专题04 三角函数（讲义）-2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》

编写说明：2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》依据《中等职业学校数学课程标准》及内蒙古历年真题编写。本资料紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套对应讲义和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2026年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》的第4个专题，内容为三角函数。 2026年内蒙古（对口招生）《数学考纲专题练》 专题04 三角函数 一、课标解读 1.任意角的三角函数 · （1）角的概念的推广 · （2）弧度制 · （3）任意角的三角函数 · （4）同角三角函数间的基本关系 2.诱导公式及三角恒等变换 · （1）诱导公式 · （2）两角和与差的余弦、正弦、正切公式 · （3）二倍角的余弦、正弦、正切公式 · （4）辅助角公式 3.诱导公式及三角恒等变换 · （1）5点作图法 · （2）正弦函数的图像与性质 · （3）余弦函数的图像与性质 · （4）辅助角公式 二、考情聚焦 年份 题型 题号 考查内容 分值 考情总结 2021 选择题 6 任意角的概念 5 （1）题型：选择题、填空题、解答题均有涉及。 （2）内容及分值：三角恒等变换、三角函数的图像与性质；分值为10-18分。 填空题 13 正弦函数的性质 5 解答题 19 三角恒等变换 8 2022 选择题 4 诱导公式 5 填空题 18 三角函数求最值 5 2023 选择题 6 三角函数求值 5 填空题 18 正弦函数的图像与性质 5 2024 选择题 6 同角三角函数间的基本关系 5 解答题 19 三角恒等变换 8 2025 选择题 9 三角恒等变换及诱导公式 5 选择题 17 三角函数图像的平移 5 解答题 19 两角和的正切公式 8 三、考点预测 根据2021-2025年的真题考情，预估2026年内蒙古对口招生考试依然有2-3道题目对诱导公式、三角恒等变换、三角函数的图像与性质等进行考查；选择题、填空题、解答题均有涉及；分值10-18分。 具体考点可能涉及如下内容： · 任意角的概念 · 同角三角函数间的基本关系 · 诱导公式 · 三角恒等变换 · 三角函数的图像与性质 四、知识梳理 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 2．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 3．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 4．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 5．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 6．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 7．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 8．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 9．公式的逆用、变形等. （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 10. 正弦函数的图像与性质 (1)周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． (2) “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． (3)正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 11. 余弦函数的图像与性质 (1)“五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． (2)余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 (3) 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． (4)函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径: 五、10分钟小测验 一、单选题 1．如图所示，时钟因故障一直停表在8点整，刚好比正确时间慢1小时.如果要将分针和时针调整为正确时间9点整，那么分针和时针分别旋转所形成的角正确的一组是（    ）    A． B． C． D． 2．在中国古代扇子文化中，扇子绝不仅仅是纳凉用品，它更是装饰品、艺术品、身份地位的象征.如图扇形中，，， ，则弧形扇面的面积是（ ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．已知角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合，若角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 5．（   ） A． B． C． D． 6．已知，求（   ） A． B． C． D． 7．已知，，则（   ） A． B． C． D． 8．函数的简图为（ ） A． B． C． D． 9．函数和的图像在内构成一个封闭的平面图形，其面积为（    ） A． B． C． D． 10．函数在区间上的单调增区间为（    ） A． B． C． D． 1.【答案】A 【分析】根据正负角的定义，结合分针转一圈为，时针转一大格为，求解即可. 【详解】分针从点位置顺时针旋转一圈回到点位置，旋转角度为； 时针从点位置顺时针旋转到点位置，旋转角度为， 故选：A. 2.【答案】B 【分析】分别计算出和的面积，进而得到弧形扇面的面积. 【详解】因为， 所以， 所以，， 所以， 故选：B 3.【答案】D 【分析】利用已知三角函数值求角即可得解. 【详解】因为，且，则， 故选：. 4.【答案】B 【分析】利用任意角三角函数的定义，结合终边上点的坐标求解. 【详解】因为角的顶点为坐标原点，其始边与非负半轴重合， 若角终边上一点，则， 所以， 故选：. 5.【答案】A 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】 ， 故选：A. 6.【答案】A 【分析】根据题意，结合两角和的正切公式，先求出的值，结合正弦的二倍角公式和正、余弦齐次式的化简，即可求解. 【详解】因为，即， 解得， 所以. 故选：A. 7.【答案】A 【分析】根据同角三角函数平方关系的变形，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【详解】因为，， 所以， ， 两式左右分别相加得， 即， 所以. 故选：A. 8.【答案】A 【分析】根据正弦函数的图像即可得解. 【详解】函数，故错误，正确. 故选：. 9.【答案】C 【分析】根据余弦函数图像的性质，作图即可求解. 【详解】如图，根据余弦函数的对称性可知，函数和的图像在内构成的封闭平面图形的面积占矩形面积的一半. 又，的值域为，所以，且， 所以矩形的面积为， 因此封闭平面图形的面积为. 故选：C. 10.【答案】D 【分析】首先确定函数的单调性及区间，结合区间即可求解. 【详解】函数的单调增区间是， 单调减区间是， 时，单调增区间是，单调减区间是， 时，单调增区间是，单调减区间是， 时，单调增区间是，单调减区间是， 选项A，函数在先单调递减，然后单调递增，该选项错误； 选项B，函数在先单调递增，然后单调递减，该选项错误； 选项C，函数在单调递减，该选项错误； 选项D，函数在单调递增，该选项正确； 故选：D. 六、经典例题解析 【考试题型1】任意角的概念及同角三角函数的基本关系 【例1】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）下列说法正确的是（    ） A．第二象限的角大于第一象限的角 B．终边在直线上的角的集合为 C．角与是相等的角 D．的角是第三象限角 【答案】D 【分析】根据象限角的定义、终边相同的角的集合逐一判断即可. 【详解】对A，因为是第二象限角，是第一象限角，且，故A错误. 对B，终边在直线上的角的集合为，故B错误. 对C，当时，角与角是终边相同的角，不是相等角，故C错误. 对D，因为角，所以是第三象限角，故D正确. 故选：D. 【例2】（22-23高三·内蒙古·对口/高职单招）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，其中，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由方程有两个相等的实数根求解判别式，再由与的关系求解即可. 【详解】因为方程有两个相等的实数根， 所以有， 即，所以有， 因为，所以， 所以，即， ， 因为，所以， 所以， 所以. 故选：C. 【考试题型2】三角恒等变换 【例3】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由诱导公式化简已知等式，得出，由同角三角函数平方关系求出，再由余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】由，可得，即， 根据同角三角函数平方关系，将代入得， ，解得， 所以. 故选：A. 【例4】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）在中，. (1)求的最大内角的度数； (2)求的值. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据三角形的性质得出角最大，结合余弦定理即可得解. （）根据题意结合两角和的正切公式即可得解. 【详解】（1）在中，， 因为边最大，所以角最大， 则， 因为，所以. （2），则， 则. 【例5】（20-21高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，求： (1)的值 (2)的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由已知求解的值，再由两角差的正切公式计算即可. （2）先由将整式化分式，再由分子分母同除构造即可求解. 【详解】（1）因为， 可得，解得， 所以. （2）因为，所以 . 【例6】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知，且，. (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用三角函数的基本关系式依次求得，再利用正切函数的倍角公式即可得解； （2）利用三角函数的基本关系式求得，再利用余弦函数的和差公式即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以， 则， 所以. （2）因为，所以 又，所以， 所以. 【例7】（19-20高三·内蒙古·对口/高职单招）已知， 且， 则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与的关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 又因为，所以，即， 所以. 故选：C. 【考试题型3】三角函数的图像与性质 【例8】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）函数的周期为 ． 【答案】/ 【分析】由三角函数的周期公式求解. 【详解】函数的周期为. 故答案为：. 【例9】（24-25高三下·内蒙古·职教高考）将函数的图象向左平移个单位，得到的图象，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意结合图像的平移变化规律即可得解. 【详解】函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 则， 所以，因为， 所以， 故答案为：. 【例10】（18-19高三·内蒙古·对口/高职单招）在中，角所对的边分别是．已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用二倍角公式求解； （2）由正弦定理求解. 【详解】（1）因为，所以，则． 又因为，所以． （2）因为，所以由正弦定理， 得． 七、专题归纳小结 1. 要求适合某种条件且与已知角终边相同，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再根据条件解方程或不等式． 2. 已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解α的三角函数值． 3. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式． 4. 利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定． 5. 应用诱导公式化简三角函数的原则是：负化正、大化小，其一般步骤： ① 负角变正角； ② （大角化小角）转化为锐角． 6.在应用诱导公式时要注意已知角与未知角之间的特殊关系，如：与是互余的关系、与是互补的关系等. 7. 正确理解“奇变偶不变，符号看象限”这句话的准确含义. 8. 应用倍角公式，一是要选择合适的公式，二是要注意正用和逆用． 9. 降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了变形用二倍角公式的解题技巧． 10. 求形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k的单调区间时，只需把ωx＋φ看作一个整体代入y＝sinx的相应单调区间内即可，注意先把ω化为正数．求y＝Acos(ωx＋φ)和y＝Atan(ωx＋φ)的单调区间类似． 11. 求函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式，常用的解题方法是待定系数法，由最高(低)点的纵坐标确定A，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由条件求得y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的解析式一般不唯一，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一解． 12. 由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $