4.2.1 课时1 等差数列的概念与通项公式 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.1 课时1 等差数列的概念与通项公式 【基础巩固】 1．下列数列是等差数列的是（ ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 【答案】D 【解析】∵，故排除A；∵，故排除B；∵，故排除C，常数列是等差数列，故D正确. 故选：D． 2．已知等差数列满足，且，则（ ） A．15 B．10 C．2 D．-3 【答案】A 【解析】设公差为，由，则，得，. 故选：A. 3．已知各项均为正数的数列中，，，则（ ） A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【解析】因为数列各项均为正数，且，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，所以，. 故选C. 4．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 【答案】B 【解析】新数列为3，5，7，9，11，所以数列是以3为首项，为公差的等差数列，所以，所以． 故选：B． 5．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（ ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【解析】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 6．若是首项为2，公差为3的等差数列，则_______. 【答案】11 【解析】由题意：，所以. 7．已知数列满足，，则的值为______. 【答案】 【解析】因为，所以， 又，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以， 则，所以. 8．已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 【答案】见解析 【解析】(1)设等差数列的公差为，由，， 得，解得， 所以. (2)由恒成立，得恒成立， 即对一切恒成立. 当时，取得最小值1， 所以，即的取值范围是. 【能力拓展】 9．已知数列中，，若，且，则（ ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】，又， 所以数列是公差为的等差数列，. 故选：B. 10．（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 【答案】ABD 【解析】对于A，由题意得，A正确； 对于B，新数列的首项为2，公差为2，故，B正确； 对于C，由B选项知，令，则，即是数列的第8项，C错误； 对于D，插入个数，则，则等差数列中的项在新的等差数列中对应的下标是以1为首项，为公差的等差数列，于是，而是数列的项，令，当时，，D正确. 故选：ABD. 11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是__________. 【答案】135 【解析】被3除余2且被5除余4的数构成首项为14， 公差为15的等差数列，记为， 则， 令 ，解得． ∴将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列， 构成一个数列，则该数列的项数是135． 【素养提升】 12．已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 【答案】见解析 【解析】(1)数列是等差数列，理由如下： 因为数列，都是等差数列，公差分别为，， 所以，， 因为， 所以 为常数， 所以数列是以为公差的等差数列； (2)因为，， 所以， 由(1)可知数列是等差数列，且公差为， 因为的公差为，的公差为， 所以数列的公差， 所以数列的通项公式为. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1 课时1 等差数列的概念与通项公式 【基础巩固】 1．下列数列是等差数列的是（ ） A．，，， B．1，，， C．1，，1，－1 D．0，0，0，0 2．已知等差数列满足，且，则（ ） A．15 B．10 C．2 D．-3 3．已知各项均为正数的数列中，，，则（ ） A．400 B．600 C．800 D．1000 4．数学家杨辉在其专著中提出了一些新的高阶等差数列，其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列1，2，4，7，11从第二项起，每一项与前一项的差组成的新数列1，2，3，4为等差数列，则称数列1，2，4，7，11为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其中前几项分别为5，8，13，20，记该数列从第二项起，每一项与前一项之差组成新数列，则（ ） A．13 B．15 C．17 D．19 5．（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（ ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 6．若是首项为2，公差为3的等差数列，则_______. 7．已知数列满足，，则的值为______. 8．已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)若对一切，恒成立，求的取值范围. 【能力拓展】 9．已知数列中，，若，且，则（ ） A． B． C． D．17 10．（多选）已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，以下说法正确的是（ ） A． B．当时， C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为7 11．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2025这2025个自然数中满足被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是__________. 【素养提升】 12．已知数列和都是等差数列，公差分别为，，数列满足. (1)数列是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若的公差为，的公差为，，，求数列的通项公式. 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $