1.3 三角函数的计算（分层作业）数学北师大版九年级下册

1.3 三角函数的计算 1．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 3．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 4．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 5．请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 7．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 9．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 10．如果，那么锐角 度 11．在Rt中，，那么的度数为 ． 12．计算： ． 13． ． 14． ． 15．计算：． 16．计算：． 1．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 2．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 3．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 4．中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A．B．C． D． 8．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还会学到三角函数公式：，． 例：． (1)试仿照例题，求出的准确值． (2)已知，试求出的准确值． (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值． 1．如图1，在中，，动点P从点A开始出发向点C运动，连接，设，，如图2是y关于x的函数图象，点Q是函数图象上的最低点．观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，x的值为7；④当时，是钝角三角形．其中正确的是（    ）      A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 2．【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 2．【课本再现】（）如图，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了（    ） A．二等分                B．三等分                C．四等分 【类比探究】（）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，（    ） ，______， ，即． （）如图，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（）如图，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请求出的长． 3．阅读、理解、应用 我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边可以看作是将射线绕点O逆时针旋转后所得到的，P和原点的距离为（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中x，y分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1的三个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关．请根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则　　． (2)已知是钝角，则下列说法正确的是　　（填写序号）． ①；②；③；④． (3)证明：若角α是锐角，则； (4)若，若角α的终边在直线上，试求的值． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 三角函数的计算 1．计算的结果是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键．将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】解： ． 故选：C． 2．与的结果相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入各选项计算即可，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：由， 、，不符合题意； 、，符合题意； 、，不符合题意； 、， 故选：． 3．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键；根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：，， ， 故选：． 4．的值等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值，将特殊三角函数值代入计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 5．请用我们课本上采用的科学计算器按键，显示的结果最接近的整数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了用计算器计算无理数，特殊角的三角函数值，掌握计算器的使用是关键．根据题意可得需要计算的是的值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，运用科学计算器录入后显示的数据为， ∴最接近的整数是2， 故选：C． 6．计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含三角函数的混合运算，将特殊角三角函数值代入，再计算二次根式的乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解：， 故选：D． 7．若，均为锐角，且，，则（   ） A．， B． C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角的度数，根据特殊角的三角函数值进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，； 故选A． 9．已知∠A是锐角，且满足，则的大小为 ． 【答案】． 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 据题目所给的等式求出的值，即可求出的大小． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 10．如果，那么锐角 度 【答案】30 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键，直接利用特殊角的三角函数值进而求得答案． 【详解】解：∵， ∴锐角， 故答案为：30． 