第14 期 §3.3 抛物线-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

育邀紫裤⊙游先回（两卫煤>）串1需流长床梯裤·姆开副 本蚕责任编辑：藕还清 相纸编框质量反馈电话 02515271268 兹理相 2025年10月13日·星期 高中数学 17115 相纸发行质量反德电话 14期总第1158期 人教A PMr.桃utcF:HLF PC 0351-5271248 选择性必修第一 山两师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社偏辑出版社长：徐文 国内统 连续出版物号：CN 140707NF)邮发代号：21-289 快乐的钥匙 有两间比郁的 公式=：1A1= √+言直线的率不存在时，欲长1B 一动佳县快正 抛物线的 公式解读：若抛物线y之=2x(户>0)的 为1，这三个弦长公式能出新有直线 一边住着忧感，标选 弦长间题 条焦点弦A前在直线的顿卧角为a,财弦长 械尚线藏得的弦长 择哪一边呢？问 AB1=2,北公式对于批物线了=-2( 例3已知物线C:2=4r的点为F,直到 sin'a 是，这两小会通常 0江西章姓新 >0)也运用，此焦点孩关公式可用公式1AB1 :y世x-2物线C交干A,B两点，则1AB1= 部关着的。慧人不 公式一：AB1=1++ ++结合三角函数如识推年，对于抛物 户山真面。有 线=2y(m>D),焦点弦关公式为1AB1= 公式解读：老直线1过批物汽y2=2四(p> 解：由-2得2-8x+4=0 y2=4w 成的胡匙.有的是 0)的然点F,且与批物战交于A(工1y,),(2 其中是批物线的点所在立线的 一块原给的村料 )两点，由抛物线的定文可|AF1=+ 领鲜角，此公式对于抛物线x■一p风P>D) 所以1A81.84x1x4个+T 1 制盛怎样的一枚 号.1F=+号，所1AB1=新++ 也道用 是，宠全取决于你 例2老直线1与物战，产=8r交于A.B两 为是已知量，所以运用表公式的类试 点，直线1的傾斜角为75，且过世物线的焦点： 例4已知抛物线8y,直线！与抛物线交 于是想起了一个故 是求，◆泰解方法是：先北直戏方程与抛浙 于A,B两点，点A,B两点的横坐标分别为-2系 线方程联立，消去变，就会得到 一个关于x的 4,求弦长1AB1. 从前一老妇有 一元二次方程，运用根与系数的关系可求出 解析：1AB1= m75=-150 9 解桥：将x=一2代入=8得y=分 子，老大拿制而伞 +无时于共他展型的抛物线，可用上连方法护 辱出相意的属点孩长公式 =32(2-5) 来养家，老二靠摆 所以4(-2，)，同理可得(4,2)。 例过抛物线4y的焦点F作直线1交 L)：双以测(2-P: 子口。这老嘴 抛物线于P(名，)，P()两点，若，+ 公式三：1B1 所以w=子，直线AB的方程为y-子= 年慧客满面，晴天为 =6,则1PP1= 公式解读：花一条直线，=标+刚和一条二 老大雨伞卖不出去 (A5 吹战方程联立去y后，会得到一个头于x的 (B)6 (G8 (D)10 +2)即y=+ 而长于短叹，前天又 答案：(C). 元二次才程2·+e0(≠0)（◆），则 为老二的生意而 解析：抛物线2=4y的准线为y=-1, 联立子+1得-2-8=0， 因为P,(x1,y,》,(x,2)两点是过抛物 其中」是方程（◆）的根的判荆式，若联立直线 x2=8 欢。后一智者点 线焦点的直线与融物线的交点 和二次线方程后清去x,则得出的是关于y的 所以1AB1= -4×1x(-8 化，胸中块垒顿化 所以P()，P(红两点到准线的 个一元二次方程y2+y+■0( 云。从此，雨天为老 览离分别是为1+1，为卡1， 大高兴，晴天又替老 所以P1=为+为+2=8 0)(),群相的长为11=合 T.9 二庆幸，点天痛欢眼 则=81，=8x (2)如右图所示，自点 笑的 抛物线 两式相减可得 作BQ蚕直丁抛物线的准线 12 快层与忧愁仅 (y1+为》（当1-y3)=8(-2), 点Q,交抛物线于点P,此时 墙之隔。但若没有 智者“出观，老妇断 热点问题归 类 因为AB的中点为P(32) PI■IPF y.◆￥1m23x24. 那么IPBI+PFI=IPBI+1PQ 唯穿墙而过，在这个 当直线1的斜率不存在时】 。河北李国超 1BQ1=3, P·u财保 世界上，每个人都渴 明显不符合题意，则直线1的解率存在， 热点阿通1：求抛物线的方程 即最小慎为3 望生活美好。开心 设直线1的斜率为， 例1过抛物y2=2mr(m0)的焦点 热点问题4：与抛物有关的证圳问题 8 这此需要我们对自 作x轴的垂线交抛物线干A,B两点，且1AB1= 则k=4= =2 例4已如抛物线y2=2r{p>0),过定点 K- y+ 己施行“精神美客 6,求抛物线的标准方湿 (2p.0)的直线与抛物找交于A,B两点，正明： 又直线1过点P(3,2), 0410R 美化自己的情感，健 解析：地物线的焦点为（受.0）小 所以直线1的方程为y-2=2(x-3) 证明：若直找AB的斜率存在，设直线AB的 素自己杰。只数 12x-x-4=0. 方且为y=k(x-2D》(k0) 你的信会之树常绿 将x■号代人了=2mx得y■±m 热点问题3：抛物线中的最值问 与22联立，得2-2-4p=0 所以1AB1■21m|■6.即m■±3 例3设P是地物线，2=4虹上的 动 凭你的热情与爱心 设A(1)B(x2),则y=-4p 故所求抛物钱方程为y2=±6x (1)求点到点4(-1,1)的距离与点P到 凭你的勇气与智慧 直线x=一1的距离之和的最小值： 因为A,B两点在抛物线上， 凭你的乐观与选 赫点问：抛物线中点弦公式的应用 所以行=2，月=2 去配制一神奇的 例2已知地物线，2.8x,过点P(3,2)引抛 (2)若B(2,2),求1PB1+1PF1的最小值 物线的一条弦，使它恰在点P处被平分.则这条 解：(1)由于A(-1.1),F1D),P为抛物 所以=酒 =4 朝，去打开快乐之 弦所在的直线的方程为 线上任意一点 门，事美好的生活 (A2x-y-4=0 (B)2x+y-4=0 期AP1+1PF1≥1AF1=22+1=5 所以m·n=4,上 吧 (C)2x-y+4=0 (D)2+y+4=0 从而知点P到点A(-1.)的矩离与点P到 所以04⊥0B. 答案：(A) F(1,0)的距离之和的最小值为5，即点P到点 若直线AB的斜率不存在，则点A(2.2) 解析：设直线/与批物线相交于A.B两点. A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离B(2p,-2)或A(20,-2p),B(2p,2p),易证得 A(1),B(3) 之和的最小值为5 0A⊥0B. (D)1 OMI=3 (C)=23 ( (C)y 2 PF:II PF:1 =42. ()国 .4 提。Z]LAEL.ZVG.桂D共教居 Z云智银中：开口租电店： ( ) (®号 四、解答题：本题共5小题，共T7分。 抛物线同步核心素养测评 15.(13分)已知点到点F(-2.0】 的距图比点到直线x= (c)2 3的距离小1 。数理接社试题研究中心 o子 &已知抛物y=4x的焦点为F,过点F的直线交批物线于A, (1)求点M轨迹方程： 第1卷选择题（共58分） B两点且1FA1 FB1=8,则0 (2)求线段MF中点Q的轨迹方程 (A)6 (B)7 一、单项选择愿：本题共8小题，每小题5分，共0分 (C)8 (D9 1.下列关于址物线y=8x2的图象描述正确的是 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (A)开口向右，焦点为(2.0) 9.已知F是抛物线C:x2=2,的焦点，A,B是折附物线C上不的 ()开口向上，焦点为(0，克】 两点，0为坐标原点，则 (A)若AF⊥y轴，则1AFI=1 (C)开口向上.焦点为(0.2) (B)点A到准线的最小距离为1 (D)开口向右，焦点为（豆0】 (C若1A1:2,则△4o0F的面积为号 高中数学 2已知抛物线x2=2py(>0)的准线经过点(-1，-1)，抛 高中数学·选择性必修第一册（人教A版》同步核心素养测评 (D)若∠A0B=0,则1040B1≥8 物的焦点坐标为 10.已知抛物线x2=4y的焦点为F,A(工1)，（为）是抛间 (A)(-1.0) (B)(0,-1) 线上两点，则下列结论正确的是 (C)(1.D) (D)(0,1) (A)抛物找的准线方程为x=-1 16.(15分)河上有一座地物线形拱桥，当水面距玩顶5米时，水 送择性必修第一 3.已知A为批线C:y2=2m(p>D)上一点，点A到C的焦点 (B)若1AFI+BF1=4,即气段AB的中点P到的距离为 的距离为12，到y的E离为9，则p= ( 面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后小蚂露出水面的分高} (C)若直线AB经过焦点F,则y:=1 (A12 (B)3 (D)若y:=I,则直线AB过焦点F 米，问水面上涨到与批物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航 (C)6 (D)9 11抛物线C:y=4x的准线为1，P为C上动点，过P作西A: 4顶点在原点，对称轴为坐标轴.且过点P-4，一2)的抛物线 -4)2=1的一条线，Q为切点，过点P作1的垂线.垂足为B 的标准方程为 则 (Ay2■-x (B)x2■-8y (A)/与圆A相切 (C)y2=-8r或x2=-y (D)2=-x或x2=-8r (B)当P,A,B三点共线时.|PQ1=√5 A版)同步核心素养测评 5.已知直线y=x-k及世物线y子2=2(p>0),则( (C)当1PB1=2时，PA⊥AB (A)直线与批物线有一个公共点 (D)满见IPAI=IPB1的点P有且仅有2个 ()直线与抛物规有两个公共点 (C)直线与抛物线有一个或两个公共点 第Ⅱ卷非选择题（共92分】 (D)直线与抛物线可能没有公共点 6已知甜物战C2=6,直线I与C交于A,B两点.若弦AB的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 中点为(1,4).