专题02 实际问题与一元二次方程讲义 2025-2026学年人教版九年级上学期期中专题复习

该初中数学讲义通过表格系统梳理列一元二次方程解应用题的步骤，将“审设列解验答”六步及注意事项清晰呈现，按数字问题、平均变化率问题等五大高频考点分类构建知识脉络，用考频标注突出重点，形成完整知识体系。 讲义亮点在于“考点-例题-方法”分层设计，如平均变化率问题结合共享单车投放情境，引导学生用方程模型解决实际问题，培养推理能力与模型意识。利润问题例题涵盖降价、库存等不同情境，基础学生可掌握公式应用，优秀学生能深化变量关系分析，助力教师实施分层教学，提升复习效率。

专题02 实际问题与一元二次方程 考点01（★★★）数字问题 4 考点02（★★★）平均变化率问题 6 考点03（★★★）利润问题 7 考点04（★★★）单循环、双循环问题 10 考点05（★★★）图形面积问题 11 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤 步骤 内容 注意事项 审 审清题意，明确已知和未知，找到它们之间的等量关系． 等量关系往往体现在关键词句中． 设 设未知数，方法有直接设元法、间接设元法和辅助设元法（引入辅助未知数，并在解题过程中消去）． 有单位的要带单位． 列 用含有未知数的代数式表示有关的量，根据等量关系列出方程． 方程两边单位要统一． 解 根据方程的特点，选择适当解法求出未知数的值． 一般不必写出解方程的过程． 验 检验未知数的值是否满足所列方程，检验该值在实际问题中是否有意义． 一般两个根中只有一个符合实际意义． 答 写出实际问题的答案． 遵循“问什么答什么”的原则． 2．在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 3．一元二次方程实际问题的常见题型 （1）传播问题 传染源+第一轮被传染的+第二轮被传染的=两轮传染后的总数 （2）平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n． （3）几何图形问题 涉及的常见计算与证明有三角形的三边关系、三角形全等、三角形相似、勾股定理、各种规则图形的面积、体积或周长公式． （4）数字问题 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b； 一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． （5）商品销售问题 利润=售价一进价． 利润率==． 售价=进价×（1+利润率）． 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． （6）存款利息问题 税前利息=本金×利率×期数． （7）动点问题： 物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 1．列一元二次方程解决实际问题时应注意： （1）注意各类实际问题中常见的等量关系． （2）注意文字语言与代数式之间的互化，能把用文字语言表述的关系用代数式表示出来 （3）注意单位问题，一是在设未知数时必须写清单位；二是列方程时，要注意方程两边的单位必须一致，答时必须写上单位． （4）一般情况下一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合题意以及使实际问题有意义． 2．列方程解实际问题的三个重要环节： （1）整体地、系统地审题； （2）把握问题中的等量关系； （3）正确求解方程并检验解的合理性． ►考点中的“★”代表考频，★的数量越多，表示考试频度越高◄ 考点01（★★★）数字问题 一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数表示为10a+b；一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数表示为100a+10b+c． 【例1】　　（2023秋•竹山县期中）对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“共生数”．例如：四位数2156，因为2×6＝2×（1+5），所以2156是“共生数”．有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位上的数字多3，十位上的数字比个位上数字的一半少1，则这个“共生数”四位数的个位数字为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】见试题解答内容 【分析】可令个位上的数字为x，根据题意可得：千位上的数字为x，百位上的数字为x+3，十位上的数字为x﹣1，再结合“共生数”的定义，可得到关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：令个位上的数字为x， 根据题意可得：千位上的数字为x，百位上的数字为x+3，十位上的数字为x﹣1， ∵这个四位数是“共生数”， ∴x2＝2（x+3x﹣1）， 解得：x1＝4，x2＝﹣1（不符合题意，舍去）， 故选：B． 【例2】　　（2024秋•铁岭期末）我国民间流传着一道《周瑜寿数》的诗歌形式的数学题：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜逝世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则根据题意可列方程为（　　） A．（x+3）+10x＝x2 B．10（x﹣3）+x＝x2 C．10（x﹣3）﹣x＝x2 D．10+（x﹣3）＝x2 【答案】B 【分析】设周瑜逝世年龄的个位数字为x，根据题意列出方程即可． 【解答】解：设周瑜逝世年龄的个位数字为x，则该数的十位数字为（x﹣3）， 根据题意得，10（x﹣3）+x＝x2． 故选：B． 【例3】　　（2025秋•河西区校级月考）已知一个两位数的十位数字比个位数字大2，两位数字的积比这个两位数小34，则这个两位数为　　 ． 【答案】42或97． 【分析】设个位数字为x，则十位数字为（x+2），根据两位数字的积比这个两位数小34，列出方程进行求解即可． 【解答】解：设个位数字为x，则十位数字为（x+2）， 由题意得：x（x+2）+34＝x+（x+2）×10， 整理得，x2﹣9x+14＝0， 解得：x＝2或x＝7， ∴这个两位数为：42或97， 故答案为：42或97． 考点02（★★★）平均变化率问题 设基数为a，平均增长（或减少）率为x，则第一次增长（或减少）后的值为a（1±x），第二次增长（或减少）后的值为a（1±x）2，以此类推，第n次增长（或减少）后的值为a（1±x）n． 【例4】　　（2025•沈阳模拟）摩拜共享单车计划2023年第三季度（7，8，9月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划7月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（　　） A．3000（1+x）2＝12000 B．3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 C．3000（1﹣x）2＝12000 D．3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000 【答案】D 【分析】8月投放摩拜单车3000（1+x）台，9月投放摩拜单车3000（1+x）2台，由此即可列出方程求解． 【解答】解：由题意得：3000+3000（1+x）+3000（1+x）2＝12000． 故选：D． 【例5】　　（2024秋•梁溪区校级期末）某工厂经过两年时间将某种产品的产量从每年14400台提高到16900台．若设平均每年的增长率为x，则可得方程（　　） A．14400（1+x）2＝16900 B．14400（1+x2）＝16900 C．14400（1+2x）＝16900 D．14400x2＝16900 【答案】A 【分析】根据平均每年的增长率为x，则在第一年是14400（1+x），第二年是14400（1+x）2，即可列方程． 【解答】解：设平均每年增长的百分率为x，第一年是14400（1+x）， 第二年是14400（1+x）2， 故14400（1+x）2＝16900． 故选：A． 【例6】　　（2024秋•达州期末）按照党中央、国务院决策部署，为了活跃市场主体、助推各地区经济发展，各省市地区抓紧推动稳经济一揽子政策落实落地．江夏区制定了“黄金十条”，坚定企业疫后发展信心，促进企业稳步高效增长.2022年我区某企业4月份的利润是100万元，第二季度的总利润达到500万元，设利润平均月增长率为x，则依题意列方程（　　） A．100（1+x）2＝500 B．100（1+x2）＝500 C．100（1+x）+100（1+x）2＝500 D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝500 【答案】D 【分析】根据该企业4月份的利润及利润平均月增长率，可得出该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元，结合该企业第二季度的总利润达到500万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵该企业4月份的利润是100万元，且利润平均月增长率为x， ∴该企业5月份的利润是100（1+x）万元，6月份的利润是100（1+x）2万元． 依题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2＝500． 故选：D． 考点03（★★★）利润问题 利润=售价一进价； 利润率==； 售价=进价×（1+利润率）； 打折后的价格=售价×打折数×． 总利润=总售价－总成本=单个利润×总销售量． 【例7】　　（2025秋•鼓楼区月考）超市以每件10元的价格购进了一批玩具，定价为20元时，平均每天可售出80个．经调查发现，玩具的单价每降1元，每天可多售出40个；玩具的单价每涨1元，每天要少售出5个．如何定价才能使每天的利润为1400元？ 【答案】15元或17元． 【分析】设每件玩具的定价为x元，分10＜x≤20及x＞20两种情况考虑，根据总利润＝每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设每件玩具的定价为x元． 当10＜x≤20时，每件玩具的销售利润为（x﹣10）元，平均每天可售出80+40（20﹣x）＝（880﹣40x）， 根据题意得：（x﹣10）（880﹣40x）＝1400， 整理得：x2﹣32x+255＝0， 解得：x1＝15，x2＝17； 当x＞20时，每件玩具的销售利润为（x﹣10）元，平均每天可售出80﹣5（x﹣20）＝（180﹣5x）， 根据题意得：（x﹣10）（180﹣5x）＝1400， 整理得：x2﹣46x+640＝0， ∵Δ＝（﹣46）2﹣4×1×640＝﹣444＜0， ∴此种情况下原方程没有实数根． 答：每件玩具的定价应为15元或17元． 【例8】　　（2024秋•旬阳市期末）某商店销售标有“助力陕西”的文化衫，其成本为每件30元．销售大数据分析表明：当每件售价为40元时，平均每月售出600件；若售价每下降1元，其月销售量就增加200件．为了回笼资金，该商店决定降价促销，在库存只有1300件“助力陕西”文化衫的情况下，若预计月获利恰好为8400元，则每件文化衫应降价多少元？ 【答案】每件文化衫应降价3元． 【分析】设每件文化衫应降价x元，根据“月获利恰好为8400元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【解答】解：设每件文化衫应降价x元， 根据题意，列方程得（40﹣30﹣x）（600+200x）＝8400， 整理，得x2﹣7x+12＝0， 解得x1＝3，x2＝4， 当x＝4时，销售量为1400件，而1400＞1300，故x＝4（舍去）； 当x＝3时，销售量为1200件，而1300＞1200，故x＝3， 答：每件文化衫应降价3元． 【例9】　　（2025•郓城县模拟）某超市销售一批羽绒服，平均每天可售20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件，如果超市要保证平均每天要盈利1200元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】本题可设每件羽绒服应降价x元，因为每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出2件，所以降价后每件可盈利（40﹣x）元，每天可售（20+2x）件，又因平均每天要盈利1200元，所以可列方程（40﹣x）（20+2x）＝1200，即可求解． 【解答】解：设每件羽绒服应降价x元， 依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10；x2＝20； 为了使顾客多得实惠，所以要尽量多降价，故x取20元． 答：每件羽绒服应降价20元． 考点04（★★★）单循环、双循环问题 （1）单循环问题（握手、两队打一场比赛）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为； （2）双循环问题（两队打两场比赛、互赠卡片）：设参加球队数为x，则全部比赛场数为． 【例10】　　（2025春•长兴县期中）龙山中学第二届“龍BA”篮球联赛正在如火如荼地进行，其中初二男子甲级比赛将所有班级平均分成4个小组，每组x支球队，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝60 B．x（x+1）＝60 C．2x（x﹣1）＝60 D． 【答案】C 【分析】赛制为单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），每个小组x个球队比赛总场数，由此可得出方程． 【解答】解：设每个小组有x支球队，每个队都要赛（x﹣1）场，第一阶段每个小组内部实行单循环比赛（每两支球队之间都只比赛一场），计划安排一共60场比赛， 由题意，得， 整理得：2x（x﹣1）＝60， 故选：C． 【例11】　　（2024秋•江阳区期末）参加一次商品交易会活动的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了36份合同，请问共有多少公司参加此次商品交易会？ 【答案】9家． 【分析】设共有x家公司参加此次商品交易会，利用签订合同的总份数＝参加此次商品交易会的公司数×（参加此次商品交易会的公司数﹣1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设共有x家公司参加此次商品交易会， 根据题意得：x（x﹣1）＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0， 解得：x1＝9，x2＝﹣8（不符合题意，舍去）． 答：共有9家公司参加此次商品交易会． 【例12】　　（2025春•湛江校级期末）一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都赛两场），共要比赛90场，共有多少个队参加比赛？ 【答案】共有10支队参加比赛． 【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝90，把相关数值代入计算即可． 【解答】解：设有x队参加比赛． 依题意，得x（x﹣1）＝90， （x﹣10）（x+9）＝0， 解得x1＝10，x2＝﹣9（不合题意，舍去）． 答：共有10支队参加比赛． 考点05（★★★）图形面积问题 【例13】　　（2025•盐城一模）如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD，为了方便出入，建造篱笆花圃时在BC边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设AB的长为x米，则可列方程为（　　） A．x（18﹣3x）＝40 B．x（20﹣2x）＝40 C．x（22﹣3x）＝40 D．x（20﹣3x）＝40 【答案】D 【分析】根据篱笆的总长及AB的长，可得出BC的长，再利用长方形的面积公式，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵篱笆的总长为18米，AB的长为x米， ∴BC的长为18+2﹣3x＝（20﹣3x）米． 根据题意得：x（20﹣3x）＝40． 故选：D． 【例14】　　（2025秋•南海区校级月考）如图，一块长方形绿地的长为100米．宽为50米，在绿地中修建两条道路后剩余的面积为4851平方米，根据题意可列出方程为（　　） A．5000﹣150x＝4851 B．5000﹣150x﹣x2＝4851 C．5000﹣150x+x2＝4851 D．（100﹣x）（50﹣x）＝4851 【答案】D 【分析】由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4851m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：依题意，得：（100﹣x）（50﹣x）＝4851， 故选：D． 【例15】　　（2025•道里区校级模拟）如图，要把长为4m、宽为3m的长方形花坛四周扩展相同的宽度xm，得到面积为30m2的新长方形花坛，则x的值为（　　） A．4.5 B．2 C．1.5 D．1 【答案】D 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为30m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意得：（4+2x）（3+2x）＝30， 整理得：2x2+7x﹣9＝0， 解得：x1＝1，x2＝﹣4.5（不合题意，舍去）． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $