第10-13期(2) 第25章 概率初步-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学同步测评（人教版 云南专版）

数理极① 夯实基础 第二十五章 概率初步 25.1.1随机事件 知识提要：能识别事件的类型 川新知导学 A.守株待兔 B.大海捞针 C.喜从天降 D.旭日东升 1. 事件和 事件统称为确 6.如图2，甲、乙、丙三位 定事件 球员分别站在足球门AB前 2.在一定条件下，可能发生也可能不发生 的点P,P2,P3处射门，点 的事件，称为 P P,P2,P3都在同一个以AB ◆基础练习 为弦的圆上，若球员面对足 P 1.“翻开人教版数学九年级上册的课本，恰 球门的视角越大踢进足球的 图2 可能性越大，则下列说法正确的是 好翻到第80页”，这个事件是 ( A.甲踢进足球的可能性最大 A.随机事件 B.必然事件 B.乙踢进足球的可能性最大 C.不可能事件 D.确定事件 C.丙踢进足球的可能性最大 2.书架上有社会科学类图书20本，教育类 D.三位球员踢进足球的可能性一样大 图书5本，自然科学类图书15本，文化艺术类图 7.二氧化碳灭火器是一种常用的消防器材， 书10本，随机从该书架上取出一本书，则下列事 小明将一根带火星的木条伸入充满二氧化碳的 件发生的可能性最大的是 ( 集气瓶中，该木条火星熄灭是 （填“必 A.取出的是社会科学类图书 然事件”“不可能事件”或“随机事件”)： B.取出的是教育类图书 8.用一副时扑克牌中的10张牌设计一个翻牌 C.取出的是自然科学类图书 游戏，要求同时满足下列三个条件，且四种花色 D.取出的是文化艺术类图书 的牌都有，请写出你所用的10张牌， 3.“掷一枚质地均匀的骰子2次，向上一面 ①要求翻出“红桃”与“方块”的可能性相 的点数和是13”这个事件是 事件（填 同； “必然”“不可能”或“随机”) ②要求翻出“梅花”的可能性比翻出“方 4.如图1所示的是一个可 块”的可能性小； 以自由转动的转盘，每个扇形 红 绿 的大小相同，颜色分为红、绿、 黄 ③要求翻出黑颜色牌的可能性比翻出红颜 黄三种指针的位置固定，转 红 红 色牌的可能性大 黄 动的转盘停止后，指针指向 色区域的可能性最 图1 大（若指针指在边界处，则重转） ○巩固练习 5.下列成语反映的事件为必然事件的是 ( 17--1 夯实基础 数理极° 25.1.2概率 知识提要：掌握一次试验概率的计算 仙新知导学 红球和n个白球（仅有颜色不同）.若从中任意摸 般地，如果在一次试验中，有n种可能的 出一个球是红球的概率为子，则n 结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包 Q巩固练习 含其中的m种结果，那么事件A发生的概率 P(A)= 6.如图2是一个正方形及其内切圆，随机往 ◆基础练习 正方形内投一粒米，落在圆内 的概率为 ( 1.安全教育是学校的生命线.某学校政教 处举行安全教育的手抄报评比活动，设置了“交 A号 B于 通安全”“消防安全”“防溺水安全”和“校园安 C. 4 D. 3 图2 全”四个主题内容.小刚同学随机抽取一个，则 7.在平面直角坐标系中有五个点，分别是 选中“防溺水安全”主题内容的概率是() A(1,-2),B(-3,4),C(-2,-3),D(4,3), A号 B. C.2 E(2,-3),从中任选一个点，该点恰好在第四象 2.如图1是由9个全等的 限的概率是 小正方形组成的图案，假设可 8.某商场为吸引顺客，设置了一个可自由转 以在图案中随意取一个点（不 动的转盘.该转盘被均匀划分成20个扇形区域， 包括边界线)，那么这个点取 其中3个扇形为红色，5个扇形为黄色，其余扇形 在阴影部分的概率是( 则为白色.顾客每消费满100元，即可获得一次 图1 A号 8多 转动转盘的机会.当转盘停止转动时，若指针恰 c号 D.1 好指向红、黄色区域，顾客便能分别获取100元 3.如果事件A发生的概率是0，那么在相 50元的购物券（若指针指在边界处，则重转） (1)某顾客购物消费110元，获得一次转动 同条件下重复试验，下列说法正确的是( 转盘的机会.他获得100元购物券的概率是 A.做200次这种试验，事件A必发生1次 ,他能获得购物券的概率是 B.做200次这种试验，事件A发生的频率是 (2)商场还在一个不透明的盒子里准备了 1 摸球游戏.现有n个红球、3个黄球、2个白球、 200 1个黑球，若在一次摸球游戏中，摸到红球的概 C.做200次这种试验，事件A可能发生1次 率与转动上述转盘能获得购物券的概率相等， D.