4.4两个三角形相似的判定 讲义 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

4.4两个三角形相似的判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】由平行判定两个三角形相似 3 【题型2】由平行判定两个三角形相似定理的应用 5 【题型3】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 6 【题型4】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 7 【题型5】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 8 【题型6】三边对应成比例的两个三角形相似 9 【题型7】相似三角形判定定理的综合 10 【题型8】动点中的相似三角形 12 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋•建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 【知识点2】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025•麒麟区三模）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，CE交对角线BD于点F，若DE=AD，BD=12，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2.（2025•雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，与AC交于点D．若BC=2，则CD的长度为（　　） A．1 B．3 C． D． 【知识点3】射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC； ②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC． 【题型1】由平行判定两个三角形相似 【典型例题】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【举一反三1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，腰BA、CD的延长线相交于M，图中相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【举一反三2】如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【举一反三3】如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：　　． 【举一反三4】如图所示，若DE∥BC，则图中 　　与 　　相似，理由是 　　． 【举一反三5】如图，△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？ 【举一反三6】如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，分别连接CE和BD，CE交边AD于点F，交BD于点G． （1）请写出图中一对相似三角形，并证明； （2）请写出图中其他相似的三角形． 【题型2】由平行判定两个三角形相似定理的应用 【典型例题】如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【举一反三1】如图，点A，B都在格点上，若BC，则AC的长为（　　） A. B. C.2 D.3 【举一反三2】当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE＝1 m，BD在地面上的影长BE＝3 m，广告牌的顶端A到地面的距离AB＝20 m，则广告牌AD为（ ） A. 5m B. m C. 15m D. m 【举一反三3】两张大小不一样的视力表，相同视力对应的“E”边长分别为3厘米、2厘米，若较大视力表对应的测试距离为6米，则较小视力表的测试距离应为 　　米． 【举一反三4】如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.7m，标杆FC的长为3.4m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE．（结果精确到0.1m） 【题型3】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 【举一反三1】在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠A，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.6对 【举一反三2】下列各组图形有可能不相似的是（　　） A.各有一个角是50°的两个等腰三角形 B.各有一个角是100°的两个等腰三角形 C.各有一个角是50°的两个直角三角形 D.两个等腰直角三角形 【举一反三3】已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角，判定这两个直角三角形　　（填写是或否）相似． 【举一反三4】如图，若∠ADE＝∠B，∠BAD＝∠CAE．求证：△ADE∽△ABC． 【题型4】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 【典型例题】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（  ） A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里 【举一反三1】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（  ） A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米 【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为         m． 【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）． 【题型5】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 【典型例题】如图所示，D、E分别是AB、AC边上的点，在下列条件中：①∠AED＝∠B；②；③，其中能判断△ADE与△ACB相似的有（　　） A.①② B.①③ C.①②③ D.① 【举一反三1】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D. 【举一反三2】如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　　． 【举一反三3】如图，已知，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 　　（写出一个即可）． 【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点．求证：△PCQ∽△QDA． 【举一反三5】如图，在△ADE和△ABC中，，且∠EAC＝∠DAB．求证：△EAD∽△CAB． 【题型6】三边对应成比例的两个三角形相似 【典型例题】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A.AB，BC＝AC，DE，EF＝DF＝3 B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE，EF＝2，FD C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10 【举一反三1】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（　　） A.AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE，EF，DF B.AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1 C.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6 D.AB，AC，BC，DE，EF＝3，DF＝3 【举一反三2】若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是（　　） A.AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6 B.AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15 C.AB＝1，BC，AC＝2，DE，EF，DF D.AB＝1，BC，AC＝3，DE，EF＝2，DF 【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）： （1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　． 【举一反三4】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【题型7】相似三角形判定定理的综合 【典型例题】如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（　　） A.OA•OC＝OD•OB B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D. 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　） A.∠D＝∠B B.∠E＝∠C C. D. 【举一反三2】如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为　　时，△ADP和△ABC相似． 【举一反三3】如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（DE≠BC），当　　或　　或　时，△ADE与△ABC相似． 【举一反三4】格点△ABC与△A′B′C′是否相似？你有哪些判断方法？ 【举一反三5】如图， （1）判断两个三角形是否相似； （2）求x和y的值． 【题型8】动点中的相似三角形 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t＝（　　）时，△APQ与△ABC相似. A.3 B. C.或 D.3或 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC＝7cm，BC＝12cm，动点P，Q分别从点A，C开始沿图中所示方向及速度运动，如果P，Q两动点同时运动，那么经过 　　秒，以C，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4两个三角形相似的判定 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】由平行判定两个三角形相似 4 【题型2】由平行判定两个三角形相似定理的应用 7 【题型3】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 10 【题型4】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 12 【题型5】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 14 【题型6】三边对应成比例的两个三角形相似 16 【题型7】相似三角形判定定理的综合 19 【题型8】动点中的相似三角形 22 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】相似三角形的判定 （1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 1.（2024秋•建平县校级期中）有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形（　　） A．一定相似 B．一定不相似 C．不一定相似 D．无法判断 【答案】A 【分析】一定相似，因为将甲的三角形木框的各边分别乘以就得到了乙的三角形木框，即其两人的三角形和各对应边比相等，所以两三角形相似． 【解答】解：因为，即两个三角形三边对应成比例，所以相似． 故选：A． 【知识点2】相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 1.（2025•麒麟区三模）如图，在菱形ABCD中，点E是边AD上一点，CE交对角线BD于点F，若DE=AD，BD=12，则DF的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据题意得出AD∥BC，AD=BC，利用相似三角形的判定得出△DFE∽△BFC，再由其性质代入求解即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△DFE∽△BFC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BD=12， ∴DF=3， 故选：A． 2.（2025•雁塔区校级三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，与AC交于点D．若BC=2，则CD的长度为（　　） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】先利用等腰三角形以及三角形内角和，求得∠ABC=∠C，再利用角平分线，求得，然后计算出∠BDC，推出AD=BD=BC，最后证明△BCD∽△ACB，然后利用对应边成比例求得答案． 【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠DBC=∠A=∠ABD，∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-36°-72°=72°， ∴BD=AD，BD=BC， ∵∠C=∠C，∠DBC=∠A， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∵BC=2， ∴， ∴， ∴2CD+CD2=4， ∴（舍去负值）， 故选：D． 【知识点3】射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2=BD•DC； ②AB2=BD•BC；AC2=CD•BC． 【题型1】由平行判定两个三角形相似 【典型例题】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，则图中相似三角形共有（　　） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 【答案】C 【解析】∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC， ∵AB＝CD，BC＝DA，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴△AEF∽△ADC， ∵全等是特殊的相似，∴图中相似的三角形共有3组. 故选：C． 【举一反三1】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，腰BA、CD的延长线相交于M，图中相似三角形共有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 【答案】B 【解析】∵AD∥BC，∴△MAD∽△MBC，△ADO∽△CBO，共两对． 故选：B． 【举一反三2】如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形有（　　） A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 【答案】B 【解析】∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，△ABC∽△EFC，△ADE∽△EFC. 故选：B． 【举一反三3】如图，E为平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交边CD于点F．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形：　　． 【答案】△AFD∽△EFC（答案不唯一） 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△AFD∽△EFC∽△EAB． 【举一反三4】如图所示，若DE∥BC，则图中 　　与 　　相似，理由是 　　． 【答案】△ADE，△ABC，平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 【解析】∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）. 【举一反三5】如图，△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？ 【答案】解：图中共有3对相似三角形，理由如下： ∵EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC． 【举一反三6】如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，分别连接CE和BD，CE交边AD于点F，交BD于点G． （1）请写出图中一对相似三角形，并证明； （2）请写出图中其他相似的三角形． 【答案】解：（1）△EAF∽△EBC，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴△EAF∽△EBC. （2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD， ∴△EAF∽△EBC，△ABD∽CDB，△DFG∽△BCG，△EAF∽△CDF，△CDG∽△EBG， ∴△EBC∽△CDF． ∴图中相似三角形是△EAF∽△EBC，△ABD∽CDB，△DFG∽△BCG，△EAF∽△CDF，△CDG∽△EBG，△EBC∽△CDF． 【题型2】由平行判定两个三角形相似定理的应用 【典型例题】如图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图）用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N， ∵CD∥AB，∴△CDO∽△ABO′，即相似比为，∴， ∵OM＝15﹣7＝8（cm），O′N＝11﹣7＝4（cm），∴，∴AB＝3（cm）. 故选：C． 【举一反三1】如图，点A，B都在格点上，若BC，则AC的长为（　　） A. B. C.2 D.3 【答案】B 【解析】作CD⊥BD于点D，作AE⊥BD于点E，如图所示，则CD∥AE， ∴△BDC∽△BEA，∴，∴，解得BA＝2， ∴AC＝BA﹣BC＝2. 故选：B． 【举一反三2】当下，户外广告已对我们的生活产生直接的影响．图中的AD是安装在广告架AB上的一块广告牌，AC和DE分别表示太阳光线．若某一时刻广告牌AD在地面上的影长CE＝1 m，BD在地面上的影长BE＝3 m，广告牌的顶端A到地面的距离AB＝20 m，则广告牌AD为（ ） A. 5m B. m C. 15m D. m 【答案】A 【解析】∵太阳光线是平行的，∴AC∥DE，∴△BDE∽△BAC，∴＝， 由题意，得BE＝3m，AB＝20m，EC＝1m，即＝，解得BD＝15m，∴AD＝5m． 故选：A. 【举一反三3】两张大小不一样的视力表，相同视力对应的“E”边长分别为3厘米、2厘米，若较大视力表对应的测试距离为6米，则较小视力表的测试距离应为 　　米． 【答案】4 【解析】如图，根据题意得OB＝6米，AB＝3厘米，CD＝2厘米， ∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∴，即，∴OD4（米）， 即较小视力表的测试距离应为4米． 【举一反三4】如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高AB为1.7m，标杆FC的长为3.4m，且测量人员与标杆的距离BC为3.5m，标杆与电视塔的距离CD为6.5m，AB⊥BC，FC⊥BD，ED⊥BD，求电视塔的高DE．（结果精确到0.1m） 【答案】解：过点A作AH⊥ED分别交FC于点G，交ED于点H，如图所示． ∴AG＝BC＝3.5，GH＝CD＝6.5，AB＝GC＝HD＝1.7． ∵AB∥FG∥EH，∴△AFG∽△AEH，∴，即，解得EH≈4.86． ∴DE＝EH+HD＝EH+AB＝4.86+1.7≈6.6（m）． 答：电视塔的高DE约为6.6m． 【题型3】利用两个角对应相等判定两个三角形相似 【典型例题】下列条件中，一定能判断两个等腰三角形相似的是（　　） A.都含有一个40°的内角 B.都含有一个50°的内角 C.都含有一个60°的内角 D.都含有一个70°的内角 【答案】C 【解析】因为A，B，D给出的角40°，50°，70°可能是顶角也可能是底角，所以不对应，则不能判定两个等腰三角形相似，故A，B，D错误； C、有一个60°的内角的等腰三角形是等边三角形，所有的等边三角形相似，故C正确． 故选：C． 【举一反三1】在△ABC中，∠B＝∠C＝36°，AD、AE三等分∠A，D、E在BC边上，则其中的相似三角形有（　　） A.1对 B.2对 C.3对 D.6对 【答案】D 【解析】：∵∠B＝∠C＝36°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣36°＝108°， ∵AD、AE三等分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE＝∠CAE＝36°， ∴∠BAE＝∠CAD＝72°，∠ADE＝∠AED＝72°， ∴△ABC∽△EAC∽△DAB，△ADE∽△BAE∽△CAD． 故选：D． 【举一反三2】下列各组图形有可能不相似的是（　　） A.各有一个角是50°的两个等腰三角形 B.各有一个角是100°的两个等腰三角形 C.各有一个角是50°的两个直角三角形 D.两个等腰直角三角形 【答案】A 【解析】A、各有一个角是50°的两个等腰三角形，有可能是一个为顶角，另一个为底角，这两个不相似，故此选项符合题意； B、各有一个角是100°的两个等腰三角形，此角必为顶角，则底角都为40°，这两个三角形必相似，故此选项不合题意； C、各有一个角是50°的两个直角三角形，再利用两直角，即可得出，这两个三角形必相似，故此选项不合题意； D、两个等腰直角三角形，两角对应相等，这两个三角形必相似，故此选项不合题意. 故选：A． 【举一反三3】已知40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角，判定这两个直角三角形　　（填写是或否）相似． 【答案】是 【解析】∵40°和50°分别为两个直角三角形中的一个锐角， ∴锐角为40°的直角三角形的另一个锐角为50°，∴这两个直角三角形相似． 【举一反三4】如图，若∠ADE＝∠B，∠BAD＝∠CAE．求证：△ADE∽△ABC． 【答案】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC， ∵∠ADE＝∠B，∴△ADE∽△ABC． 【题型4】两个角对应相等的两个三角形相似定理的应用 【典型例题】“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB、AD中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝（  ） A. 1.2里 B. 1.5里 C. 1.05里 D. 1.02里 【答案】C 【解析】∵EG⊥AB，FH⊥AD，HG经过A点，∴FA∥EG，EA∥FH， ∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∴△GEA∽△AFH，∴＝． ∵AB＝9里，DA＝7里，EG＝15里，∴FA＝3.5里，EA＝4.5里，∴＝， 解得FH＝1.05里． 故选：C． 【举一反三1】为了估算河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点A，再在河的这一边选点B和点C，使得AB⊥BC，然后再在河岸上选点E，使得EC⊥BC，设BC与AE交于点D，如图所示，测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，那么这条河的大致宽度是（  ） A. 75米 B. 25米 C. 100米 D. 120米 【答案】C 【解析】∵AB⊥BC，EC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°． 又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB∽△EDC．∴，即． 解得：AB＝100米． 故选：C． 【举一反三2】如图，矩形台球桌ABCD的尺寸为2.7 m×1.6 m，位于AB中点处的台球E沿直线向BC边上的点F运动，经BC边反弹后恰好落入点D处的袋子中，则BF的长度为         m． 【答案】0.9 【解析】由题意可得出：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD，∴△EBF∽△DCF，∴＝， ∴＝，解得：BF＝0.9． 【举一反三3】小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20米．当她与镜子的距离CE＝2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．已知她的眼睛距地面高度DC＝1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度（注：入射角＝反射角）． 【答案】解：∵根据反射定律知：∠FEB＝∠FED，∴∠BEA＝∠DEC， ∵∠BAE＝∠DCE＝90°，∴△BAE∽△DCE，∴， ∵CE＝2.5米，DC＝1.6米，∴，∴AB＝12.8，∴大楼AB的高为12.8米． 【题型5】利用两边对应成比例，且夹角相等判定两个三角形相似 【典型例题】如图所示，D、E分别是AB、AC边上的点，在下列条件中：①∠AED＝∠B；②；③，其中能判断△ADE与△ACB相似的有（　　） A.①② B.①③ C.①②③ D.① 【答案】A 【解析】①可根据有两组角对应相等的两个三角形相似； ②可根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定． ∴①和②都能独立判断△ADE与△ACB相似. 故选：A． 【举一反三1】如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是（　　） A.∠A＝∠A B.∠ADE＝∠AED C. D. 【答案】C 【解析】由题意得，∠A＝∠A， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可判断△ABC∽△AED，故C选项符合题意； A、B、D选项均不能判定△ABC∽△AED，故不符合题意. 故选：C． 【举一反三2】如图，∠1＝∠2，要使△ABC∽△ADE，还需要添加一个条件 　　． 【答案】∠D＝∠B或∠C＝∠AED或 【解析】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， 所以，添加的条件为∠D＝∠B或∠C＝∠AED或． 【举一反三3】如图，已知，请再添加一个条件，使△ABC∽△ACD，你添加的条件是 　　（写出一个即可）． 【答案】∠BAC＝∠CAD 【解析】添加∠BAC＝∠CAD， ∵，∠BAC＝∠CAD，∴△ABC∽△ACD. 【举一反三4】如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q为CD的中点．求证：△PCQ∽△QDA． 【答案】证明：∵BP＝3PC，Q为CD的中点，∴， 又∵∠ADQ＝∠QCP＝90°，∴△ADQ∽△QCP． 【举一反三5】如图，在△ADE和△ABC中，，且∠EAC＝∠DAB．求证：△EAD∽△CAB． 【答案】证明：∵∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC+∠BAE＝∠DAB+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE， ∵，∴△EAD∽△CAB． 【题型6】三边对应成比例的两个三角形相似 【典型例题】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是（　　） A.AB，BC＝AC，DE，EF＝DF＝3 B.AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE，EF＝2，FD C.AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16 D.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10 【答案】A 【解析】A．∵AB，BC＝AC，DE，EF＝DF＝3，∴， ∴△ABC∽△DEF，故A符合题意； B．∵AB＝3，BC＝4，CA＝5，DE，EF＝2，FD，∴， ∴△ABC与△DEF不相似，故B不符合题意； C．∵AB＝1，AC＝1，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16，∴△ABC是等腰三角形，△DEF不是等腰三角形， 故不能得出△ABC∽△DEF，故C不符合题意； D．∵AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝10，，∴， ∴△ABC与△DEF不相似，故D不符合题意． 故选：A． 【举一反三1】△ABC和△DEF满足下列条件，其中能使△ABC与△DEF相似的是（　　） A.AB＝c，AC＝b，BC＝a，DE，EF，DF B.AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1 C.AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6 D.AB，AC，BC，DE，EF＝3，DF＝3 【答案】C 【解析】A、根据AB＝c，BC＝a，AC＝b，de，EF，DF，不能推出三组对应边的比相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误； B、∵AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝1，∴1，，，∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误； C、∵AB＝3，AC＝4，BC＝6，DE＝12，EF＝8，DF＝6，∴，∴△ABC和△DEF相似，故本选项正确； D、∵AB，AC，BC，DE，EF＝3，DF＝3，∴，，，∴三组对应边的比不相等，即这两个三角形不相似，故本选项错误. 故选：C． 【举一反三2】若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使△ABC与△DEF相似的是（　　） A.AB＝6，BC＝6，AC＝9，DE＝4，EF＝4，DF＝6 B.AB＝4，BC＝6，AC＝8，DE＝5，EF＝10，DF＝15 C.AB＝1，BC，AC＝2，DE，EF，DF D.AB＝1，BC，AC＝3，DE，EF＝2，DF 【答案】A 【解析】A、因为，所以△ABC与△DEF相似，故本选项正确； B、因为，所以△ABC与△DEF不相似，故本选项错误； C、因为，所以△ABC与△DEF不相似，故本选项错误； D、因为，所以△ABC与△DEF不相似，故本选项错误. 故选：A． 【举一反三3】判断下列每组三角形是否相似（填“相似”或“不相似”）： （1）△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1．则△ABC与△DEF　　； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4，则△ABC与△A1B1C　； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2），则△AOB与△A1OB1　　． 【答案】不相似；相似；相似 【解析】（1）∵△ABC的三边长分别为1，，，△DEF的三边长分别为，，1； ∴，∴△ABC与△DEF不相似； （2）△ABC中，AB：AC：BC＝4：3：2，△A1B1C1中，A1B1：A1C1：B1C1＝3：2：4， ∴，∴△ABC与△A1B1C1相似； （3）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），A1（0，﹣4），B1（4，﹣2）， ∴AO＝2，AB，A1B1＝2，OB，OA1＝4，OB1＝2，A1B1＝2， ∴，∴△AOB与△A1OB1相似． 【举一反三4】判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】解：相似，理由如下： ∵，∴△DFE∽△ACB． 【题型7】相似三角形判定定理的综合 【典型例题】如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是（　　） A.OA•OC＝OD•OB B.∠B＝∠C C.∠A＝∠D D. 【答案】D 【解析】A、能判定，利用两边成比例夹角相等； B、能判定，两角对应相等的两个三角形相似； C、能判定，两角对应相等的两个三角形相似； D、不能判定． 故选：D． 【举一反三1】如图，∠1＝∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（　　） A.∠D＝∠B B.∠E＝∠C C. D. 【答案】D 【解析】A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似； C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似； D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似． 故选：D． 【举一反三2】如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB＝12，AC＝8，AD＝6，当AP的长度为　　时，△ADP和△ABC相似． 【答案】4或9 【解析】当△ADP∽△ACB时，∴，∴，解得：AP＝9， 当△ADP∽△ABC时，∴，∴，解得：AP＝4， ∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似． 【举一反三3】如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点（DE≠BC），当　　或　　或　时，△ADE与△ABC相似． 【答案】∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD：AC＝AE：AB 【解析】∵∠A＝∠A，∴当∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD：AC＝AE：AB时，△ADE与△ABC相似． 【举一反三4】格点△ABC与△A′B′C′是否相似？你有哪些判断方法？ 【答案】解：△ABC与△A′B′C′相似． 设小正方形网格的边长为1， 证法（1）：∵AB，BC，AC＝4，A′B′＝2，B′C′＝2，A′C′＝8， ∴，∴△ABC∽△A′B′C′； 证法（2）：∵∠A＝∠A′＝45°，，∴△ABC∽△A′B′C′； 证法（3）：∵tanC，tanC′，∴∠C＝∠C′， ∵∠A＝∠A′＝45°，∴△ABC∽△A′B′C′． 【举一反三5】如图， （1）判断两个三角形是否相似； （2）求x和y的值． 【答案】解：（1）如图1，∵AB＝2，BC2，AC2， EF＝2，DE，DF， ∴，∴△ABC∽△DEF； 如图2，∵，∠ACB＝∠ECD，∴△ABC∽△EDC， ∴∠B＝∠D＝98°． （2）∵△ABC∽△EDC， ∴∠B＝∠D＝98°，y＝∠D＝98°，，即，解得x＝40.5． 【题型8】动点中的相似三角形 【典型例题】如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝3cm，BC＝6cm，D是AC上一点，AD＝2cm，点P从C出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，可以使其中一部分与△ABC相似的点P的个数为（　　） A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】①当∠DPC＝∠A时，△ABC∽△PDC， ②当∠PDC＝∠A时，△ABC∽△DPC， ③当∠APD＝∠B时，△ABC∽△APD， ④当∠APD＝∠C时，△ABC∽△ADP， 综上：一共有4个. 故选：D． 【举一反三1】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s，连接PQ．设运动的时间为t（s），其中0＜t＜4．当t＝（　　）时，△APQ与△ABC相似. A.3 B. C.或 D.3或 【答案】C 【解析】由勾股定理得：AB5（cm）， 由题意得：AQ＝t cm，AP＝（5﹣t）cm， 当AQ：AC＝AP：AB时，∵∠PAQ＝∠BAC，∴△APQ∽△ABC， 此时t：4＝（5﹣t）：5，∴t； 当AQ：AB＝AP：AC时，∵∠PAQ＝∠BAC，∴△APQ∽△ACB， 此时（5﹣t）：4＝t：5，∴t， ∴当t为或时，△APQ与△ABC相似． 故选：C． 【举一反三2】如图，在△ABC中，AC＝7cm，BC＝12cm，动点P，Q分别从点A，C开始沿图中所示方向及速度运动，如果P，Q两动点同时运动，那么经过 　　秒，以C，Q，P为顶点的三角形与△ABC相似． 【答案】或 【解析】根据题意可知：CP＝AC﹣AP＝（7﹣t）cm，CQ＝2t cm， ∵∠C＝∠C，∴当时，△CPQ∽△CAB，∴，∴t， 当时，△CPQ∽△CBA，∴，∴t， 综上所述：t或． 【举一反三3】如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝6厘米，OB＝8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）． （1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？ （2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？ 【答案】解：（1）∵AO＝6，BO＝8，∴AB10， ∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，∴AQ＝t，AP＝10﹣t， ①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，∴，即， 解得t6，舍去； ②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，∴，即， 解得t， 综上所述，t秒时，△APQ与△AOB相似. （2）如图，过点P作PC⊥OA于点C， 则PC＝AP•sin∠OAB＝（10﹣t）（10﹣t）， △APQ的面积t（10﹣t）＝8， 整理，得：t2﹣10t+20＝0， 解得：t＝56（舍去），或t＝5； 故当t＝5s时，△APQ的面积为8cm2． 学科网（北京）股份有限公司 $