专题04 函数的图像和性质（讲义）-2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及山东省历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026版山东省（春季高考）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为函数的图像和性质。 2026版山东省（春季高考） 《数学考纲专题练》 专题04 函数的图像和性质 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 一、课标解读 1. 函数的单调性 · 增函数 · 减函数 2. 函数的奇偶性 · 奇函数 · 偶函数 3. 函数的最值 · 最大值 · 最小值 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2023 选择题 7 函数的单调性(求参数） 3 （1）题型：选择题、填空题、解答题。 （2）分值：每年都有涉及，分值占6-14分。 （3）内容：普通函数的单调性和奇偶性、抽象函数的单调性和奇偶性、单调性和奇偶性的图像性质运用。 填空题 25 偶函数、周期函数 4 解答题 26 二次函数求解析式、证明函数的奇偶性 7 2024 选择题 6 偶函数的定义、充要条件 3 选择题 10 函数的单调性 3 2025 选择题 5 对数函数单调性 3 选择题 7 奇函数的定义求值 3 解答题 26 抽象函数的单调性 7 三、考点预测 根据2023-2025年的真题考情，预估2026年山东省春季高考有3道题，分别是选择题、填空题和解答题，考查函数的单调性和奇偶性，分值占14分。 具体考点可能涉及如下内容： · 各类函数的单调性 · 各类函数的奇偶性 · 函数的最值 四、知识梳理 （一）函数的单调性 1.单调函数的定义 单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I.∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 增(减) 函数 当函数f(x)在它的定义域上单调递增(减)时，我们就称它是增(减)函数 2．单调性与单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． （二）函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有f(x)≤M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M (1)∀x∈I，都有f(x)≥M； (2)∃x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为函数y＝f(x)的最大值 M为函数y＝f(x)的最小值 （三）函数的奇偶性 偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象 特征 关于y轴对称 关于原点对称 （四）函数的奇偶性性质 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； (2)y＝f(x)g(x)与y＝为偶函数； 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝均为奇函数。 五、10分钟小测验 1．下列函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移1个单位，向上平移2个单位 B．向左平移1个单位，向下平移2个单位 C．向右平移1个单位，向上平移2个单位 D．向右平移1个单位，向下平移2个单位 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 4．若奇函数在区间上是增函数，且最小值为3，则它在区间上是（    ） A．增函数且有最大值 B．增函数且有最小值 C．减函数且有最大值 D．减函数且有最小值 5．若函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 6．若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，则（　　） A．是奇函数，且在上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数 9．若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 10．已知函数则的最小值是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案解析】 1．B 【分析】根据基本初等函数的性质逐项分析判断即可． 【详解】根据幂函数、反比例函数、对数函数的图像特性可知， 、、皆在上单调递增， 而，根据指数函数图像特性可知， 在单调递减，所以在上为减函数． 故选：B． 2．B 【分析】根据函数图象平移规律求解. 【详解】根据题意，将函数的图象向左平移1个单位，得， 再向下平移2个单位，得. 故选：B 3．B 【分析】由函数奇偶性和单调性的定义依次判断各选项即可. 【详解】对于A，是偶函数，不是奇函数，故A错误； 对于B，是奇函数，且是增函数，故B正确； 对于C，是非奇非偶函数，故C错误； 对于D，是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 4．A 【分析】根据奇函数的特性分析在的单调性，再结合判断即可． 【详解】因为函数在区间上是增函数，且有最小值3，所以，又为奇函数，所以函数在区间上是增函数，且有最大值． 故选：A． 5．D 【分析】根据增函数的定义求解即可． 【详解】因为在上是增函数，且，所以． 故选：． 6．D 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 7．B 【分析】根据函数的单调性可得最值. 【详解】由函数在区间上是减函数， 可知当时，函数取最小值. 故选：B 8．A 【分析】根据函数的奇偶性的定义和指数函数的单调性的性质判断即可. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递增. 故选：A. 9．D 【分析】利用函数图象，结合函数单调性的定义，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，单调递增区间是， 又由图知，而，所以A不正确， 故选：D. 10．C 【分析】数形结合，画出函数的图象即可求解. 【详解】根据题意，画出函数的图象如下：    由图可知，的最小值是. 故选：C 六、经典例题解析 【考试题型1】函数的单调性 例1.（24山东真题）已知是定义在上的减函数，若，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数单调性的性质可得若，则有，解可得x的取值范围，即可得答案． 【详解】因为是定义在上的减函数，若， 则，解得. 所以x的取值范围. 故选：B. 例2.（23山东真题）若函数在上是减函数，则实数m取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数是减函数的性质，分析m的取值范围即可. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以，解得， 所以实数m的取值范围为. 故选：B. 例3.（22山东真题）已知且，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的单调性求得. 【详解】当时，,在上是减函数，在上是减函数， 且当时，，即满足在上是减函数，具有单调性； 当时，,在上是增函数，在上是增函数， 要使在上具有单调性，即为增函数，必须满足, 解得; 综上，实数的范围或. 故答案为：. 【考试题型2】函数的奇偶性 例1.（23山东真题）已知偶函数的定义域是，对定义域内任意的x都有，当时，，则的值是_______． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意作出函数图像判断函数的周期即可求解. 【详解】因为函数对定义域内任意的x都有， 所以函数图像的对称轴是； 因当时，， 则的图像如图所示， 所以当时，的图像如图所示； 因为是偶函数， 所以在上的图像，如图所示； 再根据函数图像关于对称，作出函数图像， 再根据函数是偶函数，作出函数图像， …… 可以发现函数的周期是4， 于是． 故答案为：0. 例2.（22山东真题）已知函数是奇函数，则实数的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】解：由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C 例3.（18山东真题）奇函数的局部图像如图所示，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据奇偶性得到；再根据图形中给出的的关系，进行转化即可得到之间的大小关系. 【详解】因为奇函数，所以, 因为，所以,即， 选A. 【点睛】奇、偶函数对应的与的关系： (1)若是奇函数，则有； (2)若是偶函数，则有. 例4.（16山东真题）若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【考试题型3】函数的最值 例1.（23山东真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【答案】（1） （2）偶函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由二次函数的对称轴和最小值，即知道顶点坐标，由顶点坐标公式求解即可. （2）由偶函数的定义，先证定义域关于原点对称，再证明即可. 【小问1详解】 因为函数的对称轴为，最小值为2， 所以 解得 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 为偶函数．因为，则， 其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数． 例2.（17山东真题）已知二次函数的图像经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【考点】二次函数的性质． 【分析】由题意可得对称轴x=1，最大值是5，故可设f（x）=a（x﹣1）2+5，代入其中一个点的坐标即可求出a的值，问题得以解决 【解答】解：二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3），则对称轴x=1，最大值是5， 可设f（x）=a（x﹣1）2+5， 于是3=a+5，解得a=﹣2， 故f（x）=﹣2（x﹣1）2+5=﹣2x2+4x+3， 故选：D． 例3.（15山东真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 例4.（15山东真题）已知函数（且）在区间上的最大值是16， （1）求实数的值； （2）假设函数的定义域是，求不等式的实数的取值范围． 【答案】（1）或；（2）． 【分析】（1）当时，由函数在区间上是减函数求解；，当时，函数在区间上是增函数求解； （2）根据的定义域是，由恒成立求解． 【详解】（1）当时，函数在区间上是减函数， 因此当时，函数取得最大值16，即， 因此． 当时，函数在区间上是增函数， 当时，函数取得最大值16，即， 因此． （2）因为的定义域是， 即恒成立． 则方程的判别式，即， 解得， 又因为或，因此． 代入不等式得，即， 解得， 因此实数的取值范围是． 七、专题归纳小结 【专题内容总结1函数的单调性】 1.增函数的图像整体呈向上的趋势，与的变化趋势相同。 2.减函数的图像整体呈向下的趋势，与的变化趋势相反。 【专题内容总结2函数的奇偶性】 3.奇函数的图像关于原点对称，并且有性质，如果原点处有意义那么。 4.偶函数的图像关于轴对称，并且有性质。 【专题内容总结3函数的最值】 5.函数的最值问题常常与单调性问题结合起来。 6.二次函数的最值通常在三个地方取到：对称轴、左端点、右端点 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $