第四章图形的相似同步练习-2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

第四章 图形的相似 同步练习 一、单选题 1．下列四组图形中，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知四条线段、、、是成比例线段，即，下列说法错误的是（    ）． A． B． C． D． 3．如图，、都是的垂线，，，．是上一点，连接、，所得两个三角形相似，则的长是（   ） A．2 B． C．2或12 D．上述各个值都有可能 4．如图，在中，点P由点B出发沿方向向点A匀速运动，速度为，同时点Q由A出发沿方向向点C匀速运动，速度为，连接．设运动的时间为，其中．当时，t的值为（   ） A．3 B． C． D．或 5．如图，在平行四边形中，，且，那么（   ） A．9 B．12 C．16 D．20 6．如图，中，，D为AB上一点，下列条件：①，②，③，④中，能判定与相似的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在钝角中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，（点到达点后，点继续运动）．点运动的速度为，点运动的速度为．如果两点同时开始运动，那么当以点为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 9．如图，．若，则的对应角的大小为（   ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是边长为 2 的正方形，点为线段上的动点，为的中点，射线交的延长线于点，过点作的垂线交于点，交的延长线于点，则以下结论：；；当点与点重合时；当时，；当点和点重合时，．成立的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．如果，那么 ． 12．如图，点为等边边的中点，连接，取中点，作射线交于点，则 ． 13．如图，在中，，，，的顶点在上运动，且，为线段的中点，连接，在运动过程中，线段的最小值为 ；当时，线段的长为 ． 14．如图，在太阳光照射下，电线杆的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根高的标杆，量得其影长为，此时他又量得电线杆落在地面上的影子长为，墙壁上的影子高为．小明用这些数据很快算出了电线杆的高为 m． 15．如图，E是矩形内的一点，且，已知，线段的长为7，则的面积为 ． 三、解答题 16．如图，在中，，点D在边上，过点D作垂直交于点E，连接、交于点F． (1)求证：． (2)求证：． (3)图形中还有哪些相似三角形，请直接写出． 17．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，两点的坐标分别为，． (1)以原点为位似中心，在轴左侧画出将放大两倍，得到的； (2)分别写出，两点的对应点，的坐标； (3)已知为内部一点，直接写出点在中的对应点的坐标． 18．如图，和均为等腰直角三角形，，三点共线，连接交于点． (1)判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 19．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法． (1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为__________； (2)如图2，小李站在操场上点处，前面水平放置镜面，并通过镜面观测到旗杆顶部．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； 20．综合探究：如图，在矩形中，E是对角线上一动点，连接．    (1)【操作探究】 如图①，，过点E作交线段于点F，根据题意在图①中画出，图中的值为 ； (2)【问题探究】 如图②，，过点E作交线段于点F，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，，过点E作交射线于点F，当为等腰三角形时，求的长. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 图形的相似 同步练习-2025-2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D B D C C A B B 1．C 【分析】本题考查的是相似图形的定义，掌握相似图形的定义“形状相同，但大小不一定相同的两个图形是相似图形”是解题的关键． 【详解】解：由相似图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是相似图形， 故选：C． 2．D 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的基本性质，由可得，进而推导其他选项，发现选项D不成立． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 根据现有条件无法得到， 故选：D． 3．D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质．分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：， 设，则． 如图，当时， ， ， 解得； 如图，当时， ， ， 解得或． 综上所述，的长为或2或12． 故选：D． 4．B 【分析】本题考查相似三角形的判定，由勾股定理求出长，再由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，分别列出关于的方程，求出，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得： ， 由题意得：,， 当时， ∵， ∴, 此时, ， 故选：B． 5．D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，证明，得到是解题的关键．在平行四边形中，有，，根据，可得，即有，根据，可得，即有，根据，可得，根据，可得，即有，问题随之得解． 【详解】解：在平行四边形中，有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵行四边形中，， ∴， 故选：D． 6．C 【分析】此题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定与性质对各个结论逐一分析即可． 【详解】解：∵，， ∴，∴①可以； ∵，， ∴，∴②可以； ∵已知，但是夹角和不知道相等， ∴不能判断两个三角形相似，∴③不可以； ∵， ∴， ∵， ∴，∴④可以； 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了位似的相关知识，相似多边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，周长比等于相似比．根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为． 故选：C． 8．A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的对应边成比例以及分类讨论思想是解题的关键． 如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分D与B对应、D与C对应两种情况．分别根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则． ①当D与B对应时，有． ∴，即，解得：； ②当D与C对应时，有． ∴，即，解得：不符合题意； ∴当时，点D与点B重合，则，解得：（符合题意）， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是或． 故选A． 9．B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等．