第17期 1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 1.4 二次函数与一元二次方程的联系 -【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（湘教版）

初中数学湘教中考第14~18期 发理柄 答案详解 2025~2026学年 初中数学湘教中考 第14~18期(2025年10月) 14期2版 因为(5120-2500)÷2500=104.8%， 5.1总体平均数与方差的估计 即2025年出版的小说类书籍数比2024年增加了104.8%， 1.D;2.C;3.刘亮. 说明小说类书籍比较畅销， 4.解：1)76+71+72+86+87=78.4(kg). 所以出版社2026年应该增加小说类书籍的出版数量， 5 答：这5只猪的平均重量为78.4kg 14期3,4版 (2)78.4×11×200=172480(元). 一、选择题 答：这200只生猪能卖172480元. 题号 1 2 3 456 7 8910 5.解：(1)4÷20=0.2（千克） 答：这20个苹果的平均质量是0.2千克 答案DABADBBA CC (2)(154+150+155+155+159+150+152+155+153 提示： +157)÷10=154(个). 7.解：抽样人数中视力不良的学生人数占总抽样人数的比 答：平均每棵树的苹果有154个. 例是2160 (3)0.2×154×100=3080(千克). 4500 =0.48, 答：这100棵苹果树的总产量是3080千克， 则全市视力不良的人数约为0.48×15=7.2（万人） 6,解：(1=g(95+82+8+81+93+79+84+78) 8.解：由题意，知 抽样取米一把，数得378粒内夹谷18粒， =85, 这批米内夹谷约为1785×器=5（石） 2=8(83+92+80+95+90+80+85+75)=85: 9.解：由表格可知，随着树苗移植数量的增加，树苗移植成 年=3[(95-85)2+(82-85)2+(8-85)2+(81- 活率越来越稳定 当移植总数为550时，成活率为0.9，于是可以估计树苗移 85)2+(93-85)2+(79-85)2+(84-85)2+(78-85)2]= 植成活率为0.9，则该市需要购买的树苗数量约为 35.5. 1800÷0.9=2000(棵). 2=g[(83-85)2+(92-85)2+(80-85)2+(95- 10.解：分别计算甲、乙、丙的平均数和方差 85)2+(90-85)2+(80-85)2+(85-85)2+(75-85)2]= 因为x甲=(12+13+14+15+10+16+13+11+15+ 41. 1 11)×10=13, (2)派甲参赛比较合适.理由如下： 因为甲=无乙，<s之，所以甲的成绩较稳定，故派甲参赛 x2=(11+16+17+14+13+19+6+8+10+16)× 1 比较合适. 10=13, 5.2统计的简单应用 丙=(10+12+13+15+16+10+13+14+14+13) 1.A;2.A;3.C;4.1920; 1 5.2:4:3. ×10=13: 6.解：(1)300. s=[(12-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(15-13)2 (2)(2000-1600)÷1600=25%. +(10-13)2+(16-13)2+(13-13)2+(11-13)2+(15 答：2025年出版的科技类书籍数比2024年增加了25%. (3)如果出版社2026年打算增加某一类书籍的出版数量， -13)2+(11-13)2月]×0=3.6 我认为应该增加小说类.理由如下： 52=[(11-13)2+(16-13)2+(17-13)2+(14-13)2 初中数学湘教中考第14~18期 +(13-13)2+(19-13)2+(6-13)2+(8-13)2+(10-13)2 答：估计该单位450名职工共捐书2700本. +16-132]×6=15.8, 2L解：(160×10%=5%， =[(10-13)2+(12-13)2+(13-13)2+(15-13)2 答：张旭同学是按5%的比例抽样的， +(16-13)2+(10-13)2+(13-13)2+(14-13)2+(14- (2)900×5%=45(名)，840×5%=42（名）， 13)2+(13-13)2]×0=3.4, 1100×5%=55(名)，1120×5%=56（名）， 1060×5%=53(名)，980×5%=49（名） 因为元甲=x2=两，品<<2， 答：这六所中学应该分别调查的学生为45名，42名，55名， 所以丙种小麦长势比较稳定 56名，53名，49名. 二、填空题 22.解：(1)不合适.理由如下： 11.50%;12.940;13.120;14.160;15.120000: 周一至周五到馆人数相差不多，用这五天的数据估算该周 16.2000;17.甲；18.79. 的平均数不合适，因为该图书馆周六、周日到馆人数明显高于 提示： 其他五天的人数，所以去掉周六、周日到馆人数对平均数影响 15.解：根据题意，得 较大，故用这前五天的数据估算该周的平均数不合适. (100+98+102+103+97)÷5×100×12 (2)用该周到馆人数的平均数估算该校一个月的到馆人 =500÷5×100×12 数，该馆本周到馆人数的平均数为 =100×100×12 7×(650+550+710+420+650+2320+3100)白 =120000(元)， 1200(人)， 答：估计这年小明爸爸卖荔枝的收人为120000元. 1200×30=36000(人). 16.解：在总共2万人的参观中，需要AR增强讲解的人数 答：该校一个月的到馆人数为36000人. 约有 23.解：(1)1200×0.35=420（人）. 20000×300×100 100×30=2000(人). 答：估计选择水球变“懒”实验的有420人 (2)根据调查结果发现学生最感兴趣的是水球变“懒”实 17.解：根据题意，得 验和太空趣味饮水实验，故在时间安排上可以偏多点（答案不 年=石×(7+8+6+8+6+7)=7： 惟一，合理即可) 2=石×(9+5+7+8+7+6)=7： 24.解：(1)甲样本平均数为40+45+54+46+40。 5 45(kg), =6×[7-7)2+(8-7八2+…+(1-7门=子： 乙样本的平均数为48+38+49+42+48=4(kg): 5 2=石×[(9-7)2+(5-7)2+…+(6-7)]=号 甲樱桃园樱桃的产量为200×99%×45=8910(kg), 因为x甲=无2，屏<2， 乙樱桃园樱桃的产量为200×99%×44=8712(kg). 所以甲的成绩比较稳定， (2)甲样本的方差为写×[(40-45)2+(45-45)2+(54 18.解：由题，得 -45)2+(46-45)2+(40-45)2]=26.4, r60+70×5+80x+90y+100×2=20a, x+y=20-1-5-2=12, 乙样本的方差为：5×[(43-4)2+(38-4)2+(49- 消去y,得a=84.5-2x 1 44)2+(42-44)2+(48-44)2]=16.4, 因为16.4<26.4，所以乙樱桃园的樱桃产量比较稳定. 因为x<12,且x为整数， 25.解：(1)C(偶尔戴). 所以当x=11时，a的最小值为79. 三、解答题 (2)30×品=531（万人. 19解：根据题意，得40÷品=320（只）， 答：估计活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的总人数 为5.31万人. 答：青海湖自然保护区内大约有320只白天鹅. (3)小明分析数据的方法不合理，理由如下： 20.解：捐7本书的有30-4-6-9-3=8（人）， 宣传活动后骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 元=30×(4×4+5×6+6×9+7×8+8×3)=6（本）. 178 896+702+224+178×100%=8.9%, 450×6=2700(本). 活动前全市骑电瓶车“都不戴”安全帽的百分比为 2 初中数学湘教中考第14~18期 1000×100%=17.7%, 177 所以S,+S2+S=4+2+6=12. 9.解：设方程x2+ax+b=0的两个根分别为，B, 因为8.9%<17.7%，所以宣传活动后与宣传活动前相 则方程x2+cx+a=0的两根分别为a+1,B+1. 比，“都不戴”安全帽的人数所占的百分比明显下降，所以交警 由题知a,B为整数，不妨设a≤B, 部门宣传活动有效果 则由根与系数的关系，得 26.解：(1)从左到右，从上到下依次为：8,5,6,0.054. a+B=-a,(a+1)(B+1)=a, (2)从优等品数量的角度看，因A种技术种植的西瓜优等 两式相加，得3+2a+2B+1=0, 品数量较多，所以A种种植技术较好； 因式分解，得（α+2）(B+2)=3, 从平均数的角度看，因A种技术种植的西瓜质量的平均数 更接近5kg,所以A种种植技术较好； 所以+2=↓或{0+2=-3， B+2=3B+2=-1, 从方差的角度看，因B种技术种植的西瓜质量的方差更 小，所以B种种植技术种植的西瓜质量更为稳定； 64g 从市场销售的角度看，因优等品更畅销，A种种植技术种 ①当a=-1B=1时， 植的西瓜优等品数量更多，且平均质量更接近5kg,所以更适 a=-(a+B)=0,b=aB=-1, 合推广A种种植技术 c=-[(a+1)+(B+1)]=-2, 15期 所以a+b+c=0+(-1)+(-2)=-3: 一、选择题 ②当a=-5,B=-3时， 题号1 2 345 6 7 8910 a=-(a+B)=8,b=aB=15, c=-[(a+1)+(B+1)]=6, 提示： 所以a+b+c=8+15+6=29, 7.解：因为DE∥AB, 综上，a+b+c的值为-3或29. 所以∠ABD=∠BDE. 10.解：如图1，过点A A(PE 因为∠ABD=∠DBE, 作AH⊥BC于点H. 所以∠BDE=∠DBE, 因为AE∥BC, M 所以DE=BE, AB =AC, BE 所以AE=HC= (P”)HC(F) 所以CE=BC-BE=BC-DE=6-DE. 图1 因为DE∥AB, 28c. 所以△CDE△CAB, 所以四边形AHCE是平行四边形. 所以骆-荒跨-6。匹 6 因为∠AHC=90°， 解得DE-号 所以四边形AHCE是矩形， 所以EC⊥AE,EC⊥BF",AH=EC &解：设点P的坐标为（一，是） 故当点P(P)与A重合时，点F(F')与C重合；当点P(P") 与B重合时，点F的对应点为F, 因为OF=FG=GA, 点M的运动轨迹是△ECF"的中位线M'M",M'M”= 所以点0(2a,号)，即(2a,吾）：点R(3a,品），即 (3a,4 因为BC=2,S AADC=25, 所以0E=元DE=合-兰 2 所以×2×A=25, a cD=2-6=6,0F=FG=AG=a, 所以AH=EC=25. 因为∠BEF"=∠ECB=∠ECF", 所以S=0F·0E=a·4=4, 所以∠BEC+∠CEF"=90°， ∠CEF”+∠F"=90° S:=FG.DE=a.2=2, 所以∠BEC=∠F", a 6=6, 所以△ECB∽△F"CE, S3=AG·CD=a· 所以EC=CB·CF", 一3 初中数学湘教中考第14~18期 所以c=25:6, 2 所以BM=√ 所以MM"=3. 二、填空题 所以E3 以品 11.h=20 12100:13.7:1460:15.93: 所以EF 2 `63 9 1606:n5v5:189或3 2 2 提示： 解得EF=57. 6 16.解：由题意，U=IR=1.8×20=36(V), ②当BC=A'C时，如图4， 即蓄电池的电压是36V, 所以1与R韵丽数关系式为1=治 9-2x=6,解得=子 3 E 当R=30时1=0=12(A0, 所以AE= 子所以g 2 A ③ 9 图4 所以1.8-1.2=0.6(A), 2 2 即电流I减少0.6A 解得EF= 17.解：根据题意，作△DFC, A时 2； B时 树高为CE,且∠DCF= ③当A'B=BC时，A与A'重合，此种情况不成立； 90°，ED=5,FE=15,如图2 因为CE⊥DF, 综上所述.当△18c为等腹三角形时，E的长为5？或 所以∠CED=∠CEF=D 万 图2 2 ∠DCF=90°. 因为∠CDE+∠DCE=90°，∠DCE+∠ECF=90°， 三、解答题 所以CED=∠ECF, 19.解：原式= (分)°+（停）°+万x分×号 所以Rt△DEC∽Rt△CEF, 1 1 则2=祭即Ec=ED:BR, 代入数据，可得EC2=5×15=75, 20.解：(1)原方程即(x-2)2=2x(2-x), 移项，得(x-2)2+2x(x-2)=0, 所以EC=55. 提取公因式，得(x-2+2x)(x-2)=0, 答：树的高度为53米. 所以x-2+2x=0或x-2=0, 18.解：由翻折变换的性质，得 2 AE=A'E, 解得x=了女=2： ∠AEF=∠A'EF=90 (2)(x-1)(x+2)=4, 设AE=A'E=x, A------- 整理，得x2+x-6=0, 则A'C=9-2x. 图3 因式分解，得(x+3)(x-2)=0, 分三种情况讨论： 所以x+3=0或x-2=0, ①当A'B=A'C时，如图3， 解得x1=-3,2=2. 因为AB=BC,所以∠C=∠A=∠CBA', 21.解：(1)50÷5%=1000（人）， 所以△CA'B∽△CBA, 答：本次抽查的学生人数为1000人. 所说能 (2)45000×(1-29%)=31950(人)， 所以9.2=g 答：估计视力不佳的学生人数为31950人. 6 22解：()将点4(-2,3)代入y=左，得3=2 解得=多， 所以k=-6, 所以A正=多 故反比例函数的表达式为y=-6 作BM⊥AC于点M,则M为AC中点，EF∥BM, 将点B(1,m)代入上式，得m=-6, 4 初中数学湘教中考第14~18期 故点B(1,-6) 解得=-2 将点A,B的坐标代入y=ax+b,得 m=12, {2a+6三3解得0=-3， 所以一次函数的表达式为y=- 3t+6, La+b=-6, 1b=-3, 故直线的表达式为y=-3x-3; 反比例函数的表达式为y=二 (2)由图象可知，专≥+6时，x的取值范周是 把y=0代人y=-子+6，得0=-子+6， 2 -2≤x<0或x≥1. 解得x=9, 23.解：(1)(16-10)×(-2×16+80) 所以点C的坐标为(9,0)； =(16-10)×(-32+80) (2)延长DA交x轴于点F,将直线AB沿y轴向上平移3个 =6×48 单位长度后表达式为y=子+9， =288(元). 2 答：本周他销售这种水果可获利288元 y=-3x+9 3 x1= 联立 解得 2,∫=12， (2)不能获得500元的利润，理由如下： 0s2 y1=8, y2=1, 依题意，得(x-10)(-2x+80)=500, 整理，得x2-50x+650=0. 4=(-50)2-4×1×650 所以点D(28 =-100<0. 设直线AD的表达式为y=kx+b1, 所以该方程无实数根， 所以不能获得500元的利润. 把0（号8,43,4）代人得24+4=8， 3k1+b1=4, 24.解：(1)如图5，过点B作BE⊥CD 于点E, 解得 k1=-3 过点B作BF⊥OD于点F, b1=12, 过点A作AG⊥BF于点G, :G-----A 所以四边形BEDF,四边形AOFG均是 所以直线4D的表达式为y=-弩+12 D FO 矩形， 图5 把y=0代人y=-号+12，解得x=号， 所以BE=DF,BF=DE,∠EBF=90°，OA=GF=1米. 因为∠ABC=145°，∠BCD=60°， 所以点F的坐标为（号，0）， 所以∠CBE=30°，∠ABG=25° 因为BC=2米，所以CE=1米. 所以CF=2, .9 在R△ABG中，es∠ABG=g 所以S AACD=SACDF-SAcw=9. 26.(1)证明：因为∠A=90°，∠CBE=90°， 所以BG≈5×0.91=4.6（米）， 所以∠C+∠CBA=90°，∠CBA+∠DBE=90°， 所以BF=BG+GF=5.6(米)， 所以∠C=∠DBE. 所以ED=5.6(米)， 又因为∠A=∠D=90°， 所以CD=CE+DE=1+5.6=6.6(米)， 所以△ABC△DEB. 答：机械臂端点C到工作台的距离CD的长为6.6米. (2)解：①因为M绕点B顺时针旋转90°至点E,M为BC (2)在Rt△BCE中，BE=BC·sin∠BCD=√3（米）， 所以DF=3≈1.73（米）. 中点，所以△BE为等腰直角三角形，能=议=子， 在Rt△ABG中，AG=AB·sin∠ABG≈2.1（米）， 所以0F=AG=2.1(米)， 所以BE=号E 所以OD=DF+OF≈3.8（米）. 又两为DE=号M,所以6E:DE 答：OD的长为3.8米. 过点E作EF⊥AD,垂足为F,则BF=DF 25.(1)因为一次函数y=x+6的图象与反比例函数 因为∠A=∠CBE=∠BFE=90°， y=(m>0)的图象交于A(3,4),B两点， ∠C=∠DBE, 所以4=3k+6,4=号 所以△4C∽△FEB,所以器=能=子 5 初中数学湘教中考第14~18期 因为AC=4,所以BF=2, 6.解：(1)因为a=3,b=6,二次函数y=2(x-m)2-2 所以AB=AD-BF-FD=16. (m是常数)的图象经过点P(a,b), ②过点M作AD的垂线交AD于点H, 所以把点P(3,6)代人表达式得2(3-m)2-2=6, 过点E作AD的垂线交AD于点F, 解得m=5或m=1. 过D作DP⊥AD, (2)因为二次函数y=2(x-m)2-2的图象的对称轴为直 过E作NP⊥DP,交AC的延长线于N, 线x=m,点P到对称轴的距离为1， 因为M为BC中点， 所以a=m+1或a=m-l. 当a=m+1时，b=2(m+1-m)2-2=0: 当a=m-1时，b=2(m-1-m)2-2=0. 所以MH=24C=2,BH=AM 综上，b的值为0. 因为∠MHB=∠MBE=∠BFE=90°， 1.2.3二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 ∠HBM=∠FEB,MB=EB, 1.B;2.B;3.D;4.<. 所以△MHB≌△BFE, 5.解：把二次函数y=-x2-2x+c转化成顶点坐标式为 所以BF=MH=2,EF=BH. y=-(x+1)2+c+1, 设EF=x,则DP=x,BH=AH=x, 又知二次函数的开口向下，对称轴为x=-1, EP=FD=20-2-2x=18-2x, 故当x=2时，二次函数有最小值为-5， GN =x+8,NE =AF =2x+2. 故-9+c+1=-5, 同(1)，易得△NGE∽△PED, 故c=3. 所以能=2即号=2x2 重点集训营 x+8 题型-：1.D;2.D;3.A. 解得5=6,5=-号（含去）， 题型=1.B:2.D:3m> 所以FD=18-2x=6, 16期3,4版 所以ED=√EF+FD=62. 16期2版 一、选择题 1.1二次函数 题号123456789 10 1.D;2.B;3.A;4.<;5.四. 答案BACDABBA AC 6.解：(1)根据题意，得m+3≠0且m2+m-4=2,解得 提示： m=2,即当m=2时，y是x的二次函数 (2)①当m+3=0且m+2≠0时，即m=-3时，y是x 5.解：因为二次函数的对称轴为直线x=-,4 =2,抛物 的一次函数； 线开口向上， ②当m2+m-4=0且m+2≠0时，y是x的一次函数， 所以当x<2时，y随x的增大而减小 解得m=-1±7 因为0<1<2，所以为1>2： 2 ③当m2+m-4=1且m+3+m+2≠0时，y是x的一 6,解：设把抛物线)=号(x-22向右平移m(m>0)个 次函数，解得m=-1±2 2 单位长度后得到y=号(x-2-m只 综上，当m为-3或1专匝或1专②时，y是x的 因为经过点(3,3)， 2 2 一次函数 所以兮(3-2-m)2=3, 1.2.1二次函数y=ax2的图象与性质 解得m=-2(舍)或m=4. 1.A;2.B;3.D:4.k<2;5.2; 7.解：由于在正比例函数y=kx中，y随x的增大而减小， 6%>:725 故k<0. 根据二次函数的图象与性质，得抛物线y=k(x-1)2的开 1.2.2二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 口向下，且顶点为(1,0)，对称轴为x=1,对比选项中的图象， 1.A;2.D;3.-9; 知选项B符合题意. 4.答案不唯一，如m=2;5.1 8.解：抛物线y=a(x-1)2+k(a<0,a,k为常数)的对 6 初中数学湘教中考第14~18期 称轴为直线x=1,开口向下， 根据抛物线的“开口大小”的定义，可知y-k=a(x-m)2 所以A(-3,y1)到直线x=1的距离为4，B(-1,y2)到直中存在一点P(x',y'),使得x'-m=y-k≠0， 线x=1的距离为2，C(2,y3)到直线的距离为1， 则a=-k1 所以y<2<y3: (-m=-m 9.解：y=-2x2+(4-4m)x-2m2+m+4 将原二次函数的表达式化为顶点式，得 =-2[x2+2(m-1)x]-2m2+m+4 y=-++3 1 =-2[(x+m-1)2-(m-1)2]-2m2+m+4 =-2(x+m-1)2-3m+6, =-(-子）+3 所以顶点坐标为(-m+1,-3m+6), 因为顶点在第一象限， 所以-m+1>0,-3m+6>0, 解得m的取值范围为m<1. (-号)广+3 10.解：因为图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y 》+总 轴右侧，可得 b>0 a<0,c>0,- 所以y=-名+写+3中存在-点P(,),有 1 所以b>0,所以abc<0,故A正确； -2-m 由对称轴是直线x=之，得a+b=0. 解得x'-m=-2,则21x'-ml=2×1-21=2×2=4, 所以“开口大小”为4. 因为经过点(2,0)， 三、解答题 即当x=2时，4a+2b+c=0,故C错； 19.解：由二次函数的表达式为y=(x-3)2+5, 所以-2b+c=0,故B正确； 得a=1>0,所以二次函数的图象开口向上， 点（三方）的对称点为（仔）小 对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,5) 因为好> 因为开口向上，所以函数有最小值5. 20.解：因为y=x2-mx+3, 所以少<y2,故D正确。 二、填空题 所以图象开口向上，对称轴为直线x=受 11.x=0;12.(-3,8);13.5; 因为当x≤2时，y随x的增大而减小， 14.y=x(15-x),0<x<15;15.m>-1: 所以号≥2， 16.-1；17.10；18.4. 解得m的范围为m≥4. 提示： 21.解：由题意，得AD=21+3-3x=24-3x, 1 17.解：因为抛物线y=8(x-a)2+b, 0<24-3x≤10，且3x-1<21, 所以顶点D为(a,b) 22 解得皆≤x<号， 因为D(a,b)在y=x+2上， 所以b=a+2, 于是s=24-30)=-3+24,号≤x<号 所以正方形的边长为2a, 22.解：(1)平移后的函数表达式为y=(x-1)2-4,平移 所以C(0,2a). 后的函数图象如图1. 将点C点坐标及b=0+2代人y=日(x-a)2+6,得 g（-a)2+a+2=2a, 解得a=4, 所以b=a+2=6, 所以a+b=4+6=10. 18.解：二次函数y=a(x-m)2+k(a≠0)， 所以a=,y-k 图1 (x-m)2 初中数学湘教中考第14~18期 (2)当y=0时，即0=(x-1)2-4, x=2,所以-=2，解得0=4， 解得1=-1,2=3， 故经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标为(-1,0)， 所以y=x2-4x. (3,0), 因为点A(5,b)在二次函数图象上， 当-1<x<3时，函数值小于0. 所以b=25-20=5. 23.解：(1)-1，-1. 综上，a=4,b=5. (2)联立-x- (2)由题意设B(2,m)(m>0), 1y=-x2 2解得任-1或=2， y=-1ly=-4, 直线OA的表达式为y=kx 所以点B的坐标为(2，-4). 因为A(5,5),所以5k=5,解得k=1, (3)由图象可得，当ax2<kx-2时，x<-1或x>2. 所以直线OA的表达式为y=x. 24.解：(1)将(-4,8)代人y=ax2,得8=16a, 设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2), 所以BH=|m-21. 解得a=子 因为Saw=15,所以分x1m-21x5=15, 1 把(-4,8)代人y=-2x+b,得8=2+6， 解得m1=8,m2=-4(舍去)， 解得b=6. 所以点B的坐标为(2,8). (2)分别过点A,D作AM⊥y轴于点 (3)设直线AB的表达式为y=cx+d, M,DN⊥y轴于点N,如图2. 