第二章 圆锥曲线单元能力测试-2025-2026学年高二上学期数学北师大版数学选择性必修第一册

高二上学期北师大版数学选择性必修第一册 第二章 圆锥曲线 单元能力测试 限时120分钟 满分150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1.（2025江西吉安期末）双曲线 的焦点坐标为( ) A. B. C. D. 2.（2025安徽阜阳期中）已知抛物线的焦点为,是抛物线 上的一点，且 ，则点到坐标原点 的距离是( ) A.2 B. C. D.4 3.（2025福建厦门双十中学期中）一双曲线的虚轴长为4，离心率与椭圆 的离 心率互为倒数，且焦点所在轴相同，则该双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 4.（2025江西宜春丰城中学期中）已知双曲线的左焦点为 , 为坐标原点，若在的右支上存在关于轴对称的两点,，使得 为正三角形， 且，则 的离心率为( ) A. B. C. D. 5.（2024吉林长春第二实验中学月考）已知，分别是椭圆 的左、右 焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则 ( ) A. B.2 C. D. 6.（2025云南曲靖二中期中）在平面直角坐标系中，是以 为焦点的抛物线 上任意一点，是线段上的点，且，则直线 斜率 的最大值为( ) A.1 B. C. D. 7.（2025广东惠州实验中学检测）椭圆具有光学性质：从椭圆 的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的 另一个焦点（如图）.已知椭圆 的左、 右焦点分别为,，过点的直线与椭圆交于点， ，过点 作椭圆的切线，点关于的对称点为，若 , ，则 ( ) A. B. C. D. 8.（2025江西景德镇一中期末）已知椭圆的左、右焦点分别为, ，平行四边形 的顶点,都在上，在轴上且满足，则 的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合 题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.（2025江西上饶余干县黄金埠中学月考）已知曲线 ，下列说 法正确的是( ) A.若，则曲线 为椭圆 B.若，则曲线 为双曲线 C.若曲线 为椭圆，则其长轴长一定大于2 D.若曲线为焦点在轴上的双曲线，则其离心率小于 大于1 A. B. C.以为圆心且过的圆与 的准线相切 D.当 时，的面积为 11.（2025浙江诸暨中学期末）已知直线与椭圆交于， 两 点，点,分别为椭圆 的左、右焦点，则下列说法正确的有( ) A.椭圆的离心率为 B.椭圆上存在点，使得 C.当时，，使得 D.当时，，都有 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.（2025安徽合肥168中学期末）若三个点，， 中恰有两个点在双 曲线上，则双曲线 的渐近线方程为__________. 13.（2025郑州一中检测）已知，分别为轴、轴上的两个动点，且 ，动 点满足，设动点的轨迹为曲线，则 的方程是___________； 若过点的直线与交于，两点，且，则直线 的方程为_______ _______________.（本题第一空2分，第二空3分） 14.（2025江西九江期末）已知抛物线的准线与轴的交点为 ，过焦 点的直线分别与抛物线交于,两点（点在第一象限）， ，直线 的倾斜角为锐角 ，且满足 ，则 ____. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分）（2025江西南昌八中月考）已知直线 过椭圆 的一个顶点和一个焦点. （1） 求 的方程； （2） 若过点的直线与交于，两点，且，求直线 的方程. 16.（15分）（2025福建安溪八中检测）已知为抛物线 上一点. （1） 求抛物线 的准线方程； （2） 过点的直线与抛物线交于，两点，且直线与 的倾斜角互补， 求 的值. 17.（15分）（2024全国甲卷）已知椭圆的右焦点为 ，点 在上，且 轴. （1） 求 的方程; （2） 过点的直线交于，两点，为线段的中点，直线交直线 于点 ,证明: 轴. 18.（17分）（2025江西上饶紫阳中学检测）已知双曲线 的 离心率为，且经过点 . （1） 求 的方程； （2） 若上两点，关于点对称，求直线 的方程； （3） 过的右焦点作两条互相垂直的直线和，且和分别与的右支交于点 ， 和点，，设的斜率为，求四边形的面积（用 表示）. 19.（17分）（2025辽宁点石联考）定义:如果两个椭圆的长轴长不相等，但离心率相等，则 称两椭圆相似.已知与椭圆 相似. （1） 求与 的关系； （2） 若过原点的直线分别被和截得的弦长为和 ，证明: ； （3） 若，，，两点在上，为 上的一个动点，且线段 ，的中点都在上，判断 的面积是否为定值，并说明理由. 参考答案 1.A【解析】 由题意,得,所以.又因为焦点在 轴上,所以焦 点坐标为 . 2.C【解析】 抛物线的方程可化为 （先化为标准方程，后求准线方程）,则准线方 程为,设,由题意可得,解得,则,故点到坐标原点 的 距离是 . 3.C【解析】 因为椭圆的焦点在轴上,离心率 ,所以所求双曲线的焦点也在 轴上,离心率,即,所以.又因为双曲线的虚轴长为4,即 ,所以 ,即,所以,所以所求双曲线的方程为 . 4.D【解析】 如图,设双曲线的焦距为,右焦点为,直线 交于点,连接 , 因为为正三角形,,所以为 的中点，所以 （为的中点，为 的中位线）,故 ,易知,所以, , 由双曲线的定义知,即 ,得 .（也可由焦点三角形离心率公式得 ） 5.A【解析】 由椭圆的方程可得,,所以 , 设,则,由点在第一象限可得,即 . 如图,因为,所以 ,整理可得 ,解得或2（舍去）,即, , 所以在中, . 6.D【解析】 如图,抛物线的焦点为 ,设 （根据抛物线的方程特点设点消元）, 依题意,由,得 ,则 , 因此直线 斜率 ,当且仅当 时取等号,所以直线斜率的最大值为 . 7.A【解析】 如图,由椭圆的光学性质可得,, 三点共线. （切线相当于镜面,相当于入射光线, 相当于反射光线） 设,则 , . 故,解得.又,所以 , , 所以 . 8.A【解析】 如图,连接,,设轴 ,因为 （椭圆的对称性）, , 所以,故 ,所 以四边形 为菱形. 由于,可设,, , , , 则在中有 , 在中有 , 又,所以 , 整理得到 , 又 （椭圆的定义）,即 , 所以,解得 ,故 , , 所以在中有,则 ,故 ,所以 ,故 ,故 . 9.BCD【解析】 若为椭圆,则 ； 若为双曲线,等价于,即或 ； 当时,椭圆长轴长 , 当时,椭圆长轴长 ； 若为焦点在轴上的双曲线,则解得 , 双曲线的离心率 , 且双曲线的离心率 . 10.ABC【解析】 因为是抛物线的焦点,所以,即得 ； 设在抛物线上,所以 （抛物线顶点在原点,开口向右,由此得 范围）, 所以 ； 因为以为圆心且过的圆半径为,等于与的准线的距离,所以以 为圆心且过的圆与 的准线相切； 当 时,,假设在第一象限,则（直线 的 斜率）,且, , 所以,解得或 （舍）, 所以的面积为 . 11.AD【解析】 由椭圆,可得,,则 . . 如图（1）,在中,, . 由余弦定理,得 , 方法一,当且仅当时, 最大, 则的最小值为.因为,函数在 上单调递减,所以 的最大值为 . 方法二 易知当点是椭圆的上、下顶点时最大,此时 , 的最大值为 . 时,,即直线过右焦点 ,如图（2）,设 , ,则 , 恒成立,所以 , . 又, ,所以 . 因为 , 所以，其取值范围为 . 时,,如图（3）,设, ,联立得 , ,得 . 所以, , 所以 ,当时,取到最小值 ,故 . 12. 【解析】 因为三个点,, 中恰有两个点在双曲线 上,又双曲线关于原点对称,所以点, 在双曲线 上,所以,解得,所以 的渐近线方程为 . 13. // / 【解析】 设,,分别为轴、 轴上的两个动点,且 ,则, ,如图. 因为,所以 （坐标法求动点的轨迹方程）,整理,得,所以的方程是 . 又,则直线不垂直于轴,设直线 , 由消去 并整理,得 恒成立,设, , 则有,.由,得 , 联立消去,,得,解得,即 , 所以直线的方程为,即 . 14.12 【解析】 如图,过点作轴于点 ,由抛物线的定义可知点到准线 的距离 ,故 ,同理 ,则 （由直线过焦点, 且倾斜角已知,则可得倾斜角焦半径和焦点弦长.若能记住结论, 则可快速得解）,故, ,则 , 可得,则,所以 , . 15.（1）【答案】设椭圆的半焦距为 . 因为直线过点和,所以, , 则,所以椭圆的方程为 .（4分） （2）【答案】 由题可知直线的斜率存在,所以设直线的方程为 ,（5分） 联立得方程组整理得 ,（7分） 则,且, ,（8分） 由,可得 ,（10分） 整理可得,解得或（舍去）,所以 ,（12分） 故直线的方程为或 .（13分） 16.（1）【答案】由点在抛物线上,得,即 ,（2分） 抛物线的准线方程为 .（4分） （2）【答案】 易得直线斜率存在且不为0,设直线的方程为（点在 轴上,所以优先考虑设直线方程为），, ,（6分） 由直线与的倾斜角互补,得 ,（7分） 即 , .（9分） 联立得消去并整理,得 ,（11分） ,得,且 , , ,（12分） ,即, ,（13分） .（15分） 17.（1）【答案】方法一:直接法. 由题意知 （3分） 得则椭圆的方程为 .（5分） 方法二 由题意知 （3分） 得则椭圆的方程为 .（5分） 方法三:巧用椭圆的定义.设为的左焦点,连接,则, , 在中, , 由椭圆的定义知, , 所以, ,（3分） 又,所以 , 所以椭圆的方程为 .（5分） （2）【答案】 分析知直线 的斜率存在.（6分） 易知当直线的斜率为0时, 轴.（7分） 当直线的斜率不为0时,设直线,,, , 联立方程得 消去得,由,得或 . 则, .（9分） 因为为线段的中点,,所以 . 由,,三点共线,得,即,得,得 ,（12分） 所以（【大招识别】将用 表 示,将非对称问题转化为对称问题，从而用根与系数的关系代入） ,（14分） 所以,所以 轴.（15分） 18.（1）【答案】 设的半焦距为,依题意,双曲线 的离心率为,且经过点 ,所以 （3分） 解得,, , 所以双曲线的方程为 .（5分） （2）【答案】 依题意,上两点,关于点 对称, 由,,两式相减并化简得, （点差法）, 所以直线的方程为,即 .（9分） 由消去得, , 因此直线必与双曲线有两个交点,所以直线的方程为 .（11分） （3）【答案】 根据题意,直线, 的斜率都存在且不为0,双 曲线的右焦点为 , 则直线,,其中 , 因为,均与的右支有两个交点,所以 , （若直线与渐近线平行,直线与双曲线只有一 个交点,由此得斜率的范围）,所以 , 将的方程与 联立,可得 . 设,,则, ,（14分） 所以 , 同理 （将表达式中换为 即可）,（15分） 所以, .（17分） 19.（1）【答案】设椭圆的长轴长为,短轴长为,焦距为 . 因为的方程可化为,且 , 所以, , 因为 , 所以,又 , 则离心率 ,（3分） 当时, , 由题意得 , 整理得 .（5分） （2）【答案】 设（【注意】此设法包含斜率不存在的情况 ,但不含斜率为0的情况）,与的一个交点为 , 由得 所以 , 根据椭圆的对称性,得 ,（8分） 同理（将的表达式中换成 ）,（9分） 由（1）可知 , 所以 , 即 , 当为 轴时,上式显然成立.（11分） （3）【答案】 的面积为定值2,理由如下: 因为,,由（1）知,, , 所以的方程为,的方程为 ,（12分） 即, , 设,,线段的中点在椭圆 上, 故有 , 整理得 , 将,代入上式,得 , 同理可得 , 所以点,的坐标满足方程（同构思想）,故直线的 方程为 .（14分） 由得 , 因为,所以,则 , 所以 .（16分） 又点到直线的距离 , 所以 .（17分） 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $