第17期 第七章 概率 本章综合-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 数理极 答案详解 2025~2026学年 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期(2025年10月) 第14期3,4版参考答案 排除。 6.由题意及频率分布直方图的定义可知： 统计核心素养综合测评 属于醉酒驾车的频率为：(0.01+0.005)×10=0.15， 一、单项选择题 又总人数为28800， 1~4 DDBD 5~8 DCDC 故属于醉酒驾车的人数约为：28800×0.15=4320. 提示： 7.对于(A),抽取的样本容量为4000×2%=80，故(A) 1.由题意可 9 n-T= 1 错误； 4 对于(B),该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为 故n=37, 4000×35%×50%=700(人)，故(B)错误： 所以每个个体被抽到的机会为号 对于(C),抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为 24, 2.成绩在515分及以下的人数为 则80×40%×a%=24,解得a=75,故(C)错误； 16000×60%=9600(人)， 对于(D),由扇形统计图知该校学生中选择学科拓展类课 则成绩在515分以上的人数为 程的频率为1-35%-40%=25%， 16000-9600=6400(人). 则该校学生中选择学科拓展类课程的人数为4000×25% 3.对这8个数据按从小到大的顺序排列得： =1000(人)，故(D)正确. 86,89,90.91,92,93,94,95. 8.对于(A),假设甲组存在选手失分超过7分，比如失分 则中位数为1+92 2 =91.5,极差为95-86=9. 为8分，根据极差为5，得到最低失分为3分，此时可满足中位 4.由题意知36岁至50岁的居民所占的比例为 数为3，假设可以成立，故(A)错误； 700 1 对于(B),假设乙组的失分情况为0,0,1,1,2,2,2,2,2,8， 840+700+560=3, 满足平均数为2，众数为2，但该组不为“优秀小组”，故(B)错误； 故这次抽样调查抽取的总人数是100÷弓=30. 对于(C),设丙组的失分情况从小到大排列依次为x1,x2, 5.四个选项中(D)比较难计算，所以可以使用排除法. …,X10 A样本中的众数是88，所以B样本的众数是90，(A)排除； 由丙组平均数为2，方差为3， A样本的中位数是86，B样本的中位数为88，所以(C)排 得(x1-2)2+(x2-2)2+…+(x10-2)2=30. 除； 若x0=8,则(x10-2)2=36>30,不合要求， A样本的平均数是所有数的和除以样本量，B样本量没有 故x10≤7，所以该组每位选手失分都不超过7分， 改变，但是每个数都有加2，所以所有数的和有改变，所以(B) 则该组为“优秀小组”，故(C)正确： 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 对于(D),85%×10=8.5, 39.9+40.1+40.1+40.1+40.0+39.9)=40, 故丁组选手的失分数据按从小到大排列，选取第9个数作 故甲机床数据的平均数等于乙机床数据的平均数，(C)错误； 为85%分位数 对于(D),甲机床数据从小到大排列为：39.8,39.8,39.8， 即从小到大排列，其第9个数为7. 39.9,40.0,40.0,40.1,40.2,40.2,40.2, 假设丁组失分情况为0,0,0,0,0,0,0,5,7,8，满足平均数 故中位数为40+40=40. 2 为2,85%分位数为7，但不是“优秀小组”，故(D)错误 乙机床数据从小到大排列为：39.9,39.9,39.9,40.0， 二、多项选择题 40.0,40.0,40.0,40.1,40.1,40.1, 9.ACD;10.ACD;11.ABD. 提示： 故中位数为40丰40=40，(D)正确 2 9.对于(A),此次调查属于抽样调查，(A)错误； 故选(A)(B)(D). 对于(B),根据样本容量的定义，可知样本容量是150， 三、填空题 (B)正确； 12.44;13.平均数=60%分位数=众数； 对于(C),根据总体的定义，可知全校1700名学生的身高 14.1,19. 情况是总体，(C)错误； 提示： 对于(D),根据个体的定义，可知被抽取的每一名学生的 12.根据随机数表的读取方法，第2行第4列的数为3，每次 身高情况称为个体，(D)错误 从左向右选取两个数字，如下： 故选(A)(C)(D). 32,58,65,74,13,36,98,32,44, 10.对于(A),0.0025×40=0.10,属于第一档，故(A)正确； 其中58,65,74,98不在编号范围内，舍去， 对于(B),(0.0025+0.0040+0.0060)×40=0.50, 再去除重复的，剩下的号码为32,13,36,44， 所以年月均用电量在[160,200)内的不属于第二档，故 所以选取的第四个号码为44. (B)错误； 13.平均数为日×(20+30+40+50+50+60+70+80) 对于(C),(0.0025+0.0040+0.0060+0.0045+ 0.0030)×40=0.80,属于第三档，故(C)正确； =50 对于(D),(0.0020+0.0010×3)×40=0.20,属于第四 因为8×60%=4.8， 档，故(D)正确。 所以第5个数50即为60%分位数，众数为50， 故选(A)(C)(D). 所以它们的大小关系是平均数=60%分位数=众数. 11.对于(A),甲机床数据的极差为40.2-39.8=0.4， 14.设这组数据的最后2个分别是：10+x,y(x∈N,x≤9)， 乙机床数据的极差为40.1-39.9=0.2，所以甲机床数据 依题意9+10+11+(10+x)+y=50, 的极差大于乙机床数据的极差，(A)正确； 则y=10-x, 对于(B),乙机床数据比甲机床数据更集中，所以乙机床 这组数据的方差=宁1+0+1++(~门=子 数据比甲机床数据更稳定，(B)正确： 2 对于(C),甲机床数据的平均数为(40.0+39.8+0.1 5 .164 5 当且仅当x=9时取等号，此时y=1, +40.2+39.9+40.0+40.2+39.8+40.2+39.8)=40, 所以这组数据的方差最大的时候被污损了两个数据分别 乙机床数据的平均数为(40.0+40.0+39.9+40.0+ 是1,19. 2 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 四、解答题 0.35+5×0.036=0.53>0.5, 15.解：由a,b是方程x2-8x+5=0的两根， 所以中位数位于区间[25,30)中， 得a+b=8,a·b=5, 设中位数为x, 则这个样本的平均数为元=8+3+5=4， 则0.35+(x-25)×0.036=0.5, 4 解得x≈29.2.即样本中位数是29.2. 这个样本的方差为 因为样本中频率最高的一组为[30,35)， a-4+(3-42+6-42+-4门 2= 所以样本的众数为32.5. [(a+b2-2ab-8(a+)+34]=6 (3)依题意可知，休闲跑者共有(5×0.02+5×0.024)× 1000=220(人)， 16.解：(1)案例一用简单随机抽样，案例二用分层随机抽样 核心跑者共有(5×0.026+5×0.036+5×0.044+5× (2)①将总体分为具有高级职称、中级职称、初级职称的 0.030)×1000=680(人)， 人员及其他人员四层； 精英跑者共有1000-220-680=100（人）， ②角定抽样比？=胡=办 1 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要 ③按抽样比确定各层应分别抽取的人数为8,16,10,6； 20×2500+680×4000+100×4500=3720(元). 1000 ④按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本； 即该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要3720元 ⑤将各层抽到的样本汇总，构成一个容量为40的样本. 19.解：(1)由题意知0.015+0.035+b+a=0.05+5a= 17.解：4班的5名学生的平均得分为(5+8+9+9+9)÷ 0.1,解得a=0.01: 5=8, 估计满意度得分的平均值元=65×0.15+75×0.35+85 方差号=号×[(5-8)2+(8-82+(9-82+(9- ×0.4+95×0.1=79.5. (2)超过60%的人满意度在75分及以上，即为40%分位 8)2+(9-8)2]=2.4: 数大于等于75 B班的5名学生的平均得分为(6+7+8+9+10)÷5=8， 由满意度在[60,70)的频率为0.15<0.4，满意度在[60， 方差号=5×[6-8)2+(7-8+(8-82+0 80)的频率为0.5>0.4， 8)2+(10-8)2]=2. 知40%分位数位于[70,80)· 因为s子>s,所以B班的预防知识的问卷得分要稳定一些 由70+4-05×10-50可以估计40%分位数为9 0.5-0.15 18.解：(1)该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直 >75. 方图，如下图 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，衢州市5月 频率 0.048 组距 份文旅成绩合格了. 0.044 (3)把6月1日-6月7日的样本记为x1,x2,…,x0m,其 平均数记为x,方差记为 0004 0 M052025303540455055周跑量(km/周) 把6月8日-6月14日的样本记为y1,y2,…,y0oo,其平均 数记为y,方差记为， (2)中位数的估计值： 由5×0.02+5×0.024+5×0.026=0.35<0.5， 则总样本的平均数：=音×+品×了=告×80+品× 6 4 一3 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 90=86, 第15期3,4版参考答案 由方差的定义，总样本的方差为 随机现象与随机事件、古典概型同步核心素养测评 2=2+(-门+哥+（行-门 一、单项选择题 4 6 1~4 DACD 5~8 CDBB =0×[75+(80-86)]+8×[70+(90-86)] 提示： =96. 1.从6个篮球2个排球中任选3个球，(A),(B)是随机事 所以总样本的平均值为86，总样本的方差为96. 件，(C)是不可能事件，(D)是必然事件 第15期2版参考答案 2.事件“点落在x轴上”所包含的样本点的特征是(x,0), 专项小练一 又依题意，x≠0，且A中有7个非零常数， 1.ABD;2.B;3.C;4.1,3,4},{3}; 故共包含7个样本点。 5.①②③. 3.将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有 6.解：(1)样本空间为：2={(-2，-4)，(-2,5)，(-2， 234,243,324,342,423,432},共6种， 6),(3,-4),(3,5),(3,6),(-4,-2),(5,-2),(6,-2), 其中偶数有{234,324,342,432}，共4种， (-4,3)(5,3),(6,3) 所以事件这个三位数是偶数”发生的概率为合=子 2 (2)由(1)知这个试验样本点的总数为12. (3)记事件M=“得到的点是第一象限内的点”， 4.因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障， 则M={(3,5),(3,6),(5,3),(6,3)}. 即甲、乙都没有故障，即事件M和N同时发生， (4)事件A={(-2,-4),(-4,-2)}表示得到的点是 即事件M∩N发生. 第三象限内的点 5.沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共27 专项小练二 个，其中只有2个面涂色的小正方体共有12个， 1.C;2.A;3.AD;4.0,0.6;5.0.3. 所以恰好轴到边缘方块的概率为号=号 6.解：(1)有放回地先后两次取卡片共有10×10=100个 样本点 6.因为事件A,B互斥， 记“x+y是10的倍数”为事件A, 所以P(AUB)=P(A)+P(B)=1- 6=6, 则A=(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7, 又P(A)=2P(B), 3),(8,2),(9,1),(10,10)},共10个样本点， 所以PW=0=0 所以2P(B)+P(B)=三 6 (2)要使xy是3的倍数，只要x或y是3的倍数即可，包括 解得P(B)=高P氏A)=多， 三类： ①x是3的倍数，y不是3的倍数，有3×7=21个样本点； 所以P(面=1-P()=号 ②y是3的倍数，x不是3的倍数，有7×3=21个样本点； 7.对于(A),抛掷一枚骰子，一共6种情况，向上的点数为 ③x,y都是3的倍数，有3×3=9个样本点， 奇数的概率为7，向上的点数为偶数的概率为？，所以游戏公平： 故xy是3的倍数共有51个样本点. 对于(B),同时抛掷两枚硬币，一共4种情况： 所以y是3的倍数的概率为00 51 （正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）， -4 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 恰有一枚正面向上的概率为？，两枚都正面向上的概率为 B={1,3,5},共3个样本点， 士所以游戏不公平， 所以P()=名=子，（)错误 由选项(A)(B)知，A+B={1,3,4,5,6},共5个样本点， 对于(C),从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌 是红色的概率为了，扑克牌是黑色的概率为？，所以游戏公平： 所以P(A+B)=名，(C)正确； 由选项(A)(B)知，A∩B={3,5,共2个样本点， 对于(D),小明、小华两人各写一个数字6或8，共(6,6)， (6,8),(8,6),(8,8)四种情况 所以PAnB)=名=了，(D)正确 两人写的数字相同的概率为7，两人写的数字不同的概 故选(A)(C)(D) 11.从6个球中任取2个球共有30种取法， 率为2，所以游戏公平。 设三个红球记为1,2,3，两个绿球记为a,b,一个黄球记为h, 8.当A发生时，B也可能发生 记事件A为恰有一个红球， 即A与B不为互斥事件，故①错误； 则A={(1,a)(1,b),(1,h),(2,a),(2,b),(2,h),(3, 当B发生时，若甲中奖，则C发生， a),(3,b),(3,h),(a,1),(b,1),(h,1),(a,2),(b,2),(h, 则B与C可能同时发生，故②错误； 2),(a,3),(b,3),(h,3)},共18种取法， A∩B为甲、乙都中奖，C为甲、乙都不中奖，A∩B与C不 所以PA)=8=子，(A)错误： 可能同时发生， 记事件B为两个球都是红球， 所以A∩B与C为互斥事件，故③正确； 则B=(1,2),(1,3),(2,3),(2,1),(3,1),(3,2)},共 AnB为甲、乙都不中奖，C为甲、乙中至少有一人中奖，A 6种取法， ∩B与C不可能同时发生，且(A∩B)UC为必然事件， 所以A∩B与C为对立事件，故④正确 所以P(B)=哥=号，(B)错误： 综上，正确的个数为2个 记事件C为有黄球，表示2个球中至少有1个是黄球， 二、多项选择题 而两个球都是红球，不可能包含黄球， 9.BCD;10.ACD;11.ABD. 即C和B不可能同时发生，是互斥事件，(C)正确； 提示： 记事件D为至少有一个绿球，则D包含恰有1个绿球， 9.当x≥0时，x-x1=0: 记事件E为至多一个绿球，则E也包含恰有1个绿球， 当x<0时，x-lx1=2x<0, 所以D∩E≠⑦， 所以x-1x1不可能等于2，故(A)不是随机现象； 所以“至少有一个绿球”和“至多有一个绿球”不是对立 由随机现象的定义知(B),(C),(D)均是随机现象. 事件，(D)错误 故选(B)(C)(D). 故选(A)(B)(D) 10.掷一枚骰子并观察向上的点数，样本空间为{1,2,3,4， 三、填空题 5,6,共6个样本点， 12必然事作：13.8：4多 则4=3,4,56，共4个样本点，所以P(A)=4=2 6=3 提示： (A)正确； 12.从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字， 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 那么这三个数字和的最小值为1+2+3=6， (2)因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6, 所以事件“这三个数字的和大于5”一定会发生， 6)},所以n(B)=6, 所以由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件 所以P()=名=石 13.因为A,B互为对立事件， 16.解：记“这个射手在一次射击中命中10环或9环”为事 则P(A)+P(B)= a +2=1,且a>0,b>0, b 件A,命中10环9环、8环、不够8环分别为事件A1,A2,A,A4 可得2+6=（+）2a+6)=4++会 由题意知，A2,A3,A4彼此互斥， 所以P(A2 UA3 U A4)=P(A2)+P(A3)+P(A4) ≥4+2a6 /b.4a =8, =0.28+0.19+0.29 =0.76. 当且仅当合=号即6=24=4时，等号政立， 又因为A与A2UAUA4互为对立事件， 所以2a+b的最小值是8. 所以P(A)=1-P(A2UA3UA4) 14.已知a☒b=60,a,b∈N, =1-0.76=0.24 若a和b一奇一偶，则ab=60, 因为A1与A2互斥，且A=A1UA2, 满足此条件的有1×60=3×20=4×15=5×12， 所以P(A)=P(A1UA2)=P(A)+P(A) =0.24+0.28=0.52 故点(a,b)有8个， 17.解：A={出现奇数点}={1,3,5}，B={出现偶数点} 若a和b奇偶性相同，则a+b=60, =2,4,6},C={出现点数小于3}={1,2}，D={出现点数 满足点的横、纵坐标中有偶数的情况为2+58=4+56= 大于2}={3,4,5,6}，E={出现点数是3的倍数}={3,6}. 6+54=…=28+32=30+30,共15组， (1)A∩B=☑，B∩C={出现的点数为2. (2)AUB={出现的点数为1,2,3,4,5,6}，BUC=出 故点(a,b)有29个， 现的点数为1,2,4,6}. 所以点的横、纵坐标中有偶数的个数为8+29=37， (3)由题意可知A={出现的点数为2,4,6}，B={出现的 横、纵坐标都是偶数的个数为29， 点数为1,3,5}，D=出现的点数为1,2}，E={出现的点数1， 所以在点的横、纵坐标中有偶数的条件下，横、纵坐标都是 2,4,5}, 则A∩C=出现的点数为2}，BUC={出现的点数为 偶数的既*为号 1,2,3,5},DUE={出现的点数为1,2,4,5. 四、解答题 18.解：(1)设“甲临时停车付费恰为5元”为事件A, 15.解：记“I号出现的点数”为m,“Ⅱ号出现的点数”为 则P(4)=1-方右=分 n,则(m,n)表示这个实验的一个样本点， 所以甲临时停车付费恰为5元的概率为兮 样本空间2={(m,n)1m,n∈{1,2,3,4,5,6}}，共有36 (2)设甲停车付费为a元，乙停车付费为b元，其中a,b可 个样本点。 能取值为5,10,15,20. 由于骰子的质地均匀，所有各个样本点出现的可能性相 则甲、乙二人的停车费用的所有样本点为(5,5)，(5,10)， 等，因此这个试验是古典概型， (5,15),(5,20),(10,5),(10,10),(10,15),(10,20),(15, 5),(15,10),(15,15),(15,20),(20,5),(20,10),(20,15), (1)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)}, (20,20),共16种情形， 所以n(A)=4, 其中，(5,20)，(10,15)，(15,10)，(20,5)这4种情形符合题意. 所以P(A)=36=9 4 1 放，乙二人停车付资之和为25元的薇率为P=音=子 6 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 19.解：(1)由题意，每10000张奖券中设特等奖5个，一等 1 1 3=6 奖20个，二等奖100个，三等奖500个， (2)事件A与事件B相互独立，则至少一人解答正确的概 5 1 20 故P(A)=000=2000,P(B)=1000=300, 率为 Pc)=00=0P)=006=0 100 5001 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) (2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖、三等奖， =1-(1-)×(1-号)=子 设“1张奖券中奖”这个事件为M, 第16期3,4版参考答案 则M=AUBUCUD, 频率与概率、事件的独立性同步核心素养测评 又因为A,B,C,D两两互斥， 一、单项选择题 所以P(M)=P(AUBUCU D) 1~4 BABB 5~8 BABA =P(A)+P(B)+P(C)+P(D) 提示： .5+20+m0+50=6 2.因为是有放回摸球， 10000 所以第一次摸球与第二次摸球相互不受影响， 放1张奖券的中奖概率为。 所以事件A与A2是相互独立事件， (3)设“一张奖券获得的奖金低于200元”为事件V, 所以事件A与A2也是相互独立事件. 则事件N与“一张奖券获得的奖金不低于200元”为对立事件， 3.根据独立事件的乘法公式知小明买的书和衣服都能按 而“一张奖券获得的奖金不低于200元”为奖券获得特等 奖和一等奖的和事件， 时送达的概率为子×分=了 1 所以P(N)=1-P(AUB) 4.由表格数据知，最高气温低于25℃的频率为4+5=01， 90 =1-P(A)-P(B)=1-2000300=400 1399 所以6月份这种冷饮一天的需求量不超过300瓶的概率估 计值为0.1. 即一张奖券获得的奖金低于200元的概率为39 5.记甲、乙能破译密码分别为事件A,B, 第16期2版参考答案 由题意可知P4)=子B)=子 专项小练一 1.D:2.C:3.BCD:4.0.03. 可得P(④=子，P(=子 5.解：设“出现正面朝上”为事件A, 所以这份密码被成功破译的概率为 则n=30000,n4=17967, P=1-P(MA=1-P(不P(A=是 a4)=品8 =0.5989, 6.由事件A和B相互独立，且P(AB)=P(BA), (2)P(A)=0.5. 得P(A)P(B)=P(B)P(A), 即出现正面朝上的频率近似是0.5989；掷一枚硬币，正面 即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)], 朝上的概率是0.5. 所以P(A)=P(B) 专项小练二 又P(i画=G所以P(而=P(面=石 1.C;2.A;3.ABD:4.i6 5 所以P()=名 5.解：设事件A表示“甲解答正确”，事件B表示“乙解答正 确”， 7.由题意得若乙要赢得这局比赛，则乙在投剩下的两支箭 后至少要再得3分，按照乙第三支箭的情况可分为两类： 则P(A)=子，P(B)=了 (1)第三支箭投入壶口，则第四支箭必须投人壶耳，其概 因为事件A与事件B相互独立，所以 1 11 率P,=3×5=5 (I)两人解答都正确的概率为P(AB)=P(A)P(B)=2 (2)第三支箭投人壶耳，则第四支箭投人壶口、壶耳均可， 一7- 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 其概率B=5×(号+5)=务 P(A)P(B)P(C),(B)错误； 对于(C):P(A)>0,P(B)>0, 所以乙赢得这局比赛的概率P=R,+B=古+号=号 13 若事件A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B)>0, 8.设三门考试课程考试及格的事件为A,B,C, 若事件A,B互斥，则P(AB)=0,(C)正确； 相应的概率为a,b,c, 对于(D):设任意事件A发生的概率为P,必然事件B发生 则考试三门课程，至少有两门及格的事件为 的概率为1，不可能事件C发生的概率为0， ABC ABCABCABC, P(AB)=P=P(A)P(B),P(AC)=0=P(A)P(C), 其概率为 (D)正确. P ab(1-c)+a(1-b)c+(1-a)be abe 故选(A)(C)(D) ab ac be -2abe, I山.由题意可知P(M)=2P(W）=p,故(A)正确： 设在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格的概率为P2, 因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不 1 1 1 则B,=3ab+3ac+3c, 赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立， 又由P-P2 1 所以p+3+g=1 ab ac be-2abc- 1 又因为p= 5 车，所以g=2故(B)正确； 2 2 = T3ab+三ac+bc-2abc 易知M,N相互独立， 所以P(T)=P(MW)+P(MW)+P(MW) ab ac be 3abe) =31-p)+2+ 号[d(1-0+c1-)+bc(1-a]>0, =分+2 所以P>P2,即用方案一的概率大于用方案二的概率. 二、多项选择题 若P(T)=0.75,则p=0.5,故(C)正确； 1 9.BCD:10.ACD:11.ABC. 若P(刀>08，期时+之>08， 提示： 所以p>5 3 9.由题意可知装能命中的频半为0-Q6, 得到的频率可能比概率大，也可能小于概率，也可能等于 又因为p+3+9=1,9>0, 概率，故(A)正确，(C)错误； 所以p<子 投篮10次或100次相当于做10次或100次试验，每一次的 结果都是随机的， 号<<号故(D)不F确 所以 其结果可能一次命中，或者多次命中等， 故选(A)(B)(C). 概率只反映事件发生的可能性的大小，不能说明事件是否 三、填空题 一定发生，故(B),(D)错误。 故选(B)(C)(D). 2013品14袋 “729 10.对于(A):由P(A)=0.6,P(B)=0.3, 提示： 则P(A)=1-0.6=0.4,P(B)=1-0.3=0.7, 12.设这群小孩共有x人， 又事件A,B相互独立， 由题意可得k三n ”= P(AB U AB)=P(AB)P(AB)P(A)P(B)+ P(A)P(B)=0.6×0.7+0.4×0.3=0.54,(A)正确； 解得x= n 对于(B):若三个事件A,B,C两两独立， 13.用事件A,B,C分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码， 由独立事件的乘法公式P(AB)=P(A)P(B),P(AC)= P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),无法确定P(ABC)= 则P(A)=子，P(B)=子P(O=子 —8 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 且P(ABC)=P(A)P(B)P(C 放至多有两名同学当选的概率为1一务一器 =(1-子)(1-)(1- 18.解：(1)由表可知仅使用A支付方式的学生有30人，仅 使用B支付方式的学生有25人，由题知A,B两种支付方式都不 使用的有5人， 所以此密码能被译出的概为1一力=号 所以样本中A,B两种支付方式都使用的有100-30-25- 5=40(人)， 14.由题图，可知AC之间未连通的概率是 ()=g 据此估计全院系学生中两种支付方式都使用的频率为40 100 连通的概率是1-号=8 所以用样本频率估计总体频率得全院系学生中上个月A, 2 EF,GH之间连通的概率均是（ 2 B两种支付方式都使用的有恕×100=40（人）。 (2)由题意知样本中仅使用B支付方式的学生共有25人， 未连通的概率均是1- = 9 只有1人的支付金额大于2000元， 则B之未连的概*是(）广 据此可知该学生上个月支付金额大于20元的概率为5 B之间莲通的概率是1一宁-总。 (3)可以认为仅使用B支付方式的学生中本月支付金额 大于2000元的人数有变化.理由如下： 故4B之间连道的概率是号×警-袋 由(2)知，从样本中仅使用B支付方式的学生中随机抽取 四、解答题 1人，发现他上个月支付金额大于200元的概率为公=0.04， 15.解：记这两个零件中恰有一个是一等品的事件为A, 概率值很小. 即仅第一个实习生加工一等品(A)与仅第二个实习生加 因为小概率事件在一次试验中几乎不可能发生， 工一等品(A2)两种情况， 所以可以认为样本中仅使用B支付方式的学生中本月支 则P)=PA)+Pr)=号x+写×子=高 付金额大于2000元的人数有变化，且变得比上个月多. 19.解：(1)估计A小区当年（供热期172天）的供热状况 16解：(1)由题意，可以估计甲在比赛时答对题的概率为 为“舒适”的天数为货 ×172=129(天). 120 (2)记A,表示A小区供热等级达标，A2表示A小区供热等 乙在比赛时答对题的概率为P2= 120-20= 120 6 级舒适，B,表示B小区供热等级不达标，B2表示B小区供热等 (2)设事件B=“某轮比赛中甲得1分”，事件C=“某轮 级达标， 则A1与B,独立，A2与B,独立，A2与B2独立， 比赛中乙得1分”， 又C=A1B1UA2B1UA2B2, 则事件A=BC U BC U BC, 则P(C)=P(A1)P(B)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B2), 所以P(A)=P(BC)+P(BC)+P(BC) 由已知可得4,4,8，品发生的氮率分别为品品0。 17.解：(1)恰有一名同学当选的概率P=号×(1-子) 20 散PA)=写，P)=子，P(B)=0,PC)=品 ×(1-0)+(1-号)×号×(1-0)+(1-号)× )*品篇+品+瑞悬 所以PG=0+0+子×号-高 (3)若从供热状况角度选择生活地区居住，建议选择A小区. (2②)由于三名同学春当选的概率为片×号×石=器 因为4小区供热等级舒适的频率为品。 42 9 125 B小区供热等级舒适的频率为20： 高中数学北师大（必修第一册）第14~18期 5 20 ,所以建议选择A小区. 9 >1 若中奖，还剩150元，刮第2张卡前，下注75元，未中奖资 金减少，中奖资金增加， 第17期3,4版参考答案 所以要使资金增加，则必须2次刮出中奖，否则资金减少， 概率核心素养综合测评 所以5张卡片中取到2张“中奖”卡的概率大于7即可 一、单项选择题 1~4 DBDA 5~8 BBAC 由5张卡片中任取2张的方法数有10种， 提示： n张“中奖”卡中取到2张的方法数有(n,卫种， 2 2.因为树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食 物的概率为号=司 所以a0> 20 即n(n-1)>10,且2≤n≤5， 3.甲不输这个事件可以看作是甲获胜和两人和棋这两个 故n=4或n=5,即n至少为4. 互斥事件的和， 二、多项选择题 因此所求概率为P=0.3+0.55=0.85. 9.BCD;10.ABD;11.BD. 4.目标受损但未击毁的概率是1-0.2-0.4=0.4. 5.抛出一次，恰好出现蛇的图案朝上的概率为7，出现其 提示： 9.在(A)中，不满足等可能性，不是古典概型； 他图案朝上的概率为号， 在(B)中，同时掷两枚骰子，点数和为9的事件是随机事 件，满足有限性和等可能性，是古典概型； 由于甲、乙抛掷模型的结果相互独立， 在(C)中，从7名同学中选出5名同学参加学校演讲比赛， 故所球概率为站×吕+吕×立=号 每个人被选中的可能性相等，满足有限性和等可能性，是古典 6.因为至少道过-个社团考核的概率为号，所以三个社 概型； 在(D)中，3个人站成一排，其中甲，乙相邻的事件，满足 团都没有通过考核的概率为号，则依题意， 有限性和等可能性，是古典概型. 故选(B)(C)(D). 1 3mn=30, 10.由概率和频率的关系知(A)正确； 得 l(1-)1-m)1-m)= 不同的样本点是彼此互斥的，在同一次试验中不可能同时 发生，所以(B)正确； (mn 10 任意事件A发生的概率P(A)满足0≤P(A)≤1，所以 2 (C)错误； -(m+n）+mn= 某种皮肤传染病的治愈率为0.9,100个病人前来看病，被 解得m+n=0 治愈的可能有92人，所以(D)正确。 故选(A)(B)(D) 7.设A,B,C,D四位妈妈的小孩分别是a,b,c,d, 11.由题意得，事件A的样本点为{1,3,5,7}，事件B的样 则坐车方式的样本空间为(Ab,Ba,Cd,Dc),(Ab,Bd,Ca, 本点为1,2,3,4}，事件C的样本点为2,3,5,7. De),(Ab,Be,Cd,Da),(Ac,Ba,Cd,Db),(Ac,Bd,Ca,Db), 对于(A),事件B与C共有样本点为2,3，所以不互斥，(A) (Ac,Bd,Cb,Da),(Ad,Ba,Cb,De),(Ad,Be,Ca,Db),(Ad,Be, 错误； Cb,Da)},共包含9个样本点， 对于(B),事件AUB的样本点为{1,2,3,4,5,7}，所以 而A的小孩坐C的车的样本点为(Ab,Bd,Ca,Dc),(Ac, Bd,Ca,Db),(Ad,Bc,Ca,Db),共3个， P(AU)=名=子，(B)正确： 放所求概率为号=了 对F(C),P0=音=，P0=冬=分Anc的 8.由题可知，刮第1张卡前，下注50元： 样本点为3,5,7}， 若未中奖，还剩50元；刮第2张卡前，下注25元，不管是否 中奖，资金必减少； 所以P(AC)=冬≠P(A)P(G, 10-本版责任埔锡：朝晓红 极纸端抗质量反情电话 02515271268 帽纸发行质量反墙电话 可网。) 兹理相 年10月24日星期五 高中数学 第 17期 总第116 北师大 01515271248 必修第一册 平面三角形与空 山西师范大学主管山西师大敏育科技传媒集团主办理报社 出版 社长 徐文信 连续出 版物弓 :CN 0707MF)邮发代号：21-16 可四面体的类比 学以致用 人中液有纳车船使用税的人数 大的 是 亲的基因类型分别为，广，从而断夫妻所 孩子的基因类型，确定男孩的妹与男孩血型 (1三角形： 走进生活 解：因为子出现一点或 点，三点或图 一样的率 三角形的外心 ,五点或大点的概率相等，都等于，所以应 解：由男孩血型为0型知，其父母的基因实 公、套心合 型分别为：，广，所以构成其妹妹血型的基本事 8 四面朱：正 看概率 有1000人回答第 个问圆.因为车牌号码的最 作有，：.”，四种，其妹妹血型为0型已 后一位数是奇数还是偶数的概率也是相等的 靠的外心，内 以在这1000人当中皮有500人的车号码是 为事件B,则事件B出呢 次得P(B= 合 数.这50人都答““：同理也有100网 点评：该例跨科考查，新额别致，希架同学 (2)三角形 0湖南 个回0.在文100人中右50 人回答 三角形内任 到 有著广泛的应用，它不仅与我们的生 因此在回答“否 的1200 人中约有200 、概率在估计整体中的应用 三边理高之和为正 活密切相关，也在科学研究领域及重大圆的 是对第二个问答“ ,根据用样本特征估 例3为了调查某野生动物保护区内某种野 三形的高 决策方面发挥重要的作用，下面举例析 计总体特征的知识。 可知 午这3000 生动物的数盘 查员某天速住这种动物1200 中 有 四而：正四面 题在决中的应用 例1为了解我国机动车的 60 只做好标记 经过 足期后 人没有缴纳车船使用税 张内任一或到四个 所有 动物1000只，其中散过标记的100只，根起上述 点评：在实际题中运用规 面的亚高之和为 使用税情况，查都门在某大型停车场对机动 数据估算保护区内有多少只动物 调 妙地 来处理 奖特珠的问题其实是在分 车的所有人进行如下的机 解：设保 这中野生动物 每 面体的高 字程随机事件概承的基上，得到 个计量 提出三个问图：(1)你的车牌号码的最后 为生活中的 动物被速到的可能性是相同的，那么第一次 3)角形 些决策 定蓟理论参 第二次边 角影两边之和大于 奇数吗？(2)你站了本年度的车船使用税？ 到的1200只占所有这种动物的200 (3)你的家庭电话号码的倒数第 二，概率在科学研究箱域中的应用 位 第三边 世查人员给被调查者准备了一枚酸 例2由 、类的血型遗传分析得划 与 到的1000 中，有100只是第 次速到的，即事 查者背对查人员概 次子 如果 显性基因，不同血型的基因组成下： 件发牛的做为100，说明第一次速到的在总的 ,面面积之和 大于 点则回客第一个问题：如果出现 动物中的频率为 ,因此1200 0解得x= 而面积 点回答第二个问：如果出现五点或大点则 1 12000.即按此方法计算 估计保护区内有 (4)三角形： 回答第三个图（调查者不必杏诉调查 个男孩的血型为0，母亲的血型是 1200国只动物 自己回答的是哪- ·个，只需国答“是 学 父亲为B型，问这个男孩的妹妹和他血型 一样 蓝评：当美个处热无法清确计算及计其晨 相等 否“，所以都如实出答)结果被查的 L半是多 麻时，可以 用概的方法桑迹行估计，这 四面体：四面 3D0人中1200人回答“否”，由此估计在3000 分析：根据男孩的血型可可以判断母亲与 许多修况下也是其他方法无法代的， 可底等高体机相等 特遵讲率 因为(0.2+00位+0.0)×5=05<05 购恰好取到0的概率为P(100)= (5)三角形 =75 05 10 角形具有物上的 古典概型 似20+05-035 (2)当m=6(15≤9，beN.)时g(m=0 0.08×5 ×5=21.875 移定性，枚广泛用于 =10+(15k59.05b59k 则中位数约为21,875千元 N,beN)时g(n)= 四面休：回而 交汇创新 平均数为(7,5×0.02412.5×0.02+17.5 当限=100时，g(程》=11 ×003+22.5×0.08+27.5×0.04+32.5× 0,1569 具有高废的德定性 。陕西尹娟 0.01)×5=20.75(千元) 即g(w) .n=10k+b(0≤6至9】 被广泛用于大型空 11.n=100 傅建筑，如大度的 与统计知块结合 (2)由比例分配的分层机抽样可知。 10.15)内应抽取2人，分别明记为1,2 同理有 例1近年来，中央鼓地滩经济”，地神在 0,1n≤8 型门楼、电说塔等 全地开花某地府组调研本地地排 在[1520)内应抽取3人，分别班记为4.， (6)三角形 济，随机选取100名抱滩摊主了解他门每月的收 则从这5人中抽歌2人的所有情况有( k,w=10+6-1(0≤9) -0,9m8 角形有余弦定理 人情况，并按收人（单位：千元）将通主分成 2).1.a,(1,b),(1,e),(2.a).(2.).{2 r).(a,b).(m.e),(b.c),共10种 20.n=99.100 + [5.10),[10.15).[15,20).[20,25).[25.30) 30,35],如下所示的收入牢分布直方图 由)=n)-g(n)=1,可知n=9, 2人收入祁在[15,20)内的情况有 ) 四面朱：网面新 19.29.39.49.59.69.79.89.90 有表的金球定亚 (.,(.c),共3种，则所求概为 所以当m至100时，8=9,19,29,39.49 6979.8900. 二，与通数、方程等结合 当程=9时，P(9)=D 例2将连续正整数1,2，…，n(ncN,)从 其中4为二面角 小封大排梦列构成一个数23，下(n)为这个数 当=90时，P0)==9 AD B.a 的位数（知n=12时，此数为123456789101112 当=10k+9(1k≤8，kGN.)时 共15个教，F(12)=15),现从这个数中随制 AD (1)求频分 取一个数字，P(n)为恰好取到0的概率 P=-gg 月细名地主收人的中位数和平均数（单位 (1)求P(10): 千元) (2)令(m)为这个数中数学0的个数. 由y:209关于单调递增。 (2)已知从收人在[10.20)内的地排摊主 n).为这个数中数字9的个数，(■只n) 放当m=10k+9(1≤上≤8keN,时 中用比例分配的分层陆机抽样抽取5人， ).5=nh(n）=1,n100，eN,求 Pm)的最大值为P(9)=I的 5人中随机抽取2人，求抽取的2人收人都在 当∈S时P()的最大慎 115,20)内的率 解：(1)当=100时，F(100)=9+90× 又高←所以当eS时，Pa)的最大 7:《1)由002+002+0.03+0.08+1+ 2+3=192,即这个数中共有192 个字 001)×5=1.得1=004 其中数字0的个数为11 为病 2.C:3.BCD;4.0.03 发日 P(A)P(B C)=P(A,)P())P((B) 时+AA 联动。只。c阴阳面移 的概半为0至少通过 个社团考的概半则。+。 第Ⅱ卷 非选择题 (共92分)】 概率核心素养综合测评 (D) 。数理报社试题研究中心 7,A,B,C.D四位妈码相的各带一个小孩去观看花展.她们选扬 三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 共享电动车出行，每辆车只能截一位妈妈和一个小孩，其中孩子们都 12.已知随机事件A,B.C中.A与B互斥，B与C对立，且P(A)= 第1卷选择题（共58分） 不坐自已妈妈的布，则A的小孩坐C的车的概率是 03.P(C)=0.6,则PA+B)= 13.甲，乙两人在每次猜谜活动中各精一个速语，若一方猪对月另 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (B) 方错，则对的一方获胜，否则本次平凤已知海次活动中，甲.乙 1,对干两个事件，N.则事件MUN表示的含义是 8.有5张未码的卡片.其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中 (A)材与N同时发生 (B)M与N不能时发生 猜对的概分别为子和，且每次话动中甲.乙猜对与杏互不影有。 奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张你有资金10元，每次在对一张 (C)M与N有且仅有 个发生 :(D)M与至少有 个发4 卡片刮阿前，下注已有资金的一华若刮码结果为“中奖”，则m得与 各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获性的概率为 3次 2一只蚂在如国1所示的树枝上寻觅食物 下注金额相同的另一笔钱，若码结果是未中奖”，喻神下注的 活动中，甲至少胜2次的段*为 高中致学 假定妈蚁在每个路口都会随机地选择一条路径 金，抽取的2张卡片全部完后，要使货金增加的率大于资会减 14,在某项比赛中，两个水平相当的迭手在决赛中相遇，决赛采用 刚它能获得食物的率为 的概率.则n至金为 五局三胜制，胜者获得金部奖金，前3局打成2：1时比赛因故终止若 高中数学 () (B)方 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 发放奖金总额为1200元，为公平合理起见，应该发放给已阵两场者 (c)2 (D)号 二，多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.以下试路是占典型的有 四，解答题：本题共5小题，共77分 必修第 必修第一册（北师大版]核心素养综合测评 3.甲乙两人下供，甲获胜的低率为0.3，两人下成和棋的概率为 (A)近五天中有一天降雨 15.(13分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个 0.55.那么甲不输的概率为 r (B)同时两枚般千，点故和为9时两枚子的点刻 红色球（标号为1和2）.2个黑色球（标号为3和4），采用不放回简单 (A)0.25 (B)0.3 (C0.55 (D)085 (C)从7名同学中选出5名同学参加学校演讲比 机抽样的方祛从袋中农次揽出2个球设事件A“摸到的2个球 册北师大版 4一果机向日标投弹，击毁日标的低率为02，日标未受损的 (D)3个人站减一排，中甲，乙相 色不相同”，事件=“到的2个球的数字之和大于5 假率为04，则使目标受损但未击登的概幸是 r 10.下列说法正的有 《1》用集合的形式写出试验的样本空间，并求PA),P(B): (A)0.4 (B)0.48 (C0.6 D)08 (A)旺率是疑率的稳定值，频率是概率的近值 (2)求P(4B),并说明事件A与B是否相百独立， 5.十二生肖作为中国民俗文化的代表，是中 一核心素养综合测 ()一次试验中不同的基本事件不能同时发生 国传统文化的销髓，很多人把生片作为春节的吉 (C)任套事件A发生的概率P(A)他满足0<P(A)<1 祥物，以此来表达对新年的祝福某课外兴 (D)某种皮扶传染病的治包率为Q9,100个病人前来看病，被治 组制作了一个正十二面体顿型（如国2》，井在 愈的可能有92人 二个面上分别了十二生片的图案，作为春 1.如图3是一个质地均匀的正八面体，八 的吉样物.2025年春节前，某兴递小组的甲，乙两位成员将横型随机 个面分别标以数字1到8，任意抛一次这个正 抛出，希型能抛出蛇的图案朝上（即蛇的图案在表上而），两人各抛 (面体，观察它与地面接独的面上的数字，得到 次，则恰好出现一次蛇的图案新上的概率为 样本空间为=11,2,34,5,6,7,81,记事件 (A)2 (B)贵 (c)周 “得到的点数为奇数”，记事件书=“得到的点 数不大干4”，记事件C=“得到的点数为质数“ 6.某中学的信息技术”“足球”摄影”三个仕团考核挑选新社 明下列说法正确的是 员，已知高一某新牛对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加 设他通过“信技术”“足球”“摄影”三个杜团考核的概率依次为 (A)事件B与C左斥 (BP(AUR) ,m,，且是否通过每个考核相互独立.若三个社团考核都通过 (C)事件A与C相互独立 (D)P)=