11．在Rt中，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】根据求出的度数，然后根据直角三角形两个锐角互余求出的度数． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∴=. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 13． ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、特殊角的三角函数值和二次根式的性质分别运算，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 14． ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键． 根据特殊角的三角函数值解决此题． 【详解】解：原式 = 故答案为： 15．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键掌握几个特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解：原式， ． 16．计算：． 【答案】9 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键，原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则，特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【详解】解：原式=． 1．在锐角中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数，非负数的性质，三角形内角和等知识，根据非负数的性质、特殊角三角函数求得是解题的关键；由非负数的性质及特殊角三角函数求得，再由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．如果三角形满足一个角是另一个角的4倍，那么我们称这个三角形为“倍角三角形”．下列各组数据中，能作为一个倍角三角形三边长的一组是（   ） A．1，2，3 B．1，1， C．1，1， D．1，2， 【答案】C 【分析】本题考查三角形及其性质、解直角三角形，A选项三边不满足三角形三边关系，B选项为等腰直角三角形，D选项为直角三角形，C选项为等腰三角形，且角度为，，，满足条件． 【详解】解：A．，三边不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不合题意； B．，则此三边构成等腰直角三角形，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； C．1，1，，此三边构成一个等腰三角形，通过作底边上的高可得到底角为，顶角为，满足一个角是另一个角的4倍，符合题意； D．1，2，，此三边构成直角三角形，最小角为，不能满足一个角是另一个角的4倍，不合题意； 故选：C． 3．已知，，，则（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理的逆定理，直角三角形，如图①，过O作于H，由等腰三角形的性质推出，，由，求出，得到，由勾股定理的逆定理得到，求出，由等腰三角形的性质即可求出；如图②，求出，由等腰三角形的性质即可求出，于是得到答案． 【详解】解：如图①，过O作于H， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； 如图②， 由图①知，， ， ， ， 综上所述，或． 故选：D． 4．中，如果，满足，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，，然后根据特殊角的三角函数值求出，，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵，， 且， ∴，， ∴，， ，， ，， ． 故选：B． 5．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则锐角α的余角等于（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式以及特殊锐角的三角函数值，熟练掌握当时，方程有两个相等的实数根是解题的关键．根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再根据特殊角的三角函数值即可得出锐角的度数，继而得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得：， 锐角等于， 则锐角的余角等于， 故选：D． 6．如图，在矩形中，，在上取一点E，使，则度数为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解直角三角形，先由矩形的性质和已知条件证明，然后解直角三角形推出，据此可求出的度数，最后求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．为了方便行人推车过某天桥，市政府在高的天桥一侧修建了长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求出角度的度数，根据题意可得，据此即可求解，掌握正弦的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∴按键顺序是， 故选：． 8．已知，那么锐角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了特殊角的三角函数值和锐角三角函数的增减性的应用，注意∶当角是锐角时，其正弦和正切随角度的增大而增大，余弦随角度的增大而减小；根据三角函数的增减性求解即可； 【详解】解： 是锐角， ， ，，， ， 故选：A； 9．亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还会学到三角函数公式：，． 例：． (1)试仿照例题，求出的准确值． (2)已知，试求出的准确值． (3)根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出的准确值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照例题，将拆分为，利用两角和的余弦公式计算； （2）利用正切的定义，结合和的结果计算； （3）构造含角的直角三角形，通过线段关系计算正切值． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解：如图所示． 设，则， ． 【点睛】本题考查两角和的三角函数公式与直角三角形的应用，掌握利用两角和的公式拆分角度计算三角函数值，通过构造直角三角形结合线段关系求解正切值是解题的关键． 1．如图1，在中，，动点P从点A开始出发向点C运动，连接，设，，如图2是y关于x的函数图象，点Q是函数图象上的最低点．观察图象，对于以下结论：①，；②；③当是直角三角形时，x的值为7；④当时，是钝角三角形．其中正确的是（    ）      A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图像，含30度直角三角形的性质，从函数图像获取相关信息是解题的关键． 