第16期 1.1 锐角三角函数-1.3 三角函数的计算（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养·拓展 数理热 量反 2025年10月16日·星期四 初中数学 351-27126 上接第3版) 点F作FG⊥DE,垂足为G,则FG的最大值为 铺助线周周练 纸发行质量反喷电话 数理据 第16期总第16期 北师大 19.(12分)如图13.在△4BC中，CD是园 B51-527248 中考 AB上的中线，∠A阳LB都是锐角且inB (上接4版考答案】 mA=BC= 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办数理报社端辑出版 社长：徐文信 国内统一连续出版物号：CN140707F)邮发代号：21-205 1如图1.在△ABC中，∠ACB=90,BC Π10m+00Π·7yLL月0V 名师课堂： 求角度 (I)求AB的长 市1H0x了)证厂4y明H)含 10.AC=20.D为AB的中点.连接CD,将 31 例1如图1，在 (2)求mn∠CDB的值 Y慰‘30∥3 △BCD沿CD断得到△B'CD,BD交AC于点 确定三角函数值有妙招 △ABC中，CD⊥AB于 7年￥30◆厚 点D.∠A=60AB=1 殊 用9=(03+23+z)·91如治p出 。广东顾钰 +3AC=2.2AB :角 H3N士3TN士13T ,回定义 三，等角代换 的度数为 的 勤学“我联【坐￥】-之 2 例1在R1△ABC中，∠ACB=90,CD是 例3如图1.在△AB 是所以点，是) 斜边AB上的中线，CD=4,AC=6.则smB的中，∠ACB=90°.CD是AB边 : 值是 上的中线，AC=8,BC=6,日1 用三出·知=w20,87= 解析：因为上ACB=0,CD是斜边AB上∠ACD的正切值是 这 角 的中找.CD=4.所以AB=8 模析：因为CD5AB边 函 2.如图2，dnL0,}长度为2的线段DF 8绿的脚三出中斗阴V A45 B.105 图甲学士3T33学H罩 02 的中线，以CDAD,所以∠A=∠ACD.因 C.90 D.75 数 在射线0B上滑动，点C在射线0A上，且0C= 211》0D因为 为∠ACB=90.AC=8.BC=6,所以mm∠A= 二，1巧设参司 解析：因为CD1 5,△CDE的两个内角的角平分线相交于点F,过 士DT阳制日学【出群】号（球】 值 例2在R△ABG中，∠C=90,iA= 能-子所以tamL4CD的值为子益端是 AB,∠A=0°，所以 o 第15阴1版参光答 ,则anB的值为 四、构造直角 LACD=30因为AC=2.所以AD=2C 题24568 解析：因为在R1△ABC中，∠C=0°，imA 例4如图2，将△ABG 1.所以CD√AC-AD=5,因为AB=1 多BBA D A D CB -1.(1,2.(2, 放在每个小正方形的边长为」 二从0第：1a411,6412号412万，4.4 的网格中，点A,B,C均在格点 +后，所以BD=有.所以mLDC8=8部=1 在 20.(12分)对于钝角，定义它的三角函 ,解得x=3,A 前以设直角边2网，另一个直角边为， 上，则cosA的值是 所以∠DCB=45,所以∠ACB=∠ACD+ ∠DCB=75故选D 值如下： m,由图得2，·=60.帮得新=6，=2m 为 EF 边e=3m 架析：如图2，过点B 二.计博 sin a sin(180-a).cos a =-cos(180 根据勾股定理可得= (2m BH⊥AC.则∠AHB=90 ，当程信的0计的6 长 a (2)当西园的直视为0审2时，x的值为12 2 3m+ =5m 所以AH=22,AB=而，所以在 例2 计算 (1)求im120°，c0%120°，sin150的值： 7.(1》此数的表式为▣ 一次函 Vu30°-20*30°+1 (2)若一个三角形的三个内角的比是1：1 库存，所以支 所以tanB= 的表大比为丰=年+2. 故城 R1△ABH中nA= 4,A,B是这个三角形的两个顶点，imA,eB是 (2)不第式m+上的为-3<x0 L'L 2×号 0 思堆天地 方阴4r2一m一【=0的两个不相等的实数根 解：原式■ ∠C5,所以∠C4B=∠0C因为∠FAD :锐角三 2-5 求m的值及∠A和∠的大小 (3}将=0代人=12，得下2，所以点的 LB∠EPC,所以△AND一△，以 角函数爱上“网 因为 所以△AE △D,圆 2+1-」 E(2+5) 2 所以5。=×2=4,解y1=4因为点 B,所以∠B4E 2-2+同+1-号 山西 蒋爱华 在第三象限以y,-4.将-4代人y 2)①由(1)得∠45-0，园为D⊥AB. 一，用网格求正弦值 O∠ABD的值是 =25+3+1-.3+4.35+8 例1如图1，方格纸中小 解析：由知，BC=5 三，求边长 18(1 以△4C一△c,所以是=若因为C=4,4C 正方形的边长都为1，点A,B,( 因为AD⊥BC 例3如图2，已知∠ABC 都在格点上，那么siA的值为 =0°，点E是BC的中点，BD平 ∠ER.所以 E=∠CE.所以CC=CE,所以6，所A5-2，所C=AD= 3 又因为5m=子AC·AB=CD, 分∠BC,EF1BD,若AB=8 的长是8 解析：如图，过B作AC的 BC=6,则DF长为 色因为四边形AE是矩形.D与C交T点P 亚线.垂足为M, 所以0是： △c,所品号亡解得号，所 5 24 的以CF=AF=一AG=3,由CE∥AB.品语△CF 因为在边长相等的小正方形组成的网格 以E。旦 一4,所-=所以G=gC 中，点A,B,C都在格点上 所以D= c.3 n.22 4 是C一鲁所以体~异，所以线眼的长号 因为△APF 所以AB=√10，BC=1,AC=22 开C以A=BC 解析：如图2，过点D作DM上AB于点M 折以DF= 五，2.)反比函的表达式为y“- 005 作DN⊥BC于点N,因为∠ABC=0,所以四 ∠OPP,所以△2PA 因为BM⊥AC,以点是AC的中点。 三，利用网情求正切值 将△F一△w,所",4解得 (2)因海点，-3)恤在y=-上，所以N 所以AM=子C=瓦 边形BMDN是矩形.因为BD平分∠ABC,以 例3如图3，点A,B.G NBD=∠BD=∠BDN=459,所以AB= 1在 =-2-25(去)，所以5=-2+ 0 想在正方形网格的格点上， 25.拉填2,25 在R△RW中，BM■√AB-A=2,E, D,所以四边形DN是正方形，所以DM= AP=PF=.EB 第15期3,4版综合评估卷参老答案 -3282，-所以 tam∠BAC的值是( =+5 B.DN∥BC,所政△DN一△4CB, -,24380 B.I 多BGB0 ADA DDA 3)①当点P在轴上，设点八D),当∠0W1 =0 =所以袋.8解得DM=兰以 二，1.90%；12.2: =(2+x)+8, 14.5E+5:154/T. 形 得x了，D10 二，利用网精求余弦值 c n BD=2DWM=24,因为点E是BC的中点，所 (全文完) 例2如图2，边长为1 数理报杜试题研究中心 解析：设小正方形的边长为I,由图可划BD 小红的长是5米B.的所市的足14米 参考答案见下期】 以BE=BC=3,所以BF=BEs45°= (下转1,4版中缝) 的小正方形网格中，点A.B =5,AD=5. C在格点上，连接BC,点D在 BCG上且满足AD⊥BC,则 所以m∠84C=肥=1放法B 所以F。D-即.故选 2 2 素养专练 数理极 数理极 素养·测评 3 1悦角三角函效第二课时 16(I0分)如图10，在△ABC中，∠B=45°， 跟踪训练 堡础训练 同出达标 检测题（九） nC=号，AD1BC于点D,若AD=6.求BC的 1.如图1.在R1△ABC中，∠B=90,AB 1.1锐角三角函蚊（第一课时） 12,BC=5.AC=13.则nA= A号 指 4如图2，对折矩形纸种ABCD使ADBC 【检测范困1.11.3】 座团训练 合，得到折痕MN,再把纸片展平，E是AD上一点 (满分：120分) BF,连接DG,若DG■CD,则n∠DGF的值为 1.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，若AB 将△ABE沿E折叠，使点A的对应点'落在W 上，若CD=5,则BE的长是 精心选一选（每小题4分，共32分】 =3,BC=4,则tanA的值为 5.计算： 题号1254567 (1)e230+in245-an60°an30° 二，妇心填一填（每小题4分，共24分） 9用数材中的计算器按下列新序依次按谜： 1,2in45的值为 2.在△ABC中，∠C=90°，如果AC=2 sT园a回5同，屏幕上显示 B.5 C.】 .2 0sA=子，那么AB的长是 2如图1，在R△ABC中，∠C=0,AC=3 0.已悦角4的正弦值加A是一元二次方 BC=4,则aB的值为 A.3 瓜兰 C.5 程2x2-3x+1=0的一个根，则i加A= D.③ (2)an60°-2ew245°-2sin60 A. D. 1I.在B△A6C中，∠C=90°，斜边AB上的时 2.如图2，AB是水阳江某段河堤断卤的迎 3.如图2，在Rt△ABC中，∠B=90.若AD 水坡，坡高AC=0m,水平距商BC=105m,则 线是3cm,sinA=，则S= em. CD,AB=BD.则inCm 斜坡AB的被度为 2,如图7，在R△ABC中，∠CBA■90，以点 A C. D2 17.(10分如图1，在△ABC中，AD上BC, B.5 C.30 为圆心，适当长为半径画，分别交AB,AC于点 D.0 ∠B=∠BAE,AE=5.CD=3.an∠C=I, 4.如图3，在菱形ABCD中，对角线AC,BD D,E,再分刚以点D,E为圆心，大于DE长为半径 (I)求BD的长： 3.如图3，∠BC放在正方彩网格纸上，点A, 1 于互0，当E品AD的中点，年容0E.果AB=3 (2)求in∠B的值 B,C均在格点上，则an∠BAC= C=4,那么c∠A0E= 唯刀提高 3如知图2，在平面直角坐标系中，点A坐标为画死，两交于点F,作射线AF交边C于点G,若 B.T D. 6如图3，在矩形ABCD中.BC=4,将矩形 4,3),那么na的值是 BG=,BC=4.则mG的值为 LBCD绕点G时定转得到矩形A'C'D',设 B D 转角为a,此时点B恰好落在边AD上，连接B'B, (1》当B恰好是AD的中点时，求转角a的 4.如图3，在单位长度为1的网格中.△4C的三 个点均在格点上，则in∠CB的值等于( 5.如图4，在B△ABC中，∠ACB=90,CD (2)若∠ABB=75°，求AB的长 23ec9 13.如图8，矩形ACD的四个顶点分在直线 4.如图4，R△4BC中，∠ABC=90,AB=6 LAB,垂足为点D,nB=则c∠ACD .,上，若直线1，∥∥马∥且问距相等 4B=4.BC=2,则1ana的值为 G=8,D为AC边上动点，且m∠ABD= 14.面图9.△BC为力 则D的长度为 雁刀提高 三角形，AB=6,点D,E分别 5.如图5，在正方形ABCD 6.如图5，已知在梯形ACD中，AD∥BC 边BG,AC上，CD=AE=2,连 中，点F,E分别在边AD,DC上 ∠BCD=90,BC=8.AC=2/T而.sin∠DAC= 5.在AABC中，∠A,∠C都是锐角，若接AD.BE,点F,G分别是BE, 连接BF,FE,若AF=FE=EC =5,则∠BFE的正切值为 mA1+(esG-)=0，则△ABC是 AD的中点，连按FG,则段FG 9 10 的长为 18.(10分)如图12，在△ABC中，AB=AC= 3 (1)求BD的长 三，耐心解一解（本大题6小，共6付分）】 15,nA=手求： 唯刀提高 A.锐角三角形 B.直角三角形 (2)求∠ABD的正切值 3三角函效的计算 15.(10分)计算： C,等腰三角形 D.等边三角形 12im303e60 -44an45 (1)5: 6.如图6，在正方形ABCD中，AB=4,P,Q分 使理训练 6.加图4，拦水坝的横断面为梯形ACD,其中 (2)LB的余按值 别是边AD,AC上的动点 AD∥C,迎水坡AB的坡角∠ABC=45°，背水按 (1)填空：AG■ 。利用科学计克器计算子52，下列按键 CD的坡比为1：3，若料披AB长8m,则背水坡CD (2)若AP=3PD,且点A关于PQ的对称点 面序正确的是 的长为 A'落在边CD上，求an∠A'OC的值， A.I ab/e3cow 52= A.6反m B.85m B.3alve 1coe52= C,4石m D,8万m 7,如图5.在R1△ABC中，∠C■90°，∠A■ 1.230°，45°，60“角的三角函数值 c.1I-3w52= 67.5,则anB等于 D.ab/e 1 3 oos s 2= 堡迎训练 2运用课本上的科学计草器进行计算，按 i (2}.im30°·am450+51am30°-c%245 1.n60°的值等于 面序如下，则计算器显示的结果是 G.+1 D.2-1 A.1 B.5 d3:5Eam45)]×22目 3.在平面直角坐标系中，0是坐标原点，点P 2关于x的一元二次方程2-x+na 是第二象限内一点，走援OP,若OP与轴的负半 轴之间的夹角a=50°，0P=13.5,到点P到x轴 0有两个相等的实数根，则说角α等于( A,15 的距离约为 (周科学计算器计算，站果精 .309 C,45° D.60 001}, 3.如图1，在△ABC中，已知AB=4反，∠B 数理报社试题研究中心 8.如图6，在正方形ABCD中，E,F分别为边 45°，∠C=30°，则AC= (参考答案见下期) AB与AD上的点，连接CE,BF,交点为G,且CE1 (下转第4版)