第13期 用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征-【数理报】2025-2026学年高一数学必修第一册同步学案（北师大版）

物心杰海可{原汁润片】审1编漆俊 标零+叫 本版责任埔锡：朝晓红 极纸端抗质量反情电话 02515271268 深防制街国店际品位务业部) Hra海t 推纸发行质量反情电话 兹理括 202 年9月26日·显期五 高中数学 第 13期 总第1157期 北师大 151-527128 必修第一册 303342122 634832303R23R024 山西师范大 山西师大数育科技传蝶集团主办数理报社辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN 14 0707NF)邮发代号：21-16 修养”中的 符号和用符号 数为10W0×10×(0.030+0.020+0.010) =60 不及格的考生人数为(0.010+0.015)×10 表达的世界魂 角解读 其中身高在10,150]内的学生人数为100× x5000=1250.枚(C)清3： 10.×0.010=10 考生成续的平均分约为45 ×0.10+55 1,“修养中的 0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.15+95 频率分布直方图 所以从身高在[140,50】内的学生中选取 的人数应为口 0.0■705，故(D)正确 名利面着不用 。四川张海滋 放选(A)(D) 一、率分布直方围的相关计算问 二、频率分布直方图与数字特征的合应川 例3如图3是某学校的数研处根据调查结 难面前不用“ 例！某小学随机抽取100名学生，将他们的 2在次高中学斗海厚中.黄十50002 果绘制的本校学生每天放学后的自学时间情况 友之间不用 身高（单位：厘来）数绘制成率分布直方国 与生的参塞战绩，井绘制成如图2所示的频米分 的加率分而直行妇，代民功率华计布直行图，装 流恋爱不用“△“： (如图1新)，由图中数据可可知“= 布直方图60分以下视为不及格，若司一组中的 校学生每天放学后的自学时间的中位数和众数 纪律不用“” 若要从身高在[120,130)，【130.140)，[140， 数色用度区间的中点值作代表，闲下说出 的估计值（精稀到0.01）分别是 功劳和推耐之 50]三组内的学生中，用分层陆机抽样的方法 中正确的是 ( 选取18人参加一项活动，则从身高在[140 05 用= 150]内的学生中选取的人数应为 2,用符号表达的 世界观 0n3 ,”号用在学习上 3 号用在休息上： ()220.225 (B)2.29.2.2 ×”号用在工作上 (A)考生成在[70 ,80)的人数最多 (C)2.29.2.25 (0)2.25,2.25 成国更详/质用成用火排（车业：×）。粮鞋锈辣用10.051.05。 18.(17)性斯 (B)考生成绩在[80,0)对应的频率为 解：由赖率分有直方图得，白学时问在 ”号明在专业上： 111013013010150高厘米 0.015 0.5.2)的为0.16+0.2+0.34)×0.5 ,”号周在委屈上： 解：因为频率分布真方图中的各个小长方 (C) 不及烧的生人数为知 =0.35. 形的面积之和为1，所以有 (D)考生成绩的平均分约为70,5 自学时间在[2.2,5)的频率为 号用在成绩上： 10×(0.005+.035 解：由率分布直方图可知，考生成绩在 052×0.5=026」 +a+0.020+0.010 号用在群众上 70,0)月的、形夜高，所以面率最大，西 历以自学时间的中位数为 广号用在创作上： 解得a=0.030 人数最多，故(A》正确： 2+0505229 0.52 由城率分布直方图可知，身高在[0 成情在0.0)对立的起为0.015 号用在事 130),[130.140),[140,150]三组内的学生总 0.15,故(B)错误： 众数为2+2 =2.25 ”号用在未来上 ,会“评价” 数学符号的 在数据分析的甚础上能够基于数字特征或 生和使用，给鼓学语 图形给出相应的统计意义上的平价结论 利用统计 量 西了无数美的乐 例1为了比较两种治疗失眠症的药 进行评价与决策 章，给人带桌了巨 别为A药.B药)的疗效，随机地取20位忠 者服用A药，20位忠者里用B药，这0位虫者在 大的财富。著名利 用一段时间后，记录他们日平均增加的非 ⊙山东 徐明字 学家曾说：“大自然 牌)当… 时间（单住：h),试验的观薄结果如下： F=0×(0.5+05+0.6+08+0.9+h.1 -()班的小刚回家对妈吗说：“昨天的 是以数的语言在讲 数学薄试中，金班的平均分为79分，得0分的 N 服用4药的0位患者日平均增如的眠时 1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9 “这些数李科 人最多，我得了5分，在班单算是上游了.“ +21+24+25+26+2.7+32)=1.6 就是数学语言的 06122.7152.81.822233.23.5 (2)请你根据表中的故据分析两班的测 由以上计算结果可得x>,因此可春出A 2.52.61.2271.52.93.03.1232.4 吉况，井器出收学速议 江，它是数学家长期 芍的疗效史好 创作的数学语言中 服用药的20位违者日平均增加的眠时 解：(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分 (2)由于中价数与平均数都可以描述数 可知，85分排在25名以后，从名次上讲井不能说 的精华，它比世界」 何： 的集中程度：因此除了平均数还可以用中位数 3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.4 评价疗效 85分在班里是上游，但也不能从这次测试的名 任何一什语言更精 1.60.51.80.62.11.1251.22.70.5 次上来判断学习的好坏小得了85分，说明饱 更准确。鼓学家 二、会“决第 (1)分计算两组数据的平均数，从计原结 对这阶段的学习内客掌握得较好，从掌握的学 们关下数学号的 在基干数字特征给出有意义评价的基础 果看，理种药的疗效更好？ 上，分析利弊，观察风险，进而作出切实可行的 习内上讲算是上游 创作性劳动闪着 (2)根组数据，除了平均数还有个数 理决策、方案成建议 (2)高一(1》晓成靖的中位数是87分，说明 人类的智慧和劳动 特征能评价种药的疗效更好？ 例2某校高一(1)，(2)班各有49名学 高于7分的人数占一半左右，而平均分为79 结品的先若，也是 解：(1)设A药观附数据的平均数为无， 生，两班学生在一次数学衡试（满分100分）中 分，标准整又很大，说明低分者很多，两极分化 人夹语言学的丰富 B药观薄数据的平均为，由观薄结果 的成绩（单位：分）统计如下表： 严重，越议对学习差的学生给予帮曲， 和发是 高一(2)班成绩的中位蚊和平均数是79 =0×0.6+l.2+l.2+1.5+1.5+,8 分.标准差较小，说明学生成镜之问的差别也较 +22+23+2.3+24+2.5+2.6+27+2 -(2) 小，学习差的学生较少，但学习优的学生也 +2.8+2.9+30+31+32+3.5=2.3 (1)请你对下面的一段话给予简要分析 少，建议采取带旌，提高优秀学生的人数， (A)200 (B)220 (A )D.70 (B)0.50 (c24m (c10.25 : (0)260 (D)0.20 6 40·0 一 03(a)0.375()0.05(+e) 3 : 2.6.0.iM.i2.6:ii. (C)海想肤桃限全助热335.5 。3.33...。 (cos净机 102 (B 话3.5.7.4。m.想 学生中随机速取部分学生行调查，并将调查结果给制成如图2所示 用样本估计总体分布、用样本估计总 的不完整的两个统计国 体的数字特征同步核心素养测评 某同学根据表中数据分折得出的论正商的是 《A)甲，乙两班学生成绩的平均数相同 。数理攫社试题研究中心 《)甲的成绩波动比乙班的成绩波动大 (C)乙正优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟检入议字数 第」卷选择题（共58分） 则选取的学生中，参和绘画社团的学生人数为 150个为优秀) 一，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (A)20 (B)0 (C)40 D145 (D)甲班成鳞的众数小于乙战绩的众数 1,从某一总体中抽一个客量为200的样本，得到分组与频数 7.随着2025年第九届亚冬会的常行，某班组织全班学生开展有 下：[10,15).6：[I5,20),81[20.25),13:[25,30),35:[3035).46: 关亚冬会知识的竞赛活动已知该班男生30人，女生20人，按期分层 第Ⅱ卷非选择题（共92分） [35,40),34:[40.45)28:[45.50),15:[50.55),10:[55,60],5.则 陆机抽样的方法从该班共抽取10人，进行一轮答题，相关统计情况如 样本在[35,601上的销率是 三、填空题： 下：男生答对题目的平均数为10，方差为1：女生答对题目的平均数为 本题共3小题，每小题5分，共15分 A10.69 (B)0.46 12.光明中学举办以“迎二十大，争做新青年、水远跟党走，奋 5,方差为0.5，剩这10人答对题日的方差为 (C)1 (D0.92 进新征程”为主的演讲比赛式中8人比赛的成绩为：92,89,8器，86， (A)6.8 高中数学 B)6.9 (C)7 (D)7.2 高中数学·必修第一册（北师大版）同步核心素养测评 2.“堂祖感指数”是某人对自已目前生活状态满意品度的自我润 0,85,4,%(单：分)，则这8人成绩的50%分位数和80%分位数 价指标，常用区间[010]内的一个数来去示，该数越接近10表示满宫 8.慢走是一种简单义优良的假陈方式，它不仪以解助成肥，还 的和为 以增强心肺功能、血管弹性，机肉力量等.小温从小到大记录了近6 13.某医院急救中心机抽取如位病人等待急诊的时间（单位： 必修第 程度越高现机抽取8位市民，他门的本福感指数分别为5,6,7,8 的周慢走甲程（单位：会里）：1,12，m,,20,27,其中这6周的周 in》记录如下表： 7,9,4,5.该组数据的25分位数为 (A)5 走里程的中位为16.若要使这6同的周慢走里程的标准差最小.则 (B)6.5 (C)7 (D)7.5 4 85.2 3在样本的频率分布真方图中，共有个小矩孩已某组的频 数是40，且该组所对应小矩形的面职等于其余：一【个小矩形面积之 (A)14 (B)15 (C16 (D17 则估计该西院急放中心病人的平均等待相时间为 和的)，则样本容量为 二，多项迹择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 寺时间的方差为 9.在“世界杯”足球赛亚区第二阶段比赛结束后，某中学学生 14.五名学生每人投蓝15次，绕计他们海人投中的次数，得到五 (A)340 同步核心素 B)360 (C)380 D1400 数据，若这五个数据的中位数是6，堆一的众数是7，则他投中次 会对本校高一年级1心0名学生收看中国队比的情况用随机抽样力 4.已知由小到大排列的4个数据1,3,4，a的极差是它们中位数的 数的负大是 代进行查，样本容量为50，将数据分整理后，列表如下： 2倍，则= 四，解答题：本砸共5小题，共77分。 (A)5 012346 (B)6 (C)7 (D)8 15.(13分)已知某校初二年级有1200名学生，在一次数学测试 中，该年级所有学生的数学成绩全部在[45,95]内.现从该校初二年 5随着卡塔尔世界杯的举办，全民对足球 的热爱程度有所提高，组委会在某场比赛结束 从表中可以得出正确的结论为 级的学生中随机抽取100名学生的数学成领.按[45,55)，【55.65) 65,75),[75,85),[85,95]分战5组，得到如图3所示的频率分布可 后，随机抽取了若干名球迷对足球“喜爱度” (A)m=6 进行调查评分，把喜爱程度较高的按年龄分成 ()估计观看比赛不低于4场的学生约为340人 方图 (1)求#的值 5组.北中第一组：20,25)，第二组：[25,30) (C)样本中，观看2场的学生为200人 (2)记这次测试数学成销不低于85分为“优秀”，估计该校初□ 第三维：[0,35)，第四组：[35,40)，第五组： (D)估计观香比赛场数的众数为3 级这次测试数学成绩为”优秀”的学生人数 [0,45】,得到的图1所示的频率分布直方图已知第四粗与第五组共 10.“体有强则中国强，国兴则体育兴“.已知运动员甲特训的 有150人，第二组中女性球选有75人，则第一组中男性球迷的人数为 成分别为：9,12,8,16,16.18,20,16.12,13.则这组数据的 ( 00 (A)平均数为14 (B)方差为13. (A)140 B)120 (C)I00 (C)85分位数为18 (D)众数为12 6,某校高一组建了前讲，昭，合唱，给亚，英语动会五个杜团，高 11.甲，乙两班举行电脑汉字录人比赛，参赛学生每分钟录入汉字 1000名学生每人都参加目只参加其中一个社团，学校从这10名的个数经统计计算后填人下表：高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 数理括 答案详解 2025~2026学年 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期(2025年9月) 第10期2版参考答案 专项小练一 因为y=2和y=-(3) 在R上单调递增， 1.D;2.C;3.CD;4.(-∞，-1) 5.(1)解：根据根与系数的关系可得 所以x)在R上单调递增，且)=1-(3）=-1 x1+x2=- 1 <02)=8- 分°=7>0 又因5=2，所以3=-2号=0 所以f(1)·f2)<0,所以f代x)在区间(1,2)内存在唯一 m 零点，故x所在的区间是(1,2). 消去与得品=片解得网=合经检验满足 m 4.设应在病人注射这种药x小时后再向病人的血液补充 1 这种药，才能保持疗效， (2)证明：依题意4=1-4m≥0，解得0<m≤4， 则2500×(1-0.2)=1500，整理得0.8=0.6， 所以函数f代x)=mx2+x+1的对称轴为x=- 1 ≤-2， 两边取对数得lg0.8=lg0.6,即xlg0.8=1g0.6, 2m 6 又因为f代-1)=m>0, 所以x=g0.6 g10 _g2+g3-1≈2.3， 所以函数f(x)的图象与x轴的两个交点都在点(-1,0) 1g0.8 8 1e 10 3lg2-1 的左侧，即x1<-1且2<-1，得证。 即应在用药2.3小时后再向病人的血液补充这种药. 专项小练二 1.C:2.BD:3.1.56. 5.令fx)=lgx-3元 1 专项小练三 因为函数y=g,=一分在(0，+)上都是蜡数， 1.C;2.BC;3.2046. 第10期3,4版参考答案 所以函数)=le,一女在(0，+)上是增函数， 函数应用核心素养综合测评 f)=-号<02)=logs2-石= >0, 6 一、单项选择题 1~4 CCBA 5~8 BDBA 所以两数)=1g一在区间1,2)上行唯-零点， 提示： 1.由题意可得函数的定义域为(0，+∞)， 所以用二分法求方程1g:x-六=0近似解时，所取的第 因为)=- 一个区间可以是(1,2) -<0,f2)=ln2-1<0 f3)=ln3- 1 6由愿意得=21，=315， >0,由函数零点的判定定理可知，函数 则2.1lnN=3.15lnW2, f孔x)在(2,3)上有一个零点 即2nN=3nN2,所以W2=W 2.根据表中数据，画出图象如图1个 7.由已知得a=1og23,b=log2,且a>1,0<b<1,于是 所示： 32 函数f(x)=a+x-b为单调递增函数.可得f代-1)=log2- 通过图象可看出，y=log2x能比较 012345678x 1-l1og=-1<0f0)=1-log>0,所以函数的零点在区 近似的反映这些数据的规律 图1 间(-1,0)内，故选(B)· 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 8.依题意知y=g(x)-t有三个零点a,b,c, 若f1)>0,则由1)=f(入)+， 即x(x-4)2-t=(x-a)(x-b)(x-c), 展开对应项系数相等得 可得f(）=D-A x-8x2+16x-t=x-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x -abc,所以a+b+c=8. 由（只）=()+A, 二、多项选择题 9.BC;10.ABD;11.ABD. 可得/()=f(大)-A=)-2x 提示： ()=f()-A=fI)-从，keN, 9.由题可知f1.375)<0,f(1.4375)>0, 故方程的近似解在(1.375,1.4375)内， 当k趋近正无穷时（什）趋近负无穷，所以）存在零点 由于1.4375-1.375=0.0625<0.1， 综上所述f代x)存在零点，故(D)正确。 故(1.375,1.4375)任意数都可作为近似解， 故选(A)(B)(D) 故选(B)(C) 三、填空题 10.由题图知甲厂制版费为1千元，印刷费平均每个为 0.5元，故(A)正确； 12(-,-)u(分+）：1B4: 设甲厂的费用y,与证书数量x满足的函数关系式为y1= 14(-40小 +6,代入点0,1).(64，可得白=L 解得k=0.5,b=1, L6k+b=4, 提示： 所以甲厂的费用y1与证书数量x满足的函数关系式为y 12.由于给出的是一次函数形式，通过数形结合分析应满 =0.5x+1,故(B)正确； 足条件f(-1)×f1)<0曰(-5a+1)(a+1)<0=(5a- 当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个 1 1)(a+1)>0=a>5或a<-1. 为3÷2=1.5元，故(C)错误； 13.当0≤x≤1时，由fx)≤0.02得5-2≤0.02，解得x 当x>2时，设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n, ≤2+log0.02=log0.5<0,舍去；当x>1时，由f八x)≤0.02 代入点23,6,4，可得②车n解得m=子n l6m+n=4, 得号×（兮》≤02，即3≤0.1，解得≥1-g0.1=1 多，所以当×>2时与之间的函数关系式为=子+ +l0g10,因为3<1+l1og10<4,所以此驾驶员至少要过4小 时后才能开车. 多，放(D)正确放选(A)(B)(D). 14.根据题意可转化为满足1log2x1<a(x+1)2+1的整 11.f2x)-fx)=2f2）-f1)=2,f1)=0, 数x的个数为1. 则f2)=2,故(A)正确； 令f(x)=1log2x1,g(x)=a(x+1)2+1, f代Ax)-f(x)=A,即log号(Ax)-log号x=入，即log号A=入， 当a>0时，作出函数fx)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 根据y=x与y=lg号x的图象知方程有唯一正数解，故 +1的图象，如图2所示， (B)正确； g(x)=a(x+1P+1 fAx)-fx)=入，即√x-√E=A, 当x=1时，W八-1=入，即2+入+1=0， x)=llogzxl -101 由4=1-4=-3<0，可得方程无实数解，故(C)错误； 图2 若f(1)=0,则1即为fx)的零点； 数形结合得，代x)<g(x)的解集中整数的个数有无数多 若f1)<0,则f(A)=f1)+入， 个，不符合题意； f(X2)=fA)+A=f(1)+2入， 可得f)=f代A-)+入=fI)+入，k∈N, 当a=0时，g()=1,所以11g<1,解得时<x< 又入>0，故当k趋近正无穷时f入)趋近正无穷， 2,只有一个整数解x=1,所以a=0符合题意； 所以f代x)存在零点； 当a<0时，作出函数f代x)=1log2xl和g(x)=a(x+1)2 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 +1的图象，如图3所示， 《②)由)知=a+l加s名=-10+10s品所以要 f八x)=log2xl 使飞行速度不低于20m/s,则有u≥20，所以-10+10log0≥ Q gx)=a(x+1)P+1 20,即10号≥3，解得号≥27，即Q≥270.所以若这种鸟类为 -101N 图3 赶路程，飞行的速度不能低于20/s,则其耗氧量至少要270 要使1lo2x1<a(x+1)2+1的整数解只有一个， 个单位 只需满足(1)>0， 18.解：(1)当a=1时f(x)=2·4-2-1, f2)≥g(2), 令f(x)=0,即2·(2)2-2-1=0， 即4a+1>0结合a<0可得- 1 l1≥9a+1, 4<a<0. 解得2=1或2=-（合）， 所以x=0,所以函数f(x)的零点为x=0. 综上，实数a的取值范周是(-子0] (2)若f代x)有零点，则方程2a·4-2-1=0有解. 四、解答题 于是2a==(分）广+（任）】 15,解：当N=20时，1=-14g1-0) =-14g子-14(g7-2g3) =[(份)广+] ≈-144×(0.845-2×0.477) 因为（宁）广>0，所以24>寸-子=0.即a>0 =15.696≈16（分钟）， 所以实数a的取值范围为(0，+∞). 当N=40时，4=-14ls(1-0）) 19.解：(1)由题意，函数f(x)=x-3mx+n=(x-1)(x -2),所以m=1,n=2, =-141g9 =-144(lg5-2lg3) 因为f(x)-k>0在x∈[0,5]恒成立， ≈-144×(0.699-2×0.477) 则<)=2-3x+2=(s-是)-子 =36.72≈37（分钟）， 所以打字水平达到20字/分、40字/分所需的学习时间分 当=号时)有最小值-子 别为16分钟，37分钟. 16.解：因为4=(3a-2)2-4(a-1) 所以长的取值范围是(，一) =9a2-16a+8 (2)由题意，函数g()==￡-3+2=+2-3， =(3a-+号>0， 所以若存在满足题意的实数a,则只需f1)·f代3) 可得(x)=8(2)-1…2=1-2+是-3， =(1-3a+2+a-1)(9-9a+6+a-1) 因为F(x)在x∈[-1,1]上有零点， =16(a-(a-子≤0 即()=1-2+子-3=0在[-1，上有解， 即(a-1)(a-子)≤0，得1≤a≤子 2品多+1在e[-1,山上有解 即r= 2 故存在满足题意的实数a,其取值范围是[1，子] 令=，因为xe[-1,,所以1e[22]=2P- 17.解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为 30 3+1=2-子)°-g 0m/s,此时耗氧量为30个单位，故有a+b1og10 =0,即a+b 90 所以当1=子时，取得最小值-令： =0.当耗氧量为0个单位时，速度为10m/s,故a+1og1 当t=2时，r取得最大值3； 10,整理得a+2弘=10.解方程组+b=0,得0=10， a+2b=10lb=10. 所以实数，的取值范围为[-名3]。 一3 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第11期3,4版参考答案 同理可得B(lna-2,a),且1AB1=2, 核心素养阶段测评（一） 取AB的中点为D,连接CD,如图1 一、单项选择题 所示， 1 ~4 DDBD 5~8 DDBA 因为△ABC为等腰直角三角形， 提示： 所以CD⊥AB,且ICDI=1, 1.由题可知，集合M={a,b,c}中的元素是△ABC的三边长， 所以C(lna-1,a-1), 则a≠b≠c,所以一定不是等腰三角形， 又因为点C在函数y=e的图象上， 2.函数f代x)=e+4x+1的定义域为R,且f(x)是增函数， 可得a-1=ea-1= a e, 因为n4>n3>1,所以fln4)>fln3)>f1), 即a>b>c. 所以a（1-亡）=1，解得a= 3.因为-1<a<0,所以1+a>0,0<-a<1. 所以-a-a2=-a(1+a）>0, 所以。=ha-1=n。-1=-lh(e-1). a2-(-a3)=a2(1+a)>0. 二、多项选择题 所以-a>a2>-a3. 9.ABD:10.BCD:11.BC. 4.因为ga+lg6=0,所以-ga=lg6,即6=石 提示： 若0<6<1，则0<日<1，排除(C. 以属4器品3器2牛授 1-1g2 1-m 故(A)正确； 若b>1,则>1，排除(A)(B).故选(D). (兮) -log38 -3ln(lne)=3g38-3lne=8-3=5, 5.若命题“Vx∈[1,4]时，x2-4x-m≠0”是假命题， 故(B)正确： 则命题“3x∈[1,4]时，x2-4x-m=0”是真命题， 因为a+a1=14,所以a>0, 则m=x2-4x, 设f(x)=x2-4x=(x-2)2-4, 因为a+a1+2=(a2)2+(a7)2+2aza号 当1≤x≤4时，-4≤f(x)≤0，则-4≤m≤0. =(a7+a)2=16, 6.由x2-(2-a)x-2a<0,得(x-2)(x+a)<0, 所以a7+a乞=4，故(C)错误； 当a>-2时，不等式解集为xl-a<x<2},此时恰有3 个整数解，则3个整数解分别为1,0，-1， 4-25)2+210g2310g4 故-2≤-a<-1,解得1<a≤2； =1-万)+21og23·log2 当a<-2时，不等式解集为xl2<x<-a},此时恰有3 =11-5「+2=5+1，故(D)正确 个整数解，则3个整数解分别为3,4,5， 故选(A)(B)(D) 故5<-a≤6，解得-6≤a<-5; 10.“Vx>0,都有x2>x-1”的否定是“3x>0,使得x2 当a=-2时，不等式解集为⑦，不符合要求， ≤x-1”,(A)错误： 故实数a的取值集合为a|-6≤a<-5或1<a≤2}. 7.由题意得-f(x)=f代-x),f(x+1)=f(-x+1), 当>1时，2x+=2(x-)++2≥ 所以fx+2)=f[-(x+1)+1]=f(-x)=-fx), ① 22(x-0+2=2万+2， 所以f(x+4)=-f(x+2), ② 当且仅当2(x-)即=1+受时，等号成立， ①②联立可得：fx+4)=f(x),即f(x)的周期为4， 又f2)=f0)=0,f(3)=f-1)=-f1), 放当x>1时，2+的最小值为2万+2.()正确： 所以4a+b=0且a+b=-3,解得a=1,b=-4, 由题意得-1,2为ax2+2x+c=0的两个根， 即fx)=x2-4,xe[1,2], 所以(）=3）=(3)=-子 -1+2=-2-1x2=台 解得a=-2,c=4,则a+c=2,(C)正确； 8.设平行于x轴的直线l:y=a,其中a>0, 由e=a,可得x=na,所以A(lna,a), <1，但<1a>1, a>1→a -4 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 比如a=-1满足工<1，但不满足a>1, 提示： 12.因为A={1,2,3,5},B={1,2,3}, 故“a>1”是“<1“的充分不必要条件，(D)正确 所以B至A, a 故选(B)(C)(D). 则由x∈A推不出x∈B,故充分性不成立， 由x∈B推得出x∈A,故必要性成立， 11.f(-x)=-x -号 =-xx+2 m 所以“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件。 对于(A),若fx)为偶函数， 13.因为α，B分别是方程1og2x+x-5=0和2+x-5= 0的根，即α，B分别是方程1og2x=-x+5和2=-x+5的根， 所以ax,B分别是函数y=log2x与y=-x+5,y=2与y 当x>0时，x-受≥0， =-x+5交点的横坐标， 因为y=2与y=logx的图象关于y=x轴对称， 面-+受≤0， 所以y=2与y=-x+5的交点与y=log2x与y= -x+5交点关于y=x对称， 故f(x)与f(-x)不一定相等，故f(x)不可能是偶函数， (A)错误； 所以由三，得x=y=子 ly=-x+5, 对于(B),当m=0时f-x)=-x1xI=-f(x), 故f(x)为奇函数，故(B)正确； 所以专B=多，即Q+B=5 2 对于(C),f)=xx-2 。m 的定义域为， 14.在f(xx2)=fx)+f(x2)+2中， 令1=x2=1,得f代1)=-2， 因此[0，+∞)是f(x)的值域的子集， 令1=为2=-1，得f代-1)=-2， 因此对任意实数M>0,存在实数xo,使得f代x)>M,故 令1=x,2=-1,得f-x)=f代x), (C)正确； 又f代x)的定义域为(-0,0)U(0,+o),所以f代x)为偶函数， x)2 又对Vx3,x4e(2,+0),都有(x3-x4)[f(x-2)-fx4 对于(D)fx) -2)]<0, 即对x3,x4∈(2，+0)，都有[(x3-2)-(x4- 2)][fx3-2)-fx4-2)]<0, 当m>0时，f代x)的图象如图2， 所以y=f(x-2)在(2，+∞)上为减函数， 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， 所以y=fx)在(0，+∞)上为减函数， mm 则(b-a)m=2-4 = m 又f(1)=-2,f(m)>-2,f(x)为偶函数， 所以1ml<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m的取值范围为(-1,0)U(0,1). 四、解答题 15.解：(1) )+() -0.1253 当m=0时f代x)的图象如图3， 5 1 7 2+2 此时f(x)在定义域内单调递增，无单调递减区间； 2=2 当m<0时，f(x)的图象如图4， .25 (2）l1og.9 +log2 3 logo.5 5 1 要使f(x)在区间(a,b)上单调递减， =le( 2 +log23-log2-154 则(b-a)mas= mm 综上，6-a的最大值为，放(D)错误 =ag}+lg3-,5 log2 5-log2 3 log2 3 -log 5 =0. 故选(B)(C) 16.解：选择条件①：B=xl-1<x<4,因为A∩B=☑， 三、填空题 当A=☑时，a≥10-a,解得a≥5， 12.必要不充分条件；13.5； 14.(-1,0)U(0,1). 当A≠0时，{05或a<5, 10-a≤-1la≥4， 5 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 解得4≤a<5, u(x)在(-1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减； 所以a的取值范围为[4，+∞). 因为y=logu在(0，+∞)上单调递增，所以函数g(x)的 选择条件②：CRB={xlx>6}, 单调递增区间为(-1,1)，单调递减区间为(1,3). 则B={xIx≤6}，因为A∩B=0, (2)因为不等式g(x)-m+3≤0的解集非空， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 所以m-3≥g(x)mn,x∈ [32] 当A≠0时， 口<5，无解， a≥6， 由(1)知，当xe[宁，2]时，函数g)的单调递增区间 所以a的取值范围为[5，+o). 选择条件③：B={xIx≥7}，因为A∩B=⑦， 为[兮小，单调递减区间为1,21， 当A=0时，a≥10-a,解得a≥5， 因为g(兮）=lbs是>1,8(2)=1，所以g(0n=1, 当4≠⑦时，0<5， 解得3≤a<5, 10-a≤7， 所以m-3≥1，即m≥4， 所以a的取值范围为[3，+∞). 故实数m的取值范围为[4，+0). 17.解：(1)函数f(x)为奇函数，定义域为(-∞，+∞)， 19.解：(1)因为y=f(x)为偶函数， 则f(0)=0,所以m=1,经检验知符合题意； 所以f(-1)=f1),即-2k=0, -1 解得k=0,经检验k=0符合题意. 3+1 3*+1 (2)由题意得，方程x2-1-k1x-11=0有且仅有一个解， 2 因为3+1e1,+0,则3+e(0,2), 显然，x=1已是该方程的解， 当x≥1时，方程化为(x-1)(x+1-k)=0; 所以函数f(x)的值域为(-1,1). 当x<1时，方程化为(x-1)(x+1+k)=0; (2)由题知：当(0，+0)时a·3-3>0 所以x+1-k=0(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无 3+132+1 解且x+1+k=0(x<1)无解， 恒成立，则a>[] 又x=1时，k=2,此时x=-3也是方程的解，不合题意， 令t=3,t∈(1，+o), 所以关于x的方程x=k-1(x≥1)，x=-(k+1)(x< 1)均无解，可得k<2且k≤-2， 综上，k≤-2，即实数k的取值范围为(-9，-2] 2 (3)当xe[0,2]时， =（1+ +I/m 「x2+kx-k-1,0≤x≤1， f(x)= lx2-kx+k-1,1<x≤2， 又1+2 2 =2 因为y=f(x)在[0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛 t+- 1 t 物线开口均向上， 当且仅当t=1时等号成立， 所以最大值只可能是f代0)，f2)f1)其中之一， 面1>1所<2 又f0)=-k-1f1)=0f2)=-k+3, 显然f(2)>f0), 则a≥2，即a的取值范围为[2，+∞). 所以当k<3时，所求最大值为f代2)=-k+3; 1&解：)由题意可知-2a-2=1, 当k≥3时，所求最大值为f1)=0. la>0且a≠1， 解得a=3(负值舍去)，所以f(x)=logx 第12期2版参考答案 因为g(x)=l0g(x+1)+log(3-x), 专项小练一 所以+1>0即：>：1即-1<x<3, 1.B;2.B;3.BD;4.简单随机抽样；5.14. 13-x>0,lx<3, 6.解：总体中个体数较小，用抽签法 故g(x)的定义域为xI-1<x<3}. 第一步，将30个篮球，编号为1,2，…，30； 由于g(x)=log(x+1)+log(3-x)=log(-x2+2x+3), 第二步，将以上30个编号分别写在外观、质地等无差别的 令u(x)=-x2+2x+3(-1<x<3), 小纸条上，揉成小球状，制成号签； 则由对称轴x=1可知， 第三步，把号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； 6 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第四步，从盒子中不放回地逐个抽取3个号签，并记录上 对于(C):金奖人数为120×音=20（人） 面的号码； 第五步，找出和所得号码对应的篮球， 所以银奖和铜奖的人数和为100人， 故获奖同学中金奖所占比例不可能最高，(C)错误； 专项小练二 对于(D):高一年级获奖人数为30人，金奖人数为20人， 1.ACD;2.C;3.B;4.15;5.70. 故获金奖的同学可能都在高一年级，(D)正确。 6解：①样本容量与总体中的个体致的比值为品-0： 二、多项选择题 9.AC;10.BD;11.ACD. ②确定要抽取的各种百货商店的数目，大型商店为20× 提示： =2(家).中型商店为40×。=4（家），小型商店为150× 9.对于(A),根据抽样调查和普查的概念可知，调查一的 10 调查方式是普查，调查二的调查方式是抽样调查，故(A)正确； 10=15(家)： 对于(B),根据总体和样本的概念可知，总体是指该社区 ③采用简单随机抽样的方法在各层中分别抽取大型商店2 所有60周岁以上老年人的体重，样本是指抽取的该社区500名 家，中型商店4家，小型商店15家，这样便得到了所要抽取的样本 60周岁以上老年人的体重，故(B)错误； 第12期3,4版参考答案 对于(C),结合已知条件和样本量的概念可知，样本量是 500,故(C)正确： 获取数据的途径、抽样的基本方法同步核心素养测评 对于(D),由于检测一批灯泡的寿命，具有损毁性，故只能 用抽样调查，故(D)错误。 一、单项选择题 故选(A)(C) 1~4 BCAA 5~8 ADCD 10.设样本中高二、高三的学生人数分别为a,b, 提示： 则200：a:b=4:3:3,得a=b=150,故(D)正确： 3.①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差 样本容量n=200+150+150=500,故(B)正确； 异，用分层随机抽样比较恰当； 无法确定该校三个年级总的学生人数和该校高二年级总 ②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当. 的学生人数，故(A)(C)错误 4.根据简单随机抽样及分层随机抽样的定义可得， 故选(B)(D). 每个个体被抽到的概率都相等， 100 所以每个个体放捕到的藏率都等于品 10 1.依题意，抽样比为60+350+180=109 5.根据题意，高一学生占总人数比例为280=7 960=24 则甲应付8x560=51总钱故()正确： 则应抽取高一年级学生的人数为240×24=70， 7 乙应付9×30=32品钱放(B)不正确： 109 6.从随机数表第1行的第3列开始，由左到右一次选取两 丙应付品×10=16总钱放(0)正确： 个数字，选出的编号依次为：12,13,40,33,20,38,26,13,89,51,03，， 剔除掉总体编号以外的编号，以及重复的编号，则选出来 显然510>32品>16的故(D)正确 的个体的编号依次为：12,13,20,26,03，…， 故选(A)(C)(D). 所以选出来的第5个个体的编号为03. 三、填空题 7.设A种型号的产品有2x件， 12.P1=p2=p3;13.6;14.5600. 因为A,B,C三种不同型号的产品，产量之比为2：3：5， 提示： 所以B种型号的产品有3x件，C种型号的产品有5x件， 12.在抽签法、随机数法和分层随机抽样中，每个个体被抽 已知可得光=2x++5 n 中的概率均为朵，所以P=h=P: 所以n=80. 1由题意可得2+品+子=高解得m=3, 2 8.对于(A):高二和高三年级获奖同学共120-120× 24 3 =90(人)，（A)错误； 则B地被抽取的数量是18×2+3+4=6， 对于(B):不能确定银奖和铜奖的人数，(B)错误； 14.设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲，T乙，T丙件产品， 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 则a:6:c=Tn:T2:T,即元= b 比例也应为5%，即100×5%=5， = 所以应抽取5名高收入者比较合理. T甲+T丙=2T2, 因为2b=a+c,所以 同理，应抽取15名中等收人者、80名低收入者， T甲+Tz+T丙=16800， 再对他们的具体收入状况分别进行调查， 所以T2=16800 =5600. 19.解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a, 3 b.c, 四、解答题 15.解：(1)抽签法。 则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c), 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 去B会场的学生总数为0.75(a+b+c), 29,30; 则对应人数如下表所示： 第二步：将30个号码分别写在30张外形完全一样的纸张 高一 高二 高三 上，并揉成团，制成号签； A会场0.125(a+b+c)0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c 第三步：将30个号签放人一个不透明的盒子中，充分搅拌； B会场0.3(a+b+c)0.375(a+b+c)0.075(a+b+c) 第四步：从盒子中逐个抽取8个号签，并记录上面的编号， 则x:y:z=0.425(a+b+c):0.475(a+b+c):0.1(a 编号对应的大学生就是选出的大学生志愿者成员. +b+c)=17:19:4. (2)随机数法. (2)依题意，n×0.75×0.5=75,解得n=200, 第一步：将30名大学生随机编号，编号为01,02,03，…， 故抽到的A会场的学生总数为50人， 29,30; 则高一年级人数为50×50%=25（人）， 第二步：在随机数表中任选一个数作为开始，按照任意方 高二年级人数为50×40%=20（人）， 向读数，比如从第8行第29列的数7开始，向右读； 高三年级人数为50×10%=5（人） 第三步：每次取两位，凡是在01~30之外的数或者已读过 的数，都跳过去不做记录，依次可得到12,07,21,29,15,13,02， 第13期2版参考答案 09; 专项小练一 第四步：找出以上号码对应的大学生，他们就是选出的大 1.C;2.D;3.C;4.1400;5.48. 学生志愿者成员 6.解：(1)由频率分布直方图及频率和等于1可得， 16.解：(1)因为总体容量是50，样本量是10， 0.2×0.1+0.8×0.1+1.5×0.1+2.0×0.1+2.5×0.1 故可用简单随机抽样 +a×0.1=1,解得a=3.0. (2)设年龄在20~39岁之间应抽取x人， (2)消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率为 则=。，解得x=2 0.2×0.1+0.8×0.1+2.0×0.1+3×0.1=0.6, 即年龄在20~39岁之间应抽取2人. 所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为 17.解：根据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为 0.6×10000=6000. n,则C产品的数量为(1700-m)件，样本容量为n-10. 专项小练二 根据分层随机抽样的特点可得产= n-10-130 1.B;2.B;3.ABD;4.70;5.173.6. 1700-m=1300, 6.解：(1)乙队测试成绩的中位数为72，众数为75. 解得m=900,n=90, (2)xm=63+66+72+73+76+82=72. 故补全后的表格如下： 6 产品类型 A B ￥-名(63-72产+(66-722+(2-72+(3- 产品数量/件 900 1300 800 72)2+(76-72)2+(82-72)2]=39, 样本容量 90 130 80 无2=62+6图+69+75+75+83=72， 18.解：可以采用分层随机抽样的方法 6 按照该公司员工的收人水平分成三层：高收入者、中等收 2=6[(62-72)2+(68-72)2+(69-72)2+(75- 入者、低收人者 72)2+(75-72)2+(83-72)2]=44, 高收入者为50名，占所有员工的比例为，00=5%，为保 因为x甲=之，屏<2，所以甲、乙两队水平相当，但甲队 证样本的代表性，在所抽取的100名员工中，高收入者所占的：发挥较稳定 —8 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 第13期3,4版参考答案 可得m+”=16,所以m+n=32, 2 用样本估计总体分布、用样本估计总体的数字特征 所以这6周的周慢走里程的平均数为 同步核心素养测评 11+12+m+n+20+27=17. 6 一、单项选择题 要使这6周的周慢走里程的标准差最小，需要(m-17)2+ 1~4 BADD 5~8 CAAC (n-17)2最小， 提示： 又(m-17)2+(n-17)2=(m-17)2+(32-m-17)2 1.由题可知，样本在[35,60]上的频率应为(34+28+15 =2m2-64m+172+152, +10+5)÷200=0.46. -64 2.该组数据从小到大的排序是：4,5,5,6,7,7,8,9， 故当标准差最小时，m=-2X2=16, 且8×0.25=2， 二、多项选择题 9.ABD:10.ABC:11.ABC. 则该组数据的25%分位数为3十5=5. 2 提示： 3.设该组小矩形的面积为P, 9.由频率分布表的性质得m=100-8-10-20-28-12 则其余n-1个小矩形的面积之和为9P -6=16,(A)正确； 则10P=1,P=10 1 因为样本中观看比赛不低于4场的学生的频率为：16%+ 12%+6%=34%, 设样木容量是，里=六，得=@ 所以估计高一年级观看比赛不低于4场的学生约为：1000 ×34%=340人，(B)正确； 4.由小到大排列的4个数据1,3,4，a,则a≥4， 样本中，观看2场的人数为50×20%=10人，(C)错误； 这4个数据的极差为。-1，中位数为3兰=子 样本中出现频率最高的为3，故估计高一年级观看比赛场 因为这4个数据的极差是它们中位数的2倍， 数的众数为3，(D)正确. 所以a-1=2×子解得a=8 故选(A)(B)(D). 10.将数据由小到大排列：8,9,12,12,13,16,16,16,18,20. 5.由题意结合频率分布直方图可得，第四组与第五组的频 率之和为(0.04+0.02)×5=0.3， 对于(A),=0(8+9+12+12+1B+16+16+16+18 第二组频率为0.07×5=0.35. +20)=14,（A)正确； 因为第四组与第五组共有150人， 对于(B)2=0(6+5+2x2+1P+3×2++6) 所以样木容量a=6智=50。 =13.4,(B)正确； 所以第二组人数为500×0.35=175， 对于(C),因为10×85%=8.5，所以85%分位数为第9个 所以第二组中男性球迷人数为175-75=100. 数据，即18，(C)正确： 6.由条形图得演讲人数为30，由饼状图得演讲人数占比 对于(D),16出现了3次，12只出现2次，所以众数为16， 15%,因此选取的总人数为说=290。 (D)错误 故选(A)(B)(C). 由饼状图得绘画及合唱人数和占比为1-20%-20%- 11.甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的 15%=45%,人数和为200×45%=90， 平均数相同，所以(A)正确； 由条形图得合唱人数为70，所以绘画人数为20. s=191>110=s,所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲 7.因为男生30人，女生20人，则抽取的时候分层比为3：2， 班的成绩波动较大，所以(B)正确： 即10个人中男生、女生分别抽取了6人和4人. 甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位 这10人答对题目的平均数为六×(6×10+4×15)=12. 数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，所以 (C)正确： 所以这10人答对题自的方差为品×[1+(10-12)]+ 由题表看不出两班学生成绩的众数，所以(D)错误. 故选(A)(B)(C). 0×[0.5+(15-12)2]=6.8, 三、填空题 8.由这6周的周慢走里程的中位数为16， 12.183.5;13.9.5,28.5；14.29. 9 高中数学北师大（必修第一册）第10~13期 提示： 因此，可以规定如下：若要给至少80%的员工年度考评评 12.数据从小到大排列为：85,86,88,89,90,92,94,98， 级为通过，应将标准设定23辆，或22辆，或21辆. 8×50%=4,50%分位数为89+90=89.5， 18.解：(1)由频率分布直方图可得，(0.04+0.08×2+ 2 0.12+0.16+2a+0.42+0.50)×0.5=1, 8×80%=6.4,80%分位数为94， 解得a=0.30. 则这8人成绩的50%分位数和80%分位数的和为183.5. (2)由频率分布直方图知，该区100位居民月均用水量不 13.记20位病人的平均等待时间为x,等待时间的方差为s2, 低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12. 则=2六(25×4+7.5×8+12.5×5+17.5×2+225 由以上样本的频率分布，可以估计70万居民中月均用水 ×1)=9.5, 量不低于3吨的人数为700000×0.12=84000. 2=0[(2.5-95)2×4+(7.5-9.5)2×8+(2.5 (3)因为前6组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42 +0.50+0.30)×0.5=0.88, 9.5)2×5+(17.5-9.5)2×2+(22.5-9.5)2×1]=28.5, 前5组的频率之和为(0.08+0.16+0.30+0.42+0.50) 所以估计该医院急救中心病人的平均等待时间为9.5，病 ×0.5=0.73, 人等待时间的方差为28.5. 所以2.5≤x<3, 14.假设五个数据按照由小到大排列为a,b,c,d,e, 由0.30×(x-2.5)=0.82-0.73,解得x=2.8, 因为这五个数据的中位数是6，唯一的众数是7， 因此，估计月均用水量标准为2.8吨时，可使82%的居民 所以c=6,d=e=7, 每月的用水量不超过标准。 所以最大的三个数的和为6+7+7=20， 19.解：(1)将甲运动员的数据按从小到大排列如下： 因为两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等， 445677891010 最大为4和5，所以这五个数的和一定大于20且小于等于29， 因为85%×10=8.5， 则他们投中次数的总和最大是29， 所以第9个数据是85%分位数， 四、解答题 所以甲运动员样本数据的85%分位数为10. 15.解：(1)由频率分布直方图可得(0.010+2a+0.025+ 0.035)×10=1,解得a=0.015. (2)期=04+4+5+6+7+7+8+9+10+10)=7， (2)由频率分布直方图可知这次测试数学成绩为“优秀” 2=06+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7, 的频率为0.015×10=0.15， 则该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的频率为0.15， 品=0[4-7)2×2+(5-7)》+(6-7)2+(7-7)2 故估计该校初二年级这次测试数学成绩为“优秀”的学生 ×2+(8-7)2+(9-7)2+(10-7)2×2]=4.6, 人数为1200×0.15=180 16.解：(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15, 元=6-7+6-7)产x2+7-7P×4+(8 故a=0.35,b=1-0.05-0.15-0.70=0.10. 7)2×2+(9-7)2]=1.2. (2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3 (3)由(2)知，5>2，甲=之 ×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05. 平均数 方差 命中9环及9环以上的次数 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4× 甲 7 4.6 3 0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6. 乙 7 1.2 1 17解：(1)将20个样本数据从小到大进行排序如下所示 (ⅰ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，且> (单位：辆)： 2,则乙的成绩比甲稳定； 21222223242526272828 (ⅱ)因为两名运动员射击成绩的平均数相同，命中9环及 30323333343435383839 9环以上的次数甲比乙多，所以甲爆发力更强： 由于20×90%=18是整数，所以第一个临界值为有序样 (ⅲ)乙成绩在平均数上下波动；而甲处于上升势头，从第 本中第18和19两个数的平均数，故为38. 六次以后就没有比乙少的情况发生。 因此，可以规定如下：若需要有10%的优秀员工，应将标 故确定人选时，甲更有潜力 准设定在38辆. (2)由于20×20%=4是整数，所以第二个临界值为有序 样本中第4和5两个数的平均数，故为23.5. 10