则直线1的斜率为 12.已知直线1y=-1与地物线G:)2=4相交于A,B两点 ()号 AB1。 (B)3 13.已知F是地物线2=4红的焦点，点A(1,3),P为地物上 (- (D)-3 点，P到直线x=-1的距离为d.则d+PA1的最小值是 14.圆(x-)2+之=25的周心与世物线y2=2x(p>0)的 7.已知直线，：4x-3y+6=0和直线：江=-1，抛物线) 焦点F重合，A为两曲线的交点，刚原点到直钱AF的距离为 x上 动点P到直线和直线的距离之和的最小值是 (高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期(2025年10月) 第13期2版参考答案 由此可得a=35,b=25, 专项小练一 所以双曲线的商近线方程为y:±子。 1.B;2.C;3.C. 即为3x±2y=0. 4.(-0,0)U(2,+∞)；5.5或9. 3.设M(x,y),由题意可知x≠±3， 6解：)苦-苦=1 m本)4 .Y (2)因为b=4,c=5,所以a2=c2-62=9. 整理可得动点以的轨迹方程为号-云=1(x≠士3》。 因为焦点在y轴上， I FFI 4e=台=1P,P,=102-6=2 8 所以双曲线的标准方程为兮-云=1 5.依题意得a=1,b=3,因此c=10, (3)因为c=22,a=b,所以c2=a2+b2=2a2, 根据双曲线的定义得IIPF2I-PFI1=2, 即(22)2=2a2,所以a2=b2=4. 即IIPF2I-3I=2,解得IPFI=5或IPFI=1, 又因为双曲线的焦点在y轴上， 又IPF2「=1<c-a,不合题意，舍去， 所以所求双植线的标准方程为片-聋=1。 所以IPF2I=5. 6.由题意知IAP1+|AF2I=1API+lAF1I-2a, 专项小练二 要求IAPI+1AF2I的最小值， 1.,2.B:3.C4-号=155.0 只需求IAPI+1AF,I的最小值， 6解：设要求的双由线方程为号-。-A(以子0， 当A,P,F,三点共线时取得最小值， 则IAPI+IAFI=IPFI=√37， 把点P2,3)代人可得子名=A,解得A=-宁 所以IAPI+|AF2I=IAPI+lAF,I-2a≥/37-25. 所以双曲线方程为号-号=1 、2 7.由题意可知双曲线C的渐近线方程为y=±名， 点P(-1,5)在一条渐近线上， 第13期3版参考答案 如图所示，则女=原，即6=5a, 双曲线同步核心素养测评 一、单项选择题 1~4 DBBC 5 ~8 ACAD 提示： 1.设双曲线的实轴，虚轴，焦距分别为2a,2b,2c, 由题知b=万a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2, 则c=22a,即e=c=22 且两条渐近线的倾斜角分别为60°，120°， 则∠P0F=60° 2把双质线方程化为标准形式为若斋=1， 又1PF1=2,I0PI=√(-1)2+(3)2=2， 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以△OFP为等边三角形，从而c=1OFI=2 C的渐近线上的点到F距离的最小值为F到渐近线的距离 又a2+b2=c2,b=5a,解得a2=1,b2=3, d=c=b=4,所以(A)正确； 所以双曲线C的方程为一号=1 离心率e=行=子，所以（国）不正确： 8.由題意得双曲线左焦点(-2,0)， 双曲线上，右顶点到F的距离最小，5-3=2，所以(C)正确； 当直线垂直于横轴时， 1AB1=2√2，不符合题意， C的通径长为咎：号放()正疏 双曲线的渐近线方程为y=±x; 故选(A)(C)(D) 故可设l:y=k(x+2)(k≠±1)，A(x1,y),B(x2,2), 11.设焦距为2c, 联立 y=k(x+2), 不妨取C的一条渐近线为y=-各， x2-y2=2, b 可得(1-2)x2-4k2x-4k2-2=0, 则直线1的方程为y= x-c, a 1+2三1E6·=二442 42 垂足为A,易知1OA|=a,IAF3I=b. 1-k2, 因为1PFI=3b-2a,所以1PF2I=3b. 由弦长公式知 设线段PF的中点为E, IAB1=√2+1Ix1-3 则1FE1=兰，10E1=兰-a =F+i.8(+) 1k2-1T 1A1=1r,E1-A1=号 =4→k2+1=√212-1「， 在Rt△AE0中，IOEI2=1OAI2+1AE12, 则k=±(2-1)或k=±(2+1)， 即（-）=心+（）广解得号=号 2 故存在四条直线满足条件. 2 二、多项选择题 故双曲线的渐近线方程为y=±了，故(A)错误： 9.BCD:10.ACD:11.BC. 提示： =可=多解得e=空放(B)正确： a 号+片=1表示桃圆， 9若方程， s听=5m=1A,1X划0A1=6=d, 1 3-t>0, 故(C)正确； 则t-1>0,解得1<t<3,且t≠2，故(A)错误； 设直线I被以IF,F2I为直径的圆截得的弦为MW, 3-t≠t-1, 易知点A即为MN中点， 3-t>0, 故IMWI=2IAFI=2b=3a,故(D)错误. 若曲线C为椭圆，且长轴在y轴上，则t-1>0, 故选(B)(C). 3-t<t-1, 三、填空题 解得2<t<3,故(B)正确； 12号号=11-3=4号 =1 若曲线C是双曲线，则(3-t)(t-1)<0, 提示： 解得t<1或t>3,故(C)正确； 12.设双曲线的方程为mx2+y2=1(mn<0), 3-t>0, 若曲线C是圆，则t-1>0,解得t=2,故(D)正确。 代入点A2,2)83,-2. l3-t=t-1, 4 可得 4m+3n=1, 故选(B)(C)(D). 9m+8n=1, 10.由题意可得2a=6,2c=10, 1 所以a=3,c=5,b=c2-a=4, 「m= 3 解得{ y 则双线6号后1 所以双线的标准方程为号-=1 n=- 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 13.设A(),8(),则乎-疗=1，至-疗=1， 所以双南线的标准方程为后-后。1 3y2 两式相减得好（名+）名-)-(0，+，)0-为)=0 (3)设以y=±2x为渐近线的双曲线方程为 因为P为线段AB的中点， 若-号=Aa≠0， 所以x+x2=8,1+y2=2. 当入>0时，a2=4入， 所以二2=1，即所求直线1的斜率为1， x1-x2 所以2a=24=6=9 1 所以直线1的方程为y-1=x-4,即x-y-3=0. 当入<0时，a2=-9x, 经检验符合题意 14.由题可知点P必落在第四象限，∠F,PF,=90°， 所以2a=2√-9n=6→A=-1. 设1PF2I=m,∠PF2F1=01,∠PF,F2=02, y2 厅以双曲线的标准方程为号-二】 1或 、x2 9-4=1 4 由kpr2=tan0=2,求得sin0:= 2 5 16.解：(1)设点C(x,y),则II CAI-1CB11=2, 因为∠FPF2=90°，所以kpF1·km2=-1, 所以C的轨迹是双曲线且焦点在x轴上， 求得m=-子，即am仍=之求得sin0,= 1 由2a=2,2c=1AB1=25,得a2=1,b2=2, 5 由正弦定理可得： 故点C的轨迹方程是父-号=1 I PFI:I PF2I:IFF2 I sin 0 sin 02 sin 90= (2)由已知条件得直线方程为y=x-2, 2:1:5, 与2- 2=1联立，消去y得2+4x-6=0, 则由IPF2I=m得IPFI=2m,IFF2I=2c=√5m, 因为4>0，所以直线与双曲线有两个交点 由5o5=宁1Pf1Pg=m2m=8 1 设D(x1,y1),E(x2,2),则x1+x2=-4,1七2=-6， 解得m=22, 所以IDE1=√I+2Ix1-x2I 则1PF21=22,IPFI=42, =2√(x1+x2)-4x=45. 1FF2I=2c=2√10，c=√10， 17.解：(1)由题易得双曲线的渐近线方程为bx±ay=0, 由双曲线第一定义可得 则点F,到渐近线的距离为c±0=b, √+a 1Pf1-lPf2I=2a=22,a=2,b=√2-a=8, 所以由题意知c+a=2b. 所以双曲线的方程为号一。-1 因为+=6，所以b=亭， 四、解答题 故所求双曲线的渐近线方程是4x±3y=0. 15解：（1)设双曲线的标准方程为号-号 (2)因为∠FPF2=60°， =1(a>0,b>0) 所以由余弦定理得IPFI2+1PF2I2-2IPF1IPF2I· 由图京知2水=12，后=子且2=心+尔 c0s60°=1F1F212, IPF 12+1 PF2 12-1 PF 1I PF2 I 4c2, 所以b=6,c=10,a=8, 由双曲线的定义得IIPF1I-PF211=2a, 6网6=1或2、x 所以双曲线的标准方程为兰一号 6436=1 平方得IPF,12+lPF22-2 I PF I PF2I=4a2,② (2)因为e=￡=2，所以c=2a,b2=c2-a2=a2. ①-②得IPF1I1PF21=4c2-4a2=462, 根据三角形的面积公式得 又因为焦点在x轴上， 所以设双曲线的标准方程为。一 PF1PF I sin 60 -=1(a>0). 把点(-5,3)代人方程，解得a2=16. -9×4=56=45, 一3 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以2=48， _2 a aox+b+6=0, 由(1)中6= 于得a2= 9B=27, 1x2y2 干视A警+ 故所求双曲线方程是2748=1 4(6号-d8-=0. a = a 2 a2=2, 18.解：(1)由题设可得 解得 4 1 b2=1, 因此直线号-罗-1与风线号-名=1a>06 a2- =1, 0)相切于点(xo,yo), 所以双线C的方程为号-？=1 所以过双曲线号-卡=1(a>0,6>0)上一点（6,6 (2)设A(1),B(x2),直线：y=-2t+6 1 的切线方程为号-是山 因为点M(2,1)不在直线l上，所以t≠2. (3)证明：当n=0时，直线l的斜率不存在， [y=-2x+i, 由对称性知，点T为线段PQ的中点； 由 得x2+4tx-4(2+1)=0, 号-1 当n≠0时，设P(x1y1),Q(,y2),线段PQ的中点N(t,s), x22 则4=162+16(+1)>0，x+龙2=-4t,x为=-4(2+1)， a =0 由 消去y得： 自+6周 =二15+(x+3)-4(t-1) 3-2(x1+x2)+4 (倍g)+2-=0 -4(+》-4=4==1, -4(2+1)+8t+4 由2 =1,得x2-2mx+a2=0, 可得t=1,所以直线1的方程为y=-号y 2t+1. 则6=十当=m, 2 191)解：由题可得2-后=1，即方=兰-1， 婴学1，于是s:(答-）=n 联立2 -1 -oy=1, 即点T与点N重合，所以点T为线段PQ的中点. 消去y得：（空-圣）+-1+)=0. 第14期2版参考答案 则x2-2xx+后=0，显然4=4x后-4后=0， 专项小练一 所以该直线与双曲线有且只有1个公共点. 1.C;2.D;3.BD. 4(0,6):51 (2)解：由1)知，直线号-y=1与双曲线号-子=1 6.解：令x=0,y=2,所以号=2，得p=4, 相切于点(xo,少o), 又抛物线的焦点在y轴的正半轴， 所以过双曲线，--=1(a之0，b>0）上一点(，》 所以抛物线的标准方程为x2=8y 的切线方程为o_。 =1. 令y=0,x=-3,所以号=3，得p=6, 又抛物线的焦点在x轴的负半轴， 证明如下：显然疗- 然6-台=1，即号-d26=26, 所以抛物线的标准方程为y2=-12x. 专项小练二 xox Yoy =1, 由 消去y得： 1.A:2B:3.BC4.7;516 x22 2=1， 6.解：设A(xAya),B(xB,yg), 一4 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 由-2+1=0可得y-4y+2p=0. 即直线1的斜率为兮 Ly =2px, 7.因为x=-1是抛物线y2=4x的准线， 所以yA+yB=4p,yAyg=2p, 所以P到x=-1的距离等于IPF1. 所以1AB1=√个+2·√(yA+yB)-4yayB=4√5. 过P作PQ于l于Q, 即2p2-p-6=0,因为p>0,解得p=2. 则P到直线l1和直线，的距离之和为PF1+PQ「， 第14期3版参考答案 当F,P,Q三点共线时取得最小值， 即为F(1,0)到直线4x-3y+6=0的距离， 抛物线同步核心素养测评 所以最小值为4-0+61=2， 一、单项选择题 16+9 1-4 BDCD 5-8 CACC 8.由题可得抛物线的焦点坐标为F(1,0), 提示： 准线方程为x=-1. 1.由抛物线y=82得抛物线标准式为5=，2印= 、1 由题意可知直线AB的斜率存在且不为0， 设直线AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 故焦点在y轴上，开口向上，焦点坐标为(0，立) 联立方程，广=4， y=k(x-1), 2.因为抛物线x2=2py(p>0)的准线经过点(-1，-1)， 消去y得2x2-(22+4)x+2=0. 所以-号=-1，即p=2, 设A(x1y1),B(x2,y2),则xx2=1. 所以抛物线的焦点坐标为(0,1). 因为1FAI=x1+1,IFBI=x2+1, 3.设点A的坐标为(x,y) 所以IFAII FBI=(x1+1)(x2+1) 由点A到y轴的距离为9可得x=9, =+2x2+x12+1 由点A到抛物线C的焦点的距离为12， =x1+x2+2=8, 所以IABI=|FAI+lFB1=x1+2+2=8 可得x+号=12，解得p=6. 二、多项选择题 4.若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2=ax, 9.ACD:10.BC:11.ABD. 将点P(-4,-2)的坐标代入得a=-1, 提示： 所以抛物线的标准方程为y2=-x 9.设A(x1,y1),B(x22). 若焦点在y轴上，设方程为x2=by 由题意得r(0,2),则=之 将点P(-4,-2)的坐标代入得b=-8. 1 所以抛物线的标准方程为x2=-8y. 所以1AF1=为+乞=1，故(A)正确； 故所求抛物线的标准方程是y2=-x或x2=-8 当点A为坐标原点时，距离准线的距离最小， 5.因为直线y=kx-k=k(x-1),所以直线过点(1,0). 为7，故(B)错误： 又点(1,0)在抛物线y2=2px(p>0)的内部， 因为1AF1=+方=2，所以=子， 3 所以当k=0时，直线与抛物线有一个公共点； 当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点.故选(C). 所以x好=3，解得x1=±5， =6y1, 6.