观察图像即可判断①；作于D，由图像知当时，最短，则可求得，再由①的结论求得，，进而可判断②；作交于E，由，则得，，因而可求得，当点P与点E重合时，，此时；当点P与点D重合时，，此时，由此可判断③；由③的计算过程可知，当点P在线段（不含端点）上运动时，即当时，为钝角三角形，故可判断④，最后可确定答案． 【详解】由图得时，，此时P点运动到了C点． ，，故①正确； 作于D，如图，   点P运动到D点时，最短，即， ， 在中，，， ， ， ， ， ，故②不正确； 如图，作交于E， ， ，， 在中，， ， 当点P与点E重合时，，此时， 当点P与点D重合时，，此时， 当是直角三角形时，x的值为1或7，故③不正确； 由上述③的计算过程可知，当点P在线段（不含端点）上运动时， 即当时，为钝角三角形，故④正确． 综上，正确的是①④． 故选C． 2．【问题发现】如图1，在中，，探究与的数量关系．小浅在经过思考后，决定通过分割角度的方法解决问题：如图2，小浅作交于，将割成与，发现是特殊角，进而通过三角函数解决了问题． 【解决问题】（1）请沿着小浅同学的思路，直接写出与的数量关系； 【方法应用】（2）请你使用小浅同学解决问题的方法或使用其他方法，解决如下问题：如图3，在等腰中，，，，，求的度数； 【拓展提升】（3）如图4，在中，，，点在线段上，且为等边三角形，连接，若，试求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由等角对等边得出，求出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出答案； （2）取中点E，连接，．由是等腰直角三角形得，由直角三角形斜边中线的性质得，结合可得是等边三角形，推出，进而即可求解； （3）过点E作，且，连接，，证明，得出，勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，进而解，得出，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示： ，， ， ，， ， ， ； （2）如图，取中点E，连接，． ，，点E是中点， ，， ，点E是中点， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ； （3）如图，过点E作，且，连接，， 是等腰直角三角形， ，， 在中，，， ，， ，，即， ， ， 为等边三角形，， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ，，， 是等腰直角三角形， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 2．【课本再现】（）如图，把矩形对折得到折痕，再一次对折，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到新折痕，把纸片展平．这个折纸的过程实际上就是把分成了（    ） A．二等分                B．三等分                C．四等分 【类比探究】（）类似的，通过折纸也可以折出矩形一边的三等分点．如图，把矩形对折两次，对角线与折痕相交于点，沿直线再次折叠，折痕交于点，此时有．请你补充下列证明过程： 证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ，（    ） ，______， ，即． （）如图，先把矩形沿对折，再沿折叠，折痕交对角线于点，过点折叠矩形，使得点落在上，得到折痕．请判断点是否为边的“三等分点”？并证明你的结论． 【拓展应用】（）如图，在矩形中，，，点是边的三等分点，把沿翻折得，直线交于点，请求出的长． 【答案】（）；（），，，；（）点是边的“三等分点”，证明见解析； （）或 【分析】（）利用折叠的性质和锐角三角函数可得，即得，进而可得，即可求解； （）根据题意补全证明过程即可； （）由可得，进而由得，即得，即可求证； （）分和两种情况，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】（）解：由折叠可得，，，，， ∴， 在中，， ∴， ∴, ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴这个折纸的过程实际上就是把分成了三等分 ， 故选：； （）证明：如图，在矩形中，， 由折叠可知，，， ， ， ， ， ， 即， 故答案为：，，，； （）解：点是否为边的“三等分点”． 证明：在矩形中，，， 由折叠可得，，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是否为边的“三等分点”； （）如图，当时， 由题意知，，，，， 设，，则，， 在，， ∴， 在和中，， ∴， 由①②联立得，， 解得， ∴， ∴； 如图，当时， 同理可得，， 解得， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 3．阅读、理解、应用 我们学习过锐角的正弦余弦和正切三种三角函数，即在图1所示的直角三角形ABC，∠A是锐角，，，．为了研究需要，我们再从另一个角度来规定一个角的三角函数的意义： 设有一个角，我们以它的顶点作为原点，以它的始边作为x轴的正半轴，建立直角坐标系（图2），在角α的终边上任取一点P，它的横坐标是x，纵坐标是y，终边可以看作是将射线绕点O逆时针旋转后所得到的，P和原点的距离为（r总是正的）然后把角α的三角函数规定为：，，（其中x，y分别是点P的横、纵坐标）我们知道，图1的三个比值的大小与角A的大小有关，而与直角三角形的大小无关，同样图2中四个比值的大小也仅与角α的大小有关，三个比值的正、负取决于角α的终边所在的象限，而与点P在角α的终边位置无关．请根据第二种定义回答下列问题． (1)若，则　　． (2)已知是钝角，则下列说法正确的是　　（填写序号）． ①；②；③；④． (3)证明：若角α是锐角，则； (4)若，若角α的终边在直线上，试求的值． 【答案】(1)1 (2)①② (3)见解析 (4) 【分析】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、两点间距离公式等知识点，理解三角函数的定义成为解题的关键． （1）根据正弦函数在坐标系内的定义求解即可； （2）由题意可得，进而得到，进而判定①；根据正弦、余弦、正切的定义进行运算可判定②③④； （3）设锐角终边上一点，，则，的终边与的终边关于y轴对称，取对应点，再根据正弦的定义进行计算即可； （4）先根据特殊角的三角函数值求得，进而得到，再设的终边上一点对应的终边上有一点，然后运用正切的定义以及特殊角的三角函数值即可解答． 【详解】（1）解：当时，点P在y轴的正半轴上，即， ∴， ∴． 故答案为：1． （2）解：①∵是钝角，则的终边在第二象限， ∴， ∵， ∴，即①正确； ，即②正确； ，即③错误； ，即④错误． 故答案为：①②． （3）解：设锐角终边上一点，，则， ∵的终边与的终边关于y轴对称，取对应点， ∴， ∴． （4）解：∵角α的终边在直线上，且， ∴， ∴， ∵与关于y轴对称， ∴设的终边上一点对应的终边上有一点， ∵， ∴． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $