第18期 24.6 正多边形与圆 24.7 弧长与扇形面积-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

中考数学沪科(AH)第14~18期 数理极 答案详解 2025.2026学年 中考数学沪科(AH) 第14~18期 第14期2版 第14期3版 24.1旋转（第一课时） 题号 12 34567 8 基础训练1.C;2.B;3.C;4.-2; 5.(4,2). 能力提高6.(1)线段Pp的长为2. 二940：10259,11.4,122 (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45°. 在△BPP'中，PP'=2,PB=22,P'B=PD=I0, 13.(2,2)；14子或1. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以P'P2+PB2= 三、15.图略. 16.证明：由旋转的性质，得AE=AB,AF=AC,∠EAF= P'B2, 所以△BPP'为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠BAC.因为AB=AC=1,所以AB=AC=AE=AF,∠EAF+ ∠FAB=∠BAC+∠FAB,即∠EAB=∠FAC.在△AEB和 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. AE AF, (3)过点B作BE⊥AQ,垂足为E, △AFC中，{∠EAB=∠FAC,所以△AEB≌△AFC,所以BE 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45°= LAB AC, ∠BPE,所以PE=BE. CF. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 17.(1)因为点D与点C关于点E成中心对称，所以E是线 所以AE=3,所以AB=√AE2+BE=√3，所以 段CD的中点，即DE=EC.因为AD∥BC,所以∠D=∠DCF. S正方形ABCD=AB2=13. r∠D=∠ECF, 24.1旋转（第二课时） 在△ADE与△FCE中， DE=CE,所以△ADE≌ 基础训练1.D;2.A;3.6;4.5. ∠AED=∠FEC, 5.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称，所以 △FCE,所以AE=FE,AD=CF,所以点A与点F关于点E成 BG=DG,AG=CG.因为AE=CF,所以AG-AE=CG-CF, 中心对称.故填中点，E. 所以EG=FG.又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌ (2)证明：因为AB=AD+BC,BF=BC+CF,AD=CF, △BGF,所以BF=DE. 所以AB=BF,所以△ABF是等腰三角形. 能力提高6.(1)由题意可知，△0A1B1,△B242B1, 18.(1)证明：由旋转得AC=AE,∠CAE=90°，∠AED= △B2AB3都是等边三角形，且边长为2，所以OB,=BB2= ∠C,所以∠C=∠AEC=45°=∠AED,所以∠DEC=∠AED B2B3=2,所以B1(2,0),B2(4,0),B3(6,0) +∠AEC=90°，所以DE⊥BC. (2)过点A1作AH⊥OB1交x轴于点H,因为A10=A1B1, (2因为4C:要由旋转可得4E-C-5空所以在 所以0H=HB,=1.所以A1H=√A102-0=√22-1下= Rt△AEC中，EC=√AC+AE=5.因为BC=6,所以BE= 5.因为B2(4,0),所以A1B2=√AH+B2F= BC-EC=1.由旋转可知DE=BC=6,所以BD= √(5)2+32=25. BE2+DE=37. 24.1旋转（第三课时） 19.(1)证明：由题意知△ABM≌△ACM,△ABE≌ 基础训练1.A;2.A;3.菱形；4.3. △DCE,所以AB=AC,AB=CD,所以AC=CD. 5.略. (2)∠F=∠MCD.理由如下： 能力提高6.证明：(1)因为DE∥AC,DF∥AB,所以四 由(I)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA, 边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是中心对称图形. 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,所以设∠MPC=a, (2)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为 则∠BAE=∠CAE=∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF= DE∥AC,所以∠CAD=∠ADE,所以∠BAD=∠ADE,所以 ∠CMA=B,所以∠F=∠CPM-∠PMF=a-B,∠MCD= AE=DE.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形 ∠CDE-∠DMC=a-B,所以∠F=∠MCD. AEDF是菱形，所以AD垂直平分EF,所以点E,F关于直线AD 20.(1)AD'与BD'的位置关系为AD'⊥BD'.理由如下： 对称. 因为AC=BC,D,E分别为AC,BC的中点，所以CD=CE, 中考数学沪科(AH)第14~18期 即CD'=CE,因为∠C=90°，即∠BCA=∠D'CE'=90°，所所以x2+22=(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,即0M= 以∠ACD'=∠BCE',所以△CD'A≌△CE'B,所以∠CE'B= 1.5cm,所以0D=√OM+MD=2.5cm,所以纸杯的直径 ∠CD'A.因为∠BCA=∠D'CE'=90°，CD'=CE',AC=BC, 为2.5×2=5(cm). 所以∠CD'E'=∠CE'D'=∠CAB=∠CBA=45°，所以 能力提高11.证明：取BC的中点F,连接DF,EF.因为 ∠CE'B=∠CD'A=135°，所以∠AD'B=135°-45°=90°，BD,CE是△ABC的高，所以△BCD和△BCE都是直角三角形. 所以AD'⊥BD. 所以DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，所以 (2)在Rt△ACB中，因为AC=BC=2,所以BA=: DF=EF=BF=CF.所以E,B,C,D四点在以F点为圆心， √AC+BC=22,同理可得D'E'=√2，由旋转的性质，得 AD'=BE',设AD'=BE'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得 26C为半径的圆上 +(厄+x}=(2,解得x=压，-迈（负值舍去），所 24.2.2圆心角、弧、弦、弦心距间关系 2 基础训练1.B;2.A;3.D;4.70°； 以BE'=4-2 5.120°：6.2/13 2 7.∠A0C=36°，∠C0F=108°. (3)①经过点B时，题(2)已求得BE'=年-巨 8.(1)连接AC,BD,因为∠A0B=90°，C,D为AB的三等 2 ②经过点A时，设AC与BE'交于点F,同(1)可证得 分点，所以∠A0C=号∠40B=30°，因为0A=0B,所以 △CD'A≌△CE'B,所以∠D'AC=∠E'BC,BE=AD',因为 ∠OAB=∠OBA=45°，因为∠A0C=∠B0D=30°，所以 ∠AFE'=∠CFB,所以∠AE'B=∠BCA=90°.设BE'=AD' ∠AEC=∠OAB+∠AOC=75°. =x,在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+(x-√2)2=(22)2， (2)证明：连接AC,BD,因为OA=0C,∠AOC=30°，所以 解得x=5+,正（负值舍去），即B=迈+，压 ∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE,同理可证 2 2 ③再次经过点B时，同理可证△CD'A兰△CE'B,AD'⊥ BF=BD,因为C,D是AB的三等分点，所以AC=CD=BD,所 以AE=BF=CD. BE',设BE=AD'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得x2+(x -万)：=(2，万)，解得x=E+,压（负值含去），即BE'= 能力提高9.因为CD=AC+BD,所以∠C0D=∠A0C 2 +∠B0D,因为∠C0D+∠AOC+∠B0D=180°，所以∠COD 巨+4： 2 =∠40C+∠B0D=子×180=0因为0C=0D.所以 ④再次经过点A时，同理可证△CD'A≌△CE'B,AD'⊥ ∠ODC=∠OCD=45°.因为PC=C0,所以∠P=∠COP,又 BE,设BE=AD'=x,在Rt△AE'B中，由勾股定理，得x2+(x 因为∠P+∠COP=∠OCD=45°，所以∠P=∠COP= +5)2=22)2,解得x=年，-巨（负值舍去），即BE'= 22.5°，所以∠D0B=∠P+∠PD0=67.5. 2 第15期3版 14-2 题号12345678 2 答案DAC C BD CC 综上所述，BB长的所有值为巨+年或压。-巨 2 2 二、9.4条；10.4；11.答案不惟一，如4；12.4； 13.4:14.3. 第14期4版 三、15.证明：因为OA=OB,AD=BE,所以OD=0E,因为 重点集训营 CD=CE,OC=OC,所以△OCD≌△OCE,所以∠COD= 1.略. 2.(1)作图略. ∠COE,所以AC=BC,即C为AB的中点. (2)作图略.旋转中心点M的坐标为(1,0). 16.连接0A,0B,0C,0D,AD.因为AD为120°，BC为50°， 第15期2版 所以∠A0B+∠C0D=190°，因为OA=OB,OC=OD,所以 24.2.1圆的基本概念及垂径定理 ∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC,所以∠OAB+∠ODC= 基础训练1A;2.B;3.C;4.C;5.C 85°，因为∠OAD+∠ODA=60°，所以∠EAD+∠EDA=145°， 6.无数，1；7.36°： 所以∠E=35° 8.答案不惟一，大于等于4，小于5即可，如4.2； 17.(1)因为AB是⊙0的一条弦，OD上AB,所以AD= 9.1.3. 10.设A,B,C,D所在圆的圆心为O,因为MN⊥AB,所以 BD,所以∠AOD=∠BOD=50°，所以∠D0B的度数是50° MN过圆心O,连接OD,OB,由题意，得MW=3.5cm.因为AB (2)因为AB=25,0D1AB,所以AE=分A4B=5,设 ∥CD,所以MN1CD,所以DM=CD=2cm,BN=4B ⊙0的半径长为r,在Rt△AOE中，由勾股定理，得A02=OE+ =1.5cm.设OM=xcm,所以ON=MW-OM=(3.5-x)cm, AE2,即2=(r-1)2+(5)2,解得r=3,所以⊙0的半径长 在Rt△OMD中，有OM+MD2=OD2,在Rt△OWB中，有OW2 为3. +BW2=OB2,因为OD=OB,所以OM2+MD2=ON2+BW2, 18.(1)设桥拱的半径是r米，因为OC⊥AB,所以AW= -2 中考数学沪科(AH) 第14~18期 分4B=8米，因为CN=4米，所以0N=(-4)米，在 (-3)=4,MB=+(-2-1)F=√0，所以MD>MB 所以点D在⊙M的外部. Rt△0AN中，有0A2=OW2+AN2,即2=(r-4)2+82,解得 24.3圆周角 r=10,所以桥拱的半径是10米. 基础训练1.C;2.A;3.D;4.24;5.99°； (2)连接OD,因为CO⊥DE,DE=12米，所以DM= 6.40°；7.140°. 分0E=6米，所以0M=√0D-D7=8米，因为0N=0C 8.(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD⊥AB,所以BC= -CN=6米，所以MN=8-6=2(米)，所以水面涨高了2米. BD,所以∠A=∠2，又因为OA=OC,所以∠1=LA,所以 19.(1)连接EO,设⊙0半径为r,因为EG⊥AB,所以CE ∠1=∠2. =CG=号EG=4,因为AC=2,所以0C=1-2,在R△CE0 (2)因为AB为⊙O的直径，CD⊥AB,CD=6,所以∠CEO 中，由勾股定理，得0E=CE2+0C2,即2=42+（r-2)2,解 =90°，CE=ED=3,设⊙O的半径是r,因为EB=2,所以OE 得r=5,所以⊙0的半径为5. =r-2,在Rt△0EC中，由勾股定理，得2=(r-2)2+32,解 (2)证明：连接OE,OF,因为AC=BD,OA=OB,所以OC 得=早所以⊙0的半径为是 =OD,因为EG⊥AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°， 9.(1)证明：因为BC是圆的直径，所以∠BDC=90°，因为 因为OE=OF,所以Rt△COE≌Rt△DOF,所以∠AOE= AC=BC,所以△ABC是等腰三角形，所以AD=BD. ∠BOF,所以AE=BF (2)因为BC是圆的直径，所以∠BEC=90°，因为AC= 20.(1)证明：连接AC.因为AB⊥CD于点E,所以CE= BC=10,AD=BD=6,所以CD=√BC2-BD2=8,AB=12, DE.又因为∠AEC=∠AED,AE=AE,所以△ACE≌△ADE, 所以AC=AD.同理CA=CD,所以△ACD是等边三角形，所以 因为∠BEC=0,所以5度=方xAB×CD=子×AC× ∠0E=30°，所以0E=20C.而0B=0C,所以0E= E,所以号×2×8=号×10×BE,解得E=96,所以AE 0B,故E是0B的中点 =√AB2-BE=7.2. 能力提高10.(1)连接BF,因为△ABC为等腰直角三角 (2)因为4B=12,所以0C=6,所以0E=20C=3.在 形，∠ACB=90°，AC=32,AB=BD,所以AC=BC=32, Rt△OCE中，CE=√OC-OE=35,所以CD=2CE= BD=AB=6,∠ABC=∠CAB=45°.因为DE⊥AD,所以BF 为⊙O的直径，所以∠BCF=90°，所以∠ACB+∠BCF= 63. 180°，所以点A,C,F三点共线.因为∠CAB=45°，DE⊥AD,所 第15期4版 以△ADF是以∠BDF为直角的等腰直角三角形，所以DF= 重点集训营 AD=6+6=12,所以BF=√BD+DF=65,所以⊙0 1.B;2.5 3 3.(1)证明：因为OE⊥AB,所以CF=DF,因为OA=OB, 的半轻为=35 所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,所以AC=BD. (2)连接GF,连接GC并延长交AB于点M,因为AG=BG, (2)连接0C,设⊙0的半径是r,因为C0=CF2+OF2, AC=BC,所以点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB CF=D=4,所以r=4+(r-2),所以，=5，所以00 的垂直平分线上，所以GM⊥AB,AM=BM.因为∠ACB=90°， 所以CM=BM,∠BCM=45°.因为BF是⊙0的直径，所以 的半径是5. ∠BGF=90°.因为四边形GCBF是⊙O的内接四边形，所以 第16期2版 ∠GFB=∠BCM=45°，所以△BGF是等腰直角三角形，所以 24.2.3圆的确定 AG=BG GF-BF-310. 基础训练1.D;2.C；3.A; 4.一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形； 第16期3版 5.140°；6.(1,4)；7.5：8.25 题号 2 34567 8 9.(1)图略. 答案BBAAABCC (2)因为在Rt△ABC中，AC=5,BC=12,所以AB= 尽+12=13，所以△ABC的外接圆的面积为m·(号)2= =90:1025:1.2512(3宁： 169 13.52.5°；14./29-2. 4 m. 三、15.(1)图略. 能力提高10.(1)连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平 (2)⊙0的半径为/41. 分线，两直线交于点M,则M是过A,B,C三点的圆的圆心，所以 16.(1)因为BC是⊙0的直径，所以∠BAC=90°，因为 M(1,-2).故填(1，-2). AB=2,∠ACB=30°，所以BC=2AB=4,所以OB=OC= 因为M1,-2),0-3,-2》.8(0.1,所以D=1-8C=2即00的半径为2 (2)点D在⊙M外部，理由如下： 一3— 中考数学沪科(AH) 第14~18期 2)因为∠BAC=90°，LACB=30°，所以LB=60°，因BD=4 为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D=180°-∠B =120°.因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以∠DAC= 第16期4版 重点集训营 ∠DCA=2(180°-∠D)=30 1.60°；2.35；3.7. 17.(1)△ABC是等腰直角三角形. 第17期2版 证明：因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC=∠ABC=90°， 24.4直线与圆的位置关系（第一课时） 因为∠ADB=∠CDB,所以AB=BC,所以AB=BC,又因为 基础训练1.C;2.C;3.60;4.1<d<5. ∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形. 5.证明：连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.因 为AC平分∠EAB,所以∠OAC=∠CAE,所以∠CAE= (2)CD的长为2√3. ∠OCA,所以OC∥AE.因为AE⊥CE,所以OC⊥CE,因为OC 18.(1)DE=BD,理由如下： 是半径，所以CE是⊙O的切线。 因为E是△ABC角平分线的交点，所以AD平分∠BAC,BE 能力提高6.证明：(1)连接OD,OB,AC,因为⊙0经过 平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE,所以BD 菱形ABCD的顶点B,D,所以AC过点O,AD=DC=BC=AB, =CD,所以∠DBC=∠CAD=∠BAE,因为∠DBE=∠CBE ∠DAO=∠BA0,∠DC0=∠BCO.又因为OD=OB,所以 +∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,所以∠DBE=∠DEB,所 △AOD≌△AOB,所以∠AD0=∠AB0.因为AB与⊙0相切， 以DE=DB 所以∠AD0=∠AB0=90°，因为OD是⊙0的半径，所以AD 与⊙0相切. (2)连接CD,由(I)得BD=CD,所以CD=BD=DE= (2)连接OF,OE,在△DOC和△BOC中，因为DC=BC, 2,因为∠BAC=90°，所以BC是⊙0的直径，所以∠BDC= ∠DC0=∠BCO,OD=OB,所以△DOC≌△BOC,所以 90°，所以BC=√BD2+CD=22,所以△ABC外接圆的半 ∠ODF=∠OBE.因为OD=OF=OB=OE,所以∠ODF= 径=28C=万 ∠OFD=∠OBE=∠OEB,所以∠DOF=∠BOE,所以DF= BE. 19.(1)证明：连接AD,因为点D是BC的中点，所以∠CAD 24.4直线与圆的位置关系（第二课时） =∠BAD.又因为AC=AB,AD=AD,所以△CAD≌△BAD,所 基础训练1.B;2.A；3.215°；4.14. 以∠ACD=∠ABD,CD=BD,所以∠DCE=∠DBF.又因为 5.(1)由切线长定理可知，DC=DA,EC=EB,PA=PB, ∠CDE=∠BDF,所以△CED≌△BFD,所以DF=DE. 则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE= (2)因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBF= PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=12,所以PA=6. ∠ACD.因为∠ACD=∠ABD,所以∠ABD=∠DBF,所以 (2)连接OA,OB,OC,则∠D0C=∠D0A,∠COE= ∠ABD=90°，所以∠ECD=∠ABD=90°，所以AD是⊙O的 ∠BOE.所以∠AOB=∠DOC+∠COE+∠DOA+∠BOE= 直径.因为CD=BD=6,CE=8,所以DE=10,所以EB=10 2(∠DOC+∠COE)=2∠DOE=144°.在四边形PAOB中，因 +6=16.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,设AB=AC=x, 为∠PA0=∠PB0=90°，∠A0B=144°，所以∠APB=36. 则x2+162=(x+8)2,解得x=12,所以AB=12.在Rt△ABD 能力提高6.(1)证明：过O点作OE⊥CD于点E,因为 中，AB2+BD2=AD2,所以AD=122+6=65,所以⊙0 AM切⊙0于点A,所以OA⊥AD,因为D0平分∠ADC,所以OE 的半径为35. =OA,因为OA为⊙0的半径，所以OE是⊙0的半径，所以CD 是⊙0的切线. 20.(1)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC,所以 (2)过点D作DF⊥BC于点F,因为AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. AM,BN分别切⊙O于点A,B,所以AB⊥AD,AB⊥BC,所以四 (2)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以AD 边形ABFD为矩形，所以BF=AD=4,所以CF=BC-BF= =CD,所以AB+AD=BC+C,即BAD=BCD,所以BD是直 5.因为CD,AM,BC为⊙0的切线，所以DE=DA=4,CE=CB 径，所以∠BAD=90°. =9,所以DC=DE+CE=13,在Rt△DCF中，DF= (3)因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=180°，因为∠BAD √DC2-CF=12,所以AB=12,所以OA=6,在Rt△OAD =90°，所以∠F=90°.因为AD=CD,所以AD=DC.因为AC 中，OD=0A2+AD2=213. =AD,所以AC=AD=CD,所以△ADC是等边三角形，所以 24.5三角形的内切圆 ∠ADC=60因为BD平分∠ADC,所以LCDB=之∠ADC= 基础训练1.D;2.B;3.35；4. 5.CE的长为3. 30°因为BD是直径，所以LBCD=90°，所以BC=7B0因 能力提高6.(1)证明：因为I是△ABC的内心，所以AE 为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC+∠ABC= 平分∠CAB,BI平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAE,∠ABI= 180°，所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°，所以∠FCB= ∠CBL.因为∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+ 90°-60°=30°，所以FB=号BC.因为BF=2,所以BC=4, ∠EBD,因为∠CBE=∠CAE,所以∠BE=∠EBI,所以EB= El. 所以BD=2BC=8.因为BD是直径，所以此圆半径的长为 (2)连接EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥AC交AC的延长 4 中考数学沪科(AH) 第14~18期 线于点N,则EM=EN.因为∠BAE=∠CAE,所以BE=CE, ∠ABD=分∠A0D,所以∠0AD+∠ABD=90,因为∠AB0 所以BE=EC=4.因为AE=AE,EM=EN,所以△AEM≌ =∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,所以∠ABD=∠EAD, △AEN,所以AM=AN.因为BE=EC,EM=EN,所以△BME 所以∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°.因为∠DIA=∠ABD+ ≌△CNE,所以BM=CN.设BM=x,则8-x=6+x,解得x ∠BAO=∠CAD+∠CAO=∠DAL,所以ID=AD,因为∠DIA =1,即BM=1,所以AM=7.又因为BE=4,由勾股定理得， +∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，所以∠E=∠DAE,所以 EM=√4-下=√5，所以AE=√(/5)2+7下=8，因为 ED=AD,所以ID=ED,所以点D是IE的中点. EI=BE=4,所以A1=AE-EI=4. 20.(1)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 第17期3版 因为∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠DBC 题号123456 7 8 (2)证明：连接CD,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD, 答案DAB C ADDD 所以BD=DC,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC.因 二9.0<R<5;10.40；11.9:12.1 8；13.1.5; 为∠EBD=∠DBC+∠EBC,∠BED=∠DAB+∠ABE,由(I) 知∠BAD=∠DBC,所以∠EBD=∠BED,所以DB=DE,所 14.6+√61. 以DB=DE=DC,所以点B,E,C在以点D为圆心的同一个圆 三、15.证明：因为AC=BC,所以∠A0C=∠B0C.因为 上 DB为⊙0的切线，所以OB⊥BD,所以∠OBD=90°.在 (3)连接OB,设AD与BC相交于点H, OB =0A, 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以BH= △OBD和△OAD中， ∠B0C=∠AOC,所以△OBD≌ 2c=4.所以4M=VAB-m=3设0B=,则O1 ODOD, OD=OB=x,OH=OA-AH=x-3,在Rt△BH0中，OB2= △OAD,所以∠OAD=∠OBD=90°.又因为OA是⊙O的半 径，所以AD为⊙O的切线. Bf+0f,即2=4+(x-3)P,解得x=2容即0A=0D= 16.(1)证明：因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB=90°， 所以∠DBA+∠DAB=90°，因为∠E=∠DAB,∠ACB= 0B=答因为A0为⊙0的直径，所以4D=20A=亨在 ∠BED,所以∠DBA+∠ACB=90°，所以∠CAB=90°，所以 Rt△ABD中，因为∠ABD=90°，所以BD=√AD-AB2= CA⊥AB,所以AC是⊙O的切线. (2)EB的长为1. 号所以DE=BD=9,所以0E=DE-0D=多因为 17.(1)证明：连接OD,因为OD=0E,所以∠OED= ∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,所以点E为△ABC的 ∠ODE,因为DE∥OA,所以∠ODE=∠AOD,∠DE0= 内心，所以OE的长即为△ABC内心与外心之间的距离，所以 ∠A0C,所以∠AOD=∠A0C,又因为OA=0A,OC=0D,所 以△AOD≌△AOC,因为AC是切线，所以∠ACB=90°，所以 △ABC内心与外，心之间的距离为子 ∠AD0=∠ACB=90°.因为OD是半径，所以AB是⊙O的切 第17期4版 线 重点集训营 （2)因为AB是⊙O的切线，所以∠BD0=90°，所以BD +OD2=OB2,即42+32=(3+BE)2,解得BE=2,所以BC 1.(1)连接OD和OC,因为AD=DC=CB,所以∠AOD= =BE+EC=8.因为AD,AC是⊙O的切线，所以AD=AC,在 ∠D0C=∠B0C=号×180°=60，所以∠D0B=∠D0C+ Rt△ABC中，AB2=AC2+BC,所以(4+AC)2=AC+82,解 得AC=6. ∠B0C=120°.因为0A=0D,所以∠DAB=7∠D0B=2 18.证明：(1)因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ×120°=60 ∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,因为CD=CD,所以∠CBD= (2)证明：由(1)知，∠B0C=∠DAB=60°，所以OC∥ ∠CAD,所以∠BAD=∠CBD. AE.因为CE⊥AD,所以OC⊥CE.又因为OC为⊙0的半径，所 (2)连接DC,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD.因为 以直线CE是⊙O的切线. 点I是△ABC的内心，所以∠ABI=∠CBL.由(I)得∠CBD= 2.(1)证明：连接0C,因为AB是⊙0的直径，AC=BC,所 ∠BAD,因为∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBL=∠CBI+ 以∠BOC=90°.因为E是OB的中点，所以OE=BE.在△OCE ∠CBD,所以∠BID=∠IBD,所以ID=BD,所以BD=CD= OE BE, ID.所以点D是△BIC的外心 和△BFE中， ∠OEC=∠BEF,所以△OCE≌△BFE,所以 19.证明：(1)连接OA,OB,OC,A1,因为AB=AC,OB= CE EF. OC,OA=OA,所以△A0B≌△AOC,所以∠BA0=∠CA0,所 ∠OBF=∠COE=90°，即OB⊥BF.因为OB是⊙0的半径， 以AO平分∠BAC,因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ∠BAC,所以AO与AI在同一条直线上，所以OA所在的直线经 所以直线BF是⊙O的切线。 (2)因为OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,所以 过点1. (2)连接0D,则0D=OA,所以∠OAD=∠0DA,所以BF=0C=4,所以AF=√AB+BF=45,所以SAr= 2∠0HD+∠A0D=180,所以∠0AD+宁∠A0D=90,因为号4B.BF=分4F.BD,即8x4=45BD,所以BD-85 5 5 中考数学沪科(AH) 第14~18期 18期2版 能力提高6.(1)它的侧面展开图的圆心角是90°. 24.6正多边形与圆 (2)它所走的最短路线长是105cm. 基础训练1.C;2.B:3.36°；4 第18期3版 2； 题号12345678 5.6或30. 答案BDACCC BA 6.设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙O 10；1.÷:212;1B6m 5 相切于P, 二、9.12； "16r- 8 连接OE,OF,OM,ON,OP, 14.(2+1)π. 则∠EOF=90°，OM⊥AB,ON⊥AD,OP⊥BC, 三，15.r6=35cm,S6=545cm2 所以四边形AMOW,OMBP是矩形， 16.(1)CE的长为6-32. 所以AM=ON,BM=OP (2)连接OD,AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE+OF=2r,AM= 90°，所以AD⊥BC,因为AC=AB,所以CD=DB,因为OA= ON r,BM OP =r, OB,所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC,所以∠EOD= 所以AB=AM+BM=2r, ∠AE0,由(1)知∠AE0=45°，所以∠E0D=45°，所以弧DE 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为 的长为45mx3=3m (2r2-(2m)2=1. 180 4 n. (2r)2 17.(1)母线长AB为5m 24.7弧长与扇形面积（第一课时） (2)所需油毡的面积至少是63m2. 18.(1)BP与半圆A相切.理由如下. 基础训练1B:2C:3.1;48m 连接PA.因为AB为半圆O的直径，所以∠APB=90°，即 能力提高5.(1)因为BC,AC,AB与⊙0分别相切于点 AP⊥BP.又因为PA为半圆A的半径，所以BP与半圆A相切. DEF. (2)连接PO,易得△PAO为等边三角形，所以A0=OP= 所以CE=CD=a,BF=BD,AF=AE, PA=2,∠PA0=∠POA=60°.所以S阴影=S扇形PH0+S第形Oi 所以AE+BD=AF+BF=AB. -m-02+0a2-合×2×万=9- 360 因为△ABC的周长为36， 19.(1)证明：连接AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB 所以AE+BD+AF+BF+CE+CD=2AB+2a=36. =90°，因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT.因 因为AB=9,所以a=9. 为AT是⊙0的切线，所以∠BAT=90°，所以△ABT是等腰直 (2)连接OE,OD,因为AC,BC分别与⊙O相切于点E,D, 角三角形，所以∠ABT=∠ATB=45°. 所以∠0EC=90°，∠0DC=90° (2)过点E作EH⊥AB于点H,连接OE,OD,因为TD= 因为∠EFD=70°，所以∠E0D=2∠EFD=140°， BD,OB=OA,所以OD是△BTA的中位线，所以OD∥TA.因为 所以∠ECD=360°-90°-90°-140°=40°. AB⊥TA,所以OD⊥AB.因为E为AD的中点，所以∠DOE= 由(1)知CE=a=9,所以点E运动的路径长= 40×m×9=2m ∠40E=宁∠A0D=45,因为O0的半径1=宁4B=1,所 180 24.7弧长与扇形面积（第二课时） 以的长为51=年因为△0EH是等腰直角三角形，所 180 基础训练1.D;2.D;3.4-T; 以EH=OH= 4(-3D. 号，所以S影=SAm+S0E0E-SAOBE= 4+m-22 能力提高5.(1)证明：连接OB,因为CD是⊙0的直径， 8 所以∠CBD=90°.因为OE∥BC,所以∠BGE=∠CBD= 20.(1)9. 90°，所以∠E+∠EBG=90°.因为AE与⊙0相切于点B,所以 (2)由旋转的性质，得∠COD=40°，因为直径AB平分 OB⊥AE,所以∠OBD+∠EBG=90°，所以∠E=∠OBD.因 ∠COD,所以∠BOC=∠BOD= 为OB=OD,所以∠D=∠OBD,所以∠D=∠E. 2∠C0D=20°，所以∠A0C (2)连接BF,因为∠OBE=90°，F是OE的中点，所以BF =180°-∠B0C=160°，因为AB=8,所以A0=B0=24B =OF,因为OB=OF,所以OB=OF=BF,所以△OBF是等 边三角形，所以∠BOE=∠0BF=60°.因为∠OGD=90°，所 =4所以2=10X4=,所以元的长是号 180 以0F1BD,所以∠0BD=7∠0BF=30,所以0G=20B (3)扇形A0D的面积为号或号m或曾 =1,BG=√OB2-OG=5,所以S阴影=S扇形B0F-S△0G= 第18期4版 02-分x1×5--号 重点集训营 360 32 1.32 24.7弧长与扇形面积（第三课时） m;2.a2;3.12. 基础训练1C:2.C;3.2万；4子 4阴影部分的面积是号。-25 64 素养·拓展 数理超 2025年10月30日·星期四 初中数学 51-27126 1上接第4版) 见纸发行质量反喷电话 18期总第1162期 沪科 19.(12分》如图17，AB是⊙0的直径，A7 铺助线周周跨 0351-5271248 数理据 重点集圳营 中考{AH 是⊙0的期线，BT交⊙0于另一点D,且TD= BD. 上接4版参考答案】 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN140707F) (1)求证：∠ABT=45: 求阴影都分的面积 一、求边长 (2)若E为AD的中点，AB=2,连接BE,求 1.知图1，在扇形ABD中，∠AD=60,AC (268的长为1 名帅点睛 1,如图1，C,D是以AB为直径的半圆网的 平分∠BAD交弧BD于点C,点P为半径AB上 例1图1，AB,AC D的长及阴影部分的面 等分点，CD=8.P是直径上的任意一点，阴 -动，界AB=4影图长的品小值 点击弧长公式的应用 分别是某圆肉接正六边 了分的积事 《结某保辑) 形、正方彩的一边，若AB 广东鬼子 求弧的 的圆心角为100°，则陵圆的半径为 2,则AC的长为 】图1AB是品⊙0 解析：设该圆的半径为rm,根据题意，得 的直径，AC是弦，AB=4 =5,解得=9，即该圆的半径为9 解析：设的心是0，连接04,0,0G LA■30°，则BC的长度为 因为AB是圆内接正六边形的一边，所以∠A0B 收填9em, =60,△A0B等1边三角开形，所以0A三 四、发复杂路轻 2.如图2是同学们段计的”心”彩图案.正 2.如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠D= 船析：连接0C,因为 例4 =30°，所以∠C0B=60° 如图3 B=2因为AC是圆内接正方形的一边，所以 方形ABCD的边长为a,以A为圆心，AB长为半 90°，∠D4B=135°，且AB=2,AD=4.以B 示，有一长为4c AOC=0,所以△AOC是等直角三角形 径作扇形，又分别以BC和CD的长为直径作半！为圆心，BC为半径作，交B1的延长线于点E, 因为AB■4，所以OB■2，所以BC的长度为 为3m的长方形木频 所以0A=0C=2,所以AC=22.放填22 ，则图中明部分的面积为 若点Q为克EC上的动点，过点Q作0H⊥BC于 02故 在空面上作无滑动 13 3.m图3，形ABCD内 点H,设点I为△BQ的内心，连按BL,Q,当点 TAD （顺时针方向），木板上的顶点A的位置变化 。西型空间 ⊙0，分别以B,B,CDAL 二、求圆心角 0从点C层距与E时，为'、/好路☒ A一+A,中二次提上一 正多边形与圆的 为直径向外作半，若AB=3 例2 长为 图2是“ 挡住，使木板边沿A,C与奥面成30°角，则点A翻 动发石车”仿真模型驱 BC=4,则阴影部分的面积为 到A时，共走过的路径长为 试题分享密 20.(12分)1图18-①，4B是⊙0的直 解析：第一次翻滚是以B为旋转中心，时 ⊙M.⊙N的半径分别是 ⊙安橄田楚怡 径，AB=8,点C在⊙0上且位于直线AB上方 4.如图4，已知⊙0的半径 三型单80去屏安出降·由00用2出 针转90°到A,因为长方形的对角线AB长为 三耳副续专01=3用用￥深细阴30好7 1m灯0m当可/1 二、求角度 将半径0C烧点0时针旋转40，点C的对应 为1，AB是直径，分别以点A.B为心以AB的 /3+4=5(cm),讯以此次点A走过的路径 A00 时转动2时.⊙N上的点P随之旋转°，则n 例2如图2，正五边形 点为点D,在接CD,D 长为半径，两面相交于C,D两点，求图中阴 为×5=(em.第二次朝是点4，以 BCDE内按于⊙0，P为劣 (1)以CD为边的⊙0内接正多边形的边 部分的面积 带三2a可g,sE1=0阳7=387 数为 保面限017+07慧件0阳 解析：限据题息，得点P移动的距离为2×点C为旋转中心.时针旋转0°-30°。60°到 I弧AB上的动点，则∠APB的 2x1=4(em),所以x×04m.解得n 大小、为 (2)当直径AB平分∠C0D时.求AC的长： 3a7低幕3817017细亚'1807 10 4此次点A走过的路径为岛××3 0731【些解】=乙 72.故填72 π(m),所以点A翻表到A:时，共走过的路径长 解析：连接0A.0B,AD CU. 延长线于点E,当△ABE是等腰三角形时，直 三、求半径 BD,因为五边形ABCDE是 3严+m=35m(em).故填3.5 出高开形ADD面积 3.用数 例3已知圆上一段孤长为5em,它所对 ■72，所以 盘基出时'阳道的斗3,06= 正五边形，所以A0B360 专题辅导 037H07=a7=207 ADB=气∠A0B=36.因为正五边开 能地4达7,0=+d,0=d 阴影不要恤关键巧转化 1BCDE的外接圆为⊙O.所以四边彩APBD是 +风帽阳8g目喜明年学 ⊙O的内接四边形.所以∠APB+∠ADB= 。山西童 菲 和差韩化法 0D■0G0E■BC3.所以△B0D 180°，所以∠APB=144°.放填14 要3学士Y杀，00学细0 例1知1。平 三，求面积比 行四边形ABCD的对 △C0E都是等边三角形，以∠BOD=∠E0C 例3如图3。大边形 理报杜试膜研究中心 转绿上学【坐部】元+砂t【诺是】 分 角线AC,BD交于点O 60°，D=CE=3,所以∠ =60°，AD (参考答案见20阴】 且AC⊥AB,以0为圆 AE=3,所以△D0E是等边三角形，△ADE是等 ABCDEF是⊙O的内接正大边 边三角形.所以△ADEa△BOD AC0E∽于形，设正六边形ABCDEF的面 第17期2版参考答案 德力提高6.(I)正明：过0点作0E上CD十点E 长为半径画交对角 线D于点E,F,若AC △D0E,所以 因为切⊙0于A,所以014n,因为0平线 =5 积为S,AACE的面积为5，则 24直线与图的位置关系（第一课时） 4,∠AB0=30°，则图中阴影面分的面积为以弓形BD,弓形DE与弓形CE的面积相等，所 基铺练L,C:2.C:36和41<d<5 LA,所以0E=M.以为04为⊙0的半径，所以0所 5.话路 是⊙0的半径，以CD是©0的践 解析：因为AC⊥AB.所以∠AC=90°，因 360 能力提离6证明：(1)连按0.04C,为 为∠AB0=30，以∠A0B=60°因为AC 三，客斥原理法 解析：连接0A,0C,0E,因为六边形 过老cD的点B,,所以AC过点,A 20-2 24,5三角形的内切圆 例3如图3，在 BCDEF是⊙O的内接正大边形，所以AC=AE =C=AR.∠D4作=∠B4?∠C0=∠C0又只为 之周的兜南尊 4,以0A=0C=4C=2,所以4B=25, AA中，AB=AC =CE,所以△ACE是⊙0的内接正兰角形因 DD=B.FL△ADe△AR.月以∠A0=∠Am 训练1，D:2B:354 第7期4版参考答案 所以S=AB·0=25,Sam= LBAG=0,分别以 为∠B=I20°.AB=BC.所以∠BAC=∠BCA 健的长为3 B,C为圆心，以A长为 0是0的半经，所以D与O0相切 能力提离6，(1)正明略 60m2 =30°，因为∠GAE=60,所以∠0AC= =子m,所以3=2(5A-S）半径画以，两狐分别交线” 2》在接FE,在A和△C中因为D (21A1的长为4. 0 ∠0AE■30°，所以∠BAC=∠0AG■30，同 段BG于点E,D,若DE■4-22，图中阴影部 第17期3版参考答案 里得.∠C=∠OC=30.又因为AC= △,以∠F=∠0BE因为 =4-m故填4- 分的面积为 OE.所以∠0F ∠0BE=∠E,所以 号1之4568 笔积转化法 解析：因为在△ABC中，AB=AC,2BAC= AC,所以△RC≌△0C,所以sae=Saae ∠FD= ∠DOF=∠E.LLDF=BE 签DAB C A DDD 是@的 例2 如图2 以等边 0°，以∠B=∠C=45设AB=AC=a.则BC由即和正大边形的性质可得，Sar 244直线与的位关系时 =双0<骨<5：n.0:119:2智 角形的一边BC为直径作半 =2a,以DE=E+CD-C=AB+AC-BC5,由圆和正三角形的性历可得，Saac= 414 圆O交另两边于D.E两点 =2-2m.以4-22=2a-2a,解得=2 Saug=Sr因为S,=Sar+Sawr+Sa 数理报杜试螺研究 14.6+6 全文完) 5《1)P■ 答案见20期} (下转1,4版中缝 阴影部分的面积为 所以=a+5一S5x2 4 42)∠4PB=36 5r×2- 解析：连接OD.OE,DE.由题可得B ×2×2=m-2放填π-2 54)=25,以=2故填2 2 素养专练 数理松 数理极 素养·测评 3 2,把长度为2m的一根铁丝鹰成厘心角是 (2》若F是0E的中点，⊙0的半径为2.求阴 三、耐心解一解（本大题6小题，兵64分） 跟踪训练 120°的一条直，那么这条孤所在简的径是 影部分的面积 同出达标检测题（十四 15.(10分)如图13，已知⊙0内接正大边开 AB(CDEF的边长为6m,求这个正大边形的边心 B.2 C.3 D.4 距面积 24.6正多边形与圆 3如图2，四边形ABCD内按于0.⊙0的 【检测范图：246247】 径为3，∠D=115,则AC的长是 俓屈训练 (满分：120分) 7.某仿古墙上原有 个矩形的门洞，现要将 4.在社会实践活动中，小明日 、精心选一选（每小题4分，共32分】 它改为一个圆阻形的门洞，圆孤所在的宽外接于 1.如图1，正八边形内接干 同学用一个半径为2m的定滑 题号1234多678 矩形门，如图6，已知矩形的宽为2m,对角线为 ⊙0，连接0A.0B,则∠A0B的度 轮动重物上升.如图3，骨轮上 多聚 4m,敛建后门润的圆弧长是 数为 一点A绕点0时针旋转120”，假 A55 B.50 设绳来（粒细不计）与滑轮之间设 1.若圆锥的底面直径为6，高为4，该圆锋的 A.(m+2)m B.10wm C.45° D.409 有滑动，则重物上升了 侧面积是 A.12n B.15m C.24r D.30 C. 2半经为2的圆的一个内接 D.m 2.如图1，四边形ABCD内接T于圆0.且AB,C 正多边形的内角为120°，则这个内旋正多边形的 屈刀提高 8.如图7，在⊙0中，A, 是圆的内接正五边彩ABCEF的边，则LD的度 16.(10分)如图14，在△ABC中，AB=AC= 边长为 5.如图4，△ABC的内切圆⊙0与BC,AC.AB 24,7蕴长与房形面积{第三课时) 为⊙0上两点，且∠A0B= 数为 6,∠R4C=45,以AB为直径作半圆，交BC丁点 120°，分别以点A,B为圆心 B.2 C.居D.2 分别相切于点D.E.F.且△ABC的周长为36.AB A45 B.50 C609 0.72* D.交AC5E A.1 如图2，五边形ABCD是⊙0的内接正五 =9,CE= 厚础狮练 0.A长为华径国圆，将两圆知相交 (1)求段CE的长 的公共部分依次绕点0时针 边形，则∠AB的度数为 (1)求a的值： 1.图1，用个而，角为8构高开形纸片用成 21求虹DE的长 转72取师阳图所示的件五叶F附”（朝影国 2)若∠EFD=0°，将线段CE绕点C时 个底面半径为2，面积为8▣的圆谁，该瑞无 案).若0=1，图中“五叶花瓣”的面积为 跑转到点E在BC上时停止，求点E的运路径长 的罚心，角0为 45 A.90 B.135 D.270 3.每年8月8日为“全民健身日”，为了认真 队君-9 展体育运动，增强人民体质，惯阁执行《中华人民 1 共和体育法).网上各种跳身项目 出不穷 C.- n-君 4▣3美的个正六边A, 拾褪运动问以保证全身得到锻冻：如图2是始腿 二、细心填一填（每小题4分，共24分】 C,D在题上若AB=1,则该圆的半径为 云力元京图，已知数大店用器行知上90cm 9,一个扇形的面积是24πm2.圆心角是60 即0A=90em 共完成图中一一次动作时，脚尖划 则此扇形的半径是 5已知4B是⊙0的内接正十边形的一条边 2,若圆桂的制面展开图是圆心，角为120°的 过的轨迹长度为 10.如图8，正五边形ABCDE的边长为2，以B 17,(10分)如图15.粮仓的顶部是圆惟形，这 C是⊙0的内接正十五边形的一条边，则以AG 扇形，！该圆推的积与底面积的比为( AemB华emC45memD.号m 圆心，以BA为半径作AC,则阴影部分的面积 个锥的底面圆的半径为4m,高为3m 为一边的⊙0的内接正多边形的边数是 A.3:2B2:1 C3:1 D.4:1 (1)求这个的母线长： 4.州毕节风车草原成为近年来网虹打卡 24.7孤长与扇形积（第二课时） 3.如图2.⊙A的半径为3，作正六边形 (2)为了防雨，需要在它的原部铺上油，所 地，云海风车更是吸引着全国各地的游客前桌参 6加图4，小方影EFGH接产⊙0.大用 1 BCDEF,点B,点F在⊙A上，若图中阴影部分检 观风车定叶示意图图3所示，叶04的长为 需袖的面积至少是多少π取3,14，：果精确到 方形ABCD四边均和⊙0相韧，求图中空白部分 每配训练 个圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的高为 20米. 4扇叶0A旋转至0B位置时，扇叶01扫过 1m2 与阴影部分面积的比值 1.已知某扇形长为3π，园心角为60°，则该 的面积为 4.如图3，从一张稷 扇形面积为 A.=平方米 B即平方米 长为及：m的等服直角 c D.2g 彩铁皮OAB中剪出 c.400r平方米 D.0三平方米 11,传流服饰日益受到关注，明清时期女子 要裙式之一的马面裙可以近电看作扇环，如图9 2如果两个扇形的半径之比为1：2，國心角 个最大的扇形OCD,用剪 所示为其示登图，其中∠A0D=60,AD长为 之比也为1：2，那么它们的面积之比为( 的岛形性皮载不 A.1:2 B.14C.11 D.1:8 的侧面（不计辑耗），则该圆的张面半径为 晋米，C长店米，则隅长B为 3,如图1，在正方形ABCD中，AC为对角线.0 12.如图10，已知点A,B,C,D为个正多边形 为AC中点分别以点A,C为圆心，以A0的长为甲 使刀提高 的顶点，0为正多边形的中心，若∠ADB=15,则 18.（10分）某学日何使用量角卷深究 径国，与正方形的边相交当AB2时，阴影部 这个正多边形的边数为 相关性质，如图16所示，将两块量角器完全重合在 有而积为 （结展侯留r1 5.如图4所示，已知圆推城而半径r=5cm. 5.如图4，螺母的 个面的外沿可以看作是 足（量角器的直径为AB,圆心为），保持下面 线长为20em 大边形，如果这个正六边形ABCDEF的周长是 (1)求它的阅面展开图的圆心，角： 18万m.这个正六边衫的外接國半径是( 当圆心与点A重合时，量角器停止平移，北时半圆 (2)若一甲虫从4点出发沿着团维侧面绕行 A.3 cm B.23 cm C.3/3 em D.6 em O与半阿A交干点P.连接BP 24.7弧长与扇形商积（第一课时） 母线SM的中点B,请你动脑筋想一想它所走的 6.“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时扩 (1)BP与半有样的位置关系？请说明理 堡理师练 最短路线是多少？ 泛使用的一种图形如图5，以将边三角形A 的 三个面点为周、，以边长为[，变中 13如图1，在2x3的网格图中，每个小正方 (2)若量角器的直径AB=4,求中阴影部分 1.点A,B,C在⊙0上的位置图1所示，∠A 4.如图2，在圆心角为135°的扇形A0B中，型 成的图形就是“莱洛三角形”.若等边三角形AC 形的边长均为1，点A,B.C,D都在格点上，线段CD =0,⊙0的半径为3，则BC的长是 径0A=2m,C.D为AB的三等分点，连接0C 的边长为2，该“莱洛三角形”的面积等 与烈AC交于点E,则图中阴影部分的面积为 ODAC.CD,BD,则图中阴影部分的面积为 B.W A.2T B.2m-5 14.如图12，正方形ACD的边长为2，将正方 G.2m-2 D.2m+月 形ABCD按如图所示方式在直线1进行两次旋转 侄刀提高 则点C在两次旋转过程中经过的路径的长是 5,如图3，CD是⊙0的直径，AB与⊙0相切 于点B,声接BC,BD,过圆心O作0E∥BC,接 B共正长，交DC证近足产点A. 数理报杜试题研究中心 (1》求证：∠D=∠E: (参老答案见20期1 (下转第3版)