14.2 三角形全等的判定-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学同步练习册（人教版·新教材）

重难点手册人年级数学上册) :∠BED=∠ABE+∠BAE=50°， 9.D提示：∠A=30°，∠ABC=50°，∠BCA=100°，故 .∠ABC+∠BAC=100°. ∠BCD=80°.依△EDC≌△ABC知∠DCE=∠BCA ∴.∠C=80° =100°，所以∠BCE=∠DCE-∠BCD=100°-80°= (②)∠BEBD=∠ABE+∠BAE=∠ABC+∠BAC) 20°.故∠BCE:∠BCD=20:80=1:4. 10.100°.提示：由折叠知识知△ABC2△ABE2△AD℃， -2180°-∠C) ∴.∠EBA=∠2，∠DCA=∠3. =90-7∠c ∠1：∠2：∠3=13：3：2，∠1+∠2+∠3=180°， ∴.∠2=30°，∠3=20， 24.(1)2∠BFD=∠ABC+∠C.证明如下： .∠E0C=2∠2+2∠3=100°， 'AD平分∠BAC,设∠BAD=∠CAD=x,∠AFE= 11.(1).△ABC≌△DEF,.∠A=∠D..ABDE. ∠BFD=y. (2),△ABC≌△DEF,∴.AC=DF BE⊥AC,.x+y=90°，.2x+2y=180° ∴.AC-CF=DF-CF..∴AF=DC 又2x+∠ABC+∠C=-180°， .2y=∠ABC+∠C,即2∠BFD=∠ABC+∠C. 12,“两个三角形全等，：3x-2=5,或Bx-2=7, 或 (2y-1=7 2y-1=5, (2)(1)中的结论仍成立.证 7 明如下： x= E x=3, 解得 3'或 y=3, a+y9或6 如图，AD平分∠BAC, y=4 ∴.设∠BAD=∠CAD=x,B 13.∠B=50°，∠E=50°，AB=DE, ∠AFE=y. .点B对应点E,点A对应点D,即△ABC≌△DEF. ,BE⊥CE,且∠CAD=∠FAE=x, 又，∠A=180°-∠B-∠C=60°， .x+y=90°...2x+2y=180° .∠D=∠A=60°. 又2x+∠ABC+∠C=180°， 14..'AB=20 cm,AE=6 cm,BC=16 cm, .2y=∠ABC+∠C,即2∠BFD=∠ABC+∠C. .'.BE=14 cm,BP=2t cm,PC=(16-2t)cm. 第十四章全等三角形 当△BPE≌△CQP时，有BE=PC, 即14=16-2t,解得t=1.此时CQ=2=BP,满足 14.1全等三角形及其性质 条件。 1.B2.C3.A4.B5.102°：13. 当△BPE≌△CPQ时，有BP=PC, 6.(1),△BAD≌△ACE,∴.BD=AE,AD=CE. 即2t=16-2t,解得t=4.此时CQ=8≠BE,不满足 又，AE=AD+DE=CE+DE,.BD=DE+CE. 条件 (2)当△ABD满足∠ADB=90°时，BDCE.理由如下： 综上所述，t的值为1. ,△BAD≌△ACE,∴.∠ADB=∠CED. 14.2三角形全等的判定 ,∠ADB=90°，∠CED=90°. 1.B提示：“两边夹角”与“两角一边” 又，∠ADB+∠BDE=180°，.∠BDE=90 2.B提示：全等三角形的判定条件要注意“对应”关系 ∴.∠BDE=∠CED..BDCE 3.A提示：ABED,∴∠B=∠E 7.C提示：：∠ABE=∠DBE,∠CBF=∠DBF,∠ABC ·ACFD,∴∠ACB=∠DFE. =90,∴∠EBF=号×90=45 具备了两角对应相等，可利用“ASA”或“AAS”判定两 8.D提示：显然依全等三角形的性质知①②正确，又由 个三角形全等 ②知③正确。 选项A中，由∠A=∠D知，三角形满足三角对应相 4 练习册参考答案与提示么出 等，不能判定全等 选项B中，由AC=DF知， 「∠B=∠E, 在△ABC与△DEF中，∠ACB=∠DFE, AC=DF, ,∠DAB=∠DCB=90°， .△ABC≌△DEF(AAS). ∴.∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC. 选项C中，由AB=ED知， ∴.∠D=∠ABE ∠ACB=∠DFE, 又，∠DAB=∠CAE=90°， 在△ABC与△DEF中，人∠B=∠E, .∠CAD=∠EAB. AB=ED, 又AD=AB, ∴.△ABC≌△DEF(AAS). ∴.△ACD≌△AEB(ASA). 选项D中，由BF=EC可得BF+FC=EC十FC. ∴.AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形， 即BC=EF, 且四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等， 1 ∠B=∠E, :S△Acs=2X5X5=12.5, 在△ABC与△DEF中，BC=EF, ∴.四边形ABCD的面积为12.5. ∠ACB=∠DFE, 10.(1)90°.(2)120°.(3)先证明△OAC2△OBD. ∴.△ABC≌△DEF(ASA). 在AM,BO基本图形中可证∠AMB=∠AOB=a, 4.8. .∠AMD=180°-a. 5..∠BAF=∠CAE, 11.(1),AF平分∠CAB,.∠CAF=∠FAB. '.∠BAF-∠CAF=∠CAE-∠CAF,即∠BAC= CD⊥AB,∴∠ADE=90° ∠DAE. .∠EAD+∠AED=90° ∠B=∠D, .∠ACB=90°， 在△ABC和△ADE中，3AB=AD, ∴.∠CAF+∠CFA=90°.∴.∠CFE=∠AED. ∠BAC=∠DAE, 又，∠AED=∠CEF,.∠CFE=∠CEF. .∴.△ABC≌△ADE(ASA).∴.BC=DE. ..CE=CF. 6.,DE⊥AB,CF⊥AB,∴.∠DEB=∠CFA=90° (2)BE=CF.证明如下： .AE=BF,..AE-EF=BF-EF,AF=BE. 如图，连接EE',过点F作FH⊥AB于点H,则 (BF=AF, ∠FHB=90°， 在Rt△BDE和Rt△ACF中， BD=AC, ∴.Rt△BDE≌Rt△ACF(HL). ∴.∠B=∠A..ACBD. HA'D 7.D ,△ADE沿AB向右平移到△A'D'E的位置， 8.C提示：以AB为公共边的三角形有3个，以BC为 ∴.EE∥AB. 公共边的三角形有1个，以AC为公共边的三角形有 ∴.∠CEE'=∠CDB,∠CEE=∠B. 3个，共3+3十1=7个 CD⊥AB,∠CDB=90°. 9.B提示：如图，过点A作AE⊥AC,交CB的延长线 .∴.∠CEE=90 于点E. AF平分∠CAB,∴.∠CAF=∠HAF. 重难点手册人年级数学上册凡圆 (∠CAF=∠HAF, (3)如图2，在AB上取一点E,使得AE=AD. 在△ACF和△AHF中，∠ACF=∠AHF, .CA平分∠BAD, AF=AF, ∴.∠DAC=∠EAC, .△ACF≌△AHF(AAS). ..CF=FH. 又AC=AC,AE=AD, CF=CE,∴.CE=FH. .△ADC≌△AEC(SAS). ∠CEE=∠B, ∴.CD=CE,∠ADC=∠AEC. 在△CEE'和△FHB中，∠CEE'=∠FHB, 又∠ABC+∠ADC=180°，∠CEB+∠AEC=180°， CE=FH, ∠ADC=∠AEC, ∴.△CEE'≌△FHB(AAS). ∴∠ABC=∠CEB.∴.CE=CB..CD=CB. .CE=FB.∴BE'=CF. 14.(1)如图，过点D作DG⊥AC交AC的延长线于点G, 12.(1)∵AC=BC,∠ACB=90°， 易证△AEF≌△BDG(AAS),.EF=DG. ∴△ABC为等腰直角三角形， 再证△DCG≌△ECF(AAS),,.CD=CE. .CD=AD=BD,CD平分∠ACB,CD⊥AB. .C是DE的中点 .BF⊥CE,.∠CFG=90 (2)由(1)可知，AF=BG,CF=CG, ,∠CGF=∠BGD,∴.∠FCG=∠DBG. ∴.AB+BF=FG+BF, (∠ECD=∠GBD, ..AB=FG=2CF. 在△CED和△BGD中，CD=BD, ∠CDE=∠BDG, .△CED≌△BGD(ASA). ∴.ED=DG. ..AE=CG. (2)CM=BE.理由如下： CD LAB,CH LAM,∠CDE=∠CHM=90°. 15.(1)直角三角形全等的判定方法“HL”, :∠CED=∠AEH,.∠DCE=∠DAM. (2)如图1，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点 ∠DCE=∠DAM, G,过点F作FH⊥DE交DE的延长线于点H, 在△CDE和△ADM中，CD=AD, :∠ABC=∠DEF,且∠ABC,∠DEF都是钝角， ∠CDE=∠ADM, ∴.180°-∠ABC=180°-∠DEF,即∠CBG=∠FEH. .△CDE2△ADM(ASA)..ED=DM. 又，CD=BD,∴.CM=BE ∠CBG=∠FEH, 13.(1)不全等. 在△CBG和△FEH中，∠G=∠H=90°， (2)△ABD和△ACE全等.理由如下： BC=EF, .AD=AE, '.△CBG≌△FEH(AAS). ..CG=FH. .△ADE是等腰三角形 (AC=DF, 在Rt△ACG和Rt△DFH中， ∴.∠ADE=∠AED. ∴.∠ADB=∠AEC. CG=FH, .△ABD≌△ACE(AAS)(如图1) ∴.Rt△ACG≌Rt△DFH(HL).∴∠A=∠D. (∠A=∠D, 在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF, AC-DF, 图 '.△ABC≌△DEF(AAS). 6 练习册参考答案与提示么出型 C(F) 14.3角的平分线 1.D提示：△MTQ≌△MPQ(SAS). 2.B D BE) 3.QM=QN=QK.提示：依角平分线的性质可得 图1 图2 4.4.提示：根据垂线段最短可知，当DP⊥BC时，DP (3)如图2，以点C为圆心，以AC的长为半径画弧，与 的长度最小 AB交于点D,点E与点B重合，点F与点C重合， BD ICD,即∠BDC=90°， 得到△DEF和△ABC不全等， 又∠A=90°，∠A=∠BDC. (4)∠B≥∠A.提示：根据三种情况的结论，∠B不 ∠ADB=∠C,∴∠ABD=∠CBD, 小于∠A即可.即若∠B>≥∠A,则△ABC≌△DEF. ∴.BD为∠ABC的平分线. 16.(1)∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF, 又DA⊥BA,DP⊥BC,∴DP=AD=4. .∠ADE=∠CGF. 5.(1).DE⊥AB,DF⊥BC,∠DEB=∠DFB=90° .ACI BD,BF⊥CD, :∠EDF=124°， .∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF. .∠ABC=360°-90°-90°-124°=56°. .∠DAE=∠GCF. (2)BM平分∠ABC,DE⊥AB,DF⊥BC, ∴AD=CD ,ED=FD,∠ABD=∠CBD.∴∠EDB=∠FDB. (2)设DE=a, ∴∠EDP=∠FDP. 则AE=2DE=2a,EG=DE=a, ED=FD 六Sae=合AEDE=2a·a=a. 1 在△EDP和△FDP中，∠EDP=∠FDP, DP=DP, ,BH是△ABE的中线， ∴.△EDP≌△FDP(SAS)..PE=PF. ∴AH=HE=a. 6.(1)过点E作EF⊥CD于点F,证EA=EF=EB即可. .AD=CD,ACLBD,..CE=AE=2a. (2)证△ADE≌△FDE,△BEC≌△FEC, ∴Sm=2AC.DE=号(2a+2a)a=2a2- 1 ..AD=DF,BC=CF. ..AD+BC=CD. 2S△ADE· 7.C提示：依角平分线的判定定理知AP平分∠BAC, ∠AED=∠BEG, 进而可证△ASP≌△ARP,①正确；由AQ=PQ知 在△ADE和△BGE中，3DE=GE, ∠PAQ=∠APQ,故∠APQ=∠BAP,②正确. ∠ADE=∠BGE, 8.B提示：可证EA是∠CAB的外角平分线.过点E作 .△ADE≌△BGE(ASA). EF,EM,EN分别垂直于CB,AB,CA,垂足分别为点 .'.BE=AE=2a. F,M,N.因为BE,CE分别为∠ABC的外角平分线 1 1 和∠ACB的平分线，所以EF=EM=EN. Saae=zAE·BE=2·2a·2a=2a2, 9.10.提示：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E, 1 Sase=2CE,BE=2·2a·2a=2a3, PF⊥MN于点F,PG⊥OA于点G,连接OP Sw=2HG·BE=号a+a）·2a=2a3, M 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有 N E △ACD,△ABE,△BCE,△BHG. :点P是△MON外角平分线的交点， 7第十四章 全等三角形么出超 14.2 三角形全等的判定 基础过关练 测试时间：20分钟 ∠BAF=∠CAE,∠B=∠D.求证：BC=DE. 1.如图，已知△ABC的六个元素，则甲、乙、丙三 G 个三角形中和△ABC全等的是( /50 509 58°72A 甲 50° 50丙 A.甲和乙 B.乙和丙 6.如图，DE⊥AB于点E,CF⊥AB于点F,AE= BF,AC=BD.求证：ACBD C.只有乙 D.只有丙 2.下列判断中错误的是( . A,有两个角和一边对应相等的两个三角形 全等 B.有两边和一个角对应相等的两个三角形 全等 C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两 乃中考提能练 测试时间：35分钟 个三角形全等 7.下列条件中能判断△ABC≌△DEF的是 D.有一边对应相等的两个等边三角形全等 (). A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D 3.如图，点B,F,C,E在一条直线上，AB∥ED, B.BC=EF,AC=DF,∠B=∠E ACFD,那么添加下列一个条件后，仍无法判 C.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F 定△ABC≌△DEF的是(). D.AB=DE,∠A=∠D,AC=DF A.∠A=∠D B.AC=DF 8.(2025·湖北武汉外校模拟)在如图所示的6× C.AB=ED D.BF=EC 6网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好 是网格线的交点)，则与△ABC有一条公共边 且全等（不含△ABC)的所有格点三角形的个 数是( D 第3题图 第4题图 4.如图，AB∥FC,E是DF的中点，若AB=20, CF=12,则BD= 5.如图，点F,G分别在△ADE的边AD,DE A.5个 B.6个 上，C,B依次为GF延长线上两点，AB=AD, C.7个 D.8个 13 重难点手册人年级数学上册) 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,AC=5, 11.(经典·山西中考)如图1，在Rt△ABC中， ∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面 ∠ACB=90°，CD⊥AB,垂足为点D,AF平 积为(). 分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F. (1)求证：CE=CF. (2)将图1中的△ADE沿AB向右平移到 △A'D'E'的位置，使点E落在BC边上， B 其他条件不变，如图2所示.试猜想：BE A.15 B.12.5C.14.5D.17 与C℉有怎样的数量关系？请证明你的 10.已知在△OAB和△OCD中，OA=OB,OC= 结论 OD,∠AOB=∠COD=a,AC,BD交于点M. (1)如图1，当a=90°时，∠AMD的度数为 (2)如图2，当a=60°时，∠AMD的度数为 图 图2 (3)如图3，当△OCD绕O点任意旋转时， ∠AMD与a是否存在着确定的数量关 系？如果存在，请你用a表示∠AMD,并 用图3进行证明；若不确定，请说明理由. 城 12.(经典·山东泰安中考)已知在△ABC中， AC=BC,∠ACB=90°，点D是AB的中点， 点E是AB边上一点 (I)直线BF垂直CE于点F,交CD于点G (如图1)，求证：AE=CG; (2)直线AH垂直于CE,垂足为点H,交CD 的延长线于点M(如图2)，找出图2中与 BE相等的线段，并说明理由. 图1 图2 14 第十四章全等三角形么超 13.(2023·福建福州中考)我们知道：如果两个 14.如图，A,B,C三点共线，D,C,E三点共线， 三角形的两边及其中一边的对角对应相等简 ∠A=∠DBC,EF⊥AC于点F,AE=BD 称“SSA”,那么两个三角形不一定全等 求证： (1)如图1，在等腰△ABC中，AB=AC,D为 (1)C是DE的中点； BC上一点，且CD>BD,连接AD,那么 (2)AB=2CF. 在△ABD和△ACD中，AD=AD,AB= AC,∠B=∠C.请判断：△ABD和△ACD (填“全等”或“不全等”)， (2)如图2，遇到(1)的情况，我们可以添加一 定的辅助线构造出全等三角形：在CD上 取一点E,使得AE=AD,连接AE.请判断 △ABD和△ACE是否全等，并说明理由. (3)如图3，在四边形ABCD中，CA平分 ∠BAD,∠ABC+∠ADC=180°，求证： CD=CB C培优突破练 测试时间：20分钟 15.问题提出：学习了三角形全等的判定方法（即 图3 “SAS”“ASA”“AAS”“SSS”)和直角三角形全 等的判定方法（即“HL”)后，我们继续对“两 个三角形满足两边和其中一边的对角对应相 等”的情形进行探究 初步思考： 我们不妨先将问题用符号语言表示为在 △ABC和△DEF中，AC=DF,BC=EF, ∠B=∠E,然后对∠B进行分类，可分为∠B 是直角、钝角、锐角三种情况进行探究， 深入探究： 第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌ △DEF (1)如图1，在△ABC和△DEF中，AC= DF,BC=EF,∠B=∠E=90°，根据 可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF, 第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌ △DEF. 15 重雕点手册人年级教学上册) (2)如图2，在△ABC和△DEF中，AC= 16.已知在四边形ABCD中，对角线AC,BD相交 DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E 于点E,且AC⊥BD,作BF⊥CD,垂足为点 都是钝角，求证：△ABC≌△DEF F,BF与AC交于点G,∠BGE=∠ADE: 第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和 (1)如图1，求证：AD=CD; △DEF不一定全等： (2)如图2，BH是△ABE的中线，若AE= (3)在△ABC和△DEF中，AC=DF,BC= 2DE,DE=EG,在不添加任何辅助线的 EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角，请 情况下，请直接写出图2中四个三角形， 你用尺规在图3中作出△DEF,使 使写出的每个三角形的面积都等于 △DEF和△ABC不全等（不写作法，保 △ADE面积的2倍. 留作图痕迹) (4)∠B还要满足什么条件就可以使△ABC≌ △DEF?请直接写出结论：在△ABC和 △DEF中，AC=DF,BC=EF,∠B=∠E, 且∠B,∠E都是锐角，若 ,则 图 图2 △ABC≌△DEF. 图3 16