第16期 24.2.3 圆的确定 24.3 圆周角-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（沪科版 安徽专版）

4 素养·拓展 鼓理极 数理据 25年10月16日·星期四 初中数学 51-S27126 专恶子 见纸发行质量反喷电话 16期总第110期 沪科 重点集训营 0B5-52248 90°圆周角的性质体验 中考{AH ■n■N E N E N S行的 1上接4版参考答案 山西师范大学主管 山西师大教育科技传媒集团主办 数报社年出 社长：徐文伟 国内统一连埃出版物号：CN14-0707F 山东李洁然· 圆周角定理 “直径所对的圆周角是直角，0°的圆周角 以乙ACB=g0 思维天地 弧是圆中的无名英雄，与圆有关的许多计 1,如图1，弦CD所对的圆心角为120°，AB 国为A5⊥D 算和证正明题，表面上与斑没有直按关系，实际上 所对的弦是直径”，这是由圆周角定理得出的推 因为∠BAC和∠CDB是同IBC所对的圆 为直径，CD在半圆上滑动，F是CD的中点，过 小小性质用处多 淇却沟通着圆周角，西心角，弦等元素，起到了 论，应用这一推论可解决与此有关的一些试题 点D作AB的垂线，垂足为E,则DF下的度数 下面让我们一起体验 牵线搭桥的作用.下面举例悦明 以∠BAC=∠CDB=30 西 杨志忠 一，求圆的半径 一、为弦牵线搭桥 因为AB=4, 义因为∠EC 如图I.四边形ABCD的四 C.130 D.140 例1如图1，点A.B,C,D 例1如图1，AB是 个琐点都在⊙0上，则四边形 解析：因为∠DCE=65,所以∠DCB= 在⊙0上.AB⊥BC若BC 所以BCB2 AED, 1BCD内接于⊙0，⊙0是四过 ∠DCE=II5 ⊙0的直径，四边形ABCD 4.∠DC■30°.则⊙0的毕径 证·起， 所以AG=√AF-BC=-2 形ARCD的外按凰 因为四边形ABCD内接于⊙0，所以∠BAD 内接于⊙0，若C=CD 为 所以△ACE 因为∠A所对的弧为 +∠DCB=18D°，所以∠BMD=65,所以 DA=4m,则⊙0的直径 25. A.4 B.22 C.2. D.8 △ADE, AB为 故选D 2.如图2，A,B,C,D均为圆周上十 BCD,上C所对的I为D,且 ∠B0D=2∠BD=130 解析：注接AC.则∠CAB=∠BDC=30“ 故选C. A.5 cm B.4cm 三，求國周角的度数 点，若用直民量克D时.发足C点，D点 以AC=A0 因为AB⊥BC,所以∠ABC=0 C6 cm D.8cm 例3 如图3，在⊙0中. 别与刻度1和4对齐，则A,B两点的距离是 同理C4=cD, BCD与B1D所对宽心角的和为周角。 二，说理用 所以AC为⊙0的直径 径AB与弦CD相交于点P,连格 所以△4C印是等 所以由画周角定理，得∠A+∠C。 例2如图3，四边形 解析：连旋OD,OC因为C=CD=DM= 因为∠1C=90°，∠CB=30°，BCm4, AC,AD,D,若∠C=2D 3.如图3.已知AB,CD是 ABCD为⊙0的内接四边形 4em,所以D=CD=C,所以∠A0D= 以AC=28C=8, 边三角形 60=180 ∠BPC=0,则∠ADC的度数 D)两系核，AB=4,CL 已知∠C=∠D,断AB与 ∠D0G世∠B0G=60°.又发为0A=0》.月以 同理，∠B+∠D=180 所以⊙0的半径为号 所以∠C =4 =5,分别连接AC,BD并延 CD的位置关系，井说明 由此可得：圆内接四边形的对角互补， △A0D是等边三角形，所以04=AD=4m B.60 长，两相交点P,若∠P 理由 并以A■8m,故选D, 故A 3 利用这一性质解决与圆的内接四边形有关 G.50 1D.40 =30°，∠B4C=90.则⊙0 解：AB∥CD.理由如下： 二，求弦的长度 所以E·,O 的边，角回题，注往能够起到事半功婚的效果 解析：因为∠G=20° 的半径为 因为四边形ABCD是⊙0的内接四边形 例2如图2,4B是⊙0 数理报杜试题研究中心 而B=0C ,求角用 H1∠8=20. L∠A+∠C=180P 牵线搭桥话 的直径，点G,D在⊙0上，若 因为∠BPC=0 参考答案见下期} 例1如图2，四边 因为∠G=∠D,所以∠A+∠D=18D ∠CDB=30°.B=4.则AC ABCD内接于⊙0，E为BC延 所以AB∥CD. 圆 所以∠BDP=LBP℃-∠B=50 的长为 ( 。安猎 小 又因为AB为直径， 辅助线周周练 女B是B的中点 长线上 点.若∠DCE 祖馨退示：从以上几润可以看出。题内接四 A.22 二、为圆周角李线搭桥 B.4 以∠ADB■0P 2因为4W=2, 65°，则∠B0D的度数是 形的性质英篇，但在解决与圆的内接四边 例2如图2，AB是 G.5 D.2 所以∠ADC=∠ADB-∠BDP=40 以C·6, 形有关的问题时很有数，可学们在解项时委往 ⊙0的直径，C,D是⊙0上 解析：因为B为⊙0的直径 故选D, 1.如图1，AB是⊙0的直径.C为圆上 所以0E。0 的两点，若∠C4B=65°，则 而以AE=BF。CD 点.且∠A0C=120,⊙0的半径为4.P为画 贩型 第15期2版参考答案 ∠ADC的度数为《 221圆的本摄念及垂径定理 能力提高.L0C=45°.∠0B=67,5 动点，Q为AP的中点，则CQ长度的最大值是 A.25 B.35 4.c 第5期3版参考答案 在t△CE中，C 角形的外接圆常折 C459 D.65 5. 号2357 6.无数，1：7.36： 0河北尹洁琼 解折：丙为AB品百径.所以∠4CB=0 8.答岁不推一，大于等于4，小干5即可，如42： ￥DAEC#DEE 例1 如图1，⊙0是△AB的外圆，车接=A0-0E=2.所以在△F4中，AC 因为∠CAB=65",所以∠AC=90 ∠CAb 二，94条：10.4：1.答*不相一，14： 10.若∠星AC+∠0AB=09 AF -CF 4. =25,所以∠ADC=∠ABC=25.故A 0,纸杯的直径为5a 244143 (1)求证：AB=BC: 到2阳35日 三，为圆周角和圆心角牵线搭桥 地力提高1，明：双C中点F 三，5证明：为04=08，A初=5， 2)知2，作CD1AB交D,A0的五正长 为△ABD的外接圆上的E 例3如图3A,B,C是 在接DEE 乐以0D0. 2,如图2，在平直角坐标系中 四边 第15期4版 发交CD于E,若A0=3,AE=4.求线段AC的 ⊙0上的三点，若∠A0C■ 可为BD.CE是AABC 用为出=.E.0心m0心 动点（点C不在BAD 以△BCD和ABCE都是直角 以△cD≌△ ABC0为矩形，A(0,4).B(10,4),点M为边0C 90°，∠ACB=25",则∠B0C 参考答南 上，庄不与点B,D重 所D,EF分别为△和△E边的 的度数是 以∠C0D=∠C05 点，以点M为圆心.CW为半径作⊙M,交 中找 重点集调营 合)，LACB=LABD= A.20 B.25 京元=C,时C为B的中域 轴于点D,连接BD交⊙M于点F,接AE,点F 45. 所DF=EF=F=CF C.409 D.50 16.E=35 为AE的中点，则0F的最小值为 2 (1》求证：BD是该外接圆的直径： E,&,C,D四点以F点为心，了BC长为半 7.《I)∠NR的数是50 解析：根据在同圆或等圆中，可面或等克所 因O (2》⊙0的半径长为3 3.(1)正明：因 (2)连接CD,则AC,BC.CD三条线段满足 月上， 什么等量关系？请证明 对的圆周角等于圆心角的一半，可得∠AOB= 4,21心角弦，弦心距间关 感.《)桥供的半径品10米是 月0”1有莊导)”'0思"但四g 2∠ACB=50°，因为∠A0G=0°，所以∠B0C 2)水面高了2米 所以CF=F 解：(1)正明：连按0并延长，交AC于T, 解：(1)正明：因为AB=AB所以∠ADB =∠AOC-∠A0B=40°.放选C 5.120:62/间. 9.《1)©0的半径为5， 因为= 因为A0=B0,所以∠OAB= ∠0R,又因为 日四中进HVx),留Z兴4BH图 ∠ACB.又因为∠ACB=∠ABD=45.所以 四、为特角牵线描桥 7.∠40=36°，∠C0F=1s (2)正项连接OE,0F, ·.06=8337=097能(s) ∠R4C+∠0AB￥90°.以∠R4C+∠DBA= 所以A一F ABD=∠ADB=45°，所以∠BAD =0 ,明 81 0°，所以∠BTA=0°，所以BT垂直平分AC,所 例4图4，AB是⊙0 ('01)H'+=38'(0'01)3钟翻0生年 以D是该外接题的直径 2)正：接AG,0, 所以风G■D 所以AF-CF=B 以AB=BC. 的直径，G,D,F是⊙0上的 因为04=0C,L4C=30 为AG⊥B,H⊥B (2)2AC=BC+CD.证明：如图3，把 DE. (2)延长A0交⊙0于F连接C.因为CD 点，则∠1+∠2丁 日力AE=75 草中8班30粟【些静】1-/Z △ACDě点A寸计话0°△AEB,车 LAB.以∠CDA=0,开L∠0AB+∠AED 所以LACELAEC 为0E=0F, CE,所以AC=AE,BE=CD,∠CAE=909 以AC ■90，因为∠BAG+∠0AB■90，所以∠AED 解析：连接AC,BC,根海 AB. 开C里BACO≌1AD0F (2}⊙0的生径 ∠ABE=∠ADC.所以△ACE为等楼直角三角 里可下正BD, 所∠A0E =∠BAC=∠FEC.因为AF为0的直径，所 同宽所对的圆周角相等可 ×0率明0学细卫半H罩⊥0 5 形，所以CE=2AG.因为∠ABC+∠ADC= 因为C,D是店的三等分点， (全文完】 以∠ACF=90°，因为∠FCE+∠ACD=90, 知，∠I=AB,L2=LCAB,所以L1+∠2 所-F TH000果【些】忆+'【】 所以AC·CD-b. (下转1,4版中缝 ∠BAC+∠ACD=90°，所以∠FCE=∠BAC, 10°，所以∠ABC+∠AE=10°，所以点E在 =∠ABC+∠CAB.因为AB为⊙0的直径，所 所以∠FEC=∠FCE,所以FE=FC.因为AO CB的延长线上，所以CE=BC+BE=BC+ 以∠ACB=90°，所以∠1+∠2=∠AC+ =3,AE=4.所以OE=1,FE=FC=0F-0ECD,所以2AC=BC+CD ∠CAB=90故填90 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 7.加图7，点A⊙0中大 座力提高 17,(10分)如图15.四边形ABCD内接于 跟踪训练 AD的中点，∠ABD=70,C为为 10,如图7，方格纸上每个小正方形的边长均 弧BD上一点，则乙BCD的度数为 同步达检测题(+二】 ⊙0.4C为⊙0的直径，LADB■ ∠CDB (1)试判断△ABC的形状，并给出明： 为1个单位长度，点O,A,B.C在格点（两条同 (2)若AB■2万，AD■2，求CD的长度 24.2,3圆的确定 气的交点叫格点)上，以点0为原点建立直角坐 8.如图8，AB是⊙0的直径， 检测范围：242.324,3】 示系 CD是⊙0的一条弦，且CD⊥AB 俓屈训练 (I)过A,B.C三点的圆的圆心M的坐标为 于点E,连接AC,OC,BC [满分：120分) A25 B.35c35D. 1.在同一平面内，过A,,C三点可以作的圆 (1)求证：∠1=∠2： 、精心选一选（每小题4分，丧32分） (2)请通过计算判斯点D(-3,一2)与⊙ (2)若E=2,CD6,求⊙0的半径长 13 4568 二，细心填一填（每小题4分，共24分） 的个数为 9.如图8，四边形ABCD内接于⊙O,AD AD 且1 C.2 D.0成1 的位置关系， 2.如图1，⊙0是等边△ABC的外接，若AB 1,三角形外付接的心为 ,∠DAC=25°，则∠ABG= =3,则⊙0的半径是 A,三条高的交点 三条边的垂直平分线的交点 R. .万 D.2 心.三条角平分线的交点 D.三第中的你百 18.(10分)如图16，点E是△4BC角平分线 2.如图1所示，在⊙0中，AD是直径，弦BC交 的交点，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D AD于点E,连接ABAG.若∠BAD=32,则∠ACB (1)BD与DE相等吗：为什么？ 10,如图9，在直角三角形ABG中，∠ACB■ 的度数是 (2)若∠BAC=90,DE=2,求△ABC外搜 B58 C.64 90°，AC=1,BC=2,以点C为圆心，C4长为半径 D.54° 圆的半径 的圆与AB交干点D,则AD的长为 11.如图10，以原点0为圆 3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中 心的交x始于A,B阿点，交 轴的正半轴于点C,且点A的坐 三块碎片如图2所示，三块碎片中最有可能配到 24.3圈周角 标为(-20).D为第一象限 与原来一样大小的圆形镜子的碎片是 ⊙0上的一点，若∠0CD= A.① B.2 原应调练 9.如图9，在△ABC中，AC=BC,以BC为直 75°，则AD= C,窗 D.均不可能 1.如图1.点A,B.C在⊙0上.∠4C=52 径的圆分别交AB,AC于点D,E,连接BE,CD交于 3.如图2，在⊙0中，花AB,CD相交于点P,若 ,-1) 4.用反证法证明命题：“一组对边平行但不相 连接0B,0C,则∠B0C的度数为 点F若BD■6，BC■1D, ∠4=48 LAP=80，则∠B的度数为( 12在平面直角坐标系中，已知A( B(0,2).C(3,3)都在⊙M上，CM的坐标为 等的四边形不是平行四边形”时，第一步应假设 B.429 C48 1D.52 A.26 B,70 C104 D.128 (1)求证：AD=BD: 32 (2)求AE的长 13.如图1.四边形ABCD是⊙0的内接四边 5.如图3，点0是△ABC的外心，崔接0 1的网格中，点A,B,C狗落在格点上，用-个面形，∠CD=1I0,本接0B,0C,DD,D,∠BOC 19.(12分)如图17.AB.AC是⊙0的两条弦 0B,若∠0BA=20°，则∠A0B的度数为 去覆盖△ABC,能够完全覆盖这个巴角形的最小 =3∠C0D,则∠DC的度数是 面半径是 且AB=AC,点D是C的中点，连按并延长D A.5 B.后 D.S CD,分别交AC,AB的延长线于点E,F 1)求可正：OFDE (2)若BD=6.CE=8.求⊙0的半径 2.如图2，已知四边形ABDC内接于⊙0 ∠BDG■115°，则∠0C的度数为 A.130= B.120° C110 D.00 4,如图I2,在△ABC中.∠ ACB =90 6在平面直角坐标系x0山中，A(5,6).B(5 3.如图3，在⊙0中，￥径0A,0B互相垂直 图1 5.BC=4.当E是品AC边上的动占LcE为直生 2),C(3,0),则△ABC的外接圆的圆心坐标为 点C在劣流AB上，若∠ABC=9°，则∠BC 5.如图4，AB是⊙0的直径.C,D是⊙0上的 ⊙F,连接BE交⊙F于点D,则AD的最小值为 鹿刀提高 两点，连接AC,AD,CD,若LADC=70°，则∠CAB 7,如图4，⊙0是△ADB.△BDC的外接圆 A.23 24 C25 D.26 10,如图10，△ABC为等腰直角三角形 的世数是 三，耐心解一解（本大6小题，共4分》 ∠DBC=2∠ADB,若AB=25.CD=8,则⊙0 A.20 B.30 C.70 D.90 15（1D分)贞g13.日找义B世⊙0为 ∠ACB=0°，AC=3E.点D在AB的延长线上 的半径为 6,如图5，四边形ABCD内接于⊙0，点E,F分 且AB=BD,DE⊥AD于点D.过B,C,D三点的 8.如图5.⊙0是△AB( 别在AB和DC的延长线上，且EF∥BC,若∠F (1)实我与漫作：用尺规作图法作出圆心 ⊙交DE于点F,连接CE 80°.则下列结论正确的是 的外接圆，∠ABC=30°，B0 0(保智作图流迹，不委桌写作法)： 20.(12分)》如图18，圆内接西四边形ACD的对 (1)求⊙0的半径： A.∠下=110D B.∠D=100 =4,且C为直径，点D在过 (2)应用与计算：若弦AB=10,阅心0到A 角AC,BD交于点E,BD平分∠ABC,LRC (2)探究：其他条件不变，将点C在圆上移动 C.∠BcD=110 D.∠A=80 的距离为4.求⊙0的率径 LADB. BC上，点M是点D关于边 4.如图4，AB是⊙0的直径，点C,D在⊙0 至点G使AG■G,求AG的， (1)求证：DB平分∠ADC AB的对称点，过点D的直视 (2》求∠RMD的大： 平行干边AB,且与MA的延 上.若∠DAB=669,CU∠AGD= 长线交于点N,则战段M的最小慎为 5.如图5.四边形ABCD内接于⊙0.AD (3)过点C作CF∥AD,交AB的延长线于点 9如图6.在R△ABC中，∠C=90 BC,BD平分∠ABC,∠A=126°，则∠BDC的度数 F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长 15 《I)请用无刻度直尺园规画出R:△ABC的 外接圆（不写作法，保作国）： 16.‘10余】如图14四为形ACD是⊙0的内 7.卤☒6，边ACD型回0的为边于 (2)若AC=5.BC=12,求RIAABC的外接 BE是⊙O的直径，连接AE.若∠BCD=2LB.MD 接四边形，G是⊙0的直径，∠ACB■0，AB 网的尚积 连接OD,则∠D0E的度数是 2,点D为C的中点 A.359 B.459 C.60° D.10° (1)求⊙0的半径 8.如图7,4B是⊙0的 (2)求LDAC的度数 集弦，将劣弧沿啦AB折， 6.如图6，⊙0是△ABC的外按圆，G=BD 接A0并延长交折后的 点A是弧D的中点.若∠CBD=20°，则∠ABD 1 数理报杜试题研究中心 点G,连接BC,若AB=2,BC= 数理报社试题研究中心 的度数为 {参考答案见下期) 1,则AC的长为 「参考答案见下期}中考数学沪科(AH)第14~18期 数理极 答案详解 2025.2026学年 中考数学沪科(AH) 第14~18期 第14期2版 第14期3版 24.1旋转（第一课时） 题号 12 34567 8 基础训练1.C;2.B;3.C;4.-2; 5.(4,2). 能力提高6.(1)线段Pp的长为2. 二940：10259,11.4,122 (2)因为△APP'是等腰直角三角形，所以∠APP'=45°. 在△BPP'中，PP'=2,PB=22,P'B=PD=I0, 13.(2,2)；14子或1. 因为(2)2+(22)2=（√10）2，所以P'P2+PB2= 三、15.图略. 16.证明：由旋转的性质，得AE=AB,AF=AC,∠EAF= P'B2, 所以△BPP'为直角三角形且∠P'PB=90°，所以∠BPQ ∠BAC.因为AB=AC=1,所以AB=AC=AE=AF,∠EAF+ ∠FAB=∠BAC+∠FAB,即∠EAB=∠FAC.在△AEB和 =180°-∠APP'-∠P'PB=45°. AE AF, (3)过点B作BE⊥AQ,垂足为E, △AFC中，{∠EAB=∠FAC,所以△AEB≌△AFC,所以BE 因为∠BPQ=45°，所以∠PBE=90°-∠BPE=45°= LAB AC, ∠BPE,所以PE=BE. CF. 因为BP2=PE2+BE=(22)2,所以PE=BE=2, 17.(1)因为点D与点C关于点E成中心对称，所以E是线 所以AE=3,所以AB=√AE2+BE=√3，所以 段CD的中点，即DE=EC.因为AD∥BC,所以∠D=∠DCF. S正方形ABCD=AB2=13. r∠D=∠ECF, 24.1旋转（第二课时） 在△ADE与△FCE中， DE=CE,所以△ADE≌ 基础训练1.D;2.A;3.6;4.5. ∠AED=∠FEC, 5.证明：因为△AGB与△CGD关于点G成中心对称，所以 △FCE,所以AE=FE,AD=CF,所以点A与点F关于点E成 BG=DG,AG=CG.因为AE=CF,所以AG-AE=CG-CF, 中心对称.故填中点，E. 所以EG=FG.又因为∠DGE=∠BGF,所以△DGE≌ (2)证明：因为AB=AD+BC,BF=BC+CF,AD=CF, △BGF,所以BF=DE. 所以AB=BF,所以△ABF是等腰三角形. 能力提高6.(1)由题意可知，△0A1B1,△B242B1, 18.(1)证明：由旋转得AC=AE,∠CAE=90°，∠AED= △B2AB3都是等边三角形，且边长为2，所以OB,=BB2= ∠C,所以∠C=∠AEC=45°=∠AED,所以∠DEC=∠AED B2B3=2,所以B1(2,0),B2(4,0),B3(6,0) +∠AEC=90°，所以DE⊥BC. (2)过点A1作AH⊥OB1交x轴于点H,因为A10=A1B1, (2因为4C:要由旋转可得4E-C-5空所以在 所以0H=HB,=1.所以A1H=√A102-0=√22-1下= Rt△AEC中，EC=√AC+AE=5.因为BC=6,所以BE= 5.因为B2(4,0),所以A1B2=√AH+B2F= BC-EC=1.由旋转可知DE=BC=6,所以BD= √(5)2+32=25. BE2+DE=37. 24.1旋转（第三课时） 19.(1)证明：由题意知△ABM≌△ACM,△ABE≌ 基础训练1.A;2.A;3.菱形；4.3. △DCE,所以AB=AC,AB=CD,所以AC=CD. 5.略. (2)∠F=∠MCD.理由如下： 能力提高6.证明：(1)因为DE∥AC,DF∥AB,所以四 由(I)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE,∠CMA=∠BMA, 边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是中心对称图形. 因为∠BAC=2∠MPC,∠BMA=∠PMF,所以设∠MPC=a, (2)因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD.又因为 则∠BAE=∠CAE=∠CDE=a.设∠BMA=B,则∠PMF= DE∥AC,所以∠CAD=∠ADE,所以∠BAD=∠ADE,所以 ∠CMA=B,所以∠F=∠CPM-∠PMF=a-B,∠MCD= AE=DE.又因为四边形AEDF是平行四边形，所以四边形 ∠CDE-∠DMC=a-B,所以∠F=∠MCD. AEDF是菱形，所以AD垂直平分EF,所以点E,F关于直线AD 20.(1)AD'与BD'的位置关系为AD'⊥BD'.理由如下： 对称. 因为AC=BC,D,E分别为AC,BC的中点，所以CD=CE, 中考数学沪科(AH)第14~18期 即CD'=CE,因为∠C=90°，即∠BCA=∠D'CE'=90°，所所以x2+22=(3.5-x)2+1.52,解得x=1.5,即0M= 以∠ACD'=∠BCE',所以△CD'A≌△CE'B,所以∠CE'B= 1.5cm,所以0D=√OM+MD=2.5cm,所以纸杯的直径 ∠CD'A.因为∠BCA=∠D'CE'=90°，CD'=CE',AC=BC, 为2.5×2=5(cm). 所以∠CD'E'=∠CE'D'=∠CAB=∠CBA=45°，所以 能力提高11.证明：取BC的中点F,连接DF,EF.因为 ∠CE'B=∠CD'A=135°，所以∠AD'B=135°-45°=90°，BD,CE是△ABC的高，所以△BCD和△BCE都是直角三角形. 所以AD'⊥BD. 所以DF,EF分别为Rt△BCD和Rt△BCE斜边上的中线，所以 (2)在Rt△ACB中，因为AC=BC=2,所以BA=: DF=EF=BF=CF.所以E,B,C,D四点在以F点为圆心， √AC+BC=22,同理可得D'E'=√2，由旋转的性质，得 AD'=BE',设AD'=BE'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得 26C为半径的圆上 +(厄+x}=(2,解得x=压，-迈（负值舍去），所 24.2.2圆心角、弧、弦、弦心距间关系 2 基础训练1.B;2.A;3.D;4.70°； 以BE'=4-2 5.120°：6.2/13 2 7.∠A0C=36°，∠C0F=108°. (3)①经过点B时，题(2)已求得BE'=年-巨 8.(1)连接AC,BD,因为∠A0B=90°，C,D为AB的三等 2 ②经过点A时，设AC与BE'交于点F,同(1)可证得 分点，所以∠A0C=号∠40B=30°，因为0A=0B,所以 △CD'A≌△CE'B,所以∠D'AC=∠E'BC,BE=AD',因为 ∠OAB=∠OBA=45°，因为∠A0C=∠B0D=30°，所以 ∠AFE'=∠CFB,所以∠AE'B=∠BCA=90°.设BE'=AD' ∠AEC=∠OAB+∠AOC=75°. =x,在Rt△AEB中，由勾股定理，得x2+(x-√2)2=(22)2， (2)证明：连接AC,BD,因为OA=0C,∠AOC=30°，所以 解得x=5+,正（负值舍去），即B=迈+，压 ∠ACE=75°，所以∠ACE=∠AEC,所以AC=AE,同理可证 2 2 ③再次经过点B时，同理可证△CD'A兰△CE'B,AD'⊥ BF=BD,因为C,D是AB的三等分点，所以AC=CD=BD,所 以AE=BF=CD. BE',设BE=AD'=x,在Rt△AD'B中，由勾股定理，得x2+(x -万)：=(2，万)，解得x=E+,压（负值含去），即BE'= 能力提高9.因为CD=AC+BD,所以∠C0D=∠A0C 2 +∠B0D,因为∠C0D+∠AOC+∠B0D=180°，所以∠COD 巨+4： 2 =∠40C+∠B0D=子×180=0因为0C=0D.所以 ④再次经过点A时，同理可证△CD'A≌△CE'B,AD'⊥ ∠ODC=∠OCD=45°.因为PC=C0,所以∠P=∠COP,又 BE,设BE=AD'=x,在Rt△AE'B中，由勾股定理，得x2+(x 因为∠P+∠COP=∠OCD=45°，所以∠P=∠COP= +5)2=22)2,解得x=年，-巨（负值舍去），即BE'= 22.5°，所以∠D0B=∠P+∠PD0=67.5. 2 第15期3版 14-2 题号12345678 2 答案DAC C BD CC 综上所述，BB长的所有值为巨+年或压。-巨 2 2 二、9.4条；10.4；11.答案不惟一，如4；12.4； 13.4:14.3. 第14期4版 三、15.证明：因为OA=OB,AD=BE,所以OD=0E,因为 重点集训营 CD=CE,OC=OC,所以△OCD≌△OCE,所以∠COD= 1.略. 2.(1)作图略. ∠COE,所以AC=BC,即C为AB的中点. (2)作图略.旋转中心点M的坐标为(1,0). 16.连接0A,0B,0C,0D,AD.因为AD为120°，BC为50°， 第15期2版 所以∠A0B+∠C0D=190°，因为OA=OB,OC=OD,所以 24.2.1圆的基本概念及垂径定理 ∠OAB=∠OBA,∠OCD=∠ODC,所以∠OAB+∠ODC= 基础训练1A;2.B;3.C;4.C;5.C 85°，因为∠OAD+∠ODA=60°，所以∠EAD+∠EDA=145°， 6.无数，1；7.36°： 所以∠E=35° 8.答案不惟一，大于等于4，小于5即可，如4.2； 17.(1)因为AB是⊙0的一条弦，OD上AB,所以AD= 9.1.3. 10.设A,B,C,D所在圆的圆心为O,因为MN⊥AB,所以 BD,所以∠AOD=∠BOD=50°，所以∠D0B的度数是50° MN过圆心O,连接OD,OB,由题意，得MW=3.5cm.因为AB (2)因为AB=25,0D1AB,所以AE=分A4B=5,设 ∥CD,所以MN1CD,所以DM=CD=2cm,BN=4B ⊙0的半径长为r,在Rt△AOE中，由勾股定理，得A02=OE+ =1.5cm.设OM=xcm,所以ON=MW-OM=(3.5-x)cm, AE2,即2=(r-1)2+(5)2,解得r=3,所以⊙0的半径长 在Rt△OMD中，有OM+MD2=OD2,在Rt△OWB中，有OW2 为3. +BW2=OB2,因为OD=OB,所以OM2+MD2=ON2+BW2, 18.(1)设桥拱的半径是r米，因为OC⊥AB,所以AW= -2 中考数学沪科(AH) 第14~18期 分4B=8米，因为CN=4米，所以0N=(-4)米，在 (-3)=4,MB=+(-2-1)F=√0，所以MD>MB 所以点D在⊙M的外部. Rt△0AN中，有0A2=OW2+AN2,即2=(r-4)2+82,解得 24.3圆周角 r=10,所以桥拱的半径是10米. 基础训练1.C;2.A;3.D;4.24;5.99°； (2)连接OD,因为CO⊥DE,DE=12米，所以DM= 6.40°；7.140°. 分0E=6米，所以0M=√0D-D7=8米，因为0N=0C 8.(1)证明：因为AB是⊙0的直径，CD⊥AB,所以BC= -CN=6米，所以MN=8-6=2(米)，所以水面涨高了2米. BD,所以∠A=∠2，又因为OA=OC,所以∠1=LA,所以 19.(1)连接EO,设⊙0半径为r,因为EG⊥AB,所以CE ∠1=∠2. =CG=号EG=4,因为AC=2,所以0C=1-2,在R△CE0 (2)因为AB为⊙O的直径，CD⊥AB,CD=6,所以∠CEO 中，由勾股定理，得0E=CE2+0C2,即2=42+（r-2)2,解 =90°，CE=ED=3,设⊙O的半径是r,因为EB=2,所以OE 得r=5,所以⊙0的半径为5. =r-2,在Rt△0EC中，由勾股定理，得2=(r-2)2+32,解 (2)证明：连接OE,OF,因为AC=BD,OA=OB,所以OC 得=早所以⊙0的半径为是 =OD,因为EG⊥AB,FH⊥AB,所以∠OCE=∠ODF=90°， 9.(1)证明：因为BC是圆的直径，所以∠BDC=90°，因为 因为OE=OF,所以Rt△COE≌Rt△DOF,所以∠AOE= AC=BC,所以△ABC是等腰三角形，所以AD=BD. ∠BOF,所以AE=BF (2)因为BC是圆的直径，所以∠BEC=90°，因为AC= 20.(1)证明：连接AC.因为AB⊥CD于点E,所以CE= BC=10,AD=BD=6,所以CD=√BC2-BD2=8,AB=12, DE.又因为∠AEC=∠AED,AE=AE,所以△ACE≌△ADE, 所以AC=AD.同理CA=CD,所以△ACD是等边三角形，所以 因为∠BEC=0,所以5度=方xAB×CD=子×AC× ∠0E=30°，所以0E=20C.而0B=0C,所以0E= E,所以号×2×8=号×10×BE,解得E=96,所以AE 0B,故E是0B的中点 =√AB2-BE=7.2. 能力提高10.(1)连接BF,因为△ABC为等腰直角三角 (2)因为4B=12,所以0C=6,所以0E=20C=3.在 形，∠ACB=90°，AC=32,AB=BD,所以AC=BC=32, Rt△OCE中，CE=√OC-OE=35,所以CD=2CE= BD=AB=6,∠ABC=∠CAB=45°.因为DE⊥AD,所以BF 为⊙O的直径，所以∠BCF=90°，所以∠ACB+∠BCF= 63. 180°，所以点A,C,F三点共线.因为∠CAB=45°，DE⊥AD,所 第15期4版 以△ADF是以∠BDF为直角的等腰直角三角形，所以DF= 重点集训营 AD=6+6=12,所以BF=√BD+DF=65,所以⊙0 1.B;2.5 3 3.(1)证明：因为OE⊥AB,所以CF=DF,因为OA=OB, 的半轻为=35 所以AF=BF,所以AF-CF=BF-DF,所以AC=BD. (2)连接GF,连接GC并延长交AB于点M,因为AG=BG, (2)连接0C,设⊙0的半径是r,因为C0=CF2+OF2, AC=BC,所以点C在线段AB的垂直平分线上，点G在线段AB CF=D=4,所以r=4+(r-2),所以，=5，所以00 的垂直平分线上，所以GM⊥AB,AM=BM.因为∠ACB=90°， 所以CM=BM,∠BCM=45°.因为BF是⊙0的直径，所以 的半径是5. ∠BGF=90°.因为四边形GCBF是⊙O的内接四边形，所以 第16期2版 ∠GFB=∠BCM=45°，所以△BGF是等腰直角三角形，所以 24.2.3圆的确定 AG=BG GF-BF-310. 基础训练1.D;2.C；3.A; 4.一组对边平行但不相等的四边形是平行四边形； 第16期3版 5.140°；6.(1,4)；7.5：8.25 题号 2 34567 8 9.(1)图略. 答案BBAAABCC (2)因为在Rt△ABC中，AC=5,BC=12,所以AB= 尽+12=13，所以△ABC的外接圆的面积为m·(号)2= =90:1025:1.2512(3宁： 169 13.52.5°；14./29-2. 4 m. 三、15.(1)图略. 能力提高10.(1)连接AB,BC,分别作AB,BC的垂直平 (2)⊙0的半径为/41. 分线，两直线交于点M,则M是过A,B,C三点的圆的圆心，所以 16.(1)因为BC是⊙0的直径，所以∠BAC=90°，因为 M(1,-2).故填(1，-2). AB=2,∠ACB=30°，所以BC=2AB=4,所以OB=OC= 因为M1,-2),0-3,-2》.8(0.1,所以D=1-8C=2即00的半径为2 (2)点D在⊙M外部，理由如下： 一3— 中考数学沪科(AH) 第14~18期 2)因为∠BAC=90°，LACB=30°，所以LB=60°，因BD=4 为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D=180°-∠B =120°.因为点D为AC的中点，所以AD=CD,所以∠DAC= 第16期4版 重点集训营 ∠DCA=2(180°-∠D)=30 1.60°；2.35；3.7. 17.(1)△ABC是等腰直角三角形. 第17期2版 证明：因为AC为⊙O的直径，所以∠ADC=∠ABC=90°， 24.4直线与圆的位置关系（第一课时） 因为∠ADB=∠CDB,所以AB=BC,所以AB=BC,又因为 基础训练1.C;2.C;3.60;4.1<d<5. ∠ABC=90°，所以△ABC是等腰直角三角形. 5.证明：连接OC,因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA.因 为AC平分∠EAB,所以∠OAC=∠CAE,所以∠CAE= (2)CD的长为2√3. ∠OCA,所以OC∥AE.因为AE⊥CE,所以OC⊥CE,因为OC 18.(1)DE=BD,理由如下： 是半径，所以CE是⊙O的切线。 因为E是△ABC角平分线的交点，所以AD平分∠BAC,BE 能力提高6.证明：(1)连接OD,OB,AC,因为⊙0经过 平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE,所以BD 菱形ABCD的顶点B,D,所以AC过点O,AD=DC=BC=AB, =CD,所以∠DBC=∠CAD=∠BAE,因为∠DBE=∠CBE ∠DAO=∠BA0,∠DC0=∠BCO.又因为OD=OB,所以 +∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,所以∠DBE=∠DEB,所 △AOD≌△AOB,所以∠AD0=∠AB0.因为AB与⊙0相切， 以DE=DB 所以∠AD0=∠AB0=90°，因为OD是⊙0的半径，所以AD 与⊙0相切. (2)连接CD,由(I)得BD=CD,所以CD=BD=DE= (2)连接OF,OE,在△DOC和△BOC中，因为DC=BC, 2,因为∠BAC=90°，所以BC是⊙0的直径，所以∠BDC= ∠DC0=∠BCO,OD=OB,所以△DOC≌△BOC,所以 90°，所以BC=√BD2+CD=22,所以△ABC外接圆的半 ∠ODF=∠OBE.因为OD=OF=OB=OE,所以∠ODF= 径=28C=万 ∠OFD=∠OBE=∠OEB,所以∠DOF=∠BOE,所以DF= BE. 19.(1)证明：连接AD,因为点D是BC的中点，所以∠CAD 24.4直线与圆的位置关系（第二课时） =∠BAD.又因为AC=AB,AD=AD,所以△CAD≌△BAD,所 基础训练1.B;2.A；3.215°；4.14. 以∠ACD=∠ABD,CD=BD,所以∠DCE=∠DBF.又因为 5.(1)由切线长定理可知，DC=DA,EC=EB,PA=PB, ∠CDE=∠BDF,所以△CED≌△BFD,所以DF=DE. 则△PDE的周长=PD+DE+PE=PD+DC+EC+PE= (2)因为四边形ABDC是圆内接四边形，所以∠DBF= PD+DA+EB+PE=PA+PB=2PA=12,所以PA=6. ∠ACD.因为∠ACD=∠ABD,所以∠ABD=∠DBF,所以 (2)连接OA,OB,OC,则∠D0C=∠D0A,∠COE= ∠ABD=90°，所以∠ECD=∠ABD=90°，所以AD是⊙O的 ∠BOE.所以∠AOB=∠DOC+∠COE+∠DOA+∠BOE= 直径.因为CD=BD=6,CE=8,所以DE=10,所以EB=10 2(∠DOC+∠COE)=2∠DOE=144°.在四边形PAOB中，因 +6=16.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2,设AB=AC=x, 为∠PA0=∠PB0=90°，∠A0B=144°，所以∠APB=36. 则x2+162=(x+8)2,解得x=12,所以AB=12.在Rt△ABD 能力提高6.(1)证明：过O点作OE⊥CD于点E,因为 中，AB2+BD2=AD2,所以AD=122+6=65,所以⊙0 AM切⊙0于点A,所以OA⊥AD,因为D0平分∠ADC,所以OE 的半径为35. =OA,因为OA为⊙0的半径，所以OE是⊙0的半径，所以CD 是⊙0的切线. 20.(1)证明：因为∠BAC=∠ADB,所以AB=BC,所以 (2)过点D作DF⊥BC于点F,因为AB是⊙O的直径， ∠ADB=∠CDB,即DB平分∠ADC. AM,BN分别切⊙O于点A,B,所以AB⊥AD,AB⊥BC,所以四 (2)因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以AD 边形ABFD为矩形，所以BF=AD=4,所以CF=BC-BF= =CD,所以AB+AD=BC+C,即BAD=BCD,所以BD是直 5.因为CD,AM,BC为⊙0的切线，所以DE=DA=4,CE=CB 径，所以∠BAD=90°. =9,所以DC=DE+CE=13,在Rt△DCF中，DF= (3)因为CF∥AD,所以∠F+∠BAD=180°，因为∠BAD √DC2-CF=12,所以AB=12,所以OA=6,在Rt△OAD =90°，所以∠F=90°.因为AD=CD,所以AD=DC.因为AC 中，OD=0A2+AD2=213. =AD,所以AC=AD=CD,所以△ADC是等边三角形，所以 24.5三角形的内切圆 ∠ADC=60因为BD平分∠ADC,所以LCDB=之∠ADC= 基础训练1.D;2.B;3.35；4. 5.CE的长为3. 30°因为BD是直径，所以LBCD=90°，所以BC=7B0因 能力提高6.(1)证明：因为I是△ABC的内心，所以AE 为四边形ABCD是圆内接四边形，所以∠ADC+∠ABC= 平分∠CAB,BI平分∠ABC,所以∠BAE=∠CAE,∠ABI= 180°，所以∠ABC=120°，所以∠FBC=60°，所以∠FCB= ∠CBL.因为∠BIE=∠BAE+∠ABI,∠IBE=∠IBD+ 90°-60°=30°，所以FB=号BC.因为BF=2,所以BC=4, ∠EBD,因为∠CBE=∠CAE,所以∠BE=∠EBI,所以EB= El. 所以BD=2BC=8.因为BD是直径，所以此圆半径的长为 (2)连接EC,过点E作EM⊥AB,EN⊥AC交AC的延长 4 中考数学沪科(AH) 第14~18期 线于点N,则EM=EN.因为∠BAE=∠CAE,所以BE=CE, ∠ABD=分∠A0D,所以∠0AD+∠ABD=90,因为∠AB0 所以BE=EC=4.因为AE=AE,EM=EN,所以△AEM≌ =∠CBD=∠CAD,∠EAD=∠CAD,所以∠ABD=∠EAD, △AEN,所以AM=AN.因为BE=EC,EM=EN,所以△BME 所以∠IAE=∠OAD+∠EAD=90°.因为∠DIA=∠ABD+ ≌△CNE,所以BM=CN.设BM=x,则8-x=6+x,解得x ∠BAO=∠CAD+∠CAO=∠DAL,所以ID=AD,因为∠DIA =1,即BM=1,所以AM=7.又因为BE=4,由勾股定理得， +∠E=90°，∠DAI+∠DAE=90°，所以∠E=∠DAE,所以 EM=√4-下=√5，所以AE=√(/5)2+7下=8，因为 ED=AD,所以ID=ED,所以点D是IE的中点. EI=BE=4,所以A1=AE-EI=4. 20.(1)证明：因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠CAD, 第17期3版 因为∠CBD=∠CAD,所以∠BAD=∠DBC 题号123456 7 8 (2)证明：连接CD,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD, 答案DAB C ADDD 所以BD=DC,因为BE平分∠ABC,所以∠ABE=∠EBC.因 二9.0<R<5;10.40；11.9:12.1 8；13.1.5; 为∠EBD=∠DBC+∠EBC,∠BED=∠DAB+∠ABE,由(I) 知∠BAD=∠DBC,所以∠EBD=∠BED,所以DB=DE,所 14.6+√61. 以DB=DE=DC,所以点B,E,C在以点D为圆心的同一个圆 三、15.证明：因为AC=BC,所以∠A0C=∠B0C.因为 上 DB为⊙0的切线，所以OB⊥BD,所以∠OBD=90°.在 (3)连接OB,设AD与BC相交于点H, OB =0A, 因为AB=AC,AD平分∠BAC,所以AD⊥BC,所以BH= △OBD和△OAD中， ∠B0C=∠AOC,所以△OBD≌ 2c=4.所以4M=VAB-m=3设0B=,则O1 ODOD, OD=OB=x,OH=OA-AH=x-3,在Rt△BH0中，OB2= △OAD,所以∠OAD=∠OBD=90°.又因为OA是⊙O的半 径，所以AD为⊙O的切线. Bf+0f,即2=4+(x-3)P,解得x=2容即0A=0D= 16.(1)证明：因为AB为⊙0的直径，所以∠ADB=90°， 所以∠DBA+∠DAB=90°，因为∠E=∠DAB,∠ACB= 0B=答因为A0为⊙0的直径，所以4D=20A=亨在 ∠BED,所以∠DBA+∠ACB=90°，所以∠CAB=90°，所以 Rt△ABD中，因为∠ABD=90°，所以BD=√AD-AB2= CA⊥AB,所以AC是⊙O的切线. (2)EB的长为1. 号所以DE=BD=9,所以0E=DE-0D=多因为 17.(1)证明：连接OD,因为OD=0E,所以∠OED= ∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E,所以点E为△ABC的 ∠ODE,因为DE∥OA,所以∠ODE=∠AOD,∠DE0= 内心，所以OE的长即为△ABC内心与外心之间的距离，所以 ∠A0C,所以∠AOD=∠A0C,又因为OA=0A,OC=0D,所 以△AOD≌△AOC,因为AC是切线，所以∠ACB=90°，所以 △ABC内心与外，心之间的距离为子 ∠AD0=∠ACB=90°.因为OD是半径，所以AB是⊙O的切 第17期4版 线 重点集训营 （2)因为AB是⊙O的切线，所以∠BD0=90°，所以BD +OD2=OB2,即42+32=(3+BE)2,解得BE=2,所以BC 1.(1)连接OD和OC,因为AD=DC=CB,所以∠AOD= =BE+EC=8.因为AD,AC是⊙O的切线，所以AD=AC,在 ∠D0C=∠B0C=号×180°=60，所以∠D0B=∠D0C+ Rt△ABC中，AB2=AC2+BC,所以(4+AC)2=AC+82,解 得AC=6. ∠B0C=120°.因为0A=0D,所以∠DAB=7∠D0B=2 18.证明：(1)因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ×120°=60 ∠BAC,所以∠BAD=∠CAD,因为CD=CD,所以∠CBD= (2)证明：由(1)知，∠B0C=∠DAB=60°，所以OC∥ ∠CAD,所以∠BAD=∠CBD. AE.因为CE⊥AD,所以OC⊥CE.又因为OC为⊙0的半径，所 (2)连接DC,因为∠BAD=∠CAD,所以BD=CD.因为 以直线CE是⊙O的切线. 点I是△ABC的内心，所以∠ABI=∠CBL.由(I)得∠CBD= 2.(1)证明：连接0C,因为AB是⊙0的直径，AC=BC,所 ∠BAD,因为∠BID=∠ABI+∠BAD,∠DBL=∠CBI+ 以∠BOC=90°.因为E是OB的中点，所以OE=BE.在△OCE ∠CBD,所以∠BID=∠IBD,所以ID=BD,所以BD=CD= OE BE, ID.所以点D是△BIC的外心 和△BFE中， ∠OEC=∠BEF,所以△OCE≌△BFE,所以 19.证明：(1)连接OA,OB,OC,A1,因为AB=AC,OB= CE EF. OC,OA=OA,所以△A0B≌△AOC,所以∠BA0=∠CA0,所 ∠OBF=∠COE=90°，即OB⊥BF.因为OB是⊙0的半径， 以AO平分∠BAC,因为点I是△ABC的内心，所以AI平分 ∠BAC,所以AO与AI在同一条直线上，所以OA所在的直线经 所以直线BF是⊙O的切线。 (2)因为OB=OC=4,由(1)得△OCE≌△BFE,所以 过点1. (2)连接0D,则0D=OA,所以∠OAD=∠0DA,所以BF=0C=4,所以AF=√AB+BF=45,所以SAr= 2∠0HD+∠A0D=180,所以∠0AD+宁∠A0D=90,因为号4B.BF=分4F.BD,即8x4=45BD,所以BD-85 5 5 中考数学沪科(AH) 第14~18期 18期2版 能力提高6.(1)它的侧面展开图的圆心角是90°. 24.6正多边形与圆 (2)它所走的最短路线长是105cm. 基础训练1.C;2.B:3.36°；4 第18期3版 2； 题号12345678 5.6或30. 答案BDACCC BA 6.设AB与⊙0相切于M,AD与⊙0相切于N,BC与⊙O 10；1.÷:212;1B6m 5 相切于P, 二、9.12； "16r- 8 连接OE,OF,OM,ON,OP, 14.(2+1)π. 则∠EOF=90°，OM⊥AB,ON⊥AD,OP⊥BC, 三，15.r6=35cm,S6=545cm2 所以四边形AMOW,OMBP是矩形， 16.(1)CE的长为6-32. 所以AM=ON,BM=OP (2)连接OD,AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB= 设⊙0的半径为r,所以EF=√OE+OF=2r,AM= 90°，所以AD⊥BC,因为AC=AB,所以CD=DB,因为OA= ON r,BM OP =r, OB,所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC,所以∠EOD= 所以AB=AM+BM=2r, ∠AE0,由(1)知∠AE0=45°，所以∠E0D=45°，所以弧DE 所以图中空白部分与阴影部分面积的比值为 的长为45mx3=3m (2r2-(2m)2=1. 180 4 n. (2r)2 17.(1)母线长AB为5m 24.7弧长与扇形面积（第一课时） (2)所需油毡的面积至少是63m2. 18.(1)BP与半圆A相切.理由如下. 基础训练1B:2C:3.1;48m 连接PA.因为AB为半圆O的直径，所以∠APB=90°，即 能力提高5.(1)因为BC,AC,AB与⊙0分别相切于点 AP⊥BP.又因为PA为半圆A的半径，所以BP与半圆A相切. DEF. (2)连接PO,易得△PAO为等边三角形，所以A0=OP= 所以CE=CD=a,BF=BD,AF=AE, PA=2,∠PA0=∠POA=60°.所以S阴影=S扇形PH0+S第形Oi 所以AE+BD=AF+BF=AB. -m-02+0a2-合×2×万=9- 360 因为△ABC的周长为36， 19.(1)证明：连接AD,因为AB是⊙O的直径，所以∠ADB 所以AE+BD+AF+BF+CE+CD=2AB+2a=36. =90°，因为TD=BD,所以AD垂直平分BT,所以AB=AT.因 因为AB=9,所以a=9. 为AT是⊙0的切线，所以∠BAT=90°，所以△ABT是等腰直 (2)连接OE,OD,因为AC,BC分别与⊙O相切于点E,D, 角三角形，所以∠ABT=∠ATB=45°. 所以∠0EC=90°，∠0DC=90° (2)过点E作EH⊥AB于点H,连接OE,OD,因为TD= 因为∠EFD=70°，所以∠E0D=2∠EFD=140°， BD,OB=OA,所以OD是△BTA的中位线，所以OD∥TA.因为 所以∠ECD=360°-90°-90°-140°=40°. AB⊥TA,所以OD⊥AB.因为E为AD的中点，所以∠DOE= 由(1)知CE=a=9,所以点E运动的路径长= 40×m×9=2m ∠40E=宁∠A0D=45,因为O0的半径1=宁4B=1,所 180 24.7弧长与扇形面积（第二课时） 以的长为51=年因为△0EH是等腰直角三角形，所 180 基础训练1.D;2.D;3.4-T; 以EH=OH= 4(-3D. 号，所以S影=SAm+S0E0E-SAOBE= 4+m-22 能力提高5.(1)证明：连接OB,因为CD是⊙0的直径， 8 所以∠CBD=90°.因为OE∥BC,所以∠BGE=∠CBD= 20.(1)9. 90°，所以∠E+∠EBG=90°.因为AE与⊙0相切于点B,所以 (2)由旋转的性质，得∠COD=40°，因为直径AB平分 OB⊥AE,所以∠OBD+∠EBG=90°，所以∠E=∠OBD.因 ∠COD,所以∠BOC=∠BOD= 为OB=OD,所以∠D=∠OBD,所以∠D=∠E. 2∠C0D=20°，所以∠A0C (2)连接BF,因为∠OBE=90°，F是OE的中点，所以BF =180°-∠B0C=160°，因为AB=8,所以A0=B0=24B =OF,因为OB=OF,所以OB=OF=BF,所以△OBF是等 边三角形，所以∠BOE=∠0BF=60°.因为∠OGD=90°，所 =4所以2=10X4=,所以元的长是号 180 以0F1BD,所以∠0BD=7∠0BF=30,所以0G=20B (3)扇形A0D的面积为号或号m或曾 =1,BG=√OB2-OG=5,所以S阴影=S扇形B0F-S△0G= 第18期4版 02-分x1×5--号 重点集训营 360 32 1.32 24.7弧长与扇形面积（第三课时） m;2.a2;3.12. 基础训练1C:2.C;3.2万；4子 4阴影部分的面积是号。-25 6