设A(1,少1)，B(,2),则{ 号=6y2, 所以S△AOF=2 4 所以x-x号=6y1-6y2, 故(C)正确； 整理得2=+2 由∠A0B=90°得x1x2+y12=0, x1-x2 6 即x+4(x)》2=0, 因为弦AB的中点为(1,4)， 所以2=+=2=1 解得x1x2=0(不合题意，舍去)或x1x2=-4, x1-x2 6 6=3 所以y12=4, 5 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 所以10A10BI=√+7√x好+ 故点P有且仅有两个，(D)正确。 故选(A)(B)(D) =2+y7√2y2+y号 三、填空题 =√y1y2√(2+y1)(2+y2) =2√8+2(y1+y2), 128:133:14号 因为为+y2≥2√少y2=4, 提示： 当且仅当y1=y2=2时等号成立， 12.由条件知，直线y=x-1过抛物线的焦点， 所以1 OA I-I OB1≥8，故(D)正确 将y=x-1代人抛物线方程y2=4x, 故选(A)(C)(D) 整理得x2-6x+1=0, 10.抛物线x2=4y的准线方程为y=-1,故(A)错误； 设A(x1少)，B(2,2),则x1+2=6, 由IAF1+|BFI=4,得y1+1+y2+1=4, 所以1AB1=x1+x2+2=8. 13.由题得F(1,0),准线为x=-1, 则1+2=2，所以点P的纵坐标p=业=1， 2 点A在抛物线外，故d=IPFI, 即为点P到x轴的距离为1，故(B)正确； 则d+lPAI=IPFI+IPAI≥IAFI=3, 因为直线1交抛物线于A,B两点，显然I的斜率存在， 当且仅当F,P,A共线且P在F,A两点之间时等号成立. 设1的方程为y=:+m,与)=子联立消去 14圆(x-1)2+y=25的圆心为F(1,0),故号=1， 整理得x2-4kx-4m=0, 即p=2, 所拟名一加，所以5=手×聋=花 m x-)2+=25·可得 由 4 16 y=4x 若直线AB经过焦点F,则m=1,yy2=1,故(C)正确； x2+2x-24=0,故x=4或x=-6(舍)， 若yy2=1,则m=±1，当m=I时，直线AB过焦点F 故A4,±4)，放直线4Fy=±号(x-1), 当m=-1时，直线AB过点(0，-1)，故(D)错误 即4x-3y-4=0或4x+3y-4=0, 故选(B)(C). 11.y2=4x,p=2,l:x=-1. 故原点到直线AF的距离为d=41=4 5 又圆A半径为1，圆心为A(0,4), 四、解答题 所以点A到直线的距离为1， 15.解：(1)由题可知点M到点F(-2,0)的距离与到直线 所以圆A与1相切，(A)正确； x=2的距离相等， 当P,A,B三点共线时，yp=ya=4, 所以动点M的轨迹是以F(-2,0)为焦点， 代入y=4x中，xp=4,所以PA=4, x=2为准线的抛物线， 所以PQ=√PA2-T=√5，(B)正确； 故点M的轨迹方程为y2=-8x 当1PB1=2时，xp=1,yp=2(假设P在x轴上方）. (2)设Q(x,y),M(x,yo) 此时，B(-1,2),P(1,2),A(0,4),4P2=AB=5,BP2=4. 则-2=2所以而=2x+2, 因为AP2+AB2≠BP, y%=2y, Lyo =2y, 所以PA与AB不垂直，(C)错误； 又y哈=-8x0,故(2y)2=-8(2x+2). 因为PB=PF(F为抛物线C的焦点)， 即y2=-4(x+1)为所求。 所以PA=PB时，PA=PF 16.解：如图1，建立平面直角坐标系， 所以，点P在AF中垂线上. 又40,4)，51,0)，所以4中垂线的方程为x=4-与 15 联立 =4y-7’得y-16y+30=0,4>0. 2=4x, 所以AF的中垂线与抛物线C有两个交点， -6 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 设拱桥所在的抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)。 因为P和Q是抛物线C上的相异两点，所以上≠2， 由题意得B(4,-5),将点B的坐标代入抛物线方程， 从而4=(2p)2-4(-2b)>0,化简得p+2b>0. 解得口：号所以孢物线的标准方程为父：一5 则1+为=-2p,从而0=当2=-2 2 当小船的两侧和拱桥接触时小船不能通航。 因为M(xo,yo)在直线l上，所以x=2-p, 设此时船面宽为AA',则A(2,ya), 因此线段PQ的中点坐标为(2-P,-P) 又点A在抛物线上，由2=-与 （iⅱ)解：由(i)知线段PQ中点M(2-p,-p)在直线y =-x+b上， 得=-三 41 所以-p=-(2-p)+b,即b=2-2p. 又知船露出水面上的部分高子米， 4 由(1)知p+2b>0,于是p+2(2-2p)>0,解得p< 设水面与抛物线拱顶的距离为h, 因此p的取值范围为(0，专) 则6=方+子 =2(米)， 19.解：(1)设P(x1y1),Q(x2,2),其中≠x 即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船开始不能通航。 17.解：(1)由点P(x,w2p)在抛物线C上， 得(2p)2=2pxo,解得=p, 由抛物线定义得，1PP1=+号=受-=3，解得》=2， 图2 故抛物线C的方程为y2=4x (2)设直线l的方程为x=my+1, =得-乃=4-4 由 =4x2, 联立=4红， 消去x,得y2-4my-4=0, 4 Lx =my +1, 变形得上 x1-x2y1+y2 故y1+y2=4m,yy2=-4, 所以5=，4，所以42.25 所以名=手差-倍-1+=(a侧+)+ y1+y2 2 3 16 (my2+1)=m(y1+y2）+2=4m2+2, 所以线段P0中点纵华标的值为号 (2)设y轴上存在定点S(0,s)满足题意. 则0A.0B=-(x1+2）=x2+yy2=-3, 由题意，直线MW的斜率存在且不为0， 即4m2+2=3,解得m=±2， 1 设直线MW:y=kx+s, 所以所求直线1的方程为y=2x-2或y=2-2x P(年）（车）（臣）w(年) 18.(1)解：因为抛物线)>=2p(p>0)的焦点（号，0） 由了=：+8”消去整理得-4y+4s=0, ly=4x, 在直线1：x-y-2=0上，所以号-0-2=0， 由4=16-16ks>0,得ks<1, 解得p=4,所以抛物线C的方程为y2=8x. (2)(i)证明：设P(x11),Q(x22), 则%+=专=餐 4 线段PQ的中点M(xo,Yo). 因为P,T,M三点共线， 因为点P和Q关于直线1对称， 所以（华-5）为=（年-）m。 所以直线1垂直平分线段PQ, 解得y1y,=-43. 所以直线PQ的斜率为-1， 则可设其方程为y=一x+b. 同理，可得2y4=-45. y1-y2 4 由广=2，消去得子+2py-20=0 又kw= ly =-x+b, 7 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 4 Y3Y4 =5, =4E+-45-万(+y) 所以Sa=2×4×25=45. 1 Y3 Y4 6.因为F,F2是双曲线的左、右焦点， 4s P为双曲线左支上的任意一点， 所以=全 =-3,解得3=-3. y3+y4 k 所以1Pp,Pr=2a,代人得 所以直线MW恒过定点(0，-3)： I PF2 12 (I PF 1+2a)2 4a2 I PFI I PFI =I PF:1+4a+PFT 第15期3版参考答案 4a2 ≥2/PgI×1Pp,T+4a=8a, 圆锥曲线的方程核心素养综合测评 当且仅当IPF,I=2a时取等号， 一、单项选择题 又点P是双曲线左支上任意一点， 1~4 BABD 5 ~8 CACD 所以1PFI≥c-a,即2a≥c-a,所以e≤3， 提示： 所以双曲线离心率e的取值范围是(1,3]. 1.直线x+2y+4=0交x轴于点(-4,0)， 7.设弦的两个端点坐标分别为(x1,y1),(x2,2), 交y轴于点(0，-2)， 、依题意得a=4,6=2,所以椭圆方程为名+} + =1. a 62 =1, 则 2.由题意可知e=2, 62 =1, 则6 /c2-a 3 =√e-1=5, 两式作差得 所以双曲线的渐近线方程为y=±5x, (+)(x-++)(1=2）=0. a 即5x±y=0. 又M(-4,1)是弦的中点， 3.不妨设点D在第一象限，则点E在第四象限， 所以x1+x2=-8,少1+y2=2, 联立 x=2, 「x=2, 结合已知直线的斜率为1， -2,解得 y=±2p, 警 x1-X2 则D(2,2D),E(2,-2p), 因为0.0正=0，所以4-4p=0,解得p=1, 所议√（合 所以C的准线方程为：=一号=一子 8.依题意a=3,b=5,c=2, 4.由题意知a=1. F(-2,0),F2(2,0),N3,5), 不妨设点M在第一象限， 则1NF21=√2+(5)2=6， 则由题意有IAB1=IBM1=2,∠ABM=120. 1NF1=√52+(5)2=30， 过点M作MW⊥x轴于点V, 所以IMWI+1MF,I≥INFI=√/30， 则IBW1=1,IMN1=5,所以M(2,3), 当M位于线段VF,与椭圆交点M2处时等号成立 代入双葡线方程得4一亭=1，解得6=1， 根据椭圆的定义可知IMNI+1MF1「=IMWI+2a- 所以双曲线的方程为x2-y2=1. I MF,I =6+I MNI -I MF2 I, 5.因为y2=4x,所以焦点F(1,0),准线l:x=-1, 如图1所示，设NF2的延长线与椭圆相交于M1, 过焦点F且斜率为5的直线41：y=5(x-1), 将其与y2=4x联立得3x2-10x+3=0, 解得x=3或=子（舍去）， 故A(3,23),所以1AKI=4, 图 8 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 则当M位于M1时，6+lMNI-MF2I取得最大值， 解得r=多（万-1），故(D)正确 为6+1NF2I=6+6, 故选(C)(D) 综上，IMW1+1MFI的取值范围为[√30,6+√6]. 11.过双曲线的右顶点A(a,0)作x轴的垂线交渐近线y= 二、多项选择题 b 9.AC;10.CD;11.ABD. x于点B(a,b),则10B1=c=I0F1, 提示： 不妨设M,P在x轴上方， 9.由∠M0F=45°，可得an∠M0F=Io =1, 即后=后， 联立方程组 =·解得=4 l6=4o, 图2 所以(A)正确，(B)不正确； 因为IOBI=IOFI,∠AOB=∠MOF,∠OAB=∠OMF 又由抛物线的定义，可得1MF1=名+号=4+1=5， =90°，所以Rt△OAB≌Rt△OMF, 所以(C)正确； 所以1FM1=IABI=b,1OMI=IOA1=a, 在△0FM中，可得10F1=1,IMFI=5,10M1=42, 由已知证=2网得1PW1=冬， 由余弦定理得cos∠OFM=I0F12+1MFI2-IOM1? 由IOM12=IFM1MPI,得 21 OFII MFI :+42。号所以D)错误 心=各，所以&=，所以名=， a 2×1×5 所以双曲线的渐近线方程为y=±√2x,故(C)错误； 故选(A)(C) 10.由题可得a=22,b=2,c=2, 因为c=心+公=3a,所以e=合=厅，故(D)正确： 又P为椭圆上一点，不妨设P(m,n),m>0,n>0, 因为OM⊥直线FP,且IOMI=a, 则5am=方×2e×n=3. 所以直线FP与圆x2+y2=a2相切，故(A)正确； 双曲线的焦点坐标为（±5a,0), 解得元=子，故(A)错误： 为中心在原点焦点在x轴上的椭圆， 半焦距G=√4a2-a=√5a,焦点坐标为（±5a,0), 解得m=少，所以P(是) 所以E与云+ 2疗+京=1有相同的焦点，故(B)正确 2 所以1=(2)°+=+2 4 故选(A)(B)(D). 三、填空题 1P1=(-2+=翠-2m 12:1a号-言-：14-2 所以1P吹，121P,12-(2)=2x2-16=子>0， 提示： 所以∠FPF,<,故(B)错误； 12.由题意得2，=0+号，解得0=， 由椭圆定义可得△E,PF,的周长为2a+2c=4(2+1), 即A5,-3 故(C)正确； 设△FPF2的内切圆半径为T, 代人=2px(p>0),得(-3)2=2p·号，解得p=3. 1 由2·(42+4)=3， 13设双曲线的方程是号-子=1A≠0，A≠). -9 高中数学人教A版选择性必修第一册第13~16期 把点(2,2)代人方程，得1-4=入，解得入=-3， 解得天=3该：=号 故所求的双围线的方程是号-了。-3，即号一音 312=1. 则两个交点的坐标分别为(3,0)， 14.如图3，连接QF· 故IABI= -)+(号) =245 5 17.解：(1)设椭圆的焦距为2c, 则由2c=2得c=1, 因为后-停所以a=厅6=反 a 图3 所以椭圆C的标准方程为号+号=1 设1QF2I=x(x>0),则IPF11=4x (2)设直线l:x=ty+1, 因为IPFI+|PF2I=2a,IQFI+lQF2I=2a, x ty +1. 所以1PF21=2a-4x,IQFf11=2a-x 联立，2得(2t+3y+4y-4=0 -=1 在△PFQ中，∠F,PQ=90°， 2 所以1PFI2+1PQI2=1QFI2, 设A(x1y1),B(2,2), 即(4x)2+(2a-4x+x)2=(2a-x)2, -4t -4 则1+为=22+31·为=2r+3 整理得a=3x, I PF I 4x 4x 所以an∠PF,￡=P,=2a4=6x-4=2, 又分=2所以哈+2=多 1 所以直线PF2的斜率k=tan(180°-∠PF,F)=-2. 即+5) yy2 =-2 四、解答题 所以=子，解得：= 2, 15解：()由题可得2+(-)=y+ 故直线1：2x±y-√2=0. 化简得x2=2y.故点P的轨迹方程为x2=2y 18.(1)证明：双曲线C的渐近线方程为x±2y=0. (2)由题意设A(x1,y1),B(x2,y2), 点P(x,）到直线x-2y=0的距离4=1x-2y 将直线方程y=x+1与抛物线方程x2=2y联立得x2- 5 2kx-2=0, 点P(x,)到直线x+2y=0的距离山，=1x+2yL 5 则x1+x2=2k,x1x2=-2. 所以点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积为 所以1AB1=√1+k2·√(x1+x2)-4xx d,d=1x-2y1L.1x+2L--4L =个+区·4h2+8=26, 5 5 5 解得2=1，所以k=±1. 又P(x,)在双曲线C上，所以号-=1， 16.解：(1)由题意可设C的标准方程为 即x2-4y2=4, -=1(a>0,6>0) 所以山4=号，是一个常数 由题意知c=5片=青结合心+= (2)解：由号-=1得子=苦-1≥0， 解得。=36=4，故C的标准方程为号-6=1 解得x≤-2或x≥2.所以1P412=(x-3)2+y (2)由(1)知C的右顶点为(3,0)， =-3+号-1=(-号)+号 可设直线l的方程为y=2x-6. 、2 当=号时，1P12取得最小值号 联立 写-6=l,消去y可得52-4+17=0， y=2x-6 所以1PA1的最小值为 10