把45,5，B(2,8代人，得c+d=5解得=-1， 由(1)，知直线AB的表达式为 l2c+d=8, ld=10, 1 所以直线AB的表达式为y=-x+10, y=-2x+6, 当PA-PB的值最大时，A,B,P在同一条直线上， 令x=0,则y=6,所以C(0,6) 图2 因为P是y轴上的点，所以P(0,10) 因为∠AMC=∠DWC=∠ACD=90°， 17期2版 所以∠ACM+∠DCN=90°，∠DCW+∠CDN=90°， *1.3不共线三点确定二次函数的表达式 所以∠ACM=∠CDN. 1.B;2.A;3.B;4.D;5.C; 因为CA=CD,所以△AMC≌△CND, 6.y=(x-1)2. 所以CN=AM=4,DN=CM=2, b 【-2a =1, 所以D(-2,2) 7.解：由题意，得 当x=-2时y=7×(-22=2, 9a+3b+c=0, 4a-2b+c=5, 所以点D在抛物线y=子上 ra=1, 解得{b=-2,所以此函数的表达式为y=x2-2x-3. 25.解：(1)在y=-3x+3中，令y=0,解得x=1, c=-3, 令x=0,解得y=3, 1.4二次函数与 所以A(1,0),B(0,3). 一元二次方程的联系 分别代入y=a(x-2)2+k, 1.A;2.A;3.B;4.B; 得0+=0，解得a=l； 5.x1=-3,2=1;6.9;7.-4≤t<5. l4a+k=3,lk=-1. 8.解：(1)因为抛物线与x轴有两个不同的交点， (2)设N(2,n),因为B(0,3),A(1,0), 所以4>0，即1-2c>0, 所以AB=12+32=10, NB=22+(n-3)2=n2-6m+13, 解得e<宁 NA2=(2-1)2+n2=1+n2 当△ABN是以AB为斜边的直角三角形时， (②)设抛物线了=宁++（与：销的两交点的横坐标 由勾股定理，得NA2+NB=AB, 为x1,x2且龙1>x2 所以1+n2+n2-6n+13=10, 因为两交点间的距离为2， 即2n2-6n+4=0,解得n1=1,n2=2, 所以x1-2=2. 所以点N的坐标为(2,1)或(2,2). 由题意，得x1+x2=-2, 26.解：(1)因为二次函数y=x2-ax的对称轴为直线： 解得x1=0,x2=-2, 8 初中数学湘教中考第14~18期 所以2c=x1x2=0,所以c=0. B(3,t), 重点集训营 所以抛物线的对称轴为直线x=2+3= 解：(1)因为二次函数y=x2-4x+c的图象与y轴的交点 2 2 坐标为(0,5)， 所以C(4,2)对称点的坐标为(1,2)， 所以c=5,所以y=x2-4x+5=(x-2)2+1, 所以当x=1时，y=2, 所以顶点M的坐标是(2,1). 即a+b+c=2. (2)因为点A在x轴上，点B的坐标为(1,5)， 9.解：抛物线y=ax2+bx+c的二次项系数a>0, 所以点A的坐标是(1,0) 则抛物线开口向上，其对称销为x=一会 ①当t=2时，点D',A'的坐标分别是(2,0)，(3,0). 又抛物线过点(1，-1)， 当x=3时，y=(3-2)2+1=2,即点Q的纵坐标是2， 纵坐标-1<0，则其与x轴有两个交点。 当x=2时，y=(2-2)2+1=1,即点P的纵坐标是1. 不论对称轴与直线x=1什么关系（左边、重合、右边），抛 因为PG⊥A'B',所以点G的纵坐标是1， 物线与x轴的两个交点必然在直线x=1两侧， 所以QG=2-1=1. 所以对应方程ax2+bx+c=0有一个大于1另一个小于 ②存在.理由如下： 1的实数根 因为△PGQ的面积为1，PG=1, 10.解：分别将(-2，-8)，(0,0)，(3，-3)代人，得 所以QG=2.根据题意，得P,Q的坐标分别是(t,t2-4t+ 4a-2b+c=-8, ra=-1, 5),(t+1,t2-2t+2). C=0. 解得b=2, 当点G在点Q的上方时， 9a+3b+c=-3, lc=0, 则QG=t2-4t+5-(2-2t+2) 所以二次函数的表达式为y=-x2+2x =3-2t=2, 因为a=-1<0, 此时4=分（在0<1<3的范国内）， 所以抛物线的开口向下， 当点G在点Q的下方时 故A错误； 则QG=t2-2t+2-(t-4t+5) 因为y=-x2+2x=-(x-1)2+1, =2t-3=2, 所以当x>1时，y随x的增大而减小， 此时6=弓（在0<1<3的范国内）， 故B错误； 令y=0,得-x2+2x=0, 综上=或= 1 解得x1=0,x2=2, 所以抛物线与x轴的交点坐标分别为(0,0)和(2,0) 17期3,4版 又因为抛物线的顶点坐标为(1,1)， 所以抛物线经过第一、三、四象限， 一、选择题 故C错误； 题号1 234 5 6 7 8910 因为二次函数的表达式为y=-(x-1)2+1, 所以抛物线的对称轴为直线x=1, 提示： 故D正确， 6.解：因为a>0,故抛物线开口向上. 二、填空题 由已知，抛物线与x轴的两个交点坐标为(-1,0)，(3,0)， 11.12;12.m>9;13.t≤9；14.x1=1,2=3; 所以当y>0时，x的取值范围是x<-1或x>3. 154:16y=子2-x+1；17.1<m 7.解：因为y=(a-2)x2-2x+1为二次函数， 所以a-2≠0，即a≠2. 因为二次函数y=(a-2)x2-2x+1的图象与x轴有交 提示： 点， 15.解：将函数y=(2x+3)(2x-5)-5的图象向上平移 所以4=(-2)2-4(a-2)≥0， 5个单位得到新函数为y=(2x+3)(2x-5) 解得a≤3. 当y=0时，则(2x+3)(2x-5)=0, 综上所述，a的取值范围是a≤3且a≠2. 解得x=-子或x=各 5 8.解：因为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2,t), 9 初中数学湘教中考第14~18期 所以两交点横坐标为一子，号 解得m=-弓，m,=3(舍)， 2 所以新函数的图象与x轴两个交点之间的距离是 所以点P的坐标为(-号，-）片 3-(2)-4 三、解答题 16.解：因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2,4),B(6, 19.解：因为抛物线y=ax2+bx经过A(1,-1),B(2,2)两 4)两点， 点， 所以抛物线的对称轴是x=6+(-2】=2 所以a+6-解得=2， 2 l4a+2b=2,lb=-3. 因为顶点在x轴上，所以顶点坐标为(2,0) 所以二次函数的表达式是y=22-3x 所以y=ax2+bc+c=a(x-2)2 20.解：(1)4=22-4×(-1)×5=24>0， 把(-2,4)代入，得4=a·（-2-2)2, 故有两个不同的交点： 解得a=子 (2)4=(-6)2-4×3×3=0, 故有一个交点： 所以y=子(x-2)2=子2-+1 (3)4=72-4×(-2)×(-9)=-23<0, 故没有交点 17.解：因为y=x2-(t+1)x+c, 21.解：当x=0时，y=2(0-1)2=2, 所以其对称销为=告号 当y=0时，由0=2(x-1)2,得x=1, 因为与x轴交于(m,0),(n,0)两点， 所以A(1,0),B(0,2), 所以m+卫=+1 所以OA=1,0B=2, 2 2 所以5m=01:0B=分×1x2=1 整理，得n=t+1-m. 22.解：(1)把(-1,0)和(0,4)代入二次函数表达式，得 又0<m<n<1, 所以t+1-m<1, -6+e=0解得=5， Lc=4, Lc=4. 即t<m. 18.解：y=x2-2x-3与x轴交于A,B两点(A在左边)，与 则二次函数的表达式为y=x2+5x+4; (2)向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数表达式 y轴交于点C, 为y=x2+5x+4-2, 所以A(-1,0),B(3,0),C(0,-3) 即y=x2+5x+2. 设过线段AC的一次函数的表达式为少1=kx+b1, 23.(1)证明：4=(-4a)2-4a×0=16a2, 把A(-1,0),C(0,-3)分别代入，得 因为a≠0，所以16a2>0, [6,=-3·所以y=-3x-3 故该函数的图象与x轴总有两个公共点. lb1=-3, (2)解：令y=ax2-4ax=(x2-4x)a=0, 设P(m,-3m-3), 因为a≠0，所以x2-4x=0, 过BP的一次函数的表达式为y2=k2x+b2, 解得x=0或x=4, 把P(m,-3m-3),B(3,0)分别代人，得 所以抛物线过定点(0,0)和(4,0). 「h,=二3m-3 若a>0,当0<x<4时，抛物线都在x轴下方， m-3, 满足y<4; b2= 9(m+1) 所以0(o,) m-3 若a<0,当0<x<4时，抛物线在x=2处取得最大值， 1 9(m+1×3. 最大值小于4，即4a-8a<4,解得a>-1, 所以S△0m=-立Xm-3 所以-1<a<0. 因为SAoP+S△Pnc=S△ioc-S△or 综上，a的取值范围为-1<a<0或a>0. 24.解：(1)由图象得，方程-x2+2x+3=0的两个根分 m-3 别为x1=-1,x2=3. 所以-分×2m±x3:号-n 9(m+1) 2-2m× 故答案为：x1=-1,x2=3; m-3 m-3 (2)由图象得，当y>0时，x的取值范围为-1<x<3. 整理，得3m2-7m-6=0, 因式分解，得(3m+2)(m-3)=0, 当-1<x<分时，均在对称轴左侧，y随x的增大而增大， -10的藏恋实快告三州丑游盖·选于当 话 兹理括 2025年10月23日·星期四 初中数学 051-527126 纸发行质量反喷电话 第 17期 总第1161期 (湘教中考) 0351-5271248 (6) 16期2版答案 山西师大教育科技传媒集团主办 数理报杜编辑出板 次雨数 山西师范大学主警 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707F 5.四 名6含W 因为m>>0.关于本的方程+2 3 地物线的对称性是 A: 6(1)w=2: (2)-3减1 两个二次 m=0的解为(1)，关于x的方程 次函数的一个重要特 +2x-3-M=0的解为x1,x1(<x,) 证，即若抛物线上有 携手进中考 所以4分别是A,B,G,D的横标 个对称点的坐标为（ 以《《4<故速B ),(2,2),则一定有 1工1二次函数y=时 。江苏张文竹 例3经过A(2-3站，m),B(46+e-1,m 的图象与性质 次函数与一元二次方程本是一家，两者 量为2，且其对称轴为 安徽 两点的抛物线y=-子+6：-子+2(x为自 物线 1.A:2H:3,D 44<2: 52: 关系密切，相互渗透，在解题运用中相辅相成 相得叠彰，常含情手出现在中考的舞台上 变量)与轴有交点，求找段AB长 为> 例1二次蹈数 赵雪亮 1.12二次函数 倒1若抛物线y=2-6x+m与x轴只有 -62+2c的 公共点，求m的值 =2(x-1)+5的图 61 可9 解：由已知，得方程2 0有两个 对称为直线 =6,且经过 象经过（，n)和(3， 对 的图 质 A: 相等的实数根 2× 明点，求m的值 4.答案不 , 所以=(-6)2-4m=0.所以m=9. A(2-36,m),B(46+c-1,m)两点 解：由题，得 2:51 +3=1, 性 (1)5或1 倒2已知m>>0.若关于x的方程x 为性0善鞋) 1.23二次函 所2-3+h+-」=6.即c=6-1 +2x-3-m=0的解为（，<），关干 2 解得m=-1, 的图象与性质 的方程2·2-3=4■0的解为，(x 所以y=-+-2+2e .B:2.B:3.D: x,),则下列结论正确的是 例2已地物线 4<,53 y=-3x2+a+e与x 重点集明营 A与<而<< -++2-2 题整-：l.D:2.0 D.1《《< 轴只有一个交点.且过点A(m-2,),B(m+ 解：如图所示，设直线 所以4=6-4×(-)×(-2+2五 4,),求4的值 愿型二：.：2.D m与抛物线yx2+2x ≥0.整理，得(-2)2≤0. 解：因为地物线y=-32 ++e过点A(m 交于A,B两点，直线y= 所以6=2，e=-1=1, 2,n),m+4,n) 16期3,4版答案 与物线y=x2+2x-3交打 以2-3=-4,46+0-1=8 所以对称轴为直线x=m+1 以AB=8-（-4)=12. 2.A: C,D两点， 又因为抛物线y=-3x2+x+c与x轴只 .C:4 个交点，所以顶点为(m+10) 思雏天地 若点(-1y,)和点(2，)都在物现上，则y 故设抛物找表达式为y=一3(x一网-1》 确定符号 c③am24bm≤-(m为任实) 把A(m-2,n)代人，得 115 [领略数形结合 43m+4r=0,其中正确的是 4-3(m-2-m-1)1=-27, 例3已知点(1，N(2)在抛物 15: 。湖南刘钟态 解析：由图象可知，二次数开口向下， 与》 轴正半轴交于一点，所以a<0,e>0 线y■m2-2m2x+n(m≠0)上.当名1+x2> 6 明确作同 对于次函数y=a++(a0)的 因为-六=-<0，所以4<0， 4且x,<与时，都有<2，求m的取值范围 图象，(1)a决定开口方向.当4>0时，地物到 所以abc>0,故①错误 解：由题，易得该抛物线的对称轴为直毁 平▣上：当ac0t.F回可. 20用4 (2)6和：共同决定抛物找对称轴的位置 因为对称轴是直线x一子点(-1少)和 21.8-3 424 由于子抛物线y=r3+:+c(e≠0)的对称轴 点(2)都在抛物线上，且 因为当+2>4且1<时，都有<2 是直线x=一 放当=0时，对称轴为y轴： 所拟当m>0时.0<2m4， 解得0<≤2： (x 当>0时，对在的左期：当号 <0时 所以，>，故②话误： 当m<0时，2m>4,比时m无解 21 时称轴在y轴的右 当=m时y=m+m+,当 综上所述，m的取值围为0<m≤2 (3)e的大小决定地战y=mr2+r+c(a 例4已知物线y=+缸+c(m*0》 1)-1 ≠0)与y轴胶点的位置.当=0时，物线经 时y取得最大臣子一+6，肌以对于任套安 经过点A(2.).B(3,),C(4,2),D(6,4).那2 (2)(2,-4 限点：当e>0时.与y轴交于正半轴：当e<0时. m-b+e的值是 (3)x<-1减x>2 与y轴交于负半轴 数m,有am++-+ A.2 B.3 C.4 D.r 温馨提示：以上三点中，当条件和结论互换 ,就可以确定，,的符号了 解：因为抛物线y=r2+鲜+r(a0)经 (2)略 二，典例精析 过点A(2),B(3) 如图，二次函数 所以抛物战的对称为直线 y=4n+好+(，b,e为 由图象知，当= 常数，4≠0)的图象与 是时=0 2 2(282:3)0.0@ 交点A(-,0),对( 所以-2+e=0即3+4e=0,故④ 所以点D(6,4)的对称点坐标为(-1,4) 正确 所以当-1时y4,即-6+←4 你轴品直线x= ，有以下结论：①abc<0:2 故选C (3.0 B.-1 a.0.M2.3)原能捷老第T路海文卫个告中 C.y =-x +2x -3 C+33t2 山 .1山。)热达 .口一社(-1.00.12 () r(-20 4. 0.6 0.7 0.3 09 I G2.01-4.00 (3.0t-.0 D.09<<I 011 P(4.0)1-2.0 (-2.)t1 <0.8 5) .能度APCQ时所效为12活保庄·海出L出·8 组对应值如下表： 20.(6分)试判断下列抛物与x轴的交点情况： 1.3~1,4同步达标检测卷 4-2035 (1)y=-x+2x+5: (2)y=3x2-6x+3 ◆数理报杜试题研究中心 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 (3)y=-22+7x-9 (答题时长120分钟，满分120分) A.图象的开口向上 一、选择题（本题失10小道，奉小道3分，共30分） ,当￥>0时y的值随x的值增大而增大 1.若抛物线y=x2+3x+c经过点(0.2)，则c的值为( C,餐象经可第一一，四象很 A.2 C.O D.-2 D.图象的对称轴是直x=1 2.若地物线y=x2+2mx+9与x始只有一个交点，则m的值为 二，填空题（道共8小题，每小题3分，共24分 1山，如果二次的数y=3(*-2)炉-6的图象经过坐标原点，那2 4.3 B.-3 的值为 C.±32 D.±3 1之.抛物规y=x+解+m与x轴无公共点，则m的取值范困为 3.二次函数y=2-2+c,当=1时=-4:当x=0时 =一3则腹二次函数的表达式为 13,二次数y=+r+c(a≠0).a,b,c为常数)的图象如 Ay=2+2x-3 B.y=-x2-2x+3 图1所示，若关干x的一元一次方程2++:=1有实数，则 21.(8分)如图4所示，已知一次函数y=2(x-1》2的图象分别 Cy=x2-24-3 D.y=-2-2-3 的取值龙是 交丝y轴于点A,B,连AB,求△AB0的面积 4.别物线的形状，开口方向与)=-4+3相同，顶点在 初中数学 (-2,1).抛物规的表达式为 By=x+2y2-1 ·教中考同步达标检测卷 C.y=(x+2)+1 D.y=-2+2)2+ 14图2，批物线y=+解+3的图象与x轴的一个交点为 5.抛物战y=-x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是 (1,D),对称轴为直找1■2，则一元二次方程2+：+3■0的实数 根是 中考同步 A.1 B,2 C.3 D.4 15.在直角坐标系x0y中，将函数y=(2x+3)(2x-5)-5的 6.若方程4x2+g+e。0(a>0)的两个根是-1和3.则对于 图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与轴两个交点之间的 二次图数y=a+r+c,当y>0时，x的取值饱图是 宽 22,(8分)二次面数y=++c的自变量x与函数值y的对 达标检测卷 A.-Ix《3 B.x>- 16.抛物y=ax2++c经过A(-2.4),B(6,4)两点，且顶 应值如下表，根据下表同答问题： C.x<-1或x>3 D.x<3 点在x轴上，则该地物线的表达式为 …-3-2-10 7.已知二次的数y=(a-2)x-2x+【的图象与x轴有交点 17,已物战y=x2-(:+1)x+(1,e是常数)与x轴的公 则▣的取值范围是 共点的坐标为(m0),(,0),且0<m<n<1,则m与的大小关 (1)求出该二次函数的表达式： A.a<2 B.a3 CBc3日41 D,a≤3且m42 18.如图3，抛物线y=2-2x-3与x交于A (2)写出向下平移2个单位后，图象所村应的二次函数表达式 8.已知抛物线yr2++(a0)经过点4(2.)，B(3.) B两点(A在左边)，与y轴交于点C,P是找段AC上 G(4,2),那么a+6+的值是 的一点，走接BP交y始于点Q,连OP,当△OAP和 A.2 张3 C.4 D.t △PQC的面积之和与△ORQ的面积相部时，点P的 9,若抛物线y■a2++c(>0)经过第四象限的点为(1 马灯 1),则关于x的方程2+加+c=0的根的情况是 三，解答题（本题共8小题，共66分） A.有两个大于1的不相等实数铜 19,(6分)已知二次数y=2+的图象经过A{1。-) 且，有两个小于1的不相等实数根 (2,2)两点，求该二次函数的表达式 C,有一个大于I另一个小于1的实数 D.没有实数根 10.已知一个二次函数y=++的自变量x与函数y的C.有一个大于1另一个小于1的实数根 三、解答题（本题共8小题，共66分）】 1.3.1.4同步达标检测卷 D.没有实数根 19.(6分)已知二次函数y=ar2+bx的图象经过A(1, 10.已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函 -1),B(2,2)两点，求该二次函数的表达式 ◆数理报社试题研究中心 数y的几组对应值如下表： BSZOZ (答题时长120分钟，满分120分)】 …-4-2035 y…-24-80-315… 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1.若抛物线y=x2+3x+c经过点(0,2)，则c的值为 则下列关于这个二次函数的结论正确的是 () A.图象的开口向上 A.2 B.0 C.0 D.-2 B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大 2.若抛物线y=x2+2mx+9与x轴只有一个交点，则m C,图象经过第二，三，四象限 20.(6分)试判断下列抛物线与x轴的交点情况： 的值为 () D.图象的对称轴是直线x=1 (1)y=-x2+2x+5 A.3 B.-3 C.±35 D.±3 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 3.二次函数y=ax2-2x+c,当x=1时，y=-4;当 1L.如果二次函数y=3(x-2)2-b的图象经过坐标原 (2)y=3x2-6x+3: (3)y=-2x2+7x-9. x=0时，y=-3,则该二次函数的表达式为 点，那么b的值为 12.抛物线y=x2+6x+m与x轴无公共点，则m的取值 A.y=x2+2x-3 B.y=-x2-2x+3 C.y=x2-2x-3 D.y=-x2-2x-3 范围为 13.二次函数y=ar2+bx+c(a≠0)，a,b,c为常数)的 4抛物线的形状，开口方向与y=之-4x+3相同，顶 图象如图1所示，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1有 点在(-2,1)，则抛物线的表达式为 ( 实数根，则1的取值范围是 Ay=2x-22+1 B.y= 2x+22-1 21.(8分)如图4所示，已知二次函数y=2(x-1)2的 Cy21 图象分别交x轴y轴于点A,B,连接AB,求△AB0的面积 D.y=- 2x+22+1 5.抛物线y=-x2+2x+3与x轴的两交点间的距离是 () 图 图2 A.1 B.2 C.3 D.4 14.如图2，抛物线y=x2+br+3的图象与x轴的一个 6.若方程ax2+br+c=0(a>0)的两个根是-1和3 交点为(1,0)，对称轴为直线x=2,则一元二次方程x2+x 则对于二次函数y=a2+bx+c,当y>0时，x的取值范围 +3=0的实数根是 是 ( 15.在直角坐标系x0y中，将函数y=(2x+3)(2x-5) A.-1<x<3 B.x>-1 -5的图象向上平移5个单位，所得新函数的图象与x轴两个 22.(8分)二次函数y=x2+bx+c的自变量x与函数值 C.x<-1或x>3 D.x<3 交点之间的距离是 y的对应值如下表，根据下表回答问题： 7.已知二次函数y=(a-2)x2-2x+1的图象与x轴有 16.抛物线y=ar2+bx+c经过A(-2,4),B(6,4)两 …-3-2-10 交点，则a的取值范用是 ( 点，且顶点在x轴上，则该抛物线的表达式为 y…-2-204… A.a<2 B.a≤3 (1)求出该二次函数的表达式： © C.a<3且a≠2 D.a≤3且a≠2 17.已知抛物线y=x2-(t+1)x+c(t,c是常数)与x轴 (2)写出向下平移2个单位后，图象所对应的二次函数 8.已知抛物线y=ar2+bx+c(a≠0)经过点A(2,1), 的公共点的坐标为(m,0),(n,0),且0<m<n<1,则m与 表达式 B(3,),C(4,2),那么a+b+c的值是 的大小关系为 米 A.2 B.3 C.4 D.t 18.如图3，抛物线y=x2-2x-3与x轴 9.若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过第四象限的点 交于A,B两点(A在左边)，与y轴交于点C, 确 为(1，-1)，则关于x的方程ax2+br+e=0的根的情况是 P是线段AC上的一点，连接BP交y轴于点 Q,连接OP,当△OAP和△PQC的面积之和 A.有两个大于1的不相等实数根 与△OBQ的面积相等时，点P的坐标为 B.有两个小于1的不相等实数根 23.(9分）已知二次函数y=a2-4ax(a≠0). 25.(10分)已知直线y1=2x-2与抛物线为2=ax2+ax 26.(10分)如图6，已知抛物线y=ax2+br+3与x轴 (1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点： -2a(a为非0常数). 交于A(-3,0)和B(1,0)两点，与y轴交于点C (2)当0<x<4时，y<4,直接写出a的取值范围 (1)求证：直线与抛物线总有公共点： (1)求抛物线的表达式： (2)无论x为何值，总有y≤乃，求a的值或取值范围， (2)设抛物线的顶点为M,试断△ACM的形状： (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点P,使△PAB 的面积为8？若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说 明理由。 图6 进 24.(9分)函数y=-x2+2x+3的图象如图5所示，结 合图象回答下列问题： (1)方程-x+2x+3=0的两个根为 ； (2)当y>0时，则x的取值范围为 :并求当 -1<x<时，y的取值范围： (3)若方程-x2+2x+3=k有实数根，则k的取值范围 是