基本不等式-江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》第14卷 学生练习卷（原卷版+解析版）

编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（数学）》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第14卷，主要考查基本不等式的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第14卷 基本不等式 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知，，，则的最大值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 2．已知 ，，且 ，则 的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．已知正数满足，那么的最小值等于 （    ） A． B． C． D． 4．如果，则的最小值是（　　） A．12 B．24 C． D．4 5．若 ，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知直线与圆相切，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 8．已知，若与互为倒数，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 9．当时，的最小值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 10．已知直线恒过定点.若直线也过定点，其中，.则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 12．已知，，则的最小值为 ． 13．已知和均为正实数，则的最小值为 . 14．若，则的最小值是 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元，设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 16．已知函数 (1)求函数的值域; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 17．已知扇形的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长． 18．研究表明：过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），当年产量不足40百辆时，（万元），当年产量不小于40百辆时，（万元），由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：江苏省2026年职教高考一轮复习《数学考点双析卷》，依据《江苏省中职职教高考公共基础知识考试大纲（数学）》（2020年版）及历年职教高考数学真题进行编写。“考点双析”即围绕一个考点，一份是老师的讲解卷，一份是学生的练习卷，旨在助力师生构建 “讲练结合” 的学习闭环。 本卷是江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》的第14卷，主要考查基本不等式的掌握情况。 江苏省2026年职教高考《数学考点双析卷》 第14卷 基本不等式 学生练习卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．已知，，，则的最大值为（   ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解． 【详解】因为，且， 由基本不等式可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为9. 故选：B． 2．已知 ，，且 ，则 的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式求解的最大值. 【详解】因为 ，，且 ， 所以， 当且仅当时，等号成立，又， 所以当且仅当时，则 的最大值是. 故选：B. 3．已知正数满足，那么的最小值等于 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为正数满足， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值等于. 故选：C. 4．如果，则的最小值是（　　） A．12 B．24 C． D．4 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立， 所以的最小值是12. 故选：A. 5．若 ，则 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式求解最值即可 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，即时，取得等号， 所以的最小值为； 故选：A 6．已知，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据均值不等式即可得解. 【详解】因为， 则， 当且仅当时等号成立，此时或（舍）， 所以的最小值为， 故选：. 7．已知直线与圆相切，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】根据直线与圆相切的性质结合基本不等式求解即可. 【详解】因为直线与圆相切， 所有. 展开化简得. 则, 当且仅当 ，即 时等号成立. 故选：C 8．已知，若与互为倒数，则的最小值为（    ） A．1 B．3 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式，即可求解. 【详解】与互为倒数，， 由基本不等式得. 故选：C. 9．当时，的最小值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】当时，，则. 当且仅当时等号成立. 故选：D. 10．已知直线恒过定点.若直线也过定点，其中，.则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线解析式，可变形为，继而根据，求得定点的坐标，将坐标代入，可得，结合基本不等式，即可求得最小值. 【详解】因为直线，即， 又直线l恒过定点，所以，即， 两式相减得，解得，， 即直线l恒过定点， 因为直线也过这个定点，所以，即， 所以， 因为，，由基本不等式知， 当且仅当，即时，等号成立， 于是，即的最小值等于， 故选：B. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．若正实数 ， 满足 ，则 的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为正实数 ， 满足 ， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故 的最大值为. 故答案为：. 12．已知，，则的最小值为 ． 【答案】48 【分析】根据基本不等式的性质即可求解. 【详解】， 因为，，所以， 则 当且仅当，即时，取最小值48， 故答案为：48 13．已知和均为正实数，则的最小值为 . 【答案】/4.5 【分析】首先将式子进行化简，再根据基本不等式进行求最值. 【详解】和均为正实数， ， 当且仅当，即时，等号成立. 故答案为：. 14．若，则的最小值是 【答案】/ 【分析】由对数的运算得到的值，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由可知， 且，即， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故答案为：. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 15．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元，设利用的旧墙的长度为x（单位：元），修建此矩形场地围墙的总费用为y． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 【答案】(1) (2)时，总费用最小为10440元. 【分析】（1）设矩形另一边的长为，则根据围建的矩形场地面积为，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元，新墙的造价为180元，即可求得y与x的函数关系式； （2）根据（1）中得到的函数解析式，利用基本不等式，易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值及相应的x的值. 【详解】（1）设矩形另一边的长为， 则， 由已知得，则， 所以. （2）因为， 所以， 当且仅当，即时取等号. 即当时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小费用为10440元. 16．已知函数 (1)求函数的值域; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）换元转化为求二次函数值域；（2）换元，分离参变量，根据不等式求解恒成立问题. 【详解】（1）因为定义域为， 则， 设，则， 所以值域为. （2）因为， 所以， 设，则， 原问题化为对任意，，即， 因为当且仅当即时，取等号， 即的最小值为3，所以 17．已知扇形的周长为10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长． 【答案】该扇形的面积的最大值为，此时圆心角大小为2及弧长为5cm. 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式，列出不等式，即可求解 【详解】设扇形圆心角的弧度数为，弧长l，半径r，面积S， 由得， ， 当且仅当，即时，S取得最大值， 此时， 综上所述：该扇形的面积的最大值为，此时圆心角大小为2及弧长为5. 18．研究表明：过量的碳排放会导致全球气候变暖等问题，为了响应国家节能减排的号召，2025年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本3000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），当年产量不足40百辆时，（万元），当年产量不小于40百辆时，（万元），由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)求2025年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； (2)当2025年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】(1). (2)2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大为1300万元. 【分析】（）根据题意列出分段函数解析式即可得解. （）根据二次函数的性质及基本不等式即可得解. 【详解】（1）由题意得 则. （2）当时，开口向上，对称轴为， 当时，， 当时，， 当且仅当，即时取得等号，此时， 因为， 所以2025年产量为100百辆时，企业所获利润最大，最大为1300万元. 试卷第2页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $