16.1.1 同底数幂的乘法-【重难点手册】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

16 第十六章 整式的乘法 16.1幂的运算 16.1.1同底数幂的乘法 重点和难点 课标要求 重难点：am·a”=am+n(m,n都是正整数)， 掌握同底数幂的乘法，并能熟练地进行有关计算， 口01一必备知识梳理。 知识点1同底数幂的乘法法则 易错点 不能正确地化异底数幂为同底数幂 1.法则的推导 例计算(-)×号月. 同底数幂的乘法法则的推导并不难，但十 分重要，其理论依据就是乘方的意义， 错解 原式=一（ )×传)= 一般地，对于任意底数a与任意正整数 m,n,有 错因 误认为(”=-（兮》月 am·a”=(a·a·…·a)·(a·a·…·a)= 正解 m个a n个a 原式=（号》×）'= a·a·…·a=am+n 知识点2同底数幂乘法法则的拓展 (m十n)个a 2.两种表述方式 1.同底数幂个数的拓展 数学语言：am·a”=am+"(m,n都是正整数) 对于三个或三个以上的同底数幂相乘，同 文字语言：同底数幂相乘，底数不变，指数 样满足以上法则，即 相加. am·an。…·ap=am+++p(m,n,…,p 特别提醒 都是正整数). 2.底的拓展 将互为相反数的底数化为相同的底数时，要注 意负数的偶次幂为正，奇次幂为负，形式上为 由于同底数幂的乘法法则是对任意的底 (-a)2m=a2,(-a)2m+1=-a2m+1, 数a,所以a可以为其他形式的代数式（单项 式、多项式)等.如将底数a换作(a十b)时，亦 例①计算： 有(a十b)m·(a十b)”=(a+b)m+"(m,n都是 (1)m·m3; 正整数)， (2)(x+y)5·(x+y)8; 例2计算下列各式： (3)(-x)3·(-x)4·(-x); (1)(-b)·(-b)2·(-b)3; (4)a4·(-a)3 (2)(m-n)4·(m-n)3·(m-n)2; 解析（1)原式=m4. (3)a·a3m·a2m+1 (2)原式=(x十y)3. 解析(1)原式=(-b)1+2+3=(-b)°=b5. (3)原式=一x8. (2)原式=(m-n)+3+2=(m-n)°. (4)原式=-a. (3)原式=a1+3m+2m+1=a5m+2. 73 重难点手册人年级数学上册团 02一关健能力提升。 题型1化异底为同底后再作幂的乘法 例4已知xm=3,xm+”=15,则x”= 计算同底数幂时，要求底数相同.有些时 候会遇到底数不相同的情况，比如例3，这类问 解析，xm+n=xm·x”,xm=3,xm+n 题的底数看似不同，但是仍然可以找到底数间 =15, 的关系一互为相反数，可以通过相关知识转 ∴.15=3·x”,得x”=5. 化为相同的底数再进行计算. 答案5. 例3计算：(-a)·a2·(-a)3. ●变式2已知am=2,a”=8,则am+n= 解析方法一 原式=(-1)·a·a2·(-1)3·a3 题型3解简单的指数方程 =(-1)4·a·a2·a3 对于用参数表示指数的幂的运算，同样要 =a1+2+3 能准确地识别底数，并找出相同的底数.运算 =a. 时，底数不变，直接把指数相加，所得的和作为 方法二原式=(-a)·(-a)3·a2 积的指数.再利用指数之间的关系，得到关于 =(-a)1+3·a2 参数的方程，进而求解参数： =a4.a2 例⑤如果5m-”·53m+1=510,且9m-1· =a6. 94-"=9,求2m十n的值. 特别提醒 解析，5m-n·53m+1=510,9m-1.94-n= a”（n为偶数)， 96,∴.m-n+3n+1=10,m-1+4-n=6, (-a)”= 一a”(n为奇数). 即m+2m=9,m-n=3.∴.2m+n=(m十 a可以为单项式，也可以为多项式， 2n)+(m-n)=9+3=12. 特别提醒 ●变式1计算：一(x一y)·(y一x)2· (1)当底数互为相反数时，先化为同底数形式. (y-x)3. (2)当底数为一个多项式时，我们可以把这个 题型2同底数幂乘法法则的逆用 多项式看成一个整体 法则的归纳有利于计算的便捷，法则的 (3)先化同底，然后判断最终的符号，最后得出 使用更是灵活多变的.在使用法则时，可以正 答案 用，也可以逆用，即am+"=am·a"(m,n都是 ◆变式3已知20=3,2=6,2=12，求a, 正整数)， b,c中每两个字母之间的关系 03热点考向聚焦一。一 考向1同底数幂的乘法运算 C.3a+12b D.a3+63 例6(2025·湖北武汉一初模拟)已知3m 解析33m+12m=33m·312m=(3m)3。(34)3m a,81”=b,m,n为正整数，则33+12的值为( =(3m)3·(81)3m=(3m)3·(81")3=a3b3. A.ab B.27ab 答案A 74