做200次这种试验，前199次事件A没发 求n的值 生，最后1次事件A才发生 4从-1.02，号，号03，m这6个数中任 意选取一个数，那么取到的数是无理数的概率 是 5.一个仅装有球的不透明布袋里只有2个 --18 数理极① 夯实基础 25.2用列举法求概率 知识提要：掌握列表法和画树状图法 仙新知导学 可能出现的结果； (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由. 用列举法求概率的方法有 法和 法 ◆基础练习 1.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则两枚 硬币全部正面向上的概率为 ( 图2 A. B. C.2 Q巩固练习 2.笼子里关着一只小松 6.从-2，-1,1中，任取两个不同的数作为 鼠（如图1），笼子的主人决定 一次函数y=x+b的系数k,b,则一次函数y= 把小松鼠放归大自然，将笼 kx+b的图象交x轴于负半轴的概率是 子所有的门都打开，松鼠要 D 先经过第一道门(A,B或C) 图1 再经过第二道门(D或E)才能出去.已知松鼠可 7.九(1)班三名同学进行唱歌比赛，原定出 场顺序是：甲第一个出场，乙第二个出场，丙第 以任意选择一条路线出去，则松鼠通过BD路线 三个出场，后来要求这三名同学用抽签方式重 出去的概率为 ( 新确定出场顺序，则抽签后甲同学的出场顺序 A.g B. 6 c D 发生变化的概率为 3.某校成立了物理、化学、生物实验兴趣小 8.一个盒子中装有两个红球，两个白球和一 组，要求每名学生从物理、化学、生物三个兴趣 个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出 小组中随机选择一个参加，则小华和小强都选 一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个 择物理小组的概率是 球 ( (1)利用画树状图或列表的方法求摸到的 A. B名 两个球的颜色能配成紫色的概率（红色和蓝色 4.某种兔子身体颜色由一对等位基因控： 可以配成紫色)； 制，其中白色为显性（基因型为AA和Aa),黑色 (2)若将题干中的“记下颜色后放回”改为 为隐性（基因型为aa).若一只白色兔子（基因型 “记下颜色后不放回”，请直接写出摸到的两个 为Aa)与一只黑色兔子交配，则其后代中出现白 球的颜色能配成紫色的概率， 色兔子的概率是 5.小明和小亮用如图2所示的转盘进行游 戏，三个扇形的圆心角均相等，分别标有数字1， 2,3.游戏规则如下：一人转动一次转盘，若两次 转盘指针所指的数字之积为偶数，则小明胜；若 两次转盘指针所指的数字之积为奇数，则小亮 胜（若指针指在边界处，则重转）· (1)用列表或画树状图的方法表示出所有 ---19--- 夯实基础 ①数理极° 25.3用频率估计概率 知识提要：会用频率估计概率 仙新知导学 移栽棵数 100 1000 10000 100000 成活棵数 89 910 9008 90005 我们可以通过大量的重复试验，用一个随 机事件发生的 去估计它的概率。 若该园林部门准备移植220000棵该种幼 ◆基础练习 树，则依此估计有 棵幼树可以成活。 4.某鱼塘养了400条鲤鱼、若干条草鱼和 1.五一期间某商场设立了一个可以自由转200条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发 动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼 得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落 塘主在鱼塘中随机捕捞一条鱼，则捕捞到鲤鱼 在哪一区域就可以获得相应的奖品.下表是活！ 的概率约为 动进行中的一 组统计数据： 巩固练习 转动转盘 100 200 500 800 1000 的次数 5.一个不透明的口袋中有红球10个、黑球 落在“洗洁精” 若干个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球 88 136 345 546 701 区域的次数 搅拌均匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后 落在“洗洁精” 再放回口袋中，不断重复这一过程1000次，发现 0.88 0.68 区域的频率m 0.69 0.68 0.70 有400次摸到红球，则估计口袋中黑球有 个 假如你去转动该转盘 次，你估计获得洗 6.某水果店以2.5元/千克的成本购进 洁精的概率约是 ( 2000千克橙子，店员在销售过程中随机抽取橙 A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 子进行“橙子损坏率”统计，并绘制成如图所示 2.下列说法正确的是 ( 的统计图，请解决以下问题： A.小明做了4次抛瓶盖的试验，其中有3次 (1)估计橙子损坏的概率为 盖口向上，由此，他估计盖口向上的概率是： (2)估计这批橙子完好的质量为 千克； B.抛掷1000次硬币与抛掷2000次硬币， (3)若这批橙子销售（只售好果）完毕后， “正面朝上”的频率一定相同 利润是1300元，则每千克的售价应定为多少元？ C.掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概 个橙子损坏率 率是？，那么，掷10次硬币，一定会有5次正面 0.2 0.1 朝上 D.在试验次数很大时，随机事件发生的频 0100200300400500橙子质量/千克 率具有稳定性 3.在创建国家生态园林城市活动中，某市 园林部门为了扩大城市的绿化面积进行了大量 的树木移栽。下表记录的是在相同的条件下移 栽某种幼树的棵数与成活棵数： ---20 数理极① 司步检测 第二十五章综合检测 (满分：100分，时间：45分钟) 一、选择题（每题3分，满分24分） 的面积为 () 1.“石头、剪子、布”是起源于中国的一种猜 A.11.5 B.12.5C.13.75D.15.25 拳游戏，两人在猜拳时同时出相同的手势，这个 6.小方家客厅里装有一种三位单极开关，分 事件是 ( ）:别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电 A.随机事件 B.不可能事件 灯，既可单盏开，也可两盏、三盏齐开.若小方任 C.必然事件 D.确定性事件 意按下其中的两个开关，则正好客厅灯和走廊 2.小星从一定高度随机抛掷一枚质地均匀灯同时亮的概率为 ) 的硬币，前5次抛掷的结果均为“正面朝上”，那 B.3 c. 么小星第6次抛掷该硬币时，下列说法正确的是 7.一个不透明的盒子里装有20个白球、5个 A.“正面朝上”的可能性大 红球，这些球除颜色外其他都相同.每次从盒内 B.“反面朝上”的可能性大 抽出一球，如果抽出白球，则将白球放回箱内， C.“正面朝上”与“反面朝上”的可能性相 如果抽出红球，则不将红球放回箱内.已知小慧 同 在规定时间内共抽出红球3次，记第一次抽到红 D.一定是“正面朝上” 球的概率为P,第二次抽到红球的概率为P2,第 3.在一个不透明的盒子里装有红、黄、白三 三次抽到红球的概率为P,则 () 种颜色的小球，其中红球5个，黄球3个，白球 A.P1=P2=P3 B.P1>P2>P3 2个，这些小球除颜色外其余都相同，从盒子里 C.P<P,P3 D.无法判断 随机摸出一个小球，摸到黄球的概率为() 8.如图2-①为四等分数字转盘，图2-② A写 B品 C. 为三等分数字转盘.同时自由转动两个转盘，当 D. 5 转盘停止转动后（若指针指在边界处，则重转）， 4.下列说法正确的是 两个转盘指针指向的数字的积满足不等式牛3 A.篮球运动员在三分线罚球，球一定被投 入篮球框 ≥3的解的概率为 B.任意买一张电影票，座位号一定是偶数 C.13个人中至少有两个人出生月份相同 D.掷一枚质地均匀的骰子，朝上的点数 定大于3 5.如图1，在由大小相同 ① ② 图2 的边长为1个单位长度的小、 正方形组成的网格中有一条 A. 6 B C. .2 “心形线”，数学小组为了探 二、填空题（每题4分，满分24分） 究“心形线”的面积，进行了 9.某校数学兴趣小组跟踪调查了书峰枇杷 计算机模拟试验，向网格中 图1 某次移栽的成活情况，得到如图3所示的统计 随机落点，经过大量重复试验，得到点落在“心：图，由此可估计书峰枇杷移栽成活的概率约为 形线”内部的频率大约为0.5，则估计“心形线” (结果精确到0.1) 同步检测 数理° 成活棵树占比 (2)你将长到5m高； (3)在标准大气压下，气温低于0℃时水结 0.95 0.9 冰 0.85 0.8 0 2468101214移栽数量/千棵 图3 10.从一副时扑克牌中任意抽取1张，①这张 牌是“Q”;②这张牌是“大王”；③这张牌是“红 心”.将这些事件的序号按照发生的可能性从小 到大的顺序排列： 11.为了估计湖里有多少条鱼，有如下方案： 从湖里捕上100条鱼做上标记，然后放回湖里 去，经过一时间，待带标记的鱼完全混合于鱼 群后，第二次再捕上200条，若其中带标记的鱼 16.(8分)李伟在寒假期间进行了前掷实心 有25条，则湖里大约有 条鱼 球训练，训川练结果如下： 12.一个长方体盒子中，装了写有“礼”字的 投掷次数n 20 60 100 200 500 卡片和写有“泉”字的卡片共9张，它们的外观 得满分的次数m 14 46 78 153 385 完全相同，若从中随机抽取一张，抽到写有“礼” 0.7670.7800.765 0.770 字卡片的概率为子，则袋子中写有“泉”字的卡 得满分的频率m a (1)计算：a= 片有」 张 (2)估计李伟前掷实心球得满分的概率是 13.在如图4所示的图形中随机扔一颗豆 (精确到0.01)； 子，把“豆子落在区域C中”记作事件W,则事件 (3)当李伟投掷600次时，请估计他得满分 W的概率为 的次数 B(c2em L 2c中 ⊕ S3 图4 图5 14.在物理课上，某实验的电路图如图5所 示，其中S,S2,S3表示电路的开关，L1,L2,L,表 示小灯泡.当随机闭合开关S,S2,S3中的两个 时，有两个灯泡发光的概率是 三、解答题（满分52分） 15.(6分)下列事件中，哪些是确定事件？哪 些是随机事件？ (1)小明在射击比赛中一枪击中靶心； --22 数理报① 同步检测 17.(8分)某电视台举办了青年歌手大奖 19.(10分)向如图6所示的正三角形区域 赛，得奖选手由观众发短信投票产生.电视台对发 内扔沙包（区域中每个小正三角形除颜色外完 短信者进行抽奖活动，1000条短信为一个开奖 全相同)，沙包随机落在某个小正三角形内， 组，设一等奖1名，二等奖10名，三等奖100名.小 (1)扔沙包一次，落在图中阴影区域的概率 亮发了1条短信参与投票 是 (1)小亮获奖和不获奖的可能性哪个大？ (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区 (2)小亮获三等奖和获二等奖的可能性哪 域的概率均为)，还要涂黑几个小正三角形？请 个大？ 解答并在图中画出. 图6 20.(12分)如图7，在甲、乙两个不透明的 18.(8分)为全面贯彻党的教育方针，落实 口袋内，分别装有大小、材质完全相同的若干个 数学学科素养，某校数学组准备了4个探究活 小球，其中甲袋内的小球上分别标有数字-3， 动，分别为A.在具体情境中探究抛物线模型；B. -2,4,6,乙袋内的小球上分别标有数字-2， 用变换设计图案：C.探究圆周角与圆心角的关 -4,6.把小华从甲袋内任意摸出的一个小球上 系；D.探究图形与坐标的关系.九(1)班数学老 的数字记作α，把小强从乙袋内任意摸出的一个 师将这4个活动分别写在4张一样的卡片上，并 小球上的数字记作b.若a,b都是方程x2-4x 把卡片放进箱子里，摇匀后每名学生依次从中 12=0的解，则小华获胜；若a,b都不是方程x2- 随机抽取1张，每名学生抽完后放回摇匀.记小 4x-12=0的解，则小强获胜 云抽取的卡片为x,小南抽取的卡片为y (1)请用画树状图或列表的方法，求小华获 (1)请用列表法或画树状图法求(x,y)所 胜的概率； 有可能出现的结果总数； (2)这个游戏对小华和小强公平吗？请说明 (2)求小云、小南抽取的卡片互不相同的概理由. 率P. 图7 23-中考数学人教(YN)第10~13期 所以CD=√DM+CM=√82+4=45. 由表格可知，共有9种结果，且每种结果出现的可能性相 第二十五章概率初步 同. 25.1.1随机事件 (2)不公平，理由如下： 新知导学 由(1)中表格可知，两次转盘指针所指数字之积为偶数的 1.必然不可能 2.随机事件 结果有5种，积为奇数的结果有4种，则小明胜的概率是氵，小 基础练习 亮胜的概率是号 1.A2.A;3.不可能；4.红. 巩固练习 因为号≠)，所以这个游戏不公平 5.D;6.D;7.必然事件 巩固练习 8.一共有10张扑克牌，满足①，说明“红桃”和“方块”的 张数相同；满足②，说明“方块”的张数比“梅花”的张数多；满 6了：号 足③，说明黑颜色的牌（黑桃、梅花）的张数比红颜色牌（红桃、 8.(1)画树状图如图6， 方块)的张数要多， 红 红 白 因此黑颜色的牌要多于5张，最少为6张， 因此，10张牌是“黑桃”5张，“梅花”1张，“方块”2张，“红 红红白白蓝 红红白白蓝 红红白白蓝 桃”2张。 白 蓝 25.1.2概率 新知导学 红红白白蓝 红红白白蓝 m 图6 n 基础练习 由树状图知，共有25种等可能的结果，其中摸到红球和蓝 球的结果有4种， 1 1.B2.B:3.C;4.35.3. 所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概幸为号 巩固练习 6.c7.号 (2)画树状图如图7， 8.(1)因为该转盘被均匀划分成20个扇形区域，其中3个 扇形为红色，5个扇形为黄色，指针恰好指向红、黄色区域，顾 红白白蓝 红白白蓝红红白蓝 客便能分别获取100元、50元的购物券， 蓝 所以获得100元购物券的概率为元，能获得购物券的概率 红红白蓝 红红白白 图7 放填32 由树状图知，共有20种等可能的结果，其中摸到红球和蓝 只20’5 球的结果有4种， n 2 (2)依题意得+3+2+= 所以摸到的两个球的颜色能配成紫色的概率为0=了： 4 解得n=4,所以n的值为4. 25.3用频率估计概率 25.2用列举法求概率 新知导学 新知导学 频率 列表画树状图 基础练习 基础练习 1.A;2.B;3.A; 1B2.D3.10s00:4号 巩固练习 5.(1)根据题意，列表如下： 5.15. 小明 6.(1)根据统计图可得，随着抽取橙子质量的增加，损坏 两 2 3 率稳定在0.1附近， 小亮 即橙子损坏的概率估计值为0 1 1 2 3 2 2 4 6 放填0 3 3 6 (2②)橙子完好的气率估计值为1一。=品。 5 中考数学人教(YN) 第10~13期 则这批橙子完好的质量为20× 、=1800(千克) 19(④)因为阴影部分的面积与三角形的面积的比值是% 故填1800. (3)设每千克的售价应定为x元， 8, 根据题意得1800x-2000×2.5=1300, 所以扔沙包1次，落在图中阴影区域的概率等于 8 解得x=3.5. 故每千克的售价应定为3.5元 故填。 第二十五章综合检测 (2)要使沙包落在图中阴影区域和空白区域的概率均为 题号12345678 子则阴影区域的小正三角形的数量为16×了=8（个），8-6 答案A C BCBBB C =2(个)， 所以还要涂黑2个小正三角形，如图8所示（画图答案不 二909,1020③：11.80,123：13g；4号 惟一). 三、15.(1)小明在射击比赛中一枪击中靶心，是随机事 件； (2)你将长到5m高，是不可能事件，是确定事件； (3)在标准大气压下，气温低于0℃时水结冰，是必然事 件，是确定事件， 图8 所以综上所述，(1)是随机事件，(2)(3)是确定事件 20.(1)解方程x2-4x-12=0,得x1=-2,x2=6. 16.4)a= 4=0.70, 列表如下： 故填0.700. a -3 -2 6 (2)由表格可得：得满分的频率在0.770附近波动， b 所以估计李伟前掷实心球得满分的概率是0.77. -2 (-3,-2) (-2,-2) (4,-2) (6,-2) 故填0.77. -4 (-3,-4) (-2,-4) (4,-4) (6,-4) (3)由题意得，当李伟投掷600次时，他得满分的次数为 6 (-3,6) (-2,6) (4,6) (6,6) 600×0.77=462(次). 答：他得满分的次数为462次。 由表格可知，共有12种等可能的结果，其中a,b都是方程 ()款奖的可能性为'+10=00不获奖的 x2-4x-12=0的解，共有(-2，-2)，(6，-2)，(-2,6)，(6， 1000 6)这4种结果，所以P(小华茨胜)=音=了 4 1 可能性为1000-1山=889 1000 Γ-10001 (2)这个游戏不公平.理由如下： 所以小亮不获奖的可能性大 由(1)中表格知，a,b都不是方程x2-4x-12=0的解，共 (2)小亮获三等奖的可能性为00，小亮获二等奖 有(-3，-4)，(4，-4)这2种结果， 21 所以P(小强获胜)=2=6 10 1 的可能性为1000=100， 因为P(小华获胜)>P(小强获胜)，所以这个游戏规则不 所以小亮获三等奖的可能性大 公平 18.(1)列表如下： 第二十六章 反比例函数 26.1.1反比例函数 A B C D 新知导学 A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) y=40 x B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) 基础练习 (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) 1.B;2.A;3.D;4.a≠-3；5.0. D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 6.()根据三角形的面积公式可得y=多，所以不是反 由表格可知，共有16种等可能的情况. 比例函数 (2)因为共有16种等可能的情况，其中小云、小南抽取的 (2)由题意，得t=200,所以两个变量之间的函数表达式 卡片互不相同的有12种， 为)=200，是反比例函数 所以P(小云、小南抽取的卡片互不相同)= 123 t 16 二4 (3)由题意，得y+10x=100,所以两个变量之间的函数表 6