利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ． 故选：B． 10．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，根据题意画出对应的示意图是解题的关键． 根据正方形的性质得到，则，再由垂线的定义和平角的定义得到，则，再由，即可证明，故①正确；根据，，可判断②；证明，得到，再证明，设，则，则，，由勾股定理得，解得：，则，故③正确；求出，得到，证明是等腰直角三角形，得到，，则，，同理可得，利用勾股定理，则，故④错误；同理可证明，得到，则；证明，求出，，再证明，求出，则，故⑤错误； 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； 当点F与点C重合时，如图2， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴， ∴，故③正确； 如图3所示， ∵，即P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 同理可得， ∴， ∴，故④错误； 当点P与点B重合时， 同理可证明， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤错误； ∴正确的有3个， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据题意可得，，则，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；过点D作，交于点H，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点D作，交于点H，如图所示： ∴， ∴， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 13． 4 【分析】连接，利用相似进行转化，先得出，F是的中点，可得，再根据当时，最短，此时最短，根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质，求得的最小值，即可得出的最小值，再根据相似的判定和性质证明和，结合和勾股定理即可解答． 【详解】解：连接，如图所示： 根据题意得，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 中，， ，即， 是的中点， ， ， 当时，最短，此时最短， 当时，的面积， ， ，即， 解得：， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴ 故答案为：4；． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上中线的性质、三角形面积的计算和勾股定理的应用等知识，解决问题的关键是利用垂线段最短得到线段的最小值． 14． 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程求解即可． 【详解】解：如图，假设没有墙，则影子落在点． 杆高与影长成正比例， ， ． ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论． 15． 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，过点E作于点F，设，则，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图， ∵， ∴设，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴的面积． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，，据此可证明结论； （2）由相似三角形的性质推出，据此可证明； （3）由相似三角形的性质得到，则可证明，推出，进而可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 17．(1)见解析； (2)，； (3)点的坐标为． 【分析】本题主要考查了作图——位似变换、坐标规律等知识点，熟练掌握位似的性质是解题的关键． （）先根据位似的性质作出，两点的对应点，，然后顺次连接即可； （）根据平面直角坐标系写出，坐标即可； （）观察点的变化规律，并运用规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平面直角坐标系点可得，，； （3）解：∵在轴左侧画出将放大两倍，为内部一点， ∴对应点的是原点横、纵坐标的倍， ∴点的坐标为． 18．(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得，可证，从而可证，根据相似三角形的性质可得与之间的数量关系； （2）根据等腰直角三角形的性质得，，可求出，结合可证，根据相似三角形的性质可得与之间的数量关系，从而可得与之间的数量关系，进而可求出的长． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ ， ∵和为等腰直角三角形，，， ∴，， ∴. 19．(1)11.3 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质，理解题意是解答的关键． （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 则， 故答案为：11.3； （2）解：如图， 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 答：旗杆高度为12米． 20．(1)见解析，1 (2)，理由见解析 (3)或4 【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质及判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，根据等腰三角形的判定和性质求边长，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据题意画出图形即可，过点作于点，过点作于点，根据条件得出四边形为正方形，证明即可求解； （2）过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形，证明和，利用对应边成比例即可求解； （3）分情况进行讨论，当点F在线段上时，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H，证明，得出对应角相等，利用勾股定理求出相关线段的长度，用表示出相关线段的长度，证明，，，利用对应边成比例列出方程进行求解即可；当点F在的延长线上时，延长交于点H，找出相等角，利用等角对等边进行求解即可． 【详解】（1）解：画出如图①，理由如下：    过点作于点，过点作于点， 在矩形中，当时，四边形为正方形， ∴平分对角， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：，理由如下： 如图②，过点E作分别交于点M，N，则四边形是矩形.      ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵, ∴， ∴, ∴ , ∴ ； （3）解：当点F在线段上时，如图③，过点E作分别交于点M，N，连接交于点H.        ∵， ∴当为等腰三角形时，则有. 在和中 ∴， ∴， ∵在矩形中，， 由勾股定理得， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴, ∴ ，即， ∴， ， ∴， ， 由(2)知， ∴ ，即 ，化简得， ∴. 又∵， ∴， ∴，    ∴ ，即 ，解得(已舍去)； 当点F在的延长线上时，如图④，延长交于点H．    ∵， ∴当为等腰三角形时，则有， ∵， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴. 综上所述，当为等腰三角形时，的长为或4． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $