15.3.1等腰三角形同步训练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

15.3.1等腰三角形同步训练 一、单选题 1．如图，在四边形中，，若，则 （   ） A． B． C． D． 2．如图，中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，若，则（   ） A．2.5cm B．4cm C．5cm D．10cm 5．等腰三角形一个角等于，则它的底角是（    ） A． B． C． D．或 6．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径作弧，交直线于点D，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，的垂直平分线交于点D，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在四边形中，，，点关于的对称点恰好落在上，连接，为的中线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰中，，与的平分线交于点，过点作，分别交、于点、，若的周长为，则的长是（ ） A． B． C． D． 10．如图，是等腰三角形，且顶角，是的垂直平分线，则有：①平分；②；③；④的周长，其中正确的有（　　）个． A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 11．若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 ． 12．如图，已知线段，使用直尺和圆规作得直线l，交于点D，点C在直线l上，若，则的度数为 ． 13．如图，在中，，，平分的外角，则 度． 14．如图，在中，若，，，则 °． 15．如图，在中，为边上的垂直平分线，，则的长为 ． 16．如图，，已知，，点在上，则的度数为 ． 17．如图，等腰直角中，，底边的长为10，点在上，从作的垂线交于点，交的延长线于点，则的值是 ． 18．如图，于，且，，若，则 ． 三、解答题 19．如图：在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当时，求的度数． 21．如图，在中，平分是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．求证： (1)是等腰三角形； (2)． 22．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点． (1)若，，求的周长； (2)若，求的度数． 第6页，共6页 第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C D C A B B C 1．A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【详解】解：， ，， ， ． 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．首先根据三角形内角和定理得到，然后利用垂直平分线的性质得到，，进而得到，然后求解即可． 【详解】解：， ， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的三线合一的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，掌握相关知识是解题的关键．先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出的度数． 【详解】解：是的中线，，， ， ， 是的角平分线， ， 故选：B． 4．C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、三角形内角和以及垂直，先在中，利用垂直和三角形内角和为得到的值，再在中，利用三角形内角和为得到，证明出是等腰三角形，则． 【详解】， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ． 故选：C． 5．D 【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形内角和定理，分角是顶角和底角两种情况，分别计算即可． 【详解】解：已知角是顶角时，底角的度数为：； 已知角是底角时，底角的度数为：， 综上可知，它的底角是或， 故选：D． 6．C 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由作图方法可得，则由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 由作图方法可得， ∴， ∴， 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴； ∵的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据轴对称的性质得到，，，结合得到，根据三线合一性质得到，平分，利用角的和差得出，再利用直角三角形的性质求出的度数，即可求解． 【详解】解：∵点关于的对称点为点， ∴，，， ∵， ∴， 又∵为的中线， ∴，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． 故选：B． 9．B 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质及角平分线的定义，利用平行线与角平分线推出是解题的关键．先根据角平分线的定义及平行线的性质证明，再由等角对等边得，则的周长，由此即可解决问题． 【详解】解：在中，与的平分线相交于点， ， ， ， ， ， 的周长是：， ∵， ． 故选：B． 10．C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质以及三角形的周长，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可判断①，根据等腰三角形的判定，即等角对等边，可判断②，根据，可判断③，先根据线段垂直平分线的性质得与的关系，再等量代换即可判断④，最后对各个选项逐项分析即可． 【详解】解：是等腰三角形，且顶角， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 平分，故正确； ，， ， ，故正确； ， ，故错误； ， ， 的周长，故正确． 正确的结论有个． 故选C． 11．100 【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴这个等腰三角形的另一个底角的度数为， ∴等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线，等腰三角形的判定与性质。根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，直线垂直平分，点在直线上，是等腰三角形， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质推出，根据三角形外角性质得到，根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分的外角， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了外角的定义，等腰三角形的判定及性质，熟悉掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 设，利用等腰三角形的判定及性质得到，由外角定义得到，再利用三角形的内角和列式运算即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 15．4 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 16． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键． 根据，可得，，即可得为等腰三角形，再由即可求解的度数，再由三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴为等腰三角形， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 17．10 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，继而推导出是等腰直角三角形，且，则，得到，即可解答． 【详解】解：在等腰直角中，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴． 故答案为：10． 18． 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，再证明，得到． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三线合一以及等边对等角等知识点，掌握相关结论是解题关键. （1）连接，由题意得：，推出即可求证； （2）根据，得到，进而得到，即可求解 【详解】（1）证明：连接， 由题意得：， ∵， ∴， ∵D为线段的中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 21．(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键在于通过平行线的性质找出角度的相等，进而转变为边长相等． （1）根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出，根据等角对等边的性质即可得证； （2）根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， 22．(1)16 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解（1）的关键，利用等腰三角形的判定与性质和三角形外角的性质得出是解（2）的关键． （1）由等边对等角可知，由线段垂直平分线的性质可知，进而可求的周长； （2）由可知，由外角性质可得，由可证，然后利用三角形内角和等于列式求解即可． 【详解】（1）解： 中，， ， 垂直平分， ， 又， 的周长为： ． （2）解：， ， ， ， ， ， 又， ， ，   ， ． 答案第2页，共12页 答案第1页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $