第二章直线和圆的方程章末综合检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程章末综合检测卷 （2025-2026学年第一学期高二数学选择性必修第一册第二章（2019）人教A版） 一、单选题 1．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 2．已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 3．已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 4．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 6．当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 7．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 10．已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 11．已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 三、填空题 12．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 13．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 14．经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 四、解答题 15．已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 16．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 17．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 18．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 19．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线C交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线C的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 解析 一、单选题 1．过两点的直线的倾斜角为135°，则的值为（    ）. A．或 B． C． D． 答案：B 分析：根据斜率和倾斜角的关系，列出等式求解即可． 解析：由题知，直线的斜率存在，所以A点和B点的横坐标不一样，即， 则，所以，解得或， 又，所以． 故选：B． 2．已知直线与垂直，则实数的值为（   ） A．2 B．-2 C． D． 答案：A 分析：对分类讨论，利用相互垂直的直线的斜率之间的关系即可求解. 解析：当时，得，此时与不垂直； 当时，若，则，解得. 故选：A. 3．已知直线经过点，且方向向量，则的方程为（ ） A． B． C． D． 答案：C 分析：利用直线的方向向量即可求得斜率，再利用直线的点斜式方程求出结果. 解析：由题意知直线的方向向量是，可得其斜率为 ， 所以直线的方程为，即. 故选：C 4．过点且斜率为2的直线与坐标轴围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：利用点斜式求得直线的方程，求得直线与坐标轴的交点坐标，从而求得三角形的面积. 解析：依题意得直线的方程为，即， 则直线与坐标轴的交点分别为， 所以． 故选：B 5．已知点，点B在直线上运动，当线段最短时，点B的坐标为（    ）. A． B． C． D． 答案：A 分析：当线段最短时，直线与直线垂直，点为直线与直线的交点. 解析：当线段最短时，直线与直线垂直， 此时点为直线与直线的交点. 因为直线与直线垂直， 所以，直线方程为， 由得，所以. 故选：A. 6．当方程所表示的圆取得最大面积时，直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 答案：B 分析：将圆的一般式化为标准式，根据面积最大得，进而判断直线的斜率和倾斜角. 解析：方程可化为（其中）， 当时，圆的半径最大，即圆的面积最大，此时直线的斜率为1，即倾斜角为. 故选：B 7．已知实数满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 答案：A 分析：设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 解析：设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 8．圆与圆的公共弦长为，则的值为（   ） A．12或4 B．12或-4 C．16或4 D．16或-4 答案：B 分析：利用圆的方程求得公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式，求得弦心距，根据弦长公式建立方程，求得参数，结合圆的方程成立条件检验，可得答案. 解析：两圆方程作差可得，即公共弦所在直线方程为， 由圆，则圆心，半径， 点到公共弦所在直线的距离， 公共弦长为，则，解得或， 由圆，整理可得， 则，所以或. 故选：B. 二、多选题 9．下列说法正确的是（　　） A．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C．当点到直线的距离最大时，的值为 D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是 答案：ACD 分析：应用直线平行求出参数再应用平行线间距离计算判断A，根据垂直得出参数再结合充分不必要条件定义判断B，应用直线的定点结合垂直计算求参判断C，数形结合得出有交点时的斜率范围判断D. 解析：对于A，直线与直线平行，则，解得， 直线，即， 则与的距离为，选项A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，将直线方程变形为，由得， 则直线过定点，斜率为， 当直线与垂直时，点到直线的距离最大， 因为，所以，选项C正确；     对于D，如图，， 由图可知，当或时，直线与线段有交点，故选项D正确. 故选：ACD． 10．已知实数满足圆的方程，则（    ） A．圆心，半径为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 答案：BC 分析：由圆的标准方程判断圆心与半径知A错误；用y表示x并利用可求得x的范围判断B；将转化为圆上点到定点的距离，利用几何意义进行求解可判断C；利用圆的方程将转化为一元二次函数，再利用二次函数的性质求最大值判断D. 解析：表示圆心为，半径为的圆，A错误； ，解得，即的最大值为，B正确； 表示圆上点到定点的距离，圆心到定点的距离为，圆上点到定点的距离的最大值为，C正确； 由得，代入得，，因为函数在上单调递增，所以的最大值为，D错误. 故选：BC 11．已知圆C：和直线l：，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线l被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为1的点有3个 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．若直线与圆相交，则实数的取值范围为 答案：ACD 分析：对于A，利用弦长公式，直接求出弦长，即可求解；对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，从而有，，数形结合，可求解；对于C和D，利用直线与圆的位置关系，可求解. 解析：由得，所以圆的圆心为，半径为， 对于A，当时，直线l：，圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆截得的弦长为，故A正确， 对于B，由选项A知圆心到直线的距离为，又， 则，， 所以由图可知，圆上到直线的距离为1的点有个，故B错误，    对于C，由，得到，解得或， 所以当或时，圆心到直线的距离等于半径， 即存在实数，使得直线与圆相切，所以C正确， 对于D，因为直线与圆相交，则，整理得到， 解得，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题 12．直线经过点，与轴、轴分别交于、两点，若，则直线的方程为 . 答案： 分析：先由向量的坐标运算求出、两点的坐标，再利用直线的斜截式方程求解即可. 解析：依题意，设，， 则，， 则， 由得，解得，则，， 则直线的斜率为，方程为即. 故答案为：. 13．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ． 答案：或13 分析：由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案． 解析：由题意，，因为，所以，解得，所以：，即， 由两平行直线间的距离公式得，解得或． 在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13. 故答案为：或13. 14．经过圆与直线的交点，且在轴上的弦长为的圆的方程是 ． 答案：或 分析：方法一，所求圆过已知圆与直线的交点，且直线和圆方程已知，可以设过直线与圆交点的圆系方程来求解；方法二，设圆方程为，由弦长为求得k值. 解析：方法一： 设所求圆的方程为，该圆与轴的交点坐标分别为，． 在圆方程中，令得，则，，则． 联立，解得或则点，在所求圆上， 所以解得或 故所求圆的方程为或． 方法二： 设所求圆的方程为， 且与轴交点的纵坐标为， 令得，化简得， 所以，， 由两边平方得，所以， 化简得，解得或． 检验知两个值都符合题意， 所以所求圆的方程为， 或， 即或． 故答案为：或． 四、解答题 15．已知的三个顶点的坐标为、、． (1)求边的垂直平分线所在直线的截距式方程； (2)求的平分线所在直线的一般式方程； 分析：（1）先求的中点坐标，再由与垂直，则可得垂直平分线的一般方程，再转化为截距式即可； （2）由题可得方向的单位向量，同理可得方向的单位向量，然后可求的平分线所在直线的方向向量，接着即可得到直线斜率，进而得到一般方程. 解析：（1）易知的中点为， ，边的垂直平分线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的一般式方程为：， 则截距式方程为． （2）因为，， ，， ， 即的平分线的一个方向向量为， 故的平分线的斜率为， 所以的平分线所在直线的一般式方程：． 16．已知线段的端点的坐标为，端点在圆上运动. (1)求线段的中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记（1）中的轨迹为，若过点的直线被轨迹截得的线段长为，求直线的方程. 分析：（1）设中点为，且，根据中点公式，求得，将其代入圆的方程，即可求解； （2）当直线斜率不存在时，得到直线方程，结合圆的弦长公式，不满足题意；当直线斜率存在时，设方程为，结合圆的弦长公式，列出方程，即可求解. 解析：（1）解：由圆，可得圆心为，半径长为2， 设线段中点为，且， 因为点的坐标是，且是线段的中点， 可得，解得， 因为点在圆上上运动，即， 所以，所以的轨迹是以为圆心，半径为1的圆. （2）解：当直线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，所以弦长为，不满足题意； 当直线的斜率存在时，设方程为，即 因为过点的直线被曲线截得的弦长为， 设圆心到直线的距离为，可得，解得， 则，解得，所以直线的方程为. 17．已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 分析：（1）将直线的方程整理得，令，解出即可定点，由点到直线的距离公式即可求解； （2）由（1）可得直线过定点，设定点为，当时，点到直线的距离最大，且最大距离，由两点间的距离公式即可求最大距离，又由斜率公式即可求. 解析：（1）将直线的方程整理得， 令，解得所以直线恒过点． 则定点到直线的距离为． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率， 所以，解得． 18．已知圆的圆心在轴上，并且过，两点． (1)求圆的方程； (2)若为圆上任意一点，定点，点满足，求点的轨迹． 分析：（1）从A，两点坐标可看出线段平行于轴，则它的垂直平分线垂直于轴，所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,圆心到点的距离为半径，从而得到求圆C的方程． （2）设,,将向量式进行坐标表示，得到与，与的关系，因为点为圆上任意一点，所以利用圆的方程(即与关系)，进而得到与的关系(即点Q的轨迹方程)，从而得到点Q的轨迹. 解析：（1）因为圆过A,B两点,所以圆心C在线段的垂直平分线上. 因为,所以线段的中点为,直线AB的斜率， 所以线段的垂直平分线斜率不存在,方程为:. 因为圆C的圆心在轴上,所以线段的垂直平分线与轴的交点为圆心,所以圆心为. 又半径，所以圆的方程为:． （2）设，．由，得, 所以即 因为点在圆上，所以，所以， 化简整理得的轨迹方程为:， 所以点的轨迹是:以为圆心，为半径的圆． 19．已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程，并说明其形状； (2)若过点的直线与曲线C交于两点，求的取值范围； (3)已知，过直线上的动点分别作曲线C的两条切线，（为切点），证明：直线过定点，并求该定点坐标． 分析：（1）设，根据条件得，化简，即可求解； （2）根据点与圆的位置关系，知点在圆内，设圆心到直线的距离为，利用几何关系可知，再利用弦长公式，即可求解； （3）根据条件可得在以为直径的圆上，求出以线段为直径的圆的方程，再利用两圆公共弦的求法，求得直线QR的方程为，即可求解. 解析：（1）设，由，得， 化简得，即， 故曲线C是以为圆心，为半径的圆． （2）由（1）知圆C：，将点代入圆C的方程等号左侧，得， 故点在圆的内部． 设圆心到直线的距离为，所以． 又，，所以，所以， 当直线过圆心时，，此时最大， 故的取值范围为． （3）如图，由题意知，与圆相切，为切点， 则，，则四点共圆，且在以为直径的圆上， 因为，，所以的中点为，， 以线段为直径的圆的方程为， 整理得，，① 又在曲线C：  ②上， ②①，得，所以直线的方程为． 当时，，则直线恒过定点．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $