第9期 §2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系-【数理报】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步学案（人教A版）

本蚕责任编辑：藕还清 招纸编板质量反馈电话： 02515271268 相纸发行质量反德电话 兹理括 年9月1日·星期 高中数学 第 9 期总第1153期 人教A 0351-5271248 选择性必修第一 为什么北极微 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社辑出版 社长：徐文 国内统 连续出版物号：CN140707NF)邮发代号：21-28 不怕寒冷 圆与圆的位置关系 则点A,的坐标是方程 x2+y2=1, 在天雪地规其 冷的轮。为什名北 2+-2x-2+1=0的解 两式相减得x+y-1=0, 需石油冷呢？ 要点归纳及典例剖析图 。湖南张艳程 因为A,B两点的坐标满足x+y一1=0。 的毛皮与众不月，它的 【要点归纳】 点评：出两圆的方程得到即⊙和术径，由 所以AB所在直线方程为x+y-1■0， 特珠结构其有框的 对两圆位置关系的判定，我们有两种思路： ”有且仅有一个公共点”得到“两国智初”，进而得 圆C,C的公共弦所在直线的方程为 其一，将秋西方程联立，构成方程组，若方程塑 到国心之间的离与平径的关系，解得：的值 x+y-1=0 有两组解，两圆相胶：老方程组仅有一解，两 三，两圆相交 圆C,的圆心为C,(0.0),毕径r=1 温度高于大地 相（内切成外初）：若方程组无解两圆相离或 1,圆系方程 的动候，起能姚明业 C,到直线1的距离d=号 一殼地，过圆G,2++D,+Ey+F,■ 其二，通过两圆的西心距与两半径之间的关0与圆C,:x2+,2+Dx+Ey+F,=0的交点 圆G,与圆C,的公共弦长为 而选报熊中抽损不到！ 原老植的表正 系确定，1设可圆的半径分别为R.圆心距为d 的圆的方程可设为： 2-()=元 度和业框地区来块的 若d>R+,则两圆外离： +F+y+Da 温度手是一样的。 若d=R+,则两圆外切： E2y+F》=D(A≠-1).然后再由其他条件 故圆C,与圆C:公弦所在直线的方程为 若d=R-1,则两圆内切： 求出A,即可得圆的方程 ￥+y-1■0，公共求长为2 若1B-r1<4<R+,风两圆相交： 2.两需批文时，公头致所在的直践方程 例5已知圆2+y2-4g◆6y=0和圆x2十 所地的下来，而具在 若0≤d<R-,两圆内含： 若圆C,:2+y+D,x+Ey+F=0与圆y-x=0交于A,B两点，则公共弦AB的垂白 两上它比展国味雪的 【典例剂析】 Cx2+2+D+E2y+2=0相交.则回公 平分线的方程为 色委深得多，这灵明 一，料斯公切钱的条 共弦所在直线的方程为(D,-D,)x·(B (A)x+y+3=0(B)2x-y-5=0 在报食奶白色毛度能 例1判两圆C,:x2+y+2x+2y■0.C: E:)y+F-F=0 (C)3r-y-9=0(D)4x-3y+7=0 能液紧外盟和机清晰 +y2-6r+2y+6=0公线的条数 3公共法长的某油 答案：C. 也下表了 解析：G,化为标准方程为 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点 架析：由图意知公共弦A的垂直平分线 为牛名北红焦转 (x+1)2+(y+1)2=2, 坐标，利用两点饲的距离公式求出弦长 为两圆圆心连线所在直线 得圆心为G,(-1-).半径为反 (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程。 两圆的圆心分别为(2，-3).(3,0) G化为准方程为x-3)2+(y+1) 4, 利用圆的半径，半弦长，心距构成的直角三角 也于子星镜察北 所求直线的率长==3 得圆心为C(3,-1),半径为2 形，根据勾股定理求解 核的毛虎，会发现 那么图心距1C,C1=3-(-1) 4.求两圆的相文弦的备直年分线的方程即 故所求直线方程为3x-y-9■0， 一根根毛好像 四、两圆外离 =4>2+2 购经过两司的圆的直线方程 根晋子，毛内不 有何色体。单常是 两圆外离。 例3圆心在直线x-y-4=0上，且经过两 例6求两圆2+2=1与x+y2-45x 上去它之所以为白色 因此公切线有4条 圆2+y2+6-4=0和++6y-28=0 4,y+32=0的内公切钱的长 是四为毛管内表面日 点评：若两外离，则布四条公切线：若两 的交点的的方程为 解：由于圆x2+y2-45x-46y◆32■0 图外切，则有三条公切线：两相交，则有两 (A)x2+y2-年+7y-32m0 的准方程为(x一25)2+(-2后)■4， 的雪花底在地上星 条公切线：若两调内切，则有一条公切线；若两 (B)x2+y2-x+7y-16=0 得圆心坐标为(25,26)，半径为R=2. 出白框色一样 (C)x2+y2-4w+4y-9=0 rt(n-2t-3m-m)： 图内合，则无公切我，是然，公切线的条数直楼 ：+3)19 步呢察，发观填什毛管 取决于两回的位置关系。 (D)2+y2-4红+4y-8s0 二，两圆相切 答案：(A) 通过，就厚…根 例2已知圆C:x-3)2+（y+2)2=1与 解析：设圆系方程为x2+2+x-4+A( 圆C2:(x-7)2+(y-1)2=50-a,老圆C,与 +y之+6y-28》=0. 如右图，易得△OBD相似于△CR 圆C:有且仅有一个公共点，则实数 心坐标为（子杂》 且相为1：2， 上的阳光，包拾警外 由T0c1=V(23)+(26)=6 ，几企部收进 解析：圆C1:(x-3)2+(y+2)2■1. 又圆心在直线x一y-4=0上， 题心为(3，-2)，半径为1， 可得 3A a+ -4=0 器-分于是得8c-子0c=4 乾枝篮有又长、义厚 G2:(x-7)2+(y-1)2=50- 解得A=-7, 在直角三角彩CBA中： 又密的毛，如上能充 心为(7.1)，半径为30-： 所以圆的方程为2+y-x+7y-32=0 化阳走所这它晚不 B=BC-AC=16-4=2 附先花地区的严寒，它 又因为圆C,与圆C,有且仅有一个公共点 故选(A). 所以树圆相切， 例4已知圆G:2+)=1，Cx2+子- 限=宁以0= 的毛度也就成了世 上最维暖的毛度之 又由两圆的强心距 2年-2y+1=0.求阿圆公共流所在直线1的方程 故所求内切线长为3 d■/3-7)+(-2-1■5. 及公共做长 点评：求内公切线长是两国相离中的问题 解析：设两圆的交点坐标分测为(，y,), 之一，其梨解思路是借助相椒三角形及勾般定 解得14或a34 B(J3), 理：对于外公切线的长也可以类似的进行桌解 2H 素养专练 数理极 观出射拼·型腰出象业据|蚩(<轻女竖)厘典举端柴源社 专项小练一、直线与圆的位置关系 6.过点M(2.4)向圆(x-1)2+(y+3)■1 引切线，求其切线的方程 (C)公共弦AB的长为号 1.已知直线1：3x-4y+2=0与圆C:(x-4)2 (D)P为圆Q,上一动点，则P到直线AB距离 +(y-1)=9,则直线1与圆C的位置关系是 ( 的最大植为号◆1 (A)相切 4.已知圆2+y2=4与圆(x-5)+y2=9 (B)相交且过G的圆心 则两圆公我的条数为 (C)相交但不过C的圆心 5.果合M=(x,y)1x2+yY2≤4，N={(x (D)相满 y1(x-1)+(y-1)22，r>0,且Mn= 2已知圆2+了子+4标+6y+9=0与直线缸 N,则r的取值范围是 专项小练二、圆与因的位置关系 一y+1=0相切，则寿= 6.已知圆Gx2+y2-4x+2y=0与圆G2 (a)(B 。心-(D)-子1上4的关系为 L圆(x-4)2+(y-2)2=9与圆2+(y+ +y-2y-4=0交于A,B两点 《1》求过A,B两点的直线方程： 3(多选》已知圆M的方程为(x-1)2+(y+ (A》相交(B)内切（C)外切(D)外离 (2》设过4.B两点的直线方程为1，求过A,B 2)2=1,则关于圆M的说法正确的是 2.圆2+2=1与题x2+,2+2x+2y+1=两点且圆，心在直线1上的圆的方程 (A)画心M的坐标为(-12) 0的交点坐标为 (®)点P(侵，-)在圆M内 (A)(1.0)和0.1) B)(1,0)和(0，-1》 (C)直线x+y=0被圆M献得的弦长为 (C)(-1D)和0.-1》 (D)圆M在点(1，-1)处的方程为y=-1 (D)(-1,0)和(0,1) 4若直线y=2x与圆C:x2+y22x -7= 3.(多选》题0，x2+-2x=0圆Q:2+ 0交于A,B两点，则1AB1= 2+2x-4x=D的占为A.R日 5.与直线3x,4y+5=0平行且与圆x2+y2 (A)公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 数理授杜试研究中心 =4相切的直的方程是 (B)线段AB中垂线方程为+y一=0 + 0=SZ 第8期2版参考答案 以3<。<厅即a的值范闲为(3，) 16()证明：因为方程2+了◆伤+◆3=0表示 的曲线是圆， 2. 所以点D,E)在圆+)2外 6解：(1》当4B为直径时过A,万的圆的半径最小 从以百楼长易小， (2)解：由断点知哪心为c(-兰，-号） 当2时灯所在力陛为y-0=。乐-2)， 4，B中0，)为心，半径r=号11而 因为园心在线1+y-1,D上， 以-号-专-1=0， ◆y0可件12-9周（卫-望0小 即D+5=-2 因为H在线段四上.航以2-卫云年，解将2写0≤0 则A的垂自平分我的方积是y一1=一 又因为半径，=卫。左. 阳01=2-2-n=2-(0,e≤2-45. 即年-y+30 2 关立x-3y+3=0与4-y-4=0得是(3,2 即D+5=20 当且仅当碧=即。=25时取等号 习耐) ￥-14C1=25所圆方程量(x-32+(g-2-2五 阴以101的最大慎为(2-45)单 专项小 又因为迅心在第二。 .c.o. *Z(V) 米) -号c0.号>0， 由置修切当)”店时， 即D>0,E<0.阴以0=2.F=-4. x-31+ 关于的方醒+压+3+F+瓦E=非的两个根为 故圆的方程为+2·24y+30 9(192(-3)3+ 0,2 17.解：设点P的坐环x) 理特曲线C的方程为？+3x+子=0 因此出根与系数的关系得 速释条件①：出题可得亦，示。。， 2)由(1)骨曲G为圆，即c:(+)+2= 2+0=-D.F+3+3Em2.x0 由(1.)在理上可得1+D+F=D, 1-3y-》 1)0. 投其关于直线x+y-2=0对称的圆的阻心场(x,), 然 所D=-2.E=-45F=1, 阳面的方程为+-24-51一心 为 边择条件21由题可得+=20， 第8期3版参考答案 即(x-1)·(y-3)7+(x-3)2+y-1)F20 化简得子+y 所以由线C关干直线年+y-一2▣0对称的线方程为 ,单项选择题 4-4y0 x-2y+(-子)=号 (今) (1) () () 4821() 5-8 DAAB 择条件油题可得=二》=二 9.BD:10.AC:11.AD. 31. (3)出点（子3}到圆心C的距离为 三，填空通 -1)U(3,+=:13[5-E5+21 则如4吕4 4=√（是++3-0=5 49.012x+4y-9=0 化简得4 四、解答镜 因为圆c的+径，·子 中国 5解：()因为点(69)在阅上 樂一 所以(6-52+(0-6)2=。2即。2=0 18.解：1)由题可得40,8.风2,10)，伙7，) 院以点（停3）到吸G的最距 时直找的方程为2： r 过ay0.1a=0. w则：8 离为-1=5-子=子>3 2)闪为1Pw1=3-5+(3-6= 虚圆C上不存在：点D,处得D到 两式相减得：a+6-10=0, 点（子）的离为3 回 B2) ) sZ(V) 以1PV1>1N1,做点P在圆外，点Q在内. 义2▣+春-14”0，￥得。=4.4=6 建任斜孙·搬拟驶共拳据|束〔人禁工墅)正典单的架米某高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 数理括 答案详解 2025~2026学年高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期(2025年9月) 提示： 第9期2版参考答案 1.l:mx+y=0经过定点(0,0)， 专项小练一 由于02+2×0+02-3=-3<0， 1.C;2.A;3.BCD 则定点在圆内 4.12 5；5.3x-4y±10=0. 故直线l:mx+y=0与圆C的位置关系是相交 2.圆C1:x2+y2-2x+4y=4, 6.解：由于(2-1)2+(4+3)2=50>1，故点M在圆外. 化为(x-1)2+(y+2)2=9, 当切线斜率存在时，设切线方程是y-4=k(x-2), 圆心为C(1,-2),半径为71=3； 即kx-y+4-2k=0, 圆C2:x2+y2+6x-8y=0, 由于直线与圆相切，故k+3+4-2=1, 化为(x+3)2+(y-4)2=25, √2+(-1)尸 圆心为C2(-3,4),半径为2=5 解得长=兰 两圆心距离为 所以切线方程为24x-7y-20=0. 1CC2「=√(1+3)2+(-2-4)7=23 当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切. 因为2-1=2<2√13<8=11+2， 综上，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2. 所以圆C与圆C2相交. 专项小练二 3.圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m, 1.C;2.C:3.ABD.4.3;5.(0,2-2]. 所以圆心为(1，-2)， x2+y2-4x+2y=0, 设圆心到直线x-y-3=0的距离为d, 6.解：(1)联立 x2+y2-2y-4=0, 则d=1+2-31=0, 两式相减并整理得x-y-1=0, 冷 所以过A,B两点的直线方程为x-y-1=0. 因此弦长6就是直径2r,所以r=3. 所以2=5-m=9今m=-4. (2)依题意圆C1是圆心(2，-1)，半径为5的圆， 4.设圆心坐标为(a,-a), 圆C2是圆心(0,1)，半径为5的圆， 由圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切可得 则所求圆的圆心必是C1与C2的中点，即为(1,0)， 又由勾股定理可得所求圆的半径为 2a=20二41，解得a=1,所以半径r=2, r=√(5)2-[(1-0)2+(0-1)2]=5， 故该圆的方程为(x-1)2+（y+1)2=2. 则所求圆的方程为(x-1)2+y2=3. 5.由题意可知两圆的圆心距为 /(3-0)2+(-4-0)2=5, 第9期3版参考答案 设圆C的半径为，因为两圆相外切， 直线与圆、圆与圆的位置关系同步核心素养测评 所以5=r+1,解得r=4, 一、单项选择题 所以圆C的方程为(x-3)2+(y+4)2=16. 1 ~4 ACCB 5~8 DCBB 6.根据题意圆x2+(y-1)2=1, 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 其圆心为(0,1)，半径为1，圆(x-2)2+(y-5)2=9, 二、多项选择题 其圆心为(2,5)，半径为3，圆心距d=√4+16=25， 9.ABC:10.AB:11.BCD. 有25>3+1=4，两圆外离， 提示： 9.圆C1:x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1， 则A,B两点之间的最短距离为25-4. 圆C2的标准方程为(x-3)2+(y+4)2=1, 7.如图1，拱形桥ACB, 圆心为(3，-4)，半径为1. y 圆心距ICC2I=√16+9=5，显然两圆外离. 1PQ1mim=1G1C21-1-1=3, 1PQ1mx=lC1C2I+1+1=7, 图1 故(A)正确，(B)正确； 以AB所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴， 两个圆的圆心所在的直线斜*为1。。一手 3-0 建立平面直角坐标系， 故(C)正确； 则A(-10,0),B(10,0),C(0,5),圆心在y轴上， 因为两圆外离，所以不存在公共弦，故(D)错误 设为E(0,b),则有1AEI=ICE1, 故选(A)(B)(C): 即100+6=15-b1, 10.将直线1的方程变形为x+2-m(y+1)=0, 整理可得26+15=0，解得6=- 2 x+2=0 「x=-2, 由 可得{ y+1=0 ly=-1, 所以圆心为E(0,-罗），半径为1CE1=15-61= 所以直线1过定点(-2，-1)，故(A)正确： 所以圆的方程为+(+艺)=6空 2 C被1截得的弦长最长时，直线l过圆心C(5,I), 4 7 则7-2m=0,解得m=乞，故(B)正确： 设Da,3),则有+(3+)- 4” 圆C的圆心为C(5,1),半径为r=2, 解得a=√46. 当直线与C相切时， 所以要使小船通过圆拱桥，船宽最长为2√46. 则7-2m 1+m2 2,解得m=慕放(C)错误 因为6.5<46<7，所以13<2√46<14， 由(C)可知，直线1与C相切时只有一种情况，故(D)错误 所以船宽最长约为13米， 故选(A)(B) 8.由x=√个-y得x2+y2=1(x≥0)， 11.设圆心为C,则C(-2,-5),圆的半径为5， 该曲线表示的是圆x2+y2=1在y轴及右侧的部分， 所以圆与x轴相切.如图3. 如图2所示，y=x+b表示斜率为1， 在y轴上的截距为b的直线.由直线与圆相切， 得圆心到直线的距离d=一 1b1 +-疗=1， 解得b=±√2， 结合图形知b的取值范围是b=-√2或-1<b≤1. 图3 设切点为P,则P(-2,0),连接PA,PB,PC,MC, 则1PM1=6, 因为∠MPA=∠MBP,∠PMA=∠BMP, 所以△MPA△MBP, 所以IPM12=IMA11MB1=36. 图 设AB的中点为N,连接CW,则CN⊥AB, 2 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 设圆心C到直线AB的距离d, 四、解答题 则0≤d<5,1MC1=√(4+2)2+53=6T, 15.解：(1)设圆01，圆02的半径长分别为11,2， IMW1=√MCI2-d=61-E, 且易知r1=2. I MAI+I MBI =21 MAI +I ABI 因为两圆相外切，所以10021=11+12， =2I MAI+2I ANI =2I MNI 所以2=101021-r1 =261-, =√(2-0)2+(1+1)2-2 2 1 =2(2-1). 因为1M0=MAT+MBT 所以圆02的方程是(x-2)2+(y-1)2=12-82. = (2)设圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=(r3>0), =LMNI 圆O1,O2的方程相减得弦AB所在直线的方程为4x+4y+ 18, 后-8=0. 36 际以1MQMP 所以圆心O(0,-1)到直线AB的距离为 0-48-4-()=, 2 因为0≤d<5,所以366≤1M01<6. 61 √4+4 故选(B)(C)(D) 解得号=4或子=20. 三、填空题 所以圆02的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+ 12.2x+y-6=0;13.(-1,4):14.12. (y-1)2=20. 提示： 16.解：(1)设圆M的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a≤ 12.由圆的几何性质知圆心与A的连线与弦所在直线垂直， 0,r>0), 设圆心为Q.因为圆心为o(2,-3),km=之 则圆，心(a,0)到直线x+y+22=0的距离为a+2D1 2 所以弦所在直线斜率存在且斜率为-2. 2+4=2, 所以所求直线的方程是2x+y-6=0. 由题意得 1a+221 13.圆C1:x2+y2-2x-m=0可化为(x-1)2+y2=1+m, 2 圆C2:x2+y2+4y+m=0可化为x2+(y+2)2=4-m, 解得a=0或a=42(舍去)，所以2=4， 则1C1C21=√1+4=5,1+m>0,4-m>0, 所以圆M的标准方程为x2+y2=4. 因为两圆恰有2条公切线，所以圆C1与圆C2相交， (2)设直线l的方程为y=x+1, 所以1√个+m-√4-m1<5<√个+m+√4-m, 则圆心M到直线1的距离为一1 解得-1<m<4,所以m的取值范围为(-1,4). +1 14圆x2+y2-4x+2y-4=0可化为 1 (x-2)2+(y+1)2=9, 可得圆心坐标为M(2,-1),半径为3. 又点P(0,-2)到直线l的距离d= 3 +1 由圆的弦的性质可得，最长的弦即圆的直径. 1 即AC的长为6. 所以SaPB=2XIAB1Xd 因为点0(0,0)， 2 4k2+3 3 所以1M01=√(2-0)2+(-1-0)=5. 2√+×+ 弦BD最短，则弦BD和MO垂直，且经过点O, =3 2 此时IBDI=2√9-5=4. 解得2=1，k=±1， 故四边形ABCD的面积为 则直线I的方程为y=±x+1. 1AC1X1Bm1=空x6x4=12 17.解：由题知圆01的圆心01(-1，-3)，半径1=1； -3 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 圆02的圆心02(3，-1)，半径2=3， =51m+31 则10,021=√(3+1)2+(-1+3)7=25>1+2， √m+1 所以两圆外离，所以两圆有四条公切线。 所以51m+31 /m2+1 =5,解得m=-号 当公切线的斜率存在时， (2)cos∠MPW=1-2sin2∠MPC 可设公切线方程为y=kx+b,即kx-y+b=0, 2 -k+3+61=1, -1-2(0) 1+2 则 32 13k+1+b1=3, =1- 1CP12, 1+ 由(1)知点C到直线1的距离d=51m+3L 4 m2 +1 解得=0或= k=-4 b=-4b=0 所以ICPI≥d,所以ICPI=d时，cos∠MPV的值最小， b=-2 即cas∠MPN的最小值为1-是. 当公切线的斜率不存在时， 直线x=0也和两圆相切. 由已知得1-是号解得4=35， 所以所求切线方程为y+4=0,4x-3y=0,x=0,3x+4y +10=0. 所以5=35，解得m=子 m2+1 18.解：(1)根据题意可设圆心C(2t,t),t>0,半径为r 此时直线l的方程为2x-y-5=0, 则半径r=2t,由勾股定理可得2+(3)2=(2t)2, 设P(a,2a-5),以CP为直径的圆记为圆D, 解得t=1, 则圆D的方程为(x+3)(x-a)+(y-4)(y-2a+5)=0, 所以圆心C的坐标为(2,1). 即x2+y2+(3-a)x+(1-2a)y+5a-20=0, ① (2)依题意设圆心C(a,b),半径为R 圆C的方程为x2+y2+6x-8y+9=0, ⑨ 1 因为圆心C在直线y=2x上，所以a=26, 由②-①得(a+3)x+(2a-9)y-5a+29=0, ③ 因为M,V两点为圆C和圆D的公共点， 若圆C与直线x-2y-1=0相切， 所以③即为直线MN的方程， 所以a-26-1山=R= 5 ③变形得(x+2y-5)a+3.x-9y+29=0, 5 3 若圆C与圆Q:x2+(y-2)2=1相外切， 「x+2y-5=0, x=-15 解得 则ICQI=R+1, 3x-9y+29=0, 44 Y= 15 即√(a-0)2+(b-2)2=1+R, 可得562-4b+14-25 =0, 所以直线M经过定点（号错） 5 该方程△<0，所以该方程无解， 第10期3版参考答案 故不存在满足题意的圆C 直线和圆的方程核心素养综合测评 19.解：(1)圆C的圆心C(-3,4),半径r=4, 一、单项选择题 由弦AB的长为2√T得点C到直线l的距离为 1~4 ABAA 5~8 DCCB d=VP-(分1AB1） 提示： 1.直线方程为x-tan60°-3=0， =√42-() 即x-3y-3=0, =5, 又d=L(2m+1)×(-3)+(m-2)×4-3m-41 由此可知该直线的斜率为汽。 √(2m+1)2+(m-2)7 所以直线的倾斜角为30°， 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 2.因为圆C:x2+y2+mx+1=0, 7.若直线1的斜率不存在，则的方程为x=3, 即(x+受)+y=学-1， 圆心(0,2)到1的距离为3，易求得弦长为8，符合题意； 若直线1的斜率存在，设1的方程为y=k(x-3), S==(受-1)m=,解得m=22 即kx-y-3k=0, 3.由直线x+2y+m=0(m>0)与x-y-3=0平行 故圆心(0,2)到1的距离 可得-n=2,即n=-2, d=-23张-尽-4=3，解得k=高 2+1 则直线x+2y+m=0(m>0)与x+2y-3=0的距离 则l的方程为5x-12y-15=0. 为5，所以m+3=5, 2+2 综上，直线l的方程为5x-12y-15=0或x=3. 解得m=2或m=-8(舍去)， 8.易知直线l:mx+y-3m-2=0, 所以m+n=2+(-2)=0. 即m(x-3)+y-2=0过定点P(3,2), 4.设C(x,y),M(0,m),N(n,0). 因为(3-5)2+(2-4)2<25， 因为A(5,-2),B(7,3), 故点P(3,2)在圆M内， x+5 =0 x+7 当弦AB最短时，直线I垂直于PM, 2 =n, 所以 y-2 又m-等号=1，所以1(-）=-1， 2 =m, y+3=0 2 解得m=1,此时圆N的方程是(x+2)2+y2=9. 解得x=-5,y=-3,m=-2,n=1, 因为两圆圆心之间的距离 则c(-5,-3),(0,-3）10. 1MN1=√(5+2)2+(4-0)7=65， 两圆半径分别为5,3，且√⑤>4=5+3， y+2 所以圆M与圆N的位置关系是外离. 所以直线MN的方程为5 1 =1 二、多项选择题 9.ACD;10.BC;11.ACD. 即5x-2y-5=0. 提示： 5.当a+1=0时，a=-1,此时l1:x= 4 3 9.对于直线3x-ay+1=0,令y=0, 2:y=-9,显然两直线垂直， 解得x=了 当a=0时，此时l1:-2x+y+4=0, 2:x=9,显然两直线不垂直， 故直线恒过点(-弓，0）：一定不经过原点，故(4)正确； 当a+1≠0且a≠0时，因为l1上l2, 1 所以(a-2)(a+1)+a(a+1)=0,解得a=1, 当a=0时直线即为x=-了，直线过二、三象限， 综上，a=1或a=-1. 当a≠0时直线即为y=3x a 6.设点P(0,2)关于直线x-y+1=0对称的点Q(a,b). ,6-2 若8>0.则>0，>0，直线过-、二三象限 a-0 =-1, 则 a+0_6+2+1=0, 若a<0,则片<0，<0.直线过二、三四象限， 2 2 所以直线一定过二、三象限，故(B)错误，(C)正确； 解得a=1,b=1,即Q(1,1), 因为点Q(1,1)在圆C外， 因为直线恒过点（宁，0）· 所以1+1+2+m>0,解得m>-4, 因为x2+y2+2x+m=0表示圆， 所以直线3x-y+1=0可表示经过点(-号0）的所有 所以4-4m>0,解得m<1, 直线，故(D)正确 所以m的取值范围是(-4,1). 故选(A)(C)(D) 5 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 10.依题意设P(2cos0,2sim0), 解得=4半径，=4-+3+1=5， 则1PA12=(2c0s日+2)2+(2sin0+2)2 b=3, =12+8cos0+8sin0 故所求的圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=25. 1PB12=(2cos0+2)2+(2sin0-6)2 13.圆x2+y2-4x+3=0可化为(x-2)2+y2=1. =44+8cos0-24sin0. 圆心坐标为(2,0)，半径为1， 1PC12=(2cos0-4)2+(2sin0+2)2 二的几何意义为圆上的动点M(x,)与定点(0,0)连线 =24-16c0s0+8sim0, 所以1PA12+lPB12+lPC12=80-8sim0, 的斜率， 又sin0∈[-1,1]，则80-8sin0e[72,88]. 设过(0,0)的圆的切线方程为y=x,即x-y=0. 故选(B)(C). 由圆心(2,0)到切线的距离等于半径1， 业n贵票 2 化简得x2+y-8x-4y+4=0,故(A)正确： 将圆C的方程化为标准方程得(x-4)2+(y-2)2=16, 则圆心为(4,2)，半径为4， 图1 易知点(-3，-2)在圆C的外部， 则圆上的点到点(-3，-2)的最小距离为 得12L=1,解得=± 2+1 3 √（-3-4)2+(-2-2)-4=65-4>4， 则在圆C上不存在点M到点(-3，-2)的距离为4， 所以之的取值花围是[-] 故(B)错误； 14.根据题意作出图2，AB为两圆的公切线，切点分别为A,B. C上的点到直线3x-4y+6=0的最大距离为圆心到直线 3x-4y+6=0的距离加上半径， 即2一8+61+4=6，故(C)正确： w9+16 显然直线1的斜率存在， 设直线1的方程为y-2=k(x+4), 图2 即kx-y+4k+2=0,由于圆C的半径为4， C1(2,2),C2(-1,-1),所以直线CC2的斜率k=1, 则要使C上恰有三个点到直线I的距离为2， 显然与直线AB的斜率不相同，所以1≠r2, 只需圆心到该直线的距离为2， 不妨设0<11<2 即81=2，解得k=± ,故(D)正确 √+1 15 过C,作AB的平行线交AC2于点E, 故选(A)(C)(D). 则EC2=2-T1,AB=EC1且AB∥EC, 三、填空题 C1C2=√(2+1)2+(2+1)7=32=r1+2 0 12x-4+0y-3y=25:18.[-59]: 所以直线AB与直线C,C2的夹角的正切值为： 14会 tan o 提示： 所以C=号G-, 12.由题知C(0,0),设所求的圆的圆心为M(a,b), 又EC+EC=C,C,整理得 则由题意可得MA=MB,kc=kc, 2 所以(a-1)2+(b+1)2=(a-8)2+(b-6)2, [g-n)]+-)2=18, 且6-0=6-0 1a-0=8-0 解得n-7= 92 5 ② 6 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 32 122 (2)以B为圆心，300千米为半径作圆， 联立①②，得=5，=5， 和直线y=x+400相交于A1,A,两点 所以12= ×亚-器 设台风中心移到A时，城市B开始受台风影响（危险区）， 5 5 直到A2时，解除影响。 四、解答题 因为点B到直线y=x+400的距离d=2002(千米)， 15.解：(1)由 「x-y+1=0, 解得 l2x+y-4=0, y=2. 所以1A1421=2√3002-(2002)2=200（千米）. 即l1和l2的交点坐标为(1,2)， 而 =10(小时)， 因为直线1经过点（3,3)，所以直线1的斜率为}=之 所以城市B处于危险区城的时间是10小时. 所以直线1的方程为y-2=之(x-D, 18.解：(1)设圆C的半径为r, 若选条件①， 令y=0得x=-3,所以直线1在x轴上的截距为-3. 则圆心C到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径， (2)因为直线l与直线l3:4x+5y-12=0平行， 即r=-6+4+17=3, 所以可设直线1的方程为4x+5y+m=0, 又直线1经过点(1,2)，所以4×1+5×2+m=0, 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 得m=-14, 若选条件②， 所以直线1的一般式方程为4x+5y-14=0. 则圆M的圆心为(2,4)，半径为2， 16.解：(1)直线l:mx-y+1+2m=0, 所以r+2=√(2+2)2+(4-1)2=5， 即y-1=m(x+2), 所以r=3, 故直线恒过定点(-2,1)， 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 又(-2+2)2+12<5，故点(-2,1)在圆C内， 此时直线1一定与圆C相交 若选条件③，由 3x+y+2=0,得=-2， Lx-3y+14=0, y=4, (2)设点M(x,y), 所以r=4-1=3, 当直线AB的斜率不为0时，k=Y) x+2 所以圆C的方程为(x+2)2+(y-1)2=9. 叉6c中26ux6e=-l, (2)圆N:(x-m)2+y2=m2(m>0)的圆心为(m,0), 半径为m,两个圆有公共弦， 即21 +2×x2-1 则1m-31<ICWl<m+3, 即1m-31<(m+2)2+1<m+3, 化简可得(x+2)2+(-)广=子≠-2： 解得m> 2 5 当直线AB的斜率为零时， 两圆公共弦所在直线方程为(m+2)x-y-2=0. 显然中点M的坐标为(-2,1)，也满足上述方程. 又两圆的公共弦长为2， 故M点的轨迹方程为(x+2)2+(-之）广=子（点 则圆心C到公共弦所在直线的距离为 （-2,0)除外) d=1-2m-4-1-21 12m+71 √/(m+2)2+1 √m2+4m+5 17.解：(1)以B为原点，正东方向为x轴正方向建立如图3 所示的直角坐标系， 且2√9-=2， 则A地的坐标是(-400,0)， 解得m=0-山或m=二-山（合去， 2 台风中心移动路径所在直线的斜率k=1, 2 所以台风中心移动路径所在的直线方程为y=x+400. 经检验符合题意。 故存在实数m=而-1 2， 使得圆N与圆C公共弦的长度为2. 19.解：(1)根据题意得 B 圆C半径，=3×24×41=2， 图3 √32+4 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 所以圆C方程为(x-2)2+(y-4)2=4. 解得a>-2. (2)由已知可得直线l斜率存在，设其方程为y=kx, 2.点P(-1,1,1)关于yOz平面的对称点为M(1,1,1), 因为△ABC为直角三角形，所以∠ACB=90°， 则光线所走过的路程是 所以点C到直线的距离是万， 1MQ1=√(-3-1)2+(3-1)2+(3-1)2=26. 所以24-4型=万，即2-8张+7=0， P+1 3.因为AB=a,AC=b,AD=c, 所以k=1或k=7, 所以=之(a+b),花=6+c), 所求直线1的方程为y=x或y=7x (3)存在.设存在定直线'满足要求， 所以元=d-Ad=分(b+c）-2(a+b) 由已知可得直线斜率存在， 设其方程为y=mx-1, =2(c-a）, 解方程组：得Q(n) 所以元+aG=c-a)+之b+c) Ly mx-1. 联立， 0++6 (x-2)2+(y-4)2=4, 得(1+2)x2-(4+8)x+16=0, 4.由两圆的方程得两圆的公共弦所在的直线方程为x+2y 4=(4+8k)2-4×(1+k2)×16>0, =0. 解得上>子， 将x2+y2+2x=0化为(x+1)2+y2=1, 则圆心为(-1,0)，半径r=1, 设A(x1,当)，B(x2y2) 所以圆心(-1,0)到直线x+2y=0的距离 所以斯+名=4+8张 1+ d=-1L=5 4+8k2 √5 所以少+3= 1+2 所以P的坐标为P(华异紫)k>是 所以公共弦的长度为2P-正=4 5.因为AD·D元-AB.BC 所以1OP1OQ1 =(Ad+AA)·A店-(A店+·A 紫 =A市.AB+A.A店-A店，AD-AM.A币 4+2 m-k =AA.(A店-AD)=AA.Di 由已知+2 =4, m-k =4对>子恒成立， 所以A4·BD=-4, (8m+4)k-(4m2-1)=0对k> 子恒成立， COs(AA,BD)= AA·BD -4 3 r8m+4=0, 所以 4m2-1=0, 所以m=-2: 1 1112x3=子 D C 所以存在定直线'满足条件，其方程为y=-2x-1, 1 B 即x+2y+2=0. 第11期参考答案 B 图1 核心素养阶段测评（二） 一、单项选择题 -1 6因为kc=2-=-1, 1 ~4 ACAB 5~8 BCDC 所以直线AC的方程为y=-（x-1), 提示： ① 1由题盒知w号得丹= L<0, 即y=-x+1, 设小狗的位置为点P,当BP上AC时，小狗距离小明最近， -8 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 此时直线BP的方程为y=x+2, ② 所以圆C的方程为(+)广+(-3)炉= 4 联立①②，解得x=-2y=立， 1 3 二、多项选择题 13 因此所求位置的坐标为(-2,2) 9.BC:10.ABD:11.BCD. 提示： 7.以D为原点，DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建 9.直线l的斜率为a2+a+1. 立如图2所示的空间直角坐标系， 若直线l与直线x-y=0平行， C 则a2+a+1=1,解得a=-1或a=0,故(A)错误； 当a=-1时，直线I的方程为x-y+1=0, 直线I的斜率为1，直线x+y=0的斜率为-1， 显然直线l与直线x+y=0垂直，故(B)正确； D 易知(C)正确； 当a=0时，直线1的方程为x-y+1=0, 图2 令x=0得y=1,令y=0得x=-1, 则M(2,A,2),D1(0,0,2),E(2,0,1),F(2,2,1), 所以当a=0时，直线1在两坐标轴上的截距不相等， ED=(-2,0,1),Ef=(0,2,0),E=(0,A,1). 故(D)错误 设平面D,EF的一个法向量为n=(x,y,z), 故选(B)(C) n·ED1=-2x+z=0, 10.圆C:x2+y2=1的圆心为(0,0)，半径为1. 则 ln·E=2y=0, 若l:y=kx+b与圆C:x2+y2=1相切， 取x=1得n=(1,0,2), 则161=1，解得6-公=1，故(A)正确： √2+I 所以点M到平面D,EF的距离为 若4b2-2=1, d=1mmL:2=25 I n l 则圆心到直线1的距离d:一牛=宁， 1 55 √+1 因为N为ME的中点，所以N到平面D,EF的距离为号 此时直线被圆截得的弦长为2√径-d=5,故(B)正确； 因为462-2=1， 8因为圆心为c(-之，3）： 所以设圆c的方程为(x+）+y-32=2,>0), +斤s1, 圆心到直线的距离为161 1 此时圆上有三个点到直线1的距离为了，故(C)错误； 将直线1的方程代人圆C的方程， 得到52-20+空-2=0， 当6=子时，直线的方程为y=:+分 设P(x1y1),Q(x22), 即直线过定点(0，)· 则有元+为=4%=子-亏 又因为+（宁）】 <1,可得点在圆内， 因为02.00=0， 故直线与圆相交，故(D)正确， 所以xx2+上2=0， 故选(A)(B)(D) 所以(3-2)·(3-2y2)+y12=0, 11.由已知AB⊥AD,AB⊥AF, 整理得9-6(y1+y2)+5y1y2=0, 又AF∩AD=A,AF,ADC平面FAD, 即9-6x4+5×(-写)=0， 所以AB⊥平面FAD,以A为坐标原点，AD,AB所在的直线 为x,y轴，过A垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐 解得=25 4 标系， -9 高中数学人教A版选择性必修第一册第9~12期 如图3所示，又二面角E-AB-D的平面角为60°， 则d=1.mL=8=5故(D)正确 I nI 85 3 故选(B)(C)(D). 三、填空题 2:4+(-)= 图3 提示： 12.因为4d=BC,CC=AM, 所以∠FAD=60°，AB=2AF=4, 所以MN=M店+BN 所以A(0,0,0),B(0,4,0),E(1,4,5),G(4,2,0), A正=(1,4,3)，BC=(4,-2,0), =子成+子C 所以4正.BG=4-8+0=-4≠0， =(D++子(BC+C 所以AE,BG不垂直，故(A)错误 B成=(1,0,5)，AG=(4,2,0), =子店+子和+子， 所以c0s〈B成，.⊙：庄·花4 又M=awA正+BAd+yAM, 1BE11AG12×2√5 5， 1 1 3 所以a=2B=4y=4, 所以直线BE与AG所成角的余弦值是，故(B)正确， 设平面AGE的一个法向量为n=(x,y,z), 放u+B+y= 3 n·AC=0, 13.如图4，以鼻尖所在位置为原点0，中庭下边界为x轴， 由已知 n·A正=0， 垂直中庭下边界为y轴，建立平面直角坐标系，因为三庭中一 庭的高度为2cm,五眼中一眼的宽度为Icm, r4x+2y=0, 所以 x+4y+5z=0, 取=1可得y=2=5 则平面46E的-个法向量为m=(山，-2,7）。 图4 又BG=(4,-2,0), 所以cos(BC,n〉= BG.n 所以A(24）B(-,2） I BGII nI 所以kAB= 4-2 =1 8 15 25x85 10· -(昌) 3 3 设直线BG与平面AGE所成的角为0， 利用点斜式方程可得到直线AB:)-2=x+之， 则sin0=Icos(BC,n〉i, 即为2x-2y+7=0, 所以直线BG与平面AGE所成角的正弦值是压， 10 所以原点0到直线AB的距离为d=7L=72 4+44 故(C)正确. 14设圆01,02,03,04的半径分别为1,2,3,14， 因为B=(0,-4,0), ,T1=T2, 平面6的个法的量为m=,-2.2) 由题意可得1+2=|002「=4， 设点B到平面AGE的距离为d, 1+n=1001=2 -10