材m件，则B种食材采购件，则 解得， 经检验，是原分式方程的解． 答：食品加工厂第二周采购A种食材30件． 2 学科网（北京）股